还剩26页未读，
继续阅读
2021-2022学年四川省成都市双流区九年级（上）期末数学试卷 解析版
展开
这是一份2021-2022学年四川省成都市双流区九年级（上）期末数学试卷 解析版，共29页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年四川省成都市双流区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求．
1．（3分）下列各点在反比例函数y＝﹣图象上的是（ ）
A．（1，3） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣1，3） D．（3，1）
2．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）解方程x（x﹣3）＝0所得结果是（ ）
A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝﹣3
4．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，对角线BD＝6，则菱形的边AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．3 D．8
5．（3分）关于方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
6．（3分）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同，其中摸到白色球的概率是，则口袋中白色球可能有（ ）
A．12个 B．24个 C．32个 D．28个
7．（3分）菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
8．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝3，DF＝2，则BD的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5.5 D．6
9．（3分）已知△ABC∽△A1B1C1，且＝．若△ABC的面积为4，则△A1B1C1的面积是（ ）
A． B．6 C．9 D．18
10．（3分）函数y＝与y＝kx+1（k≠0）在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．（4分）若＝3，则＝ ．
12．（4分）已知x＝2是关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一个根，则实数k的值为 ．
13．（4分）小明的身高为1.6米，某一时刻在阳光的照射下小明的影长为1米，在同一平面内，同一时刻测得小明身旁一棵树的影长为6米，则这棵树的高为 米．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＞CD，按下列步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧的交点分别为点F，G；②过点F，G作直线FG，交边AD于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（12分）（1）计算：（）﹣1﹣（﹣1）2022+（1﹣π）0﹣；
（2）解方程：（x+1）2＝3（x+1）．
16．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，2），B（1，3），C（2，1）．
（1）请在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2：1；
（2）求出△A1B1C1的面积．
17．（8分）如图，一教学楼AB的高为20m，教学楼后面水塔CD的高为30m，已知BC＝30m，小张的目高EF为1.6m．当小张站在教学楼前E处时，刚好看到教学楼顶端A与水塔顶端D在一条直线上，求此时他与教学楼的距离BE．
18．（8分）小明设计了一个摸球试验：在一个不透明的箱子里放入4个相同的小球，球上分别标有数字0，10，20和30，然后从箱子里先后摸出两个小球（第一次摸出后不放回）．
（1）摸出的两个小球上所标的数字之和至少为 ，最多为 ；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出摸出的两个小球上所标的数字之和不低于30的概率．
19．（10分）如图，平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b分别与x，y轴相交于点A，B，与双曲线y2＝分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作CE⊥x轴于点E．已知OA＝4，OE＝OB＝2．
（1）求直线AB和反比例函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使S△ABP＝S△CEO？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（10分）已知，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P在射线AB上，点Q在射线BC上，且AP＝BQ．连接AC，AQ，CP，直线AQ与直线CP交于点H．
（1）如图1，当P，Q两点分别在线段AB和线段BC上时，求证：AQ＝CP；
（2）如图2，当P，Q两点分别到线段AB和线段BC的延长线上时．
①求∠CHQ的度数；
②连接DH，过点D作DE⊥PH交PH延长线于点E．若AH＝m，DH＝n，求CE的长（用含m，n的代数式表示）．
一、填空题（每小题4分，共20分）
21．（4分）若＝，则＝ ．
22．（4分）若m，n是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为 ．
23．（4分）为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼 条．
24．（4分）如图，已知AD为等腰△ABC底边上的高，且＝，AC上有一点E，满足＝．过点E作EF⊥AD于点F，则＝ ．
25．（4分）在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0，m是常数）的图象经过点A（1，4），点B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，AC与BD相交于点M，连结AD，DC，CB，AB．若AD＝BC，则b的值为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
26．（8分）某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件，设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若超市某月销售该商品共获得利润4000元，求这个月该商品每件的销售价为多少元？
27．（10分）如图，等边△ABC的边长为12，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝4，点F为BA延长线上一点，过点F作直线l∥BC，G为射线BC上动点，连接GD并延长交直线l于点H，连接FE并延长交BC于点M，连接HE并延长交射线BC于点N．
（1）若AF＝4，当BG＝4时，求线段HF和EH的长；
（2）若AF＝a（a＞0），点G在运动过程中，请判断△HGN的面积是否改变．若不变，求出其值（用含a的代数式表示）；若改变，请说明理由．
28．（12分）如图，过A（2，0），B（0，2）的直线y＝﹣x+2与双曲线y＝（x＞0）交于P（，），Q（，）两点，连接OQ．点C是线段OA上一点（不与O，A重合），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．设CA＝a．
（1）求AQ的长；
（2）当a为何值时，CE＝AC？
（3）设OQ，EC相交于点F，是否存在这样的点C，使得△OEF为等腰三角形？若存在，求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年四川省成都市双流区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求．
1．（3分）下列各点在反比例函数y＝﹣图象上的是（ ）
A．（1，3） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣1，3） D．（3，1）
【分析】根据y＝﹣得k＝xy＝﹣3，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于﹣3，就在函数图象上．
【解答】解：k＝xy＝﹣3，
A．xy＝1×3≠k，不符合题意；
B．xy＝﹣3×（﹣1）＝3≠k，不合题意；
C．xy＝﹣1×3＝﹣3＝k，符合题意；
D．xy＝3×1＝3≠k，不合题意．
故选：C．
2．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
【解答】解：从上面看，是一行两个矩形．
故选：B．
3．（3分）解方程x（x﹣3）＝0所得结果是（ ）
A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝﹣3
【分析】根据已知方程可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可．
【解答】解：∵x（x﹣3）＝0，
∴x＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝0，x2＝3，
故选：C．
4．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，对角线BD＝6，则菱形的边AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．3 D．8
【分析】由四边形ABCD为菱形，得到四条边相等，根据∠BAD＝60°得到三角形ABD为等边三角形，即可确定菱形的边AB的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB＝BD＝6，
故选：B．
5．（3分）关于方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况．
【解答】解：∵方程2x2﹣3x+1＝0中的a＝2，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
6．（3分）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同，其中摸到白色球的概率是，则口袋中白色球可能有（ ）
A．12个 B．24个 C．32个 D．28个
【分析】根据概率的意义，由频数＝数据总数×频率计算即可．
【解答】解：∵摸到白色球的频率是，
∴口袋中白色球可能有40×＝24个．
故选：B．
7．（3分）菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【分析】由菱形的性质和矩形的性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、对边相等，是菱形和矩形都具有的性质，故选项A不符合题意；
B、对角相等，是矩形和菱形都具有的性质，故选项B不符合题意；
C、对角线互相平分，是矩形和菱形都具有的性质，故选项C不符合题意；
D、对角线互相垂直，是菱形具有而矩形不具有的性质，故选项D符合题意；
故选：D．
8．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝3，DF＝2，则BD的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5.5 D．6
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数值即可求出BD．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵AC＝6，CE＝3，DF＝2，
∴，
∴BD＝4．
故选：A．
9．（3分）已知△ABC∽△A1B1C1，且＝．若△ABC的面积为4，则△A1B1C1的面积是（ ）
A． B．6 C．9 D．18
【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论．
【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，，
∴＝（）2＝，
∵△ABC的面积为4，
∴△A1B1C1的面积为9，
故选：C．
10．（3分）函数y＝与y＝kx+1（k≠0）在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据反比例函数及一次函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、由此反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0；而一次函数的图象经过一、三象限k＞0，相矛盾，故本选项错误；
B、由此反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0；而一次函数的图象经过二、四象限，k＜0，相矛盾，故本选项错误；
C、由此反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0；而一次函数的图象经过一、三象限，k＜0，因为1＞0，所以此一次函数的图象应经过一、二、三象限，故本选项错误．
D、由此反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0；而一次函数的图象经过一、三象限，k＜0，两结论一致，故本选项正确；
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．（4分）若＝3，则＝ ．
【分析】根据已知条件求出x＝3y，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵＝3，
∴x＝3y，
∴
＝
＝
＝，
故答案为：．
12．（4分）已知x＝2是关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一个根，则实数k的值为 ﹣1 ．
【分析】将x＝2代入方程得关于k的方程，解之可得．
【解答】解：将x＝2代入方程得：22+2k﹣2＝0，
解得：k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
13．（4分）小明的身高为1.6米，某一时刻在阳光的照射下小明的影长为1米，在同一平面内，同一时刻测得小明身旁一棵树的影长为6米，则这棵树的高为 9.6 米．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【解答】解：设这棵树的高度为xm，
据相同时刻的物高与影长成比例，
则可列比例为，
解得，x＝9.6．
答：这棵树的高为9.6米，
故答案为：9.6．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＞CD，按下列步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧的交点分别为点F，G；②过点F，G作直线FG，交边AD于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为 20 ．
【分析】如图，连接EC．利用线段的垂直平分线的性质求出DA+DC＝10，即可解决问题．
【解答】解：如图，连接EC．
∵FG垂直平分线段AC，
∴EA＝EC，
∵△ECD的周长＝EC+ED+CD＝EA+ED+CD＝AD+CD＝10，
∴平行四边形的周长＝2（AD+CD）＝20，
故答案为：20．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（12分）（1）计算：（）﹣1﹣（﹣1）2022+（1﹣π）0﹣；
（2）解方程：（x+1）2＝3（x+1）．
【分析】（1）先计算负整数指数幂、零指数幂、乘方及算术平方根，再计算加减即可；
（2）先移项，再将左边利用十字相乘法、提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
【解答】解：（1）原式＝3﹣1+1﹣3
＝0；
（2）∵（x+1）2＝3（x+1），
∴（x+1）2﹣3（x+1）＝0，
则（x+1）（x﹣2）＝0，
∴x+1＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝2．
16．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，2），B（1，3），C（2，1）．
（1）请在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2：1；
（2）求出△A1B1C1的面积．
【分析】（1）分别作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积．
【解答】解：（1）如图所示，即为所求．
（2）△A1B1C1的面积为4×4﹣×4×2﹣×2×2﹣×2×4＝6．
17．（8分）如图，一教学楼AB的高为20m，教学楼后面水塔CD的高为30m，已知BC＝30m，小张的目高EF为1.6m．当小张站在教学楼前E处时，刚好看到教学楼顶端A与水塔顶端D在一条直线上，求此时他与教学楼的距离BE．
【分析】如图，过点F作FN⊥CD，交CD于点N，交AB于点M，构造相似三角形：△AMF∽△DNF，由该相似三角形的对应边成比例求得答案．
【解答】解：如图，过点F作FN⊥CD，交CD于点N，交AB于点M，
∵AM∥DN，
∴△AMF∽△DNF．
∴＝．
由题意知，BE＝FM，BC＝MN＝30m，EF＝BM＝CN＝1.6m，FN＝FM+MN＝BE+BC＝（BE+30）m．
∴DN＝CD﹣CN＝30﹣1.6＝28.4（m），AM＝AB﹣BM＝20﹣1.6＝18.4（m）．
∴＝．
解得BE＝55.2m．
故此时他与教学楼的距离BE为55.2m．
18．（8分）小明设计了一个摸球试验：在一个不透明的箱子里放入4个相同的小球，球上分别标有数字0，10，20和30，然后从箱子里先后摸出两个小球（第一次摸出后不放回）．
（1）摸出的两个小球上所标的数字之和至少为 10 ，最多为 50 ；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出摸出的两个小球上所标的数字之和不低于30的概率．
【分析】（1）当摸出的两个小球上所标的数字分别为0和10时，它们的和最小；当摸出的两个小球上所标的数字分别为30和20时，它们的和最大；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出摸出的两个小球上所标的数字之和不低于30的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）摸出的两个小球上所标的数字之和至少为0+10＝10，最多为30+20＝50；
故答案为10，50；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中摸出的两个小球上所标的数字之和不低于30的结果数为8，
所以摸出的两个小球上所标的数字之和不低于30的概率＝＝．
19．（10分）如图，平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b分别与x，y轴相交于点A，B，与双曲线y2＝分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作CE⊥x轴于点E．已知OA＝4，OE＝OB＝2．
（1）求直线AB和反比例函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使S△ABP＝S△CEO？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（0，2），利用待定系数法求得直线AB的解析式，进而求得C的坐标，将点C的坐标代入y2＝，即可求得反比例函数的解析式；
（2）设点P的坐标为（0，t）则S△CEO＝CE•OE＝3，即可得到S△ABP＝BP•OA＝×|2﹣t|×4＝2×|2﹣t|＝3，解得t的值，即可求得P的坐标．
【解答】解：（1）在Rt△AOB中，OA＝4，OE＝OB＝2，
∴点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（0，2），
将点A，B的坐标代入直线的表达式，得，解得，
∴直线AB的表达式为y1＝x+2，
当x＝2时，y1＝+2＝3，
∴点C的坐标为（2，3），
将点C的坐标代入y2＝得：3＝，解得m＝6，
∴反比例函数的表达式y2＝；
（2）存在，
设点P的坐标为（0，t）
则S△CEO＝CE•OE＝＝3，
而S△ABP＝BP•OA＝×|2﹣t|×4＝2×|2﹣t|＝3，
解得t＝或，
∴点P的坐标为（0，）或（0，）．
20．（10分）已知，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P在射线AB上，点Q在射线BC上，且AP＝BQ．连接AC，AQ，CP，直线AQ与直线CP交于点H．
（1）如图1，当P，Q两点分别在线段AB和线段BC上时，求证：AQ＝CP；
（2）如图2，当P，Q两点分别到线段AB和线段BC的延长线上时．
①求∠CHQ的度数；
②连接DH，过点D作DE⊥PH交PH延长线于点E．若AH＝m，DH＝n，求CE的长（用含m，n的代数式表示）．
【分析】（1）根据菱形的性质得到AB＝BC＝AD＝CD，∠ABC＝∠ADC＝60°，根据等边三角形的性质得到∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，由全等三角形的性质得到AQ＝CP；
（2）①根据等边三角形的性质得到∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，根据全等三角形的性质得到∠BAQ＝∠ACP，于是得到∠QHC＝∠ACP+∠APH＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°；
②如图2，延长HE到F，使EF＝HE，连接DF，则DH＝DF，设AH与CD交于M，根据等边三角形的性质得到AD＝CD＝AC，∠DAC＝60°＝∠ACD＝∠ADC，根据相似三角形的性质得到∠ACD＝∠AHD＝60°，求得∠HDE＝∠AHE﹣∠AHD＝60°，推出△DHF是等边三角形，得到HF＝DH＝DF，∠F＝∠DHF＝60°，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，△ACD是等边三角形，
∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，
∵AP＝BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴AQ＝CP；
（2）①∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，
∵AP＝BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QHC＝∠BAQ+∠APH，
∴∠QHC＝∠ACP+∠APH＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°；
②如图2，延长HE到F，使EF＝HE，连接DF，则DH＝DF，
设AH与CD交于M，
∵∠QHC＝120°，
∴∠AHC＝60°，∠AHE＝120°，
∵△ACD是等边三角形，
∴AD＝CD＝AC，∠DAC＝60°＝∠ACD＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠AHC，
∵∠AMD＝∠CMH，
∴△AMD∽△CMH，
∴，∠DAH＝∠DCH，
∵∠AMC＝∠DMH，
∴△AMC∽△DMH，
∴∠ACD＝∠AHD＝60°，
∴∠HDE＝∠AHE﹣∠AHD＝60°，
∴△DHF是等边三角形，
∴HF＝DH＝DF，∠F＝∠DHF＝60°，
∴EF＝HE＝DH，
∵AD＝CD，∠DAH＝∠DCH，∠F＝∠AHD＝60°，
∴△ADH≌△CDF（AAS），
∴CF＝AH，
∴AH﹣CE＝CF﹣CE＝EF＝DH，
∴CE＝AH﹣DH＝m﹣n．
一、填空题（每小题4分，共20分）
21．（4分）若＝，则＝ ．
【分析】根据等式的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．
【解答】解：两边都乘以b，得
a＝b．
＝＝，
故答案为：．
22．（4分）若m，n是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为 2022 ．
【分析】由于m、n是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n＝﹣1，并且m2+m﹣2023＝0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果．
【解答】解：∵m、n是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，m2+m﹣2023＝0，
∴m2+m＝2023，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2023﹣1＝2022．
故答案为：2022．
23．（4分）为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼 20 000 条．
【分析】捕捞200条，其中有标记的鱼有10条，即在样本中有标记的所占比例为，而在整体中有标记的共有1000条，根据所占比例即可解答．
【解答】解：1000＝20 000（条）．
故答案为：20000．
24．（4分）如图，已知AD为等腰△ABC底边上的高，且＝，AC上有一点E，满足＝．过点E作EF⊥AD于点F，则＝ ．
【分析】根据已知设BD＝3a，AD＝4a，然后利用等腰三角形的三线合一性质求出DC，再利用A字模型相似三角形△AFE∽△ADC，求出AF和EF，最后进行计算即可解答．
【解答】解：∵＝，
∴设BD＝3a，AD＝4a，
∵AD为等腰△ABC底边上的高，
∴BD＝DC＝3a，
∵EF⊥AD，BC⊥AD，
∴∠AFE＝∠ADC＝90°，
∵＝，
∴＝，
∵∠DAC＝∠FAE，
∴△AFE∽△ADC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AF＝，EF＝，
∴DF＝AD﹣AF＝4a﹣＝，
∴＝，
故答案为：．
25．（4分）在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0，m是常数）的图象经过点A（1，4），点B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，AC与BD相交于点M，连结AD，DC，CB，AB．若AD＝BC，则b的值为 2或1 ．
【分析】先用待定系数法求出双曲线解析式，再用点B在双曲线上得出ab＝4，再证明ACDE是平行四边形，得出AB∥CD，结合AD＝BC，即可得出四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，分两种情况计算即可．
【解答】解：（1）将A（1，4）代入函数y＝中，
得m＝4，
∴y＝；
∵B（a，b）在函数y＝的图象上，
∴ab＝4，
设直线AB的函数解析式为y＝kx+b′，
∵直线AB过点A（1，4），B（a，b），
∴直线AB解析式为y＝﹣bx+b+4，
∴E（0，b+4），
∵BD⊥y轴，AC⊥x轴，
∴D（0，b），
∴DE＝b+4﹣b＝4，
∵A（1，4），
∴AC＝4，
∴DE＝AC，
∵DE∥AC，
∴四边形ACDE为平行四边形；
∴CD∥AB，AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形或等腰梯形．
①四边形ABCD为平行四边形，
则DM＝MB，
∴a﹣1＝1，a＝2，
∴B（2，2），
此时b＝2，
②四边形ABCD为等腰梯形，则AC＝BD，
∴a＝4，
∴B（4，1），
此时b＝1，
故答案为：2或1．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
26．（8分）某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件，设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若超市某月销售该商品共获得利润4000元，求这个月该商品每件的销售价为多少元？
【分析】（1）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数表达式即可；
（2）根据（1）中列出一元二次方程求解即可．
【解答】解：（1）根据题意，y＝300﹣10（x﹣60）
∴y与x的函数表达式为：y＝﹣10x+900；
（2）设每个月的销售利润为w元，
由（1）知：w＝（x﹣50）（﹣10x+900）
＝﹣10x2+1400x﹣45000，
由题意得：﹣10x2+1400x﹣45000＝4000，
解得：x＝70，
∴这个月该商品每件的销售价为70元．
27．（10分）如图，等边△ABC的边长为12，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝4，点F为BA延长线上一点，过点F作直线l∥BC，G为射线BC上动点，连接GD并延长交直线l于点H，连接FE并延长交BC于点M，连接HE并延长交射线BC于点N．
（1）若AF＝4，当BG＝4时，求线段HF和EH的长；
（2）若AF＝a（a＞0），点G在运动过程中，请判断△HGN的面积是否改变．若不变，求出其值（用含a的代数式表示）；若改变，请说明理由．
【分析】（1）证明△HFD≌△GBD，从而可得FH的值，证明四边形DEFH是平行四边形，鸡儿求得HE的值；
（2）连接DE，作FK⊥BC于K，求得高FK的值，证明△HDE∽△HGN，△HFD∽△GBD，可得，，从而，从而求得GN，进一步求得结果．
【解答】解：（1）如图1，
由题意可得：BD＝DF＝8，
∵HF∥BC，
∴∠HFD＝∠B，
在△HFD和△GBD中，
，
∴△HFD≌△GBD（ASA），
∴HF＝BG＝4，
连接DE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝60°，
∵AD＝AE＝4，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD＝4，∠ADE＝60°，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴DE∥FH，
∵FH＝DE＝4，
∴四边形DEFH是平行四边形，
∴HE和DF互相平分，
∵DA＝AF，
∴HE经过点A，
∴HE＝2AE＝8；
（2）如图2，
面积不变，理由如下：
连接DE，作FK⊥BC于K，
在Rt△BFK中，∠B＝60°，BF＝12+a，
∴FK＝BF•sin60°＝，
由（1）得，DE∥FH＝BC，
∴△HDE∽△HGN，△HFD∽△GBD，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴GN＝，
∴S△HGN＝＝＝，
28．（12分）如图，过A（2，0），B（0，2）的直线y＝﹣x+2与双曲线y＝（x＞0）交于P（，），Q（，）两点，连接OQ．点C是线段OA上一点（不与O，A重合），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．设CA＝a．
（1）求AQ的长；
（2）当a为何值时，CE＝AC？
（3）设OQ，EC相交于点F，是否存在这样的点C，使得△OEF为等腰三角形？若存在，求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图1中，过点Q作QN⊥OA于点N．证明△ANQ是等腰直角三角形，可得结论；
（2）如图1中，过点D作DG⊥OA于点G．用a表示出CE，OC，OE，利用勾股定理，构建方程求解即可；
（3）存在．分三种情形：①如图2中，当EF＝OF时，②如图3中，当OE＝OF时，③当OE＝EF时，分别利用等腰三角形的性质，构建方程求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，过点Q作QN⊥OA于点N．
∵Q（，），
∴QN＝，
∵∠BOA＝90°，OA＝OB＝2，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∴AQ＝QN＝；
（2）如图1中，过点D作DG⊥OA于点G．
∵∠OAB＝45°，CD⊥AB，
∴△CDA是等腰直角三角形，
∴DG＝CA＝a，
∵DE⊥OB，
∴四边形OEDG是矩形，
∴OE＝DG＝a，
∵CE＝AC，
∴（2﹣a）2+（a）2＝a2，
解得，a＝8+4（舍去），或a＝8﹣4，
∴当a＝8﹣4时，CE＝AC；
（3）存在．由（2）可知，C（2﹣a，0），E（0，），
∴直线CE的解析式为y＝x+，
∵Q（，），
∴直线OQ的解析式为y＝x，
由，解得，，
∴F（，），
①如图2中，当EF＝OF时，过点F作FH⊥OE于点H，则OH＝OE，
∴＝a，
解得，a＝0（舍去）或a＝，
经检验，a＝是分式方程的解，
∴C（，0）．
②如图3中，当OE＝OF时，则OF＝a，
过点F作FH⊥OC于点H．
∵F（，），
∴FH＝OH，
∴FH＝OF＝a，
∴＝a，
解得，a＝0（舍去）或a＝，
经检验，a＝是分式方程的解，
∴C（，0）．
③当OE＝EF时，过点E作EK⊥OF于点K，则OK＝OF＝FH，
由△EOK∽△OFH，可得OE＝OK＝5FH，即FH＝OE，
∴＝a，
解得，a＝0（舍去）或a＝，
经检验，a＝是分式方程的解，
∴C（，0），
综上所述，满足条件的点C的坐标为（，0）或（，0）或（，0）．
2021-2022学年四川省成都市双流区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求．
1．（3分）下列各点在反比例函数y＝﹣图象上的是（ ）
A．（1，3） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣1，3） D．（3，1）
2．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）解方程x（x﹣3）＝0所得结果是（ ）
A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝﹣3
4．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，对角线BD＝6，则菱形的边AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．3 D．8
5．（3分）关于方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
6．（3分）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同，其中摸到白色球的概率是，则口袋中白色球可能有（ ）
A．12个 B．24个 C．32个 D．28个
7．（3分）菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
8．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝3，DF＝2，则BD的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5.5 D．6
9．（3分）已知△ABC∽△A1B1C1，且＝．若△ABC的面积为4，则△A1B1C1的面积是（ ）
A． B．6 C．9 D．18
10．（3分）函数y＝与y＝kx+1（k≠0）在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．（4分）若＝3，则＝ ．
12．（4分）已知x＝2是关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一个根，则实数k的值为 ．
13．（4分）小明的身高为1.6米，某一时刻在阳光的照射下小明的影长为1米，在同一平面内，同一时刻测得小明身旁一棵树的影长为6米，则这棵树的高为 米．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＞CD，按下列步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧的交点分别为点F，G；②过点F，G作直线FG，交边AD于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（12分）（1）计算：（）﹣1﹣（﹣1）2022+（1﹣π）0﹣；
（2）解方程：（x+1）2＝3（x+1）．
16．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，2），B（1，3），C（2，1）．
（1）请在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2：1；
（2）求出△A1B1C1的面积．
17．（8分）如图，一教学楼AB的高为20m，教学楼后面水塔CD的高为30m，已知BC＝30m，小张的目高EF为1.6m．当小张站在教学楼前E处时，刚好看到教学楼顶端A与水塔顶端D在一条直线上，求此时他与教学楼的距离BE．
18．（8分）小明设计了一个摸球试验：在一个不透明的箱子里放入4个相同的小球，球上分别标有数字0，10，20和30，然后从箱子里先后摸出两个小球（第一次摸出后不放回）．
（1）摸出的两个小球上所标的数字之和至少为 ，最多为 ；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出摸出的两个小球上所标的数字之和不低于30的概率．
19．（10分）如图，平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b分别与x，y轴相交于点A，B，与双曲线y2＝分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作CE⊥x轴于点E．已知OA＝4，OE＝OB＝2．
（1）求直线AB和反比例函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使S△ABP＝S△CEO？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（10分）已知，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P在射线AB上，点Q在射线BC上，且AP＝BQ．连接AC，AQ，CP，直线AQ与直线CP交于点H．
（1）如图1，当P，Q两点分别在线段AB和线段BC上时，求证：AQ＝CP；
（2）如图2，当P，Q两点分别到线段AB和线段BC的延长线上时．
①求∠CHQ的度数；
②连接DH，过点D作DE⊥PH交PH延长线于点E．若AH＝m，DH＝n，求CE的长（用含m，n的代数式表示）．
一、填空题（每小题4分，共20分）
21．（4分）若＝，则＝ ．
22．（4分）若m，n是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为 ．
23．（4分）为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼 条．
24．（4分）如图，已知AD为等腰△ABC底边上的高，且＝，AC上有一点E，满足＝．过点E作EF⊥AD于点F，则＝ ．
25．（4分）在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0，m是常数）的图象经过点A（1，4），点B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，AC与BD相交于点M，连结AD，DC，CB，AB．若AD＝BC，则b的值为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
26．（8分）某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件，设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若超市某月销售该商品共获得利润4000元，求这个月该商品每件的销售价为多少元？
27．（10分）如图，等边△ABC的边长为12，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝4，点F为BA延长线上一点，过点F作直线l∥BC，G为射线BC上动点，连接GD并延长交直线l于点H，连接FE并延长交BC于点M，连接HE并延长交射线BC于点N．
（1）若AF＝4，当BG＝4时，求线段HF和EH的长；
（2）若AF＝a（a＞0），点G在运动过程中，请判断△HGN的面积是否改变．若不变，求出其值（用含a的代数式表示）；若改变，请说明理由．
28．（12分）如图，过A（2，0），B（0，2）的直线y＝﹣x+2与双曲线y＝（x＞0）交于P（，），Q（，）两点，连接OQ．点C是线段OA上一点（不与O，A重合），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．设CA＝a．
（1）求AQ的长；
（2）当a为何值时，CE＝AC？
（3）设OQ，EC相交于点F，是否存在这样的点C，使得△OEF为等腰三角形？若存在，求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年四川省成都市双流区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求．
1．（3分）下列各点在反比例函数y＝﹣图象上的是（ ）
A．（1，3） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣1，3） D．（3，1）
【分析】根据y＝﹣得k＝xy＝﹣3，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于﹣3，就在函数图象上．
【解答】解：k＝xy＝﹣3，
A．xy＝1×3≠k，不符合题意；
B．xy＝﹣3×（﹣1）＝3≠k，不合题意；
C．xy＝﹣1×3＝﹣3＝k，符合题意；
D．xy＝3×1＝3≠k，不合题意．
故选：C．
2．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
【解答】解：从上面看，是一行两个矩形．
故选：B．
3．（3分）解方程x（x﹣3）＝0所得结果是（ ）
A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝﹣3
【分析】根据已知方程可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可．
【解答】解：∵x（x﹣3）＝0，
∴x＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝0，x2＝3，
故选：C．
4．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，对角线BD＝6，则菱形的边AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．3 D．8
【分析】由四边形ABCD为菱形，得到四条边相等，根据∠BAD＝60°得到三角形ABD为等边三角形，即可确定菱形的边AB的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB＝BD＝6，
故选：B．
5．（3分）关于方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况．
【解答】解：∵方程2x2﹣3x+1＝0中的a＝2，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
6．（3分）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同，其中摸到白色球的概率是，则口袋中白色球可能有（ ）
A．12个 B．24个 C．32个 D．28个
【分析】根据概率的意义，由频数＝数据总数×频率计算即可．
【解答】解：∵摸到白色球的频率是，
∴口袋中白色球可能有40×＝24个．
故选：B．
7．（3分）菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【分析】由菱形的性质和矩形的性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、对边相等，是菱形和矩形都具有的性质，故选项A不符合题意；
B、对角相等，是矩形和菱形都具有的性质，故选项B不符合题意；
C、对角线互相平分，是矩形和菱形都具有的性质，故选项C不符合题意；
D、对角线互相垂直，是菱形具有而矩形不具有的性质，故选项D符合题意；
故选：D．
8．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝3，DF＝2，则BD的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5.5 D．6
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数值即可求出BD．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵AC＝6，CE＝3，DF＝2，
∴，
∴BD＝4．
故选：A．
9．（3分）已知△ABC∽△A1B1C1，且＝．若△ABC的面积为4，则△A1B1C1的面积是（ ）
A． B．6 C．9 D．18
【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论．
【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，，
∴＝（）2＝，
∵△ABC的面积为4，
∴△A1B1C1的面积为9，
故选：C．
10．（3分）函数y＝与y＝kx+1（k≠0）在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据反比例函数及一次函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、由此反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0；而一次函数的图象经过一、三象限k＞0，相矛盾，故本选项错误；
B、由此反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0；而一次函数的图象经过二、四象限，k＜0，相矛盾，故本选项错误；
C、由此反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0；而一次函数的图象经过一、三象限，k＜0，因为1＞0，所以此一次函数的图象应经过一、二、三象限，故本选项错误．
D、由此反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0；而一次函数的图象经过一、三象限，k＜0，两结论一致，故本选项正确；
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．（4分）若＝3，则＝ ．
【分析】根据已知条件求出x＝3y，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵＝3，
∴x＝3y，
∴
＝
＝
＝，
故答案为：．
12．（4分）已知x＝2是关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一个根，则实数k的值为 ﹣1 ．
【分析】将x＝2代入方程得关于k的方程，解之可得．
【解答】解：将x＝2代入方程得：22+2k﹣2＝0，
解得：k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
13．（4分）小明的身高为1.6米，某一时刻在阳光的照射下小明的影长为1米，在同一平面内，同一时刻测得小明身旁一棵树的影长为6米，则这棵树的高为 9.6 米．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【解答】解：设这棵树的高度为xm，
据相同时刻的物高与影长成比例，
则可列比例为，
解得，x＝9.6．
答：这棵树的高为9.6米，
故答案为：9.6．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＞CD，按下列步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧的交点分别为点F，G；②过点F，G作直线FG，交边AD于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为 20 ．
【分析】如图，连接EC．利用线段的垂直平分线的性质求出DA+DC＝10，即可解决问题．
【解答】解：如图，连接EC．
∵FG垂直平分线段AC，
∴EA＝EC，
∵△ECD的周长＝EC+ED+CD＝EA+ED+CD＝AD+CD＝10，
∴平行四边形的周长＝2（AD+CD）＝20，
故答案为：20．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（12分）（1）计算：（）﹣1﹣（﹣1）2022+（1﹣π）0﹣；
（2）解方程：（x+1）2＝3（x+1）．
【分析】（1）先计算负整数指数幂、零指数幂、乘方及算术平方根，再计算加减即可；
（2）先移项，再将左边利用十字相乘法、提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
【解答】解：（1）原式＝3﹣1+1﹣3
＝0；
（2）∵（x+1）2＝3（x+1），
∴（x+1）2﹣3（x+1）＝0，
则（x+1）（x﹣2）＝0，
∴x+1＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝2．
16．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，2），B（1，3），C（2，1）．
（1）请在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2：1；
（2）求出△A1B1C1的面积．
【分析】（1）分别作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积．
【解答】解：（1）如图所示，即为所求．
（2）△A1B1C1的面积为4×4﹣×4×2﹣×2×2﹣×2×4＝6．
17．（8分）如图，一教学楼AB的高为20m，教学楼后面水塔CD的高为30m，已知BC＝30m，小张的目高EF为1.6m．当小张站在教学楼前E处时，刚好看到教学楼顶端A与水塔顶端D在一条直线上，求此时他与教学楼的距离BE．
【分析】如图，过点F作FN⊥CD，交CD于点N，交AB于点M，构造相似三角形：△AMF∽△DNF，由该相似三角形的对应边成比例求得答案．
【解答】解：如图，过点F作FN⊥CD，交CD于点N，交AB于点M，
∵AM∥DN，
∴△AMF∽△DNF．
∴＝．
由题意知，BE＝FM，BC＝MN＝30m，EF＝BM＝CN＝1.6m，FN＝FM+MN＝BE+BC＝（BE+30）m．
∴DN＝CD﹣CN＝30﹣1.6＝28.4（m），AM＝AB﹣BM＝20﹣1.6＝18.4（m）．
∴＝．
解得BE＝55.2m．
故此时他与教学楼的距离BE为55.2m．
18．（8分）小明设计了一个摸球试验：在一个不透明的箱子里放入4个相同的小球，球上分别标有数字0，10，20和30，然后从箱子里先后摸出两个小球（第一次摸出后不放回）．
（1）摸出的两个小球上所标的数字之和至少为 10 ，最多为 50 ；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出摸出的两个小球上所标的数字之和不低于30的概率．
【分析】（1）当摸出的两个小球上所标的数字分别为0和10时，它们的和最小；当摸出的两个小球上所标的数字分别为30和20时，它们的和最大；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出摸出的两个小球上所标的数字之和不低于30的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）摸出的两个小球上所标的数字之和至少为0+10＝10，最多为30+20＝50；
故答案为10，50；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中摸出的两个小球上所标的数字之和不低于30的结果数为8，
所以摸出的两个小球上所标的数字之和不低于30的概率＝＝．
19．（10分）如图，平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b分别与x，y轴相交于点A，B，与双曲线y2＝分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作CE⊥x轴于点E．已知OA＝4，OE＝OB＝2．
（1）求直线AB和反比例函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使S△ABP＝S△CEO？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（0，2），利用待定系数法求得直线AB的解析式，进而求得C的坐标，将点C的坐标代入y2＝，即可求得反比例函数的解析式；
（2）设点P的坐标为（0，t）则S△CEO＝CE•OE＝3，即可得到S△ABP＝BP•OA＝×|2﹣t|×4＝2×|2﹣t|＝3，解得t的值，即可求得P的坐标．
【解答】解：（1）在Rt△AOB中，OA＝4，OE＝OB＝2，
∴点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（0，2），
将点A，B的坐标代入直线的表达式，得，解得，
∴直线AB的表达式为y1＝x+2，
当x＝2时，y1＝+2＝3，
∴点C的坐标为（2，3），
将点C的坐标代入y2＝得：3＝，解得m＝6，
∴反比例函数的表达式y2＝；
（2）存在，
设点P的坐标为（0，t）
则S△CEO＝CE•OE＝＝3，
而S△ABP＝BP•OA＝×|2﹣t|×4＝2×|2﹣t|＝3，
解得t＝或，
∴点P的坐标为（0，）或（0，）．
20．（10分）已知，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P在射线AB上，点Q在射线BC上，且AP＝BQ．连接AC，AQ，CP，直线AQ与直线CP交于点H．
（1）如图1，当P，Q两点分别在线段AB和线段BC上时，求证：AQ＝CP；
（2）如图2，当P，Q两点分别到线段AB和线段BC的延长线上时．
①求∠CHQ的度数；
②连接DH，过点D作DE⊥PH交PH延长线于点E．若AH＝m，DH＝n，求CE的长（用含m，n的代数式表示）．
【分析】（1）根据菱形的性质得到AB＝BC＝AD＝CD，∠ABC＝∠ADC＝60°，根据等边三角形的性质得到∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，由全等三角形的性质得到AQ＝CP；
（2）①根据等边三角形的性质得到∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，根据全等三角形的性质得到∠BAQ＝∠ACP，于是得到∠QHC＝∠ACP+∠APH＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°；
②如图2，延长HE到F，使EF＝HE，连接DF，则DH＝DF，设AH与CD交于M，根据等边三角形的性质得到AD＝CD＝AC，∠DAC＝60°＝∠ACD＝∠ADC，根据相似三角形的性质得到∠ACD＝∠AHD＝60°，求得∠HDE＝∠AHE﹣∠AHD＝60°，推出△DHF是等边三角形，得到HF＝DH＝DF，∠F＝∠DHF＝60°，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，△ACD是等边三角形，
∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，
∵AP＝BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴AQ＝CP；
（2）①∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，
∵AP＝BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QHC＝∠BAQ+∠APH，
∴∠QHC＝∠ACP+∠APH＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°；
②如图2，延长HE到F，使EF＝HE，连接DF，则DH＝DF，
设AH与CD交于M，
∵∠QHC＝120°，
∴∠AHC＝60°，∠AHE＝120°，
∵△ACD是等边三角形，
∴AD＝CD＝AC，∠DAC＝60°＝∠ACD＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠AHC，
∵∠AMD＝∠CMH，
∴△AMD∽△CMH，
∴，∠DAH＝∠DCH，
∵∠AMC＝∠DMH，
∴△AMC∽△DMH，
∴∠ACD＝∠AHD＝60°，
∴∠HDE＝∠AHE﹣∠AHD＝60°，
∴△DHF是等边三角形，
∴HF＝DH＝DF，∠F＝∠DHF＝60°，
∴EF＝HE＝DH，
∵AD＝CD，∠DAH＝∠DCH，∠F＝∠AHD＝60°，
∴△ADH≌△CDF（AAS），
∴CF＝AH，
∴AH﹣CE＝CF﹣CE＝EF＝DH，
∴CE＝AH﹣DH＝m﹣n．
一、填空题（每小题4分，共20分）
21．（4分）若＝，则＝ ．
【分析】根据等式的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．
【解答】解：两边都乘以b，得
a＝b．
＝＝，
故答案为：．
22．（4分）若m，n是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为 2022 ．
【分析】由于m、n是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n＝﹣1，并且m2+m﹣2023＝0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果．
【解答】解：∵m、n是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，m2+m﹣2023＝0，
∴m2+m＝2023，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2023﹣1＝2022．
故答案为：2022．
23．（4分）为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼 20 000 条．
【分析】捕捞200条，其中有标记的鱼有10条，即在样本中有标记的所占比例为，而在整体中有标记的共有1000条，根据所占比例即可解答．
【解答】解：1000＝20 000（条）．
故答案为：20000．
24．（4分）如图，已知AD为等腰△ABC底边上的高，且＝，AC上有一点E，满足＝．过点E作EF⊥AD于点F，则＝ ．
【分析】根据已知设BD＝3a，AD＝4a，然后利用等腰三角形的三线合一性质求出DC，再利用A字模型相似三角形△AFE∽△ADC，求出AF和EF，最后进行计算即可解答．
【解答】解：∵＝，
∴设BD＝3a，AD＝4a，
∵AD为等腰△ABC底边上的高，
∴BD＝DC＝3a，
∵EF⊥AD，BC⊥AD，
∴∠AFE＝∠ADC＝90°，
∵＝，
∴＝，
∵∠DAC＝∠FAE，
∴△AFE∽△ADC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AF＝，EF＝，
∴DF＝AD﹣AF＝4a﹣＝，
∴＝，
故答案为：．
25．（4分）在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0，m是常数）的图象经过点A（1，4），点B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，AC与BD相交于点M，连结AD，DC，CB，AB．若AD＝BC，则b的值为 2或1 ．
【分析】先用待定系数法求出双曲线解析式，再用点B在双曲线上得出ab＝4，再证明ACDE是平行四边形，得出AB∥CD，结合AD＝BC，即可得出四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，分两种情况计算即可．
【解答】解：（1）将A（1，4）代入函数y＝中，
得m＝4，
∴y＝；
∵B（a，b）在函数y＝的图象上，
∴ab＝4，
设直线AB的函数解析式为y＝kx+b′，
∵直线AB过点A（1，4），B（a，b），
∴直线AB解析式为y＝﹣bx+b+4，
∴E（0，b+4），
∵BD⊥y轴，AC⊥x轴，
∴D（0，b），
∴DE＝b+4﹣b＝4，
∵A（1，4），
∴AC＝4，
∴DE＝AC，
∵DE∥AC，
∴四边形ACDE为平行四边形；
∴CD∥AB，AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形或等腰梯形．
①四边形ABCD为平行四边形，
则DM＝MB，
∴a﹣1＝1，a＝2，
∴B（2，2），
此时b＝2，
②四边形ABCD为等腰梯形，则AC＝BD，
∴a＝4，
∴B（4，1），
此时b＝1，
故答案为：2或1．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
26．（8分）某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件，设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若超市某月销售该商品共获得利润4000元，求这个月该商品每件的销售价为多少元？
【分析】（1）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数表达式即可；
（2）根据（1）中列出一元二次方程求解即可．
【解答】解：（1）根据题意，y＝300﹣10（x﹣60）
∴y与x的函数表达式为：y＝﹣10x+900；
（2）设每个月的销售利润为w元，
由（1）知：w＝（x﹣50）（﹣10x+900）
＝﹣10x2+1400x﹣45000，
由题意得：﹣10x2+1400x﹣45000＝4000，
解得：x＝70，
∴这个月该商品每件的销售价为70元．
27．（10分）如图，等边△ABC的边长为12，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝4，点F为BA延长线上一点，过点F作直线l∥BC，G为射线BC上动点，连接GD并延长交直线l于点H，连接FE并延长交BC于点M，连接HE并延长交射线BC于点N．
（1）若AF＝4，当BG＝4时，求线段HF和EH的长；
（2）若AF＝a（a＞0），点G在运动过程中，请判断△HGN的面积是否改变．若不变，求出其值（用含a的代数式表示）；若改变，请说明理由．
【分析】（1）证明△HFD≌△GBD，从而可得FH的值，证明四边形DEFH是平行四边形，鸡儿求得HE的值；
（2）连接DE，作FK⊥BC于K，求得高FK的值，证明△HDE∽△HGN，△HFD∽△GBD，可得，，从而，从而求得GN，进一步求得结果．
【解答】解：（1）如图1，
由题意可得：BD＝DF＝8，
∵HF∥BC，
∴∠HFD＝∠B，
在△HFD和△GBD中，
，
∴△HFD≌△GBD（ASA），
∴HF＝BG＝4，
连接DE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝60°，
∵AD＝AE＝4，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD＝4，∠ADE＝60°，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴DE∥FH，
∵FH＝DE＝4，
∴四边形DEFH是平行四边形，
∴HE和DF互相平分，
∵DA＝AF，
∴HE经过点A，
∴HE＝2AE＝8；
（2）如图2，
面积不变，理由如下：
连接DE，作FK⊥BC于K，
在Rt△BFK中，∠B＝60°，BF＝12+a，
∴FK＝BF•sin60°＝，
由（1）得，DE∥FH＝BC，
∴△HDE∽△HGN，△HFD∽△GBD，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴GN＝，
∴S△HGN＝＝＝，
28．（12分）如图，过A（2，0），B（0，2）的直线y＝﹣x+2与双曲线y＝（x＞0）交于P（，），Q（，）两点，连接OQ．点C是线段OA上一点（不与O，A重合），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．设CA＝a．
（1）求AQ的长；
（2）当a为何值时，CE＝AC？
（3）设OQ，EC相交于点F，是否存在这样的点C，使得△OEF为等腰三角形？若存在，求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图1中，过点Q作QN⊥OA于点N．证明△ANQ是等腰直角三角形，可得结论；
（2）如图1中，过点D作DG⊥OA于点G．用a表示出CE，OC，OE，利用勾股定理，构建方程求解即可；
（3）存在．分三种情形：①如图2中，当EF＝OF时，②如图3中，当OE＝OF时，③当OE＝EF时，分别利用等腰三角形的性质，构建方程求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，过点Q作QN⊥OA于点N．
∵Q（，），
∴QN＝，
∵∠BOA＝90°，OA＝OB＝2，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∴AQ＝QN＝；
（2）如图1中，过点D作DG⊥OA于点G．
∵∠OAB＝45°，CD⊥AB，
∴△CDA是等腰直角三角形，
∴DG＝CA＝a，
∵DE⊥OB，
∴四边形OEDG是矩形，
∴OE＝DG＝a，
∵CE＝AC，
∴（2﹣a）2+（a）2＝a2，
解得，a＝8+4（舍去），或a＝8﹣4，
∴当a＝8﹣4时，CE＝AC；
（3）存在．由（2）可知，C（2﹣a，0），E（0，），
∴直线CE的解析式为y＝x+，
∵Q（，），
∴直线OQ的解析式为y＝x，
由，解得，，
∴F（，），
①如图2中，当EF＝OF时，过点F作FH⊥OE于点H，则OH＝OE，
∴＝a，
解得，a＝0（舍去）或a＝，
经检验，a＝是分式方程的解，
∴C（，0）．
②如图3中，当OE＝OF时，则OF＝a，
过点F作FH⊥OC于点H．
∵F（，），
∴FH＝OH，
∴FH＝OF＝a，
∴＝a，
解得，a＝0（舍去）或a＝，
经检验，a＝是分式方程的解，
∴C（，0）．
③当OE＝EF时，过点E作EK⊥OF于点K，则OK＝OF＝FH，
由△EOK∽△OFH，可得OE＝OK＝5FH，即FH＝OE，
∴＝a，
解得，a＝0（舍去）或a＝，
经检验，a＝是分式方程的解，
∴C（，0），
综上所述，满足条件的点C的坐标为（，0）或（，0）或（，0）．
相关试卷
四川省成都市双流区3年（2019-2021）九年级（上）期末数学试卷汇编-01选择题： 这是一份四川省成都市双流区3年（2019-2021）九年级（上）期末数学试卷汇编-01选择题，共18页。
四川省成都市双流区3年（2019-2021）九年级（上）期末数学试卷汇编-02填空题： 这是一份四川省成都市双流区3年（2019-2021）九年级（上）期末数学试卷汇编-02填空题，共17页。试卷主要包含了，其中a＞1等内容，欢迎下载使用。
四川省成都市双流区3年（2019-2021）九年级（上）期末数学试卷汇编-03解答题： 这是一份四川省成都市双流区3年（2019-2021）九年级（上）期末数学试卷汇编-03解答题，共48页。试卷主要包含了0﹣；，0；，，作CE⊥x轴于点E，的一个交点为C，且BC＝AC，的二组对应值如下表等内容，欢迎下载使用。
