2022-2023学年天津市蓟州中学高二上学期期中练习二数学试题（解析版）

2022-2023学年天津市蓟州中学高二上学期期中练习二数学试题

一、单选题

1．过点且倾斜角为的直线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由倾斜角为求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程

【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，

所以直线方程为，即，

故选：D

2．直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将直线的一般式化成点斜式即可求解.

【详解】直线可以为，表示过点，斜率为的直线，

所以所有直线都通过定点为.

故选：A.

3．已知，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．以上都不对

【答案】C

【解析】根据向量平行和垂直的坐标表示得出答案.

【详解】

故选：C

4．若图中的直线、、的斜率分别为、、则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由直线的倾斜角与斜率的变化关系可得选项.

【详解】由于直线的倾斜角为钝角，所以；

由于直线的倾斜角为锐角，且的倾斜角小于的倾斜角，所以，

所以.

故选：A.

【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题.

5．已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用空间向量的线性运算性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】设该正面体的棱长为，因为M为BC中点，N为AD中点，

所以，

因为M为BC中点，N为AD中点，

所以有，

，

根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为，

故选：B

6．若圆与圆外切，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆相外切，列出方程，即可求解.

【详解】由题意，圆与圆

可得，，

因为两圆相外切，可得，解得．

故选：C.

7．已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由图形可得，根据比例关系可得，，再根据向量减法，代入整理并代换为基底向量．

【详解】

即

故选：D．

8．已知圆，，则这两圆的公共弦长为（    ）

A．4 B． C．2 D．1

【答案】C

【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，用垂径定理求弦长.

【详解】由题意知，，将两圆的方程相减，得，所以两圆的公共弦所在直线的方程为.

又因为圆的圆心为，半径，所以圆的圆心到直线的距离.所以这两圆的公共弦的弦长为.

故选：C.

9．已知动点P在正方体的对角线(不含端点)上.设，若为钝角，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，

【详解】由题设，建立如图所示的空间直角坐标系，用坐标法计算，利用不是平角，可得为钝角等价于，即，即可求出实数的取值范围.

设正方体的棱长为1，

则有

∴，∴设，

∴，

，

由图知不是平角，∴为钝角等价于，

∴，

∴，

解得

∴的取值范围是

故选：C.

二、填空题

10．已知直线l经过点P（0，1）且一个方向向量为（2，1），则直线l的方程为______．

【答案】

【分析】根据方向向量可得直线的斜率，进而根据点斜式求解方程即可.

【详解】因为直线l的一个方向向量为（2，1），所以其斜率为，所以直线l的方程为，即．

故答案为：

11．直线的方向向量是，平面的法向量，若直线，则___________.

【答案】1

【分析】结合已知条件可得，然后利用垂直向量的数量积为0即可求解.

【详解】由题意可知，，

因为，，

从而，解得.

故答案为：1.

12．已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．

【答案】5

【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，进而利用弦长公式，即可求得．

【详解】因为圆心到直线的距离，

由可得，解得．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．

13．已知向量．若，则________．

【答案】.

【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值

【详解】,

，解得,

故答案为：.

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.

14．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离为，则l1的方程为________．

【答案】x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0

【分析】根据两直线平行时，直线方程的特点，结合平行线距离公式进行求解即可.

【详解】设l1的方程为x＋y＋C＝0(C≠－1)，由题意得＝，得C＝1或C＝－3，故所求的直线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.

故答案为：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0

15．直线被圆O；截得的弦长最短，则实数m=___________.

【答案】1

【分析】求出直线MN过定点A（1,1），进而判断点A在圆内，当时，|MN|取最小值，利用两直线斜率之积为-1计算即可.

【详解】直线MN的方程可化为，

由，得，

所以直线MN过定点A（1，1），

因为，即点A在圆内.

当时，|MN|取最小值，

由，得，∴，

故答案为：1.

三、解答题

16．已知直线与直线．

（1）若，求m的值；

（2）若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程．

【答案】（1），（2）或

【分析】（1）由题意可知，所以可得，从而可求出m的值；

（2）将点的坐标代入直线的方程中，求出m的值，从而可得点的坐标，然后设出直线方程，利用两坐标轴上的截距之和为0，列方程可求出直线方程

【详解】解：（1）因为，所以，且，

由，得，解得或（舍去）

所以，

（2）因为点在直线上，

所以，得，所以点的坐标为，

所以设直线的方程为（），

令，则，令，则，

因为直线在两坐标轴上的截距之和为0，

所以，解得或，

所以直线的方程为或

17．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，M为的中点．

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成的角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出 ，利用数量积即可证明.

（2）求出两平面PAM与平面PDC的法向量，则法向量夹角余弦得二面角的余弦．

【详解】解：（1）依题意，棱DA，DC，DP两两互相垂直.

以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，

如图，建立空间直角坐标系.

则，，，.

可得，.

所以，

所以

（2）由（1）得到，，

因此可得，.

设平面的一个法向量为，则由

得

令，解得.

同理，可求平面PDC的一个法向量.

所以，平面PAM与平面PDC所成的锐二面角满足：

.

即平面PAM与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为.

18．已知圆C过点，，且圆心在x轴上．

(1)求圆C的方程；

(2)设直线与圆C相交于A，B两点，若，求实数m的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设圆C的半径为r，圆心，由距离公式得出圆C的方程；

（2）由得出直线l过圆心，从而得出的值.

【详解】（1）设圆C的半径为r，圆心，由题意得

解得

∴圆C的方程为．

（2）∵点M在圆上，且，

∴直线l过圆心，∴，解得．

19．已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切．

（1）求圆C的标准方程；

（2）直线与圆C交于A，B两点．

①求k的取值范围；

②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．

【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具体见解析.

【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案；

（2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；

（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案.

【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径r=a，

又圆C与直线相切，所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆 C的标准方程为：.

（2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：，因为有两个交点，

所以，即k的取值范围是.

（ⅱ）设，由根与系数的关系：，

所以.

即直线OA,OB斜率之和为定值.

20．如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【分析】以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.

（Ⅰ）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出；

（Ⅱ）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；

（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.

【详解】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），

可得、、、、

、、、、.

（Ⅰ）依题意，，，

从而，所以；

（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，

，．

设为平面的法向量，

则，即，

不妨设，可得．

，

．

所以，二面角的正弦值为；

（Ⅲ）依题意，．

由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．

所以，直线与平面所成角的正弦值为.

【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.