2022-2023学年福建省福州外国语学校九年级（上）第一次适应性数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省福州外国语学校九年级（上）第一次适应性数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 将二次函数的图象向下平移个单位，则平移后的二次函数的解析式为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知二次函数，如果随的增大而减小，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 抛物线与坐标轴的交点个数为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是(    )

A.
B.
C. 且
D. 或

6. 在同一直角坐标系中，，函数与的图象可能正确的有(    )
    

A.  B.  C.  D.

7. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯次，则参加酒会的人数为(    )

A. 人 B. 人 C. 人 D. 人

8. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系
   是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 二次函数的图象如图所示，下面结论：；；；若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中正确的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 方程的根是______．
12. 若是方程的解，则代数式的值为          ．
13. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的元降到元，则平均每次降价的百分率为______．
14. 若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为______．
15. 二次函数在范围内的最小值为______ ．
16. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，速度是；同时，动点从点出发，沿方向运动，速度是，则经过______后，，两点之间相距．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17. 解一元二次方程：．

四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    已知抛物线经过点，．
    求此抛物线的函数解析式．
    判断点是否在此抛物线上．
19. 本小题分
    已知二次函数．
    用配方法求函数图象顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向；
    在所给网格中建立平面直角坐标系井直接画出此函数的图象．

20. 本小题分
    关于的一元二次方程．
    求证：无论取何值，方程总有实数根；
    已知方程有一根大于，求的取值范围．
21. 本小题分
    已知关于的方程有两实数根．
    求的取值范围；
    设方程两实数根分别为、，且，求实数的值．
22. 本小题分
    汽车刹车后行驶的距离单位：关于行驶的时间单位：的函数解析式是当时，；当时，．
    求该函数的解析式；
    请结合平面直角坐标系中给出的点，画出符合题意的函数图象，并写出汽车刹车后到停下来前进了多远？
     
23. 本小题分
    某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量件与每件的售价元满足一次函数关系．
    该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
    物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的，设这种衬衫每月的总利润为元，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
24. 本小题分
    求关于的二次函数在上的最大值为常数．
25. 本小题分
    已知函数为常数．
    无论取何值，函数图象都过定点______．
    若对于任意实数，函数的图象始终在轴下方，求的取值范围；
    若，设函数为常数图象的顶点为，且与经过点的直线相交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为求证：、、三点共线．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：将二次函数的图象向下平移个单位，
则平移后的二次函数的解析式为：．
故选：．
直接利用二次函数平移的性质，上加下减进而得出答案．
此题主要考查了二次函数的性质，正确记忆平移规律是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：方程，
移项得：，
配方得：．
故选：．
方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：二次函数的对称轴是轴，即，
，
当时，随的增大而减小，
故选：．
写出二次函数的对称轴，根据二次函数的性质解答．
本题考查的是二次函数的性质，二次函数，当时，在对称轴的左侧，随的增大而减小，在对称轴的右侧，随的增大而最大．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．
先计算自变量为对应的函数值得到抛物线与轴的交点坐标，再求解方程得抛物线与轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断．
【解答】
解：当时，，则抛物线与轴的交点坐标为
当时，，解得，抛物线与轴的交点坐标为
所以抛物线与坐标轴有个交点
故选：  

5.【答案】 

【解析】解：由图象得：对称轴是，其中一个点的坐标为，
图象与轴的另一个交点坐标为．
利用图象可知：
的解集即是的解集，
或．
故选：．
利用二次函数的对称性，可得出图象与轴的另一个交点坐标，结合图象可得出的解集．
此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，很好地利用数形结合，题目非常典型．
 

6.【答案】 

【解析】解：当时，则函数中，随的增大而增大，函数开口向上，故正确，错误；
当时，则函数中，随的增大而减小，函数开口向下，故不正确，正确；
两函数图象可能是，
故选：．
分和时，分别判断两函数的图象即可求得答案．
本题主要考查函数图象，掌握二次函数和正比例函数的图象的变化趋势是解题的关键，注意分两种情况进行讨论．
 

7.【答案】 

【解析】解：设参加酒会的人数为人，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：参加酒会的人数为人．
故选：．
设参加酒会的人数为人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯次，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】
解：设这种植物每个支干长出个小分支
依题意得：
解得：舍去，
故选：  

9.【答案】 

【解析】解：对称轴为直线，
且，
到对称轴直线的距离为，
到对称轴直线的距离为，
到对称轴直线的距离为，
，
根据抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小，
．
故选：．
由对称轴为直线，可知，距离对称轴越近函数值越小即可．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据开口向上，离对称轴越近函数值越小是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口向下，
，
抛物线与轴正半轴相交，
，
抛物线的对称轴为直线，
，即，
．
，
当时，
．
，
，
，，
，
，即，
故正确；
由二次函数图象的对称性可知，当时，，
即，
故正确；
由图象可知，当时，二次函数取得最大值，
即最大值为．
当时，，
即．
故正确；
由二次函数图象的对称性可知，图象上的点关于对称轴对称的点的坐标为，且点在二次函数图象上，
是方程的一个根．
故正确．
故选：．
由已知条件得出：，，，，利用上述条件进行适当变形，再结合二次函数图象的性质对每个结论进行判断即可．
本题考查二次函数图象与系数的关系，要熟练掌握二次函数与一元二次方程及不等式的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
．
解得，
故答案为
根据直接开方法即可求出答案．
本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用是方程的解得到，然后利用整体代入的方法计算的值．
【解答】
解：是方程的解，
，
，
．
故答案为．  

13.【答案】 

【解析】解：设这种商品平均每次降价的百分率为，根据题意列方程得，
，
解得，不合题意，舍去；
故答案为：
解答此题利用的数量关系是：商品原来价格每次降价的百分率现在价格，设出未知数，列方程解答即可．
本题考查了一元二次方程的应用，此题列方程得依据是：商品原来价格每次降价的百分率现在价格．
 

14.【答案】 

【解析】解：对于一元二次方程，
设，
所以，
而关于的一元二次方程有一根为，
所以有一个根为，
则，
解得，
所以一元二次方程必有一根为．
故答案为：．
对于一元二次方程，设得到，利用有一个根为得到，从而可判断一元二次方程必有一根为．
本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
所以，该二次函数图象的对称轴是直线，且在范围内随的增大而增大，
当时，．
故答案为．
将二次函数化成顶点式，即可得到最小值．
此题考查了二次函数的最值，将一般式化为顶点式，即可直接得出二次函数的最小值．注意，此题的自变量是有取值范围的．
 

16.【答案】 

【解析】解：设秒后、两点相距，
则，，
由题意得，
解得，，舍去，
则秒后、两点之间相距．
故答案为：．
设秒后、两点相距，用表示出、，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
 

17.【答案】解：，
，
，
，
，． 

【解析】把常数项移到右边，然后在方程左右两边同时加上一次项系数的一半的平方进行计算即可．
本题考查了解一元二次方程配方法，解决本题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的步骤．
 

18.【答案】解：将点，代入，
得，
解得，
抛物线的函数解析式为，
当时，，
点不在此抛物线上． 

【解析】利用待定系数法求出抛物线的解析式即可解决问题；
求出时的函数值即可判断．
本题考查二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：，
该函数图象的顶点坐标为，对称轴是直线，图象的开口向上；
，
当时，，当时，，
该函数过点，，，
函数图象如右图所示． 

【解析】根据配方法可以解答本题；
根据题目中的函数解析式可以求得与轴的交点和中的顶点坐标，从而可以画出相应的函数解析式．
本题考查二次函数的性质和图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】证明：

，
无论取何值，方程总有实数根；
由求根公式得，
，，
方程有一根大于，
，解得． 

【解析】先计算判别式的值，再配方得到，然后根据判别式的意义得到结论；
先利用求根公式得到，，则，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

21.【答案】解：，
．
由题意可知：，，
，
，
，
或，
由可知：舍去，
． 

【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及根的判别式，本题属于中档题．
根据根的判别式即可求出答案．
根据根与系数的关系即可求出答案．
 

22.【答案】解：当时，；当时，，
，解得，
该函数的解析式为；
，
时，最大为，即汽车刹车后到停下来前进了米，
在中，当时，当时，当时，，
描点画出符合题意的函数图象如下：
 

【解析】用待定系数法即可得函数的解析式；
把中解析式化为顶点式即可得汽车刹车后到停下来前进了米，描点连线即可画出函数图象．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握二次函数的性质及应用．
 

23.【答案】解：，
解得，，，
尽量给客户优惠，
这种衬衫定价为元；
由题意可得，，
该衬衫的每件利润不允许高于进货价的，每件售价不低于进货价，
，，
解得，，
当时，取得最大值，此时，
答：售价定为元可获得最大利润，最大利润是元． 

【解析】根据题意列方程，解方程即可得到结论；
根据题意列函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
 

24.【答案】解：二次函数的对称轴为直线，
时，或时，函数有最大值，
时，时，函数有最大值，
时，时，函数有最大值． 

【解析】求出二次函数的对称轴，然后根据的取值情况讨论最大值的情况．
本题考查了二次函数的最值，难点在于根据对称轴的情况讨论．
 

25.【答案】和 

【解析】解：，
当时，或，
故图形过顶点和，
故：答案为：和；

当时，，函数在轴下方；
当时，函数在轴下方，则，且，
即，解得：，
综上，的取值范围为：；

点的坐标为：，
设点、的坐标为：、，
设过点的直线表达式为：，
将点的坐标代入上式并解得：，
将直线的表达式与二次函数表达式联立并整理得：
，
，，
则点，点，
如果、、三点共线，则直线和直线对应一次函数表达式中的值相等，
，同理可得：，
假设，
则，
整理得：，
即：，
即：，
故B、、三点共线．
，当时，或，即可求解；
当时，，函数在轴下方；当时，函数在轴下方，则，且，即可求解；
如果、、三点共线，则直线和直线对应一次函数表达式中的值相等，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、韦达定理的运用等，其中要注意分类求解，其中，用韦达定理处理复杂数据是本题的亮点．