高考数学二轮导数专题复习——第二十三节 双变量问题之极值点偏移-解析版

这是一份高考数学二轮导数专题复习——第二十三节 双变量问题之极值点偏移-解析版，共8页。试卷主要包含了对数平均不等式等内容，欢迎下载使用。

第二十三节 双变量问题之极值点偏移
知识与方法
1.设函数在定义域上有极值点，但由于函数在极值点左右两侧的增减速率不对称，造成函数的图象不关于直线对称，那么当时，极值点会偏向或中的某一个，也即或，在给定的函数背景下，证明上面的两个不等式，这类问题称为极值点偏移问题.

2．极值点偏移问题常用的解题方法有三种：
（1）构造对称差函数，研究其单调性，证明不等式；
（2）通过变形，转化为双变量问题，用齐次换元化归成单变量不等式证明问题；
（3）利用对数平均不等式证明.（由于在作答时要先证明此不等式，故一般正式作答时不使用此法）
3.对数平均不等式：设，，且，则.
典型例题
【例1】已知函数
（1）求函数的最大值；
（2）设，若，证明：.
【解析】（1）由题意，，所以，，从而在上单调递增，在上单调递减，故.
（2）证法1：不妨设，由（1）易得，要证，只需证，因为，且在上单调递减，所以只需证，
结合知只需证，即证，
设，，则，
所以在上单调递增，因为，所以，故.
证法2：不妨设，由（1）易得，因为，所以，整理得：，所以，从而，所以要证，只需证，令，则，
所以要证，只需证当时，，即证，
令，，则，所以在上单调递增，又，所以当时，，即，故不等式成立.
证法3：不妨设，由（1）易得，因为，所以，整理得：，由对数平均不等式得：，所以.
【反思】证法3中用到了对数平均不等式，考试作答时，不宜直接使用该不等式，需先证明再使用，所以综合评估下来，证法3的优势相比证法Ⅰ和证法2，并不明显，所以一般建议大家考试按证法1或证法2来作答，证法3仅作参考.
【例2】已知函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，，证明：.
【解析】（1）由题意，，，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）证法1：不妨设，由（1）易得，且，，
要证，只需证，易知，
结合在上单调递增知又只需证，
又，故只需证
令，则，
从而在上单调递减，又，所以恒成立，
从而，故，所以不等式成立.
证法2：因为，是的两个零点，所以，
两式作差得：，
从而，故，所以，
故要证，只需证，即证，
也即证，故只需证，
不妨设，则只需证，即证，
令，由（1）知，且，，所以，
设，则只需证，
因为，所以在上单调递增，
结合知，从而不等式成立.
证法3：因为，是的两个零点，所以，
两式作差得：，
从而，故，
由对数平均不等式知，所以，
故，整理得：，
因为，所以，故.

强化训练
1.已知函数.
（1）求的最小值；
（2）若关于x的方程有两个不相等的实根，，证明：.
【解析】（1）由题意，，所以，，
从而在上单调递减，在上单调递增，故.
（2）证法1：不妨设，由（1）可得，要证，只需证，
因为，，且在上单调递增，所以要证，只需证，
又，所以只需证，即证，
设，，
则，
所以在上单调递减，又，所以恒成立，
因为，所以，从而成立.
证法2：由题意，，两式作差得：，所以①，不妨设，则由（1）可得，设，则，且，
代入式①可得，所以，故②，
要证，只需证，即证，结合式②知只需证，即证，设，则，所以在上单调递增，又，所以，即，从而，故成立.
证法3：由题意，，两式作差得：，所以，
由对数平均不等式，，所以，
由可得，又，所以.
2．已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若的图象与x轴有两个交点，，且，证明：.
【解析】（1）当时，，所以，
从而，，故单调递的增区间为，单调递减区间为.
（2）证法1：由题意，，，
注意到二次函数开口向下，，所以在上有唯一的零点，且当时，，从而；当时，，从而，
故在上单调递增，在上单调递减，
由题意，有两个零点，，且，所以，
要证，只需证，即证，也即证，
因为，所以，结合在上单调递减知又只需证，又，故只需证，即证，
令，
则①，
由得：，代入式①得：，
所以在上单调递增，结合知，
因为，所以，故成立.
证法2：由题意，，两式作差整理得：①，又，所以，
将式①代入整理得：，
故要证，只需证，
结合知只需证，即证②，
令，则，所以要证不等式②成立，只需证当时，，
令，则，所以在上单调递减，
又，所以，即，故.
证法3：由题意，，两式作差整理得：①，又，所以，
将式①代入整理得：，由对数平均不等式，，所以.
3.已知函数有两个不同的极值点，
（1）求a的取值范围；
（2）证明：.
【解析】（1）由题意，，，
当时，，所以在R上单调递增，从而最多一个零点，
故最多只有一个极值点，不合题意；
当时，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故，
因为有两个极值点，所以有两个零点，从而，故，解得：，此时，，，所以在上有一个零点，记作，设，则，所以，，
从而在上单调递增，在上单调递减，故，
所以恒成立，即，故，
所以当时，，
故在上有1个零点，记作，且，或，
从而在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
所以有两个不同的极值点，，故a的取值范围是.
（2）证法1：由（1）可得，，所以，
从而，故，
所以，是函数的零点，因为，所以，，从而在上单调递减，在上单调递增，故，由可得，所以要证，只需证，即证，也即证，因为，，且在上单调递增，所以只需证，又，所以只需证，即证，
设，，
则，
所以在上单调递减，又，所以在上恒成立，
因为，所以，即，故成立.
证法2：由（1）可得，，所以
由①+②可得：，所以，
故要证，只需证，即证，
由①-②可得：，所以，从而，
故，所以要证，只需证③
设，则，且不等式③即为，所以要证不等式③成立，只需证，即证，也即证，设，
则，，所以在上单调递减，又，所以，从而在上单调递增，因为，所以恒成立，即，所以成立.
证法3：由（1）可得，，所以，
从而，两式作差得：，所以，
由对数平均不等式，，所以，
由可得.