2022-2023学年天津市滨海新区塘沽一中八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年天津市滨海新区塘沽一中八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共12小题，共36分）

1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各组数据的三个长度中，能组成三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

3. 如图，，，分别是的中线，角平分线，高，下列各式中
   错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如图所示，在中，、分别是、边上的高，并且、交于点，若，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图：是的外角，平分，平分，且、交于点若，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，已知，，下列条件不能判定是≌的是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 已知等腰三角形一边长等于，另一边长等于，则它的周长是(    )

A.  B.  C.  D. 或

8. 如图，中，，平分，交于点，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若，则为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在中，，，点是上一点，连接，，，则长是(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图，在的正方形网格中有两个格点、，连接，在网格中再找一个格点，使得是等腰三角形，满足条件的格点的个数是(    )

A.
B.
C.
D.

12. 如图，在等边三角形中，，分别为，边上的点，，连接，交于点，，的平分线交于边上的点，与交于点，连接．
    有下列结论：
    ≌；
    ；
    ；
    ．
    其中，正确的结论个数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共6小题，共18分）

13. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______．
14. 一个边形的每个外角都是，则这个边形内角和是______．
15. 如图，则的度数为______．

16. 如图，在中，，是的中点，，垂足为，，则的度数是______．

17. 如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是______．

18. 如图，在中，，，，、是边、上的两个动点，于点，于点设点、运动的时间是秒若点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回到点停止运动；点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后停止运动，当______时，和全等．

三、解答题（本题共7小题，共66分）

19. 如图，在中，，，于点，平分，求与的度数．

20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．
    请在图中作出关于轴的轴对称图形、、的对称点分别是、、，并直接写出、、的坐标．______、______、______．
    求的面积．

21. 如图，在和中，，为上一点，，求证：．

22. 如图，点在上，与交于点，，，．
    求证：；
    若，求的度数．

23. 如图，在等边中，点在边上，过点作交于点，过点作，交的延长线于点．
    求的度数；
    求证：．

24. 如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．
    当为何值时，为等边三角形？
    当为何值时，为直角三角形？

25. 如图，点、在轴正半轴上，点、分别在轴上，平分与轴交于点，．
    
    求证：；
    如图，点的坐标为，点为上一点，且，求的长．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解：、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，满足三边关系，符合题意；
B、，不满足三边关系，不符合题意；
C、，不满足三边关系，不符合题意；
D、，不满足三边关系，不符合题意．
故选：．
根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
本题主要考查了三角形三边关系的运用，判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，分别是的中线，角平分线，高，
，，，
故选项A、、C正确，选项D错误，
故选：．
根据三角形的中线，角平分线，高的定义即可得到，，进而判断即可．
本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．掌握定义是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
又，
，
．
故选：．
首先根据直角三角形的两个锐角互余，求得的度数，再根据三角形的内角和定理的推论进行求解．
此题主要考查了三角形的内角和定理以及三角形的外角性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：平分，平分，
，．
．
，
．
故选：．
根据角平分线的定义，由平分，平分，得，根据三角形外角的性质，得，从而推断除．
本题主要考查角平分线的定义以及三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义以及三角形外角的性质是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、由，，，符合，能判定≌，故不符合题意；
B、由，可得，由能判定≌，故不符合题意；
C、由，，，符合，能判定≌，故不符合题意；
D、由，，，不能判定≌，故符合题意；
故选：．
根据三角形全等的判定定理，有、、、四种．逐条验证．
本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，本题是一道较为简单的题目．
 

7.【答案】 

【解析】解：分两种情况：
当腰为时，，所以不能构成三角形；
当腰为时，，，所以能构成三角形，周长是：．
故选：．
题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，
，平分，
，
，
解得：，
．
故选：．
过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用的面积列式计算即可得解．
本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
是线段的垂直平分线，
，
，
同理可得：，
，
，
故选：．
根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，同理，进而求出．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据直角三角形的两个锐角互余可得，可得，然后利用三角形外角的性质可得，从而可得，即可解答．
本题考查了含度角的直角三角形和等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图：

分三种情况：
当时，以点为圆心，长为半径作圆，点，，即为所求；
当时，以点为圆心，长为半径作圆，点，，，，即为所求；
当时，作的垂直平分线，与正方形网格的交点不在格点上，
综上所述：满足条件的格点的个数是，
故选：．
分三种情况：当时，当时，当时，然后进行分析即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：若≌，则，
，
，
为等边三角形，
显然与条件不符，故不正确，
是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
、的平分线交于边上的点，
，，
，
，故正确，
过点作于，于，于，
平分，平分，
，
，，
≌，
，
，
，
，，
，
，
，
，故正确，
平分，平分，
同法可得，
，
，
，故正确，
故选：．
不正确．若≌，则，与条件不符．
正确．证明，即可．
正确．过点作于，于，于，想办法证明，即可．
正确．证明，即可．
本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
 

13.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为．
故答案是：．
根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

14.【答案】 

【解析】解：多边形的边数是：，
则多边形的内角和是：．
故答案为：．
根据多边形的外角和是度，每个外角都相等，即可求得外角和中外角的个数，即多边形的边数，根据内角和定理即可求得内角和．
本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化，因而把求多边形内角的计算转化为外角的计算，可以使计算简便．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
．
故答案为：．
根据三角形的外角性质和四边形内角和等于可得的度数．
此题考查三角形的外角性质，四边形内角和，掌握三角形的外角性质和四边形内角和等于是解决问题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，为的中点，
，
，
，
，
，
故答案为：．
首先根据三角形的三线合一的性质得到平分，然后求得其一半的度数，从而求得答案．
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形三线合一的性质，难度不大．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接，
因为垂直平分，
所以，
所以，
所以当、、三点共线时，的值最小，
所以的最小值为的长，
因为，
所以的最小值为，
故答案为：．
连接，由垂直平分，则有，当、、三点共线时，的值最小，求出的长即为所求．
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
 

18.【答案】或 

【解析】解：时，点从到运动，则，，
当≌时，
则，
即，解得：，
时，点从到运动，则，，
当≌时，
则，
即，
解得：，
综上所述：当或时，≌．
故答案为：或．
分两种情况：时，点从到运动，则，，求得，时，点从到运动，则，，求得．
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是正确进行分类讨论，不要漏解．
 

19.【答案】解：在中，
，，，


．
平分，
．


．
，
．


．
，


． 

【解析】先利用三角形的内角和定理求出、，再利用角平分线的性质求出，最后利用三角形的内角和定理及推论求出与的度数．
本题主要考查了三角形的内角和，掌握“三角形的内角和是”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”及角平分线的定义是解决本题的关键．
 

20.【答案】     

【解析】解：如图，为所作；，，．

故答案为，，；
的面积．
利用关于轴对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可；
用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积．
本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
 

21.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，，
中，，
，
，
． 

【解析】根据证明≌，可得结论．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用证明三角形全等．
 

22.【答案】证明：．
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：，，
，
≌，
，
． 

【解析】利用证明≌即可，根据全等三角形的性质即可得解；
根据等腰三角形的性质可得，然后根据≌，可得，进而根据平角定义即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到≌．
 

23.【答案】解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
；
证明：是等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
． 

【解析】由平行线的性质求出，再由三角形的内角和定理解决问题即可．
证是等边三角形，得，再证，得，即可得出结论．
本题考查等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：在中，，，
．
，
，，．
当时，为等边三角形．
即．
．
当时，为等边三角形；
若为直角三角形，
当时，，
即，
．
当时，，
即，
．
即当或时，为直角三角形． 

【解析】用含的代数式表示出、．
由于，当时，可得到关于的一次方程，求解即得结论；
分两种情况进行讨论：当时，当时．利用直角三角形中，含角的边间关系，得到关于的一次方程，求解得结论．
本题考查了含角的直角三角形、等边三角形以及分类讨论的思想方法，利用“直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半”及“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，得到关于的一次方程是解决本题的关键．
 

25.【答案】证明：，
．
在和中，
≌．
；

由知，
，过作于点，如右图所示：
，
，
在和中，
≌，
．
在和中，
≌，
可知：；
． 

【解析】由题意，可知，平分与轴交于点，所以可由定理证明≌，由全等三角形的性质可得；
过作于点，可证明≌、≌，因此，、，所以，，即可得的长．
本题主要考查了全等三角形的判定及其性质，做题时添加了辅助线，正确作出辅助线是解决问题的关键．