2021-2022学年四川省宜宾市叙州区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年四川省宜宾市叙州区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共12小题，共48分）

1. 二次根式中，的值不能是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 阳阳在解方程，只得一个解，阳阳漏掉的那个解是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列各组线段单位：中，成比例线段的是(    )

A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，

4. 下列成语是必然事件的是(    )

A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 一见钟情 D. 水涨船高

5. 下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，四边形∽四边形，，，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知关于的一元二次方程，要使该方程有实数根，则必须满足(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

8. 某口罩厂月份的口罩产量为万只，因预防疫情需要，月份、月份均增大产量，使第四季度的总产量达到万只．设该厂、月份的口罩产量的月平均增长率为，根据题意可列方程为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在中，、分别为、的中点，点在上，且，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 以下关于一元二次方程的根的说法中，不正确的是(    )

A. 若，则方程一定有一根为
B. 若，则方程一定有两个实数根
C. 若，则方程必有一根为
D. 若，则方程必有两个不相等的实数根

12. 如图，已知在矩形中，是边的中点，与垂直，交直线于点，连接，则下列四个结论中：
    ；；；∽．
    正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共6小题，共24分）

13. 计算 ______ ．
14. 如图，，，请你补充一个条件：______，使≌．

15. 将方程用配方法化为，则的值是______．
16. 在一个不透明的袋子中装有个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近，则袋子中红球约有______个．
17. 已知、是方程的两个实数根，则代数式的值是______．
18. 如图，点在直线：上，点的横坐标为，过点作，交轴于点，以为边，向右作正方形，延长交轴于点；以为边，向右作正方形，延长交轴于点；以为边，向右作正方形，延长交轴于点；；照这个规律进行下去，则第个正方形的边长为______ 结果用含正整数的代数式表示．
     

三、解答题（本题共11小题，共108分）

19. 计算：；
    解方程：．
20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
    以原点为位似中心，位似比为：，在轴的左侧，画出放大后的图形；
    的面积为______．

21. 国庆期间，某电影院上映了长津湖我和我父辈五个扑水的少年三部电影．甲、乙两同学从中选取一部电影观看．
    甲同学选取电影长津湖观看的概率是______；
    求甲、乙两同学选取同一部电影的概率．
22. 在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部处测得办公楼底部处的俯角是，从综合楼底部处测得办公楼顶部处的仰角恰好是，综合楼高米请你帮小明求出办公楼的高度结果精确到，参考数据，，

23. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每月可卖出件，通过市场调查发现，每件小商品售价每上涨元，销售件数减少件．
    设每件商品售价定为元，请用含的式子表示每月的销售量．
    为了实现平均每月元的销售利润，并使消费者得到实惠，中的售价应定为多少元？
24. 如图，在中，点在边上，点在边上，且，．
    求证：∽；
    若，，求的长．

25. 如图，在平面直角坐标系中，直线：和直线：相交于轴上的点，且分别交轴于点和点．
    直接写出、两点坐标： ______， ______；
    求度数；
    点坐标为，点为直线上一个动点，求当最小时，点的坐标．

26. 若整数使关于的方程有实数根，且使关于的分式方程有正分数解，求所有满足条件的整数的值．
27. 如图，在平行四边形中，过点作垂直，垂足为，连接，为线段上一点，且．
    求证：∽；
    若，，，求的值．

28. 已知三条边的长度分别是，，，记的周长为．
    当时，的最长边的长度是请直接写出答案；
    请求出用含的代数式表示，结果要求化简；
    我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：其中三角形边长分别为、、，三角形的面积为若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积．
29. 阅读理解：如图，在四边形的边上任取一点点不与、重合，分别连接、，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把叫做四边形的边上的“相似点”：如果这三个三角形都相似，我们就把叫做四边形的边上的“强相似点”解决问题：
    如图，，试判断点是否是四边形的边上的相似点，并说明理由；
    如图，在矩形中，、、、四点均在正方形网格网格中每个小正方形的边长为的格点即每个小正方形的顶点上，试在图中画出矩形的边上的强相似点；
    如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若点恰好是四边形的边上的一个强相似点，试探究与的数量关系．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：对于二次根式，，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数判断即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
阳阳漏掉的那个解是，
故选：．
利用因式分解法解出方程，判断即可．
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，故选项符合题意．
故选：．
如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
 

4.【答案】 

【解析】解：，水中捞月是不可能事件，不符合题意；
B、守株待兔是随机事件，不符合题意；
C、一见钟情是随机事件，不符合题意；
D、水涨船高是必然事件，符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可求解．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、当时，，当时，，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：．
利用二次根式的性质与化简，立方根以及算术平方根的定义即可判断出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简以及立方根，正确化简各数是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形∽四边形，
，
，，
．
故选：．
直接利用相似多边形的性质得出，再利用四边形内角和定理得出答案．
此题主要考查了相似多边形的性质，正确得出对应角度数是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：且．
的取值范围为且．
故选：．
利用二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：某口罩厂月份的口罩产量为万只，且该厂、月份的口罩产量的月平均增长率为，
该口罩厂月份的口罩产量为万只，月份的口罩产量为万只，
又该口罩厂第四季度的总产量要达到万只，
根据题意可列方程为．
故选：．
根据口罩厂月份口罩的产量及该厂、月份的口罩产量的月平均增长率，可得出该口罩厂月份的口罩产量为万只，月份的口罩产量为万只，结合该口罩厂第四季度的总产量要达到万只，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由网格以及勾股定理可得，
，，，
，
是直角三角形，且，
，
故选：．
根据网格构造直角三角形，利用勾股定理求出三边的长，进而由勾股定理的逆定理得出直角三角形，由锐角三角函数的定义可求出答案．
本题考查解直角三角形，掌握勾股定理，勾股定理的逆定理以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：、分别为、的中点，，
，
，
，
为的中点，，
，
，
故选：．
根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：当时，原方程为，即，
解得：，，
是方程的解，选项A不符合题意；
B.当时，原方程为，
，
无法得出方程一定有两个实数根，选项B符合题意；
C.，即，
是方程的实数根，选项C不符合题意；
D.，，
，
方程必有两个不相等的实数，选项D不符合题意．
故选：．
A.代入，利用因式分解法解一元二次方程，即可得出是方程的解；
B.代入，由根的判别式，无法得出方程一定有两个实数根；
C.由，可得出是方程的实数根；
D.由，可得出根的判别式，进而可得出方程必有两个不相等的实数．
本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及因式分解法解一元二次方程，逐一分析各选项的正误是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
是边的中点，
，
，
，故正确；

如图，过作交于，

，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，且，
是的垂直平分线，
，故正确；

四边形是矩形，
，，，
，，
∽，故正确；

，
，且，，
，且，
∽，
，
，
，
，
，故错误，
故选：．
通过证明∽，可得，可证；过作交于，可证四边形是平行四边形，可得，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得；由平行线性质可得，，可证∽，通过证明∽，可得，可求，即可得，则可求解．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
所以答案为．
直接利用特殊角的三角函数值计算．
本题考查了特殊角的三角函数值：应用中要熟记特殊角的三角函数值，可按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；也可按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
 

14.【答案】答案不唯一 

【解析】解：添加的条件是，
理由是：，
，
即，
在和中，
，
≌，
故答案为：答案不唯一．
此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
，
，
故答案为：．
把化成一般式，然后根据题意即可得到和的值，从而可以求得的值．
本题考查了用配方法解一元二次方程和求代数式的值，能够把顶点式化成一般式是解此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设袋中红球有个，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
所以袋中红球有个，
故答案为：．
根据口袋中有个白球和若干个红球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可
本题考查概率，正确记忆概率的计算公式是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：、是方程的两个实数根，
，，，
，



．
故答案为：．
根据一元二次方程的解的定义和根与系数的关系得到，，，然后把原式整理整体代入得出答案即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

18.【答案】 

【解析】解：设直线与轴夹角为，过作轴于，如图：

点的横坐标为，点在直线：上，令得，
，，，
，
中，，即第个正方形边长是，
，
中，，即第个正方形边长是，
，
中，，即第个正方形边长是，
，
中，，即第个正方形边长是，

观察规律可知：第个正方形边长是，
故答案为：．
设直线与轴夹角为，过作轴于，由点的横坐标为，点在直线：上，可得，，，，中，求得，即第个正方形边长是，在中，求得第个正方形边长是，在中，求得第个正方形边长是，在中，求得第个正方形边长是，观察规律即可得：第个正方形边长是．
本题考查一次函数图象上点的特征，涉及解直角三角形、规律探索等知识，解题的关键是的应用．
 

19.【答案】解：原式
．
，
，
，
或，
所以，． 

【解析】先根据零指数的意义、特殊角的三角函数值和绝对值的意义计算，然后把化简后合并即可；
先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的运算．
 

20.【答案】 

【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：

．
故答案为：．
连接并延长，截取，连接并延长，截取，连接并延长，截取，确定出；
根据三角形的面积公式即可得到结论．
此题考查了作图位似变换，画位似图形的一般步骤为：确定位似中心，分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
 

21.【答案】 

【解析】解：甲同学选取电影长津湖观看的概率是，
故答案为：；
把长津湖我和我父辈五个扑水的少年三部电影分别记为、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，甲、乙两同学选取同一部电影的结果有种，
甲、乙两同学选取同一部电影的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，甲、乙两同学选取同一部电影的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：由题意可知米，，
，
．
，
米．
故办公楼的高度约为米． 

【解析】由题意可知米，，因为，可求出，又由，可求出，即得到答案．
本题考查的是解直角三角形的实际应用仰角俯角问题，掌握仰角和俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是本题的解题关键．
 

23.【答案】解：依题意得：若每个小商品售价上涨元，每月能售出个小商品；
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，；
当时，．
又使消费者得到实惠，
，
．
答：中的售价应定为元． 

【解析】利用每月的销售量每个小商品上涨的价格，即可用含的代数式表示出每个小商品售价上涨元时的月销售量；
利用月销售利润每个小商品的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合并使消费者得到实惠，即可确定的值，再将其代入中即可求出每个小商品的售价为元．
本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出每月的销售量；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

24.【答案】证明：，
，
，
，
又，，
，
又，
∽．
解：由可知，∽，
，
，，
，
将、的值代入上式，得：，故AD，
又，
． 

【解析】利用三角形外角的性质及可得出，结合即可证出∽；
利用相似三角形的性质可求出的长，再结合即可得出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：利用“两角对应相等，两三角形相似”证出∽；利用相似三角形的性质，求出的长．
 

25.【答案】   

【解析】解：当时，，
 ，
当时，，
，
故答案为：，；
 ，，
，，
，
，
，
把代入，
得，
当时，，
 ，
，
，
，
；
在直线上取点，使，连接交于点，如图所示：

，，
直线垂直平分线段，
，
则最小值即为的长，
， ，
又为的中点，
点，
设直线解析式为，
将点和代入解析式，
得，
解得，
直线解析式为，
联立，
解得，
点坐标为
令直线：，求出点坐标，再令求出点坐标；
分别求出和，进一步求出和的度数，即可求出的度数；
在直线上取点，使，连接交于点，则最小值为的长，先求出坐标，再待定系数法求出直线解析式，联立直线和直线解析式，即可求出点坐标．
本题考查了待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标特征，特殊角的三角形函数，轴对称求最短路线问题，熟练掌握“将军饮马”模型是解题的关键．
 

26.【答案】解：关于的分式方程的解为，
当时，，
方程解为．
分式方程的解为，符合题意；
当时，，解得．
分式方程的解为，
解得，
故且，
整数或或，
又时正分数，
．
综上，满足条件的实数的值为、． 

【解析】根据根的判别式以及分式方程的解法即可求出答案．注意分：当时，当时，两种情况进行讨论．
本题考查根的判别式，一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．
 

27.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，，
，，
，，
，
∽；
∽，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
． 

【解析】易证和，即可证明∽；
根据平行四边形对边相等可求得的长，根据∽可得，即可求得的长，根据勾股定理可以求得的长，即可解题．
本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，考查了平行四边形对边平行且相等的性质，本题中求证∽是解题的关键．
 

28.【答案】解：当时，，，，
的最长边的长度是；
由题知：，解得．
，，
；
，，且为整数，
越大越大，
当时，取得最大值，此时三边为，，，
，
不合题意舍去．
当时，三边为，，，



． 

【解析】把代入三角形的三边中，分别计算，比较后即可求解；
把三角形的三边求和，利用二次根式的性质化简即可求解；
先根据的取值范围，确定三角形周长的最大值及三角形各边的长，代入公式求出三角形的面积．
本题主要考查了二次根式，掌握三角形的三边关系和二次根式的化简和性质是解决本题的关键．
 

29.【答案】解：
，，
，
又，
∽，
点是四边形的边上的相似点；
如图中所示的点和点为上的强相似点；
点是四边形的边上的一个强相似点，
∽∽，
，
由折叠可知：≌，
，，
，，
在中，，
，
． 

【解析】根据题意证明和，得到∽；
根据题意画图即可；
根据相似三角形的性质和折叠的性质解答即可．
本题考查的是相似三角形的综合应用，理解新定义、掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．