2021-2022学年四川省宜宾市叙州区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年四川省宜宾市叙州区八年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的立方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 有下列实数：，，，每两个之间依次增加一个，其中无理数有个．(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如图，已知≌，若，，则(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图是宜宾市图书馆某一个周末对到图书馆借阅的学生人数统计图．若高中生有人，则初中生有(    )

A. 人
B. 人
C. 人
D. 人

6. 下列因式分解正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 如果是一个完全平方式，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 用反证法证明“在中，，，，且，那么”应先假设(    )

A.  B.
C.  D. 或

9. 的三边分别为，，，且满足，则的形状是(    )

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 无法确定

10. 如图所示，已知，分别是的中线和角平分线，若，，则(    )

A.
B.
C.
D.

11. 若，，则代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在中，，，为线段上一动点不与点、点重合，连接，作，交线段于点以下四个结论：
    ；
    当为中点时，；
    当时，；
    当为等腰三角形时，．
    其中正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13. 因式分解______．
14. “三条边都相等的三角形是等边三角形”的逆命题是______命题填“真”或“假”．
15. 抛一枚质地均匀的硬币，连续抛了次，其中正面向上的次数为次，则正面向上的频率是______．
16. 年月日，宜宾市叙州区科协在东方时代广场举办“年宜宾市叙州区机器人科技创新大赛”，如图是一机器人比赛行走的路径，机器人从处先往西走，又往北走，遇到障碍后又往东走，再折向北走到处往西一拐，仅走就到达了问、两点之间的距离为______

17. 如图，在中，，，是边上的中点，，，点、为垂足．则______．
18. 在中，，，为边上中点，过点作交于，交于，若的长为，则四边形的面积为______．

三、解答题（本大题共11小题，共108.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
20. 本小题分
    先化简，后求值：已知：，其中，．
21. 本小题分
    如图，在中，．
    用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点，交于点保留作图痕迹，不写作法；
    连结，求证：≌．

22. 本小题分
    某校在八年级班学生中开展关于中小学“五项管理”知晓情况的问卷调查．问卷调查的结果分为、、、四类，其中类表示“非常了解”；类表示“比较了解”；类表示“基本了解”；类表示“不太了解”；班长将本班同学的调查结果绘制成下列两幅不完整的统计图．
    
    请根据上述信息解答下列问题：
    该班参与问卷调查的人数有______人；
    补全条形统计图；
    求出扇形统计图中类所对应扇形圆心角的度数．
23. 本小题分
    “村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，，，三个村都分别修建了一条互通公路，其中，现要在公路边修建一个景点在同一条直线上，为方便村村民到达景点，又修建了一条公路，测得千米，千米，千米．
    判断的形状，并说明理由；
    求公路的长．

24. 本小题分
    某校为了改善校园环境，准备在长宽如图所示的长方形空地上，修建横纵宽度均为米的两条小路，其余部分修建花圃．
    用含，的代数式表示花圃的面积并化简；
    记长方形空地的面积为，花圃的面积为，若，求的值．

25. 本小题分
    在中，，点是直线上一点点与点、点不重合，以为直角边作等腰直角三角形，使，连结．
    
    如图，点在线段上，点与点在同侧．求证：．
    如图，点在的延长线上，点与点在的两侧，直接写出线段、、三者之间的数量关系．
    如图，点在的延长线上，点与点在同侧．若，，则的长是多少？
26. 本小题分
    先阅读，再分解因式：，按照这种方法把多项式分解因式．
27. 本小题分
    如图，在中，，，点，是边上两点，且，则线段，，之间有怎样的数量关系，并说明理由．

28. 本小题分
    如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由点向点运动与、两点不重合，点是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动点不与点重合，过作于点，连接交于点点从点到点的运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由．

29. 本小题分
    如图，在和中，，，．
    当点在上时，如图，线段，有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；
    将图中的绕点顺时针旋转，如图，线段，有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的立方根为，
故选：．
利用立方根的意义解答即可．
本题主要考查了立方根的意义，熟练掌握立方根的意义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、和每两个之间依次增加一个这个数是无理数，
其它的是有理数，
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
 

3.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意；
故选：．
A、根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算；
B、根据幂的乘方，底数不变，指数相乘计算；
C、根据单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘计算；
D、根据单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式计算．
本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法，掌握每一种运算法则的正确应用是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：≌，，，
，，
，
故选：．
因为≌，所以，，从而求出度数．
本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等的应用．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意知，被调查的总人数为人，
初中生有人，
故选：．
由高中生人数及其所占百分比可得被调查的总人数，总人数乘以初中生人数对应的百分比可得其人数．
本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．
 

6.【答案】 

【解析】解：不能因式分解，故选项A不合题意；
B.，分解符合题意；
C.，分解不彻底，故选项C不合题意；
D.不能因式分解，故选项D分解不合题意；
故选：．
利用公式法、提公因式法逐个分解得结论．
本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和公式法是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
解得．
故选D．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值．
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
 

8.【答案】 

【解析】解：反证法证明“在中，，，，且，那么”
先假设，
故选：．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，，
，，
是等腰直角三角形，
故选：．
因为，，为三边，根据，可找到这三边的数量关系．
本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及对三角形形状的掌握．
 

10.【答案】 

【解析】解：是的中线，，，
，．
是的角平分线，
，
．
故选：．
先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，再利用角平分线定义即可得出，再根据三角形外角的性质即可求解．
本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，




．
故选：．
将所求代数式适当变形后整体代入，即可求解．
此题考查了完全平方公式的运用．注意整体思想在解题中的运用．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
；故正确；
为中点，，
，
，
，
，
，
，故正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
；故正确；
，
，
，
为等腰三角形，
或，
当时，，
，
，
，
，故错误，
故选：．
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到；故正确；
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到，故正确；
根据全等三角形的性质得到；故正确；
根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到或，当时，，求出，故错误．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确地识别图形是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

14.【答案】真 

【解析】解：三条边都相等的三角形是等边三角形”的逆命题是等边三角形的三条边都相等，
逆命题是真命题，
故答案为：真．
交换原命题的题设与结论进而判断即可．
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．
 

15.【答案】 

【解析】解：正面向上的频率是．
故答案为：．
直接根据频率公式：频率计算即可．
本题考查了频数与频率，熟记公式频率是关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作垂直所在水平直线于点，如图，
，
根据题意可得，处与处水平距离为，竖直距离为，
，，
，
故答案为：．
过点作垂直所在水平直线于点，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．
本题主要考查勾股定理的实际应用问题，解题关键是构造直角三角形模型，分别找到对应边的长度，利用勾股定理求解，
 

17.【答案】 

【解析】解：连接，

，，
，
，，
，
，，
，
，，，
，
，
故答案为：．
连接，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，，然后利用平角定义求出，最后利用角平分线的性质可得，从而利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理，进行计算即可解答．
本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接．

是中点，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
．
故答案为：．
连接，根据的等腰直角三角形的性质证明≌，即可推出，推出．
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了勾股定理的运用，本题中连接是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式
；
解：原式

． 

【解析】先计算乘方、开方、绝对值运算，再合并即可；
先根据去括号法则与平方差的运算法则计算，再合并即可．
此题考查的是平方差公式、实数的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
 

20.【答案】解：原式 
，
，
 当，时     原式． 

【解析】先去括号，再合并同类项，再代入求值即可．
本题考查了整式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图所示，即为所求；

证明：如图，连接，
是线段的垂直平分线，
，，
在与中，
，
≌． 

【解析】作线段的垂直平分线即可；
利用线段垂直平分线的性质得到，然后利用即可证明≌．
本题考查了作图基本作图．全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
 

22.【答案】 

【解析】解：该班参与问卷调查的人数有：人，
故答案为：；
类的人数为：人，
条形统计图补充如下：

类人数占总调查人数的百分比是：，
扇形统计图中类所对应扇形圆心角的度数是：．
答：扇形统计图中类所对应扇形圆心角的度数为．
用类的人数除以其所占的百分比可得到样本容量；
用样本容量减去、、类的人数可求得类的人数，进而补全条形统计图；
用类人数除以总人数得到类人数占总调查人数的百分比；用类人数除以总人数得到类所占的百分比，然后乘以，即可得出类所对应扇形圆心角的度数．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

23.【答案】解：是直角三角形，理由如下：
千米，千米，千米，
，
是直角三角形，；
设千米，则千米，
由可知，，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
答：公路的长为千米． 

【解析】由勾股定理的逆定理即可得出结论；
设千米，则千米，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

24.【答案】解：平移后图形为：四边形为花圃的面积，

所以花圃的面积

；
，
；
，
，
，
负值舍去，
，，
． 

【解析】把两条小路平移使花圃的面积变为一个长方形的面积，所以花圃的面积，然后利用展开公式展开合并即可；
利用得到，则用表示、，然后计算它们的比值．
本题考查了整式的乘法和生活中的平移现象：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．通过平移把不规则的图形变为规则图形．也考查了整式的混合运算．
 

25.【答案】证明：，
，
，
又，，
≌，
；
解：，
，
又，，
≌，
，
；
，
，
，
又，，
≌，
，，
，
，
，
在中，，，
，
为等腰直角三角形，
由勾股定理可得：，
． 

【解析】由“”可证≌，可得；
由“”可证≌，可得，由线段和差关系可求解；
由“”可证≌，可得，，由勾股定理可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键．
 

26.【答案】解：，
，
，
，
． 

【解析】根据材料，找出规律，再解答．
此题要综合运用配方法，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式并读懂题目信息是解题的关键．
 

27.【答案】解：，，的数量关系为，
理由：将绕点逆时针旋转至的位置，使与重合，连接，

则，，，，
又，
，
，
又，
≌，
，
，
，
． 

【解析】将绕点逆时针旋转至的位置，使与重合，连接，根据旋转的性质得出，，，，可推出，再根据证明≌，即可推出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明≌是解题的关键．
 

28.【答案】解：不变，，
理由：作，交于点，

是等边三角形，
是等边三角形，
，
  ，
点与点的运动时间和速度相同，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
即的长不变，． 

【解析】作，交于点，由证明≌得，即可推出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

29.【答案】证明：，；
延长交于，

在和中，
，
≌，
，，
，
，
，即；

，；
延长交于，

，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，即． 

【解析】延长交于，易证≌，可得，，根据，可得，即可解题；
延长交于，易证，即可证明≌，可得，，根据，可以求得，即可解题．
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证≌是解题的关键．