2022-2023学年天津市滨海新区塘沽一中九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年天津市滨海新区塘沽一中九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共12小题，共36分）

1. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的可以取的数值为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 对于抛物线，下列说法正确的是(    )

A. 开口向上，顶点坐标 B. 开口向上，顶点坐标
C. 开口向下，顶点坐标 D. 开口向下，顶点坐标

4. 用配方法解方程，正确的变形为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 抛物线经过点，则代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小为(    )
    

A.  B.  C.  D.

8. 青山村种的水稻年平均每公顷产，年平均每公顷产，设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为，根据题意列出方程是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 如图，已知菱形的顶点，，，若菱形绕点顺时针旋转得到菱形，则点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 将两块斜边长度相等的等腰直角三角形板如图摆放，如果把图中的绕点逆时针旋转得，连接，如图下列结论错误的是(    )

A. ≌ B. ≌
C. ≌ D. ≌

11. 关于二次函数，有下列说法：
    它的图象与轴有两个公共点；
    如果当时，随的增大而减小，则；
    如果将它的图象向左平移个单位后过原点，则；
    如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为．
    其中正确的说法有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

12. 如图，已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论：；关于的一元二次方程的根是，；；最大值其中正确的有个．(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本题共6小题，共18分）

13. 一元二次方程的解是         ．
14. 已知点与点关于原点对称，则的值等于______．
15. 若抛物线的顶点在轴上，则______．
16. 流感是一种传染性极高的疾病，我们要加强预防和治疗．有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，那么每轮传染中，平均一个人传染的人数为______．
17. 已知抛物线与轴交于，两点，点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，则线段的长为______．
18. 已知正方形的边长为，是边的中点．
    如图，连接，则的长为______ ；
    如图，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，则线段长的最小值为______ ．

三、解答题（本题共7小题，共66分）

19. 解下列方程．
    Ⅰ
    Ⅱ．
20. 如图，已知抛物线的对称轴为，请你解答下列问题：
    Ⅰ求的值；
    Ⅱ求出抛物线与轴的交点；
    Ⅲ当随的增大而减小时的取值范围是______．
    Ⅳ当时，的取值范围是______．

21. 在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表：

Ⅰ求这个二次函数的表达式及的值；并利用所给的坐标网格，画出该函数图象；
Ⅱ将这个二次函数向左平移个单位，再向上平移个单位，求平移后的函数解析式．

22. 在中，，将绕点顺时针旋转，得，，分别是点，的对应点．记旋转角为．
    
    Ⅰ如图，连接，若，，，求的长；
    Ⅱ如图，连接，若，求证：．
23. 某宾馆有个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加元时，就会有一个房间空闲．设每个房间的定价增加个元．
    Ⅰ填写下表：

Ⅱ若游客居住的房间的当天收入为元，写出关于的函数关系式；
Ⅲ如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出元的各种费用．当房间定价为多少时，宾馆获得的利润元最大？

24. 在平面直角坐标系中，为原点，点、点，若正方形绕点顺时针旋转，得正方形，记旋转角为：
    如图，当时，求与的交点的坐标；
    如图，当时，求点的坐标；
    若为线段的中点，求长的取值范围直接写出结果即可．
     
25. 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，直线，经过点，．
    Ⅰ求的值；
    Ⅱ点是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点的坐标；
    Ⅲ若是抛物线上一点，且，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：
，
故选：．
根据根的判别式即可求出答案．
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的定义在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形逐项判断即可得．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：抛物线中，，
抛物线开口向上，顶点坐标为：．
故选：．
根据的符号求得开口方向，根据二次函数的顶点式确定抛物线的顶点坐标，即可求解．
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．
本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
 

5.【答案】 

【解析】解：二次函数线，
该二次函数的抛物线开口向下，且对称轴为：．
，，是抛物线上的三点，
而三点横坐标离对称轴的距离按由近到远为：
、、，

故选：．
由二次函数解析式可知抛物线开口向下，且对称轴为根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．
 

6.【答案】 

【解析】解：
抛物线经过点，
，解得，
，
故选：．
把已知点的坐标代入可求得的值，再代入所求代数式即可求得答案．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是旋转的性质，由旋转的性质得到为等腰三角形是解题的关键．
由旋转的性质可知，，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得，从而可求得．
【解答】
解：由旋转的性质可知：，，．
，，
．
．
．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为，
则有：，
故选：．
本题依据题中的等量关系水稻年平均每公顷产，年平均每公顷产，根据增长后的产量增长前的产量增长率，设增长率是，则年的产量是据此即可列方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，若原来的数量为，平均每次增长或降低的百分率为，经过第一次调整，就调整到，再经过第二次调整就是增长用“”，下降用“”．
 

9.【答案】 

【解析】解：作于，则，

四边形是菱形，，，菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，
，，
，
，，
点的坐标为．
故选：．
作于，则，根据四边形是菱形，，，菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，可得，，然后根据含度角的直角三角形可以求出点的坐标．
本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质、点的坐标规律等知识；熟练掌握菱形的性质，求出点的坐标是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：与是等腰直角三角形，
，
在与中，
，
≌，
把图中的逆时针旋转得，
≌，，，
，
，
在和中，
，
≌．
故选：．
根据等腰直角三角形的性质得到，根据全等三角形的判定得到≌，根据旋转的性质得到≌，，，由全等三角形的判定定理得到≌．
此题主要考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质，关键是找准旋转以后的对应线段与对应角．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
二次函数的图象与轴有两个公共点，说法正确；
当时，随的增大而减小，
，说法错误；
二次函数的图象向左平移个单位后过原点，
点在二次函数的图象上，
，
，说法错误；
当时的函数值与时的函数值相等，
二次函数的图象的对称轴为直线．
当时，，
当时，的函数值为，说法正确．
综上所述：正确的说法有．
故选：．
由根的判别式，可得出二次函数的图象与轴有两个公共点，说法正确；
由当时，随的增大而减小，可得出二次函数图象的对称轴大于等于，由此可得出，说法错误；
由平移后的二次函数图象过原点可得出点在二次函数的图象上，再利用待定系数法可求出，说法错误；
根据二次函数的对称性结合当时，可得出当时的函数值为，说法正确．综上即可得出结论．
本题考查了二次函数的性质以及抛物线与轴的交点，利用二次函数的性质逐一分析四个说法的正误是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴上方，
，
，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
关于的一元二次方程的根是，，所以正确；
当时，，
，
而，
，即，
，
即，所以正确；
当时，函数有最大值，
函数有最大值，所以正确；
故选：．
利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与轴的交点在轴上方得到，则可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，则根据抛物线与轴的交点问题可对进行判断；由于时，，再利用得到，则可对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，正确记忆相关知识点是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了解一元二次方程直接开平方法，属于基础题．
解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解．
【解答】
解：移项得，
．
故答案：．  

14.【答案】 

【解析】解：点与点关于原点对称，
，，
则．
故答案为：．
直接利用关于原点对称点的性质得出，的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出，的值是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点在轴上，
抛物线与轴有一个交点，
方程有两个相等的实数根，
，即，解得，
故答案为：．
由顶点在轴上，可知抛物线与轴有一个交点，利用一元二次方程根的判别式可得到关于的方程，可求得的值．
本题主要考查二次函数的性质，掌握函数图象与轴的交点个数与一元二次方程的关系是解题的关键．
 

16.【答案】人 

【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，
那么由题意可知，
整理得，，
解得，不符合题意，舍去．
那么每轮传染中平均一个人传染的人数为人．
故答案是：人．
流感是一种传染性极高的疾病，我们要加强预防和治疗．有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，那么每轮传染中，平均一个人传染的人数为．
主要考查增长率问题，本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．
 

17.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，
又，
点的横坐标为，
．
．
故答案为：．
利用抛物线的对称性求出抛物线与轴的另一个交点的坐标即可求得结论．
本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，利用二次函数的对称性解答是解题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：正方形的边长为，是边的中点，
，，
，
故答案为：．
如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，

，
，
，，
≌，
，
由可知，
，
，
，
线段长的最小值为．
故答案为：．
由勾股定理可求出答案；
连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，证明≌，可得，由条件可得，根据，即可得出的最小值．
本题考查图形的旋转，正方形的性质，勾股定理．解题的关键是掌握图形旋转的性质．
 

19.【答案】解：Ⅰ
，
或，
，．
Ⅱ，，，
，

， 

【解析】Ⅰ利用因式分解法解方程即可；
Ⅱ利用公式法解方程即可；
本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用适当的方法解一元二次方程，属于中考常考题型．
 

20.【答案】  或 

【解析】解：Ⅰ抛物线的对称轴为直线，
；
Ⅱ，
抛物线解析式为，
当时，，解得，，
抛物线与轴的交点为，；
Ⅲ，对称轴为直线，
当时，的值随的增大而减小，
故答案为；
Ⅳ当或时，，
故答案为或．
Ⅰ利用抛物线的对称轴方程得到，解方程得到的值；
Ⅱ令，然后解方程得抛物线与轴的交点
Ⅲ根据二次函数的性质求解；
Ⅳ结合函数图象，写出抛物线在轴下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

21.【答案】解：Ⅰ抛物线过点，，可设抛物线解析式为
过点，
，解得，
，当时，
抛物线的解析式为，的值为，
函数图象如下：

Ⅱ，
将函数向左平移个单位，再向上平移个单位，得，即，
所以平移后的函数解析式为． 

【解析】Ⅰ由二次函数图象经过点，，设出交点式，利用待定系数法求函数解析式，进一步代入点得出的值；然后利用表中的点描点，画出函数图象即可；
Ⅱ直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
此题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与几何变换，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键．
 

22.【答案】Ⅰ解：，，
，
是旋转得到的，
≌．
，
在中，根据勾股定理，
得 ；
Ⅱ证明：由Ⅰ知，，
又，
是等边三角形．
，
又，
，
． 

【解析】由旋转知，再利用勾股定理即可；
若，则是等边三角形．从而，即可解决问题．
本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，平行线的判定等知识，熟练掌握旋转前后图形是全等的是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：Ⅰ

故答案为：；

Ⅱ．

Ⅲ

，
当时，取得最大值，最大值为元．
所以当房价定为元时，宾馆利润最大，最大利润是元．
Ⅰ理解每个房间的房价每增加元，房间定价元，则减少房间间，居住房间数量间；
Ⅱ根据中代数式，宾馆每天的利润为房间定价每天支出费用居住房间数量；
Ⅲ根据“总利润每间房的净利润住满房间的数量”列出函数解析式，并配方成顶点式即可得出函数的最值，据此解答可得．
本题考查了二次函数的应用，要求同学们仔细审题，将实际问题转化为数学模型，注意配方法求二次函数最值的应用．
 

24.【答案】解：、，，
四边形是边长为的正方形，
当时，
如图，延长经过点，
，，，
，
，
，
与的交点的坐标为；
如图，过点作轴垂线，交轴于点，过点作的垂线，垂足为，
，
，
，，
≌，
当时，
，，
，
，，
点的坐标为；
如图，连接，相交于点，
则是的中点，
为线段的中点，
，
在以为圆心，为半径的圆上运动，
，
最大值为，的最小值为，
长的取值范围为． 

【解析】当时，延长经过点，在中，，，可求得的长，进而求得的长，即可得出点的坐标；
过点作轴垂线，交轴于点，过点作的垂线，垂足为，证明≌，可得，，即可得出点的坐标；
连接，相交于点，则是的中点，因为为线段的中点，所以，即点在以为圆心，为半径的圆上运动，即可得出长的取值范围．
本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理．问解题的关键是利用中位线定理得出点的轨迹．
 

25.【答案】解：Ⅰ抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，
点，点，点，
直线，经过点，，
，
解得：，
的值为；
Ⅱ如图，过点作交于点，

抛物线与轴的交点为、，
，
，，
点，
设点，则点，
，
四边形面积，
当时，四边形面积有最大值，
此时点；
Ⅲ如图，当点在上方时，设交于点，

，
，
，
，
，
，
点，
点，点，
直线解析式为：，
联立方程组可得，
解得：，，
点，
当点在下方时，
，
，
点的纵坐标为，
点的坐标为；
综上所述：点或． 

【解析】Ⅰ先求出点，点，点坐标，利用待定系数法可求解；
Ⅱ过点作交于点，先求出点坐标，点，则点，利用面积和差关系可求解；
Ⅲ分两种情况讨论，先求出直线或的解析式，联立方程组可求解．
本题考查的二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，利用勾股定理求出点的坐标是本题的关键．