2022-2023学年湖南省长沙市长沙县一中教联体九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙市长沙县一中教联体九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”以熊猫为原型进行设计创作．如图，旋转吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是(    )

A.
B.
C.
D.

2. 下列方程中，属于一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 如图，内接于，，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4. 将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的函数图象的表达式是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 长沙县一中年校庆的抽奖环节，主持人把分别写有“厚德”、“载物”、“尚志”、“笃学”四个词的四张卡片分别装入四个外形相同的小盒子并密封起来，主持人随机地弄乱四个盒子的顺序，然后请抽奖嘉宾在四个小盒子的外边也分别写上“厚德”、“载物”、“尚志”、“笃学”四个词，最后由主持人打开小盒子取出卡片．如果盒子上面写的词和里面小卡片上面写的词相同就算中奖，那么小嘉宾中奖的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，的半径为，，是的两条切线，切点分别为，连接，，，，若，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在宽为、长为的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要，则修建的路宽应为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知二次函数图象上三点、、，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点之间的距离为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：；；；若为任意实数，则有；图象经过点时，方程的两根为，，则，其中正确的结论个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 在你所学过的几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有______写出两个．
12. 在平面内，的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是点在______填“圆内”“圆外”或“圆上”．
13. 如图，在平面直角坐标系中，、是的弦，分别与轴、轴交于、两点，，点的坐标为，则的弦的长为______ ．

14. 定义新运算：对于任意实数，，都有，其中等号右边是通常的减法及乘法运算．如嘉嘉写了一个满足以上运算的等式：，其中的值为______．
15. 二次函数是常数中，自变量与函数的对应值如下表：

一元二次方程是常数的两个根，的取值范围是下列选项中的哪一个______填序号
 

16. 如图，一只小虫沿着图示的六边形构成的格子从长桥畔爬行到古樟旁，标记有箭头的边只能按箭头方向爬行，且小虫爬行同一条边最多一次，则共有______种不同的爬行路径．
     

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解下列方程：
    ；
    ．
18. 本小题分
    在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．
    请在图中画出绕点逆时针旋转后的图形；
    求的面积．

19. 本小题分
    关于的一元二次方程．
    证明：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
    若方程的两根为、且满足，求的值．
20. 本小题分
    疫情反复，学校防疫是学校工作的重中之重．为了加快核酸检测的速度，长沙县一中决定新辟若干条核酸检测通道．经调查发现：条检测通道最大检测量是人小时，每增加条检测通道，每条检测通道的最大检测量将减少人小时．在不超过条通道的医疗硬件前提下，我校共设置条核酸检测通道．
    每条核酸检测通道的最大检测量是______人小时用含的代数式表示，不写取值范围；
    若我校设置的全部核酸检测通道每小时恰好能检测人，问需设置多少条检测通道？
21. 本小题分
    如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长和的延长线交于点．
    证明：是的切线；
    若，，求的半径．

22. 本小题分
    为帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，某校开展了“一人一球”的体育选修课活动．学生根据自己的喜好选择一门球类项目：篮球，：足球，：排球，：羽毛球，：乒乓球，刘老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后；制成了两幅不完整的统计图如图所示．
    
    刘老师调查的学生人数是______请将条形统计图补充完整；
    扇形统计图中类所对应的扇形圆心角大小为______；
    现有名学生，人选修篮球，人选修足球，人选修排球，刘老师要从这人中任选人了解他们对体育选修课的看法，请用列表或画树状图的方法，求出所选人都是选修篮球的概率．
23. 本小题分
    如图，，是以为直径的半圆上的两点，，连结，．
    求证：．
    若，，求阴影部分的面积．

24. 本小题分
    已知：正方形，以为旋转中心，旋转至，连接、．
    若将顺时针旋转至，如图所示，求的度数？
    若将顺时针旋转度至，求的度数？
    若将逆时针旋转度至，请分别求出、、三种情况下的的度数图、图、图．
     
25. 本小题分
    如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线，经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．
    
    求抛物线的表达式；
    是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求三角形面积的最大值及此时点的坐标；
    抛物线对称轴上的点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点称为“圣和点”此题中，是否存在“圣和点”若存在，请求出“圣和点”的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A是旋转吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形．
故选：．
根据旋转的定义判断即可．
本题考查利用旋转设计图案，解题的关键是掌握旋转变换的定义，属于中考常考题型．
 

2.【答案】 

【解析】解：不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
，
的度数为，
故选：．
根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到结论．
本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】
解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数的图象向右平移个单位所得函数的解析式为：；
由“上加下减”的原则可知，将二次函数的图象再向下平移个单位所得函数的解析式为：．
故选C．  

5.【答案】 

【解析】解：设“厚德”、“载物”、“尚志”、“笃学”四个词分别用表示，
画树状图如下：

共有种等可能的情况数，其中小嘉宾中奖的有种，
则小嘉宾中奖的概率为．
故选：．
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

6.【答案】 

【解析】解：、是半径为的的两条切线，
，，平分，，
而，
，是等边三角形，
，
，
，
的周长．
故选：．
根据切线的性质和切线长定理得到，，平分，，推出是等边三角形，根据直角三角形的性质和勾股定理求得，于是得到结论．
本题考查了切线的性质，切线长定理，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的周长的计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设修建的路宽应为米，
由题意得：，
解得：不合题意，舍去，，
即修建的路宽应为，
故选：．
设修建的路宽应为米，根据题意可知：矩形的宽路宽矩形的长路宽耕地面积，依此列出一元二次方程，解方程即可．
此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
二次函数的开口向下，对称轴是直线，
即在对称轴的左侧随的增大而增大，
三点、、在二次函数图象上，
点关于直线的对称点也在二次函数图象上，
，
，
故选：．
求出抛物线的开口方向对称轴，求出关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的对称性和增减性，即可求出答案．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

将绕点按逆时针方向旋转得到，
，，，
，
是等边三角形，，
，，
，
是等边三角形，
，
在中，，
，
，
故选：．
由旋转的性质，可证、都是等边三角形，由勾股定理求出的长即可．
本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
即，
，
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
，所以不符题意；
物线与轴有个交点，
，所以符合题意；
时，，
，
而，
，
，
，所以符合题意；
时，有最小值，
为任意实数，
即，所以符合题意；
图象经过点时，方程的两根为，，
二次函数与直线的一个交点为，
抛物线的对称轴为直线，
二次函数与直线的另一个交点为，
即，，
，所以不符题意．
故选：．
利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与轴的交点位置得到，则可对进行判断；
根据判别式的意义对进行判断；
利用时得到，把代入得到，然后利用可对进行判断；
利用二次函数当时有最小值可对进行判断；
由于二次函数与直线的一个交点为，利用对称性得到二次函数与直线的另一个交点为，从而得到，，则可对进行判断．
本题属于二次函数综合题，主要考查考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，掌握抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点，是解题关键．
 

11.【答案】圆或正方形答案不唯一 

【解析】解：如圆，正方形答案不唯一．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，写两个符合条件的图形则可．
掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

12.【答案】圆外 

【解析】解：的半径为，点到圆心的距离为，
的半径，
点在外．
故答案为圆外．
根据点的圆的位置关系的判定方法进行判断．
本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则点在圆外；点在圆上；点在圆内．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，

，
是的直径，
，
，
点的坐标为，
，
，
．
故答案为：．
首先连接，由，可得是的直径，又由，然后根据含的直角三角形的性质，求得的长，然后根据勾股定理，求得的长．
此题考查了圆周角定理以及勾股定理．熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：，
，
，
解得：或，
故答案为：或．
利用新定义的规定列式计算即可得出结论．
本题主要考查了实数的运算，一元二次方程的解法，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义的规定是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：结合图表，一元二次方程是常数的两个根，，
根据现有的条件确定，的最小取值范围，
即时，的取值范围，
；时的值最接近，
故答案为：．
在函数值由负值到正值过度过程中，就会有一个时刻，方程的根就在这个过度范围内．
此题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，掌握函数的图象与轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在．
 

16.【答案】 

【解析】解：如下图，将图形分为五步，求出第一步，第二步，第三步，第四步，第五步的路径种数，
第一步：；
第二步：；
第三步：；
第四步：；
第五步：；
，
则共有种不同的爬行路径．

故答案为：．
将图形分为五步，分别求出第一步，第二步，第三步，第四步，第五步的路径次数，再求第一步，第二步，第三步，第四步，第五步的路径次数的乘积，即可求出爬行路径种数．
本题考查了学生分析问题的能力，并能利用列表法或树状图思想解答问题，综合性较强．把此事件分成五步完成是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
，即，
，
，；
，
，
，，，
，
，
，． 

【解析】将一次项移到方程的左边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
利用求根公式求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

18.【答案】解：如图，即为所求；

的面积． 

【解析】利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用三角形面积公式求解．
本题考查作图旋转变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

19.【答案】证明：关于的一元二次方程，
，


，
则方程有两个不相等的实数根；
解：由根与系数的关系可得：，，
，
，即．
解得． 

【解析】表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断；
利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，已知等式变形代入代入计算即可求出的值．
此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：依题意得：每条核酸检测通道的最大检测量是人小时．
故答案为：．
，
整理得：，
解得：，不符合题意舍去．
，
答：需设置条检测通道．
由每条核酸检测通道的最大检测量，即可得出结论；
由题意：该医院设置的全部核酸检测通道每天恰好能检测人，列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

21.【答案】证明：如图，连接，

平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：设，
在中，
，，
，
，
，
解得：，
故的半径为． 

【解析】连接，由平分，知，由可证，根据得，得证；
设，在中由勾股定理求得．
本题主要考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理及平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定是关键：连接半径，证明半径与直线垂直．
 

22.【答案】人   

【解析】解：刘老师调查的学生人数为：人，
选择羽毛球的人数为人，
条形统计图补充为：

故答案为：人；
扇形统计图中类所对应的扇形圆心角为；
故答案为：；
画树状图为：

共有种等可能的结果，其中所选人都是选修篮球的结果数为，
所以所选人都是选修篮球的概率．
用选择篮球的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后计算出选择羽毛球的人数后补全条形统计图；
用类人数所占的百分比乘以即可；
画树状图展示所有种等可能的结果，再找出所选人都是选修篮球的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
 

23.【答案】证明：，
，
又，
，
．
如图，连结，过点作，垂足为．
，
，
，
，
，
．
在中，
，
，
，．
． 

【解析】根据圆周角定理可得，，由已知条件可得，再根据平行线的判定方法即可得出答案；
连结，过点作，垂足为由，可得，根据圆周角定理可得，即可得出，，即可算出的面积，在中，根据三角函数可算出的长度，即可算出的面积，根据代入计算即可得出答案．
本题主要考查了扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
 

24.【答案】解：，．
，
分
，
分
又，是等边三角形．
．
分
说明：其他方法，可参照得分．

，分，
，
即．
，．
，．
分
说明：其他方法请参照评分．

当时，如图
，

，，

分
当时，如图，
，
点、、在同一直线上．
分
当时，如图．
．
分
说明：其他方法请参照评分．
 

【解析】利用旋转的性质可以判定是等边三角形后即可得到，进而可以求得的度数；
利用上题证得的结论即可得到从而可以得到．
分当时、当时、当时三种情况讨论，证明的方法同．
此题主要考查了正方形的性质、图形的旋转变化、全等三角形及相似三角形的判定和性质、三角形面积的计算方法等知识的综合应用能力，难度较大．
 

25.【答案】解：由时，，
，
当时，，
，
对称轴是直线：，
，
，
设抛物线的解析式为：，
，
，
；
如图，

作轴于，交于，
设点，，
，
，
当时，，
当时，，
；
如图，

由对称性可得，
，
当时，
，
，
，，
设点，
当时，
，
，
，
综上所述：“圣和点”或或或． 

【解析】求出点和点坐标，从而表示出点的坐标，设抛物线的解析式为交点式，将点坐标代入，进而得出结果；
作轴，交于，设出点和点坐标，从而表示出的长，进而表示出的函数关系式，进一步得出结果；
分为或或，根据对称性求得时点的坐标，根据勾股定理求得的长，进而求得当时的点的坐标，设点坐标，根据列出方程，进而求得的值，进一步得出结果．
本题考查了二次函数及其图象性质，等腰三角形的分类，勾股定理等知识，解决问题的关键是对等腰三角形正确分类．