2022-2023学年山东省烟台市蓬莱市八年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省烟台市蓬莱市八年级（上）期中数学试卷（五四学制）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列各式中，分式的个数为(    )
   ，，，，，，

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 下列分式的值，可以为零的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列因式分解正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 将多项式再加上一项，使它能分解因式成的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如果，那么代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知，，则、的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 小明同学对数据、、、，进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水污染已无法看清，则下列统计量与被污染数字无关的是(    )

A. 平均数 B. 标准差 C. 方差 D. 中位数

8. 如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，将余下部分剪拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式(    )

A.  B.
C.  D.

9. 在某核酸检测任务中，甲医疗队比乙医疗队每小时多检测人，甲队检测人所用的时间比乙队检测人所用的时间少设甲队每小时检测人，根据题意，可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

10. 小红在班上做节水意识调查，收集了班上位同学家里上个月的用水量单位：吨如下：，，，，，，她发现，若去掉其中两个数据后，这组数据的中位数、众数保持不变，则去掉的两个数可能是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 一组数据方差的计算公式为，则该组数据的总和是______ ．
12. 当______时，无意义．
13. 若分式中的，的值都变为原来的倍，则此分式的值为______．
14. 若，则的值是______．
15. 已知，则代数式的值为______．
16. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17. 把下列多项式分解因式：
    ；
    ．

四、解答题（本大题共7小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
19. 本小题分
    有些多项式不能直接运用提取公因式法分解因式，但它的某些项可以通过适当地结合或把某项适当地拆分成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如，根据上面的方法因式分解：
    ；
    ；
    已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由．
20. 本小题分
    先化简，再求值：，其中是已知两边分别为和的三角形的第三边长，且是整数．
21. 本小题分
    已知：是分式方程的解，求得值．
22. 本小题分
    某大学甲、乙两名运动员在大学生运动会赛前刻苦进行射击训练，下图是甲乙两名运动员次射击成绩的条形统计图，请根据此图回答下列问题：
    甲这次射击成绩的众数是______；
    乙这次射击成绩的中位数是______；
    甲、乙两人射击训练的平均成绩分别是______是______．
    计算甲、乙两人这次射击训练成绩的方差，并说说你认为派哪个运动员去参赛比较合适．
     
23. 本小题分
    当______，关于的方程无解．
24. 本小题分
    为提升青少年的身体素质，郑州市在全市中小学推行“阳光体育”活动，河南省实验中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用元购买篮球和足球，购买篮球的个数比足球的个数少个，足球的单价为篮球单价的．
    求篮球、足球的单价分别为多少元？
    学校计划用不多于元购买篮球、足球共个，那么至少购买多少个足球？
    在的条件下，若篮球数量不能低过个，那么有多少种购买方案？哪种方案费用最少？最少费用是多少？
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了分式，关键是掌握分式定义．根据分式定义：如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式可得答案．
【解答】
解：，，是分式，共个，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：、分子不能等于，分式的值不能为零，故A不可能为；
B、时，分子、分母都等于，分式无意义，故B不可能为；
C、时，分子、分母都等于，分式无意义，故C不可能为；
D、时，分式的值为零，故D可以为；
故选：．
分式的值为的条件是：分子为；分母不为两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
本题考查了分式值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故选项A分解正确；
B.，故选项B分解不正确；
C.不能分解因式，故选项C分解不正确；
D.，故选项D分解不正确；
故选：．
利用提公因式法逐个分解得结论．
本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查完全平方公式，熟记完全平方公式对解题非常重要．
根据完全平方公式的结构逐项分析即可解答．
【解答】
解：、，无法运用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意；
B、，能运用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意；
C、，能运用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意；
D、，能运用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意．  

5.【答案】 

【解析】解：

，
，
，
原式

．
故选：．
先将所求式子化简，再由已知得，整体代入即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式基本性质将所求式子化简及整体思想的应用．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故选：．
用与作差，然后进行判断即可．
本题考查了完全平方公式及偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解答题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为，与被涂污数字无关．
故选：．
利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断．
本题主要考查方差、标准差、中位数和平均数，解题的关键是掌握中位数的定义．
 

8.【答案】 

【解析】解：挖掉小正方形后的面积；
新的长方形面积
则．
故选：．
分别计算挖掉小正方形后的面积和新的长方形面积，根据面积相等即可得到．
本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设甲队每小时检测人，根据题意得，
，
故选：．
根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程．
 

10.【答案】 

【解析】解：数据，，，，，，的众数为，中位数为，
若去掉其中两个数据后，这组数据的中位数、众数保持不变，则不能去掉，不能去掉，
所以去掉可能是，，
故选：．
根据中位数和众数的定义确定中位数和众数分别是多少，然后即可确定答案．
本题考查了众数及中位数的定义，解题的关键是能够牢记方法并正确的计算．
 

11.【答案】 

【解析】解：由知共有个数据，这个数据的平均数为，
则该组数据的总和为：；
故答案为：．
样本方差，其中是这个样本的容量，是样本的平均数．利用此公式直接求解．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式及公式中的字母所表示的意义．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：无意义，
或或，
解得：或或．
故答案为：或或．
根据分母与除式为求出的值即可．
此题考查了分式的加减法，以及分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题基础题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
则，，
解得：，，
故．
故答案为：．
直接利用非负数的性质得出，的值，进而得出答案．
此题主要考查了非负数的性质，正确得出，的值是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：原式


，
，
，
，
代数式的值为，
故答案为：．
先将代数式化简为，再由可得，即可求解．
本题考查代数式求值，解题的关键是正确化简代数式，利用题干条件进行解答．
 

16.【答案】且 

【解析】解：去分母，得：
，
去括号，移项，合并同类项，得：
．
关于的分式方程的解为正数，
．
又
．
，
解得：且．
故答案为：且．
利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由方程的解为正数列出不等式；又分式方程有可能产生增根，所以分式方程的解不等于，根据上述条件得到不等式组，解不等式组得到的取值范围．
本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组．利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解并注意分式方程可能产生增根的情形是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；


． 

【解析】先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可解答；
先提取公因式，然后再利用平方差公式和完全平方公式进行分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

18.【答案】解：原式



；
原式


． 

【解析】先把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式，然后进行同分母的减法运算；
先把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再约分后把括号内合并，然后再约分即可．
本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
 

19.【答案】解：原式

．
原式


等腰三角形．


，，是的三边，
，
，
，
是等腰三角形． 

【解析】将含的分为一组，含的分为一组，接下来再提取公因式即可解答；
首先将待求式分组得到原式，再提取公因式即可解答．
由，，是的三边，且满足，化简得到三边的关系，从而判断三角形的形状．
本题考查的是因式分解，正确进行分组是解答本题关键．
 

20.【答案】解：原式

，
是已知两边分别为和的三角形的第三边长，
，即，
为整数，
、、，
由分式有意义的条件可知：、、，
，
原式． 

【解析】根据分式的运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及分式有意义的条件，本题属于基础题型．
 

21.【答案】解：把代入分式方程得：，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
的值为． 

【解析】把代入分式方程就得到关于的方程，从而求出的值．
本题考查了分式方程的解：使分式方程左右两边相等的未知数的值叫做分式方程的解．
 

22.【答案】和    环  环 

【解析】解：在甲的次成绩中，环和环都是最多的，
众数是和，
故答案为和；
乙的次成绩为，，，，，，，，，，
中位数为，
故答案为；
甲的平均数为：，
甲的平均成绩为环，
乙的平均数为：，
乙的平均成绩为环，
故答案为环，环；
计算得，
因为两人平均成绩一样，乙的方差小，
说明乙发挥更稳定，应当派乙去参赛更合适．
根据条形统计图列出甲的成绩，找到众数即可；
根据条形统计图列出乙的成绩，找到中位数即可；
利用加权平均数的计算公式计算即可；
先算出方差，方差越小，成绩越稳定，在平均数相同的情况下选择方差小的一个．
本题主要考查统计数据，包括中位数，众数，平均数，一定要牢记它们的定义和计算公式
 

23.【答案】或或 

【解析】解：方程两边都乘得，，
整理得，，
当整式方程无解时，即，
当分式方程无解时：，即时，方程无解，则，解得；
，即时，方程无解，则，解得，
所以或或时，原方程无解．
故答案为：或或．
分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的能令最简公分母为，据此进行解答．
此题考查了分式方程的解，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根．
 

24.【答案】解：设篮球的单价为元个，则足球的单价为元个，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
．
答：篮球的单价为元个，足球的单价为元个．

设购买个足球，则购买个篮球，
根据题意得：，
解得：．
答：至少要购买个足球；
由题意得，，
解得：，
，
，
为整数，
可取，，，，，，共种购买方案；
分别为足球个，篮球个；足球个，篮球个；足球个，篮球个；足球个，篮球个；足球个，篮球个；足球个，篮球个；
设总费用为元，由题意得，，
，
随着的增大而减小，
当时，，
答：买足球个，篮球个费用最少，最少费用是元． 

【解析】设篮球的单价为元个，则足球的单价为元个，根据用元购买篮球的个数比购买足球的个数少个，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
购买个足球，则购买个篮球，根据总价单价购买数量结合总价钱不多于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，取其内的最小正整数即可；
解不等式得到，于是得到种购买方案；设总费用为元，由题意得到函数关系式，根据一次函数的性质即可得到结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，列出分式方程；根据总价单价购买数量结合总价钱不多于元，列出关于的一元一次不等式．