无锡市经开区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

无锡市经开区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）

1. 下列图形是轴对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 下列实数中，无理数是（    ）

A. 0 B.  C.  D. 3.1415926

3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）

A. 1，2，3 B. 1，， C. ，， D. 5，6，7

4. 在平面直角坐标系中，所在的象限是（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5. 下列各式中，正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 关于函数的图像，下列结论正确的是（    ）

A. 必经过点(1，2) B. 与x轴交点的坐标为(0，-4)

C. 过第一、三、四象限 D. 可由函数的图像平移得到

7. 如图，在中，∠ACB=90°，为的中点，点在上，且CE=AC，∠BAE=15°，则∠CDE的大小为（    ）

A. 70° B. 75° C. 80° D. 85°

8. 如图，在△ABC中，∠BAC=80°，D，E为BC上的两个点，且AB=BE，AC=CD，则∠DAE的度数为（    ）

A. 40° B. 45° C. 50° D. 60°

9. 若一次函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 平面直角坐标系中，点的坐标为，一次函数的图像与轴、轴分别相交于点、，若点在的内部，则的取值范围为（    ）

A. 或 B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共27分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）

11. 9的算术平方根是     ．

12. 若代数式有意义，则的取值范围为______．

13. 已知，为两个连续整数，且，则______．

14. 点关于x轴对称点的坐标是 ___．

15. 若点若在直线上，则代数式的值是_________.

16. 如图，平分，、、分别是、、上的点，要使，可以添加的条件是______．（只要写出一个符合要求的条件）

17. 如图，在长方形中，，，、分别在边、上，且．现将四边形沿折叠，点，的对应点分别为点，，当点恰好落在边上时，则的长为______．

18. 如图，在中，，平分，过作交于．若，，则______， ______．

三、解答题（本大题共9小题，共73分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19. 计算：

（1）；

（2）．

20. 解方程：

（1）；

（2）．

21. 已知与互为相反数，求的平方根．

22. 如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB=CD，连接AC，求证：AD∥BC．

23. 如图，在中，，．

（1）请用无刻度直尺和圆规，在边上求作一点，使得点到、的距离相等；（不要求写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若，求的长．

24. 如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺，经过的格点请描深一点．）

（1）边的长度为______；

（2）作△ABC的角平分线；

（3）已知点在线段上，点在（2）中作出的线段上，当PQ+BQ的长度最小时，在网格图中作出△PBQ．

25. 经开区某中学计划举行一次知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．

（1）求甲、乙两种奖品的单价；

（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品不少于乙种奖品的一半，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．

26. 一列快车和一列慢车同时从甲地出发，分别以速度、（单位：，且）匀速驶向乙地．快车到达乙地后停留了，沿原路仍以速度匀速返回甲地，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示从慢车出发至慢车到达乙地的过程中，与之间的函数关系．

（1）甲乙两地相距______；点实际意义：______；

（2）求，的值；

（3）慢车出发多长时间后，两车相距？

27. 如图1，点的坐标为，点为轴正半轴上一个动点，将点绕着点顺时针旋转90°到的位置．

（1）若点的横坐标为：-2，求直线的函数表达式；

（2）如图2，若轴恰好平分，与轴相交于点，过点作于点，试探究与的数量关系；

（3）如图3，将点绕着点逆时针旋转90°到点，连接，在点的运动过程中，与轴相交于点，则线段的长度是否改变？若不变，求出的长度，若改变，请说明理由．

答案与解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）

1. 下列图形是轴对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

【详解】解：A、B、C不符合轴对称图形的定义，D符合轴对称图形的定义，

故选D．

【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．

2. 下列实数中，无理数是（    ）

A. 0 B.  C.  D. 3.1415926

【答案】B

【解析】

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．

【详解】解：A.0是有理数中的整数，故不符合题意；

B.是无理数，符合题意；

C.是有理数中的分数，故不符合题意；

D.3.1415926是有理数中的小数，故不符合题意；

故选B．

【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）．

3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）

A. 1，2，3 B. 1，， C. ，， D. 5，6，7

【答案】C

【解析】

【分析】根据勾股定理的逆定理，判断较小两边的平方和是否等于第三边的平方，则可以判断各个选项的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决．

【详解】解：A、1+2=3，不能组成三角形，故该选项不符合题意；

B、12+()2≠()2，不能组成直角三角形，故该选项不符合题意；

C、()2+()2=()2，能组成直角三角形，故该选项符合题意；

D、52+62≠72，不能组成直角三角形，故该选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．

4. 在平面直角坐标系中，所在的象限是（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．

【详解】解：∵点的横坐标3＞0，纵坐标-4＜0，
∴点P（3，-4）在第四象限．
故选：D．

【点睛】本题考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．

5. 下列各式中，正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项分析即可．

【详解】解：A.，正确；

B.，故不正确；   

C.，故不正确；   

D.，故不正确；

故选A．

【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．

6. 关于函数的图像，下列结论正确的是（    ）

A. 必经过点(1，2) B. 与x轴交点的坐标为(0，-4)

C. 过第一、三、四象限 D. 可由函数的图像平移得到

【答案】C

【解析】

【分析】根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．

【详解】解：A、∵当x=1时，y=2-4=-2≠2，∴图象不经过点（1，2），故本选项错误；
B、点（0，-4）是y轴上的点，故本选项错误；
C、∵k=2＞0，b=-4＜0，

∴图象经过第一、三、四象限，故本选项正确；
D、函数y=-2x的图象平移得到的函数系数不变，故本选项错误．
故选：C．

【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b（k≠0），当k＞0，b＜0时函数图象经过一、三、四象限是解答此题的关键．

7. 如图，在中，∠ACB=90°，为的中点，点在上，且CE=AC，∠BAE=15°，则∠CDE的大小为（    ）

A. 70° B. 75° C. 80° D. 85°

【答案】B

【解析】

【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠CAE=∠AEC=45°，求得∠CAB=60°，得到∠B=30°，根据直角三角形的性质得到CD=BD=AD=AB，得到△ADC是等边三角形，∠DCB=∠B=30°，于是得到结论．

【详解】解：∵∠ACB=90°，CE=AC，

∴∠CAE=∠AEC=45°，

∵∠BAE=15°，

∴∠CAB=60°，

∴∠B=30°，

∵∠ACB=90°，D为AB的中点，

∴CD=BD=AD=AB，

∴△ADC是等边三角形，∠DCB=∠B=30°，

∴AC=DC=CE，

∴∠CDE=∠CED=×（180°-30°）=75°，

故选：B．

【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．

8. 如图，在△ABC中，∠BAC=80°，D，E为BC上的两个点，且AB=BE，AC=CD，则∠DAE的度数为（    ）

A. 40° B. 45° C. 50° D. 60°

【答案】C

【解析】

【分析】根据等腰三角形性质得出∠BAE=∠BEA，∠CAD=∠CDA，根据三角形内角和定理即可得到结论．

【详解】解：∵BE=BA，

∴∠BAE=∠BEA，

∴∠B=180°-2∠BAE，①

∵CD=CA，

∴∠CAD=∠CDA，

∴∠C=180°-2∠CAD，②

①+②得：∠B+∠C=360°-2（∠BAE+∠CAD），

∴180°-∠BAC=360°-2[（∠BAD+∠DAE）+（∠DAE+∠CAE）]，

∴-∠BAC=180°-2[（∠BAD+∠DAE+∠CAE）+∠DAE]，

∴-∠BAC=180°-2（∠BAC+∠DAE），

∴2∠DAE=180°-∠BAC．

∵∠BAC=80°，

∴2∠DAE=180°-80°=100°，

∴∠DAE=50°．

故选：C．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，关键是推出2∠DAE=180°-∠BAC．

9. 若一次函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征得到b=-3k，k＜0，解不等式得到答案．

【详解】解：由题意得，一次函数y=kx+b的图象经过（3，0），k＜0，
∴3k+b=0，
∴b=-3k，
∴不等式可化为：2kx+3k>0，
解得，x<，
故选：B．

【点睛】本题考查了一次函数与不等式，掌握一次函数图象上点的坐标特征、一元一次不等式的解法是解题的关键．

10. 平面直角坐标系中，点的坐标为，一次函数的图像与轴、轴分别相交于点、，若点在的内部，则的取值范围为（    ）

A. 或 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由求出A，B的坐标，根据点的坐标得到点在直线上，求出直线与y轴交点C的坐标，解方程组求出交点E的坐标，即可得到关于m的不等式组，解之求出答案．

【详解】解：当中y=0时，得x=-9；x=0时，得y=12，

∴A（-9，0），B（0，12），

∵点的坐标为，

当m=1时，P（3，0）；当m=2时，P（6，-4），

设点P所在的直线解析式为y=kx+b，将（3，0），（6，-4）代入，

∴，

∴点在直线上，

当x=0时，y=4，∴C（0，4），

，解得，∴E（-3，8），

∵点在的内部，

∴，

∴-1<m<0，

故选：C．

．

【点睛】此题考查了一次函数与坐标轴的交点，两个一次函数图象的交点，解一元一次不等式组，确定点在直线上是解题的关键．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共27分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）

11. 9的算术平方根是     ．

【答案】3

【解析】

【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出．

【详解】∵，

∴9算术平方根为3．

故答案为：3．

【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．

12. 若代数式有意义，则的取值范围为______．

【答案】x≥-5

【解析】

【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．

【详解】解：由题意得，x+5≥0，

解得x≥-5．

故答案为：x≥-5．

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解决本题的关键是掌握二次根式有意义的条件．

13. 已知，为两个连续整数，且，则______．

【答案】5

【解析】

【分析】根据的大小求出a、b，代入计算即可．

【详解】解：∵4<5<9，

∴2<<3，

∵a、b为两个连续整数，且，

∴a=2，b=3，

∴2+3=5，

故答案为：5．

【点睛】此题考查了实数的估值，已知字母的值求代数式的值，正确掌握无理数的估值方法是解题的关键．

14. 点关于x轴对称点的坐标是 ___．

【答案】

【解析】

【分析】利用平面直角坐标系点对称的性质求解．

【详解】解：关于轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数可知，

关于轴对称点的坐标是．

故答案是：．

【点睛】本题考查点对称的性质，解题的关键是掌握坐标关于x轴对称的变化规律，即关于轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数．

15. 若点若在直线上，则代数式的值是_________.

【答案】-3

【解析】

【分析】先把点（m，n）代入函数y=3x-2，求出n=3m-2，再代入所求代数式进行计算即可．

【详解】∵点（m，n）在函数y=3x-2的图象上，

∴n=3m-2，

∴2n-6m+1=2（3m-2）-6m+1=-3，

故答案为-3．

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，解题的关键是要明确一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．

16. 如图，平分，、、分别是、、上的点，要使，可以添加的条件是______．（只要写出一个符合要求的条件）

【答案】OE=OF

【解析】

【分析】添加条件OE=OF，根据SAS证明．

【详解】解：添加条件OE=OF，

∵平分，

∴∠EOD=∠FOD，

∵OD=OD，OE=OF，

∴（SAS），

故答案为：OE=OF．

【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理：SAS、SSS、AAS、ASA、HL，熟记全等三角形的判定定理并应用是解题的关键．

17. 如图，在长方形中，，，、分别在边、上，且．现将四边形沿折叠，点，的对应点分别为点，，当点恰好落在边上时，则的长为______．

【答案】4

【解析】

【分析】由勾股定理求出F，得到D，过点作H⊥AB于H，连接BF，则四边形是矩形，求出HE，过点F作FG⊥AB于G，则四边形BCFG是矩形，利用勾股定理求出的长．

【详解】解：在长方形中，，，

由折叠得5，

∴，

∴13=2，

过点作H⊥AB于H，连接BF，则四边形是矩形，

∴AH=D=2，

∵∠EF=∠BEF，∠FE=∠BEF，

∴∠EF=∠FE，

∴E=F=13，

∴=5，

过点F作FG⊥AB于G，则四边形BCFG是矩形，

∴BG=FC=5，

∴EG=13-5=8，

∴=4

故答案为4．

【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，正确引出辅助线利用推理论证进行求解是解题的关键．

18. 如图，在中，，平分，过作交于．若，，则______， ______．

【答案】    ①.     ②. 6

【解析】

【分析】过点P作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，则PE=PD，过点C作CF⊥AB于F，由面积法求出，设AC=3x，则BC=4x，勾股定理求出AB，得到5x=7，求出AC、BC的长，利用面积公式求出PE，由△CPQ是等腰直角三角形，求出CQ，根据公式计算．

【详解】解：∵，平分，

∴∠ACP=∠BCP=45°，

过点P作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，则PE=PD，过点C作CF⊥AB于F，

由等面积法得．

设AC=3x，则BC=4x，

∴，

∵AB=AP+BP=3+4=7，

∴5x=7，

解得，

∴，

∵

∴．

解得PE=．

∵∠BCP=45°，∠QCP=90°，

∴△CPQ是等腰直角三角形，

∴2PD=2x=，

∴，

∴==．

故答案为，6．

【点睛】此题考查了等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理，面积法求直角三角形的边长，熟练掌握各知识点并综合应用解决问题是解题的关键．

三、解答题（本大题共9小题，共73分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19. 计算：

（1）；

（2）．

【答案】（1）；   

（2）．

【解析】

【分析】（1）利用平方根，零指数幂，负整数指数幂对式子进行运算即可；

（2）利用绝对值，乘方，立方根对式子进行运算即可．

【小问1详解】

解：

=2-1+

=；

【小问2详解】

解：

=．

【点睛】本题主要考查实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，解答的关键是熟记非0实数的0次幂的值为1．

20. 解方程：

（1）；

（2）．

【答案】（1）x=或x=；   

（2）x=．

【解析】

【分析】（1）利用平方根的概念解方程；

（2）利用立方根的概念解方程．

【小问1详解】

解：，

整理得：x2=6，

解得：x=或x=；

【小问2详解】

解：，

整理得：(x+1)3=，

∴x+1=，

∴x=．

【点睛】本题考查了利用平方根和立方根的概念解方程，掌握相关概念正确计算是解题关键．

21. 已知与互为相反数，求的平方根．

【答案】

【解析】

【分析】根据相反数的定义得到2x+y=2，x-y=-3，解方程组得到x、y的值，根据平方根的定义求出结果．

【详解】解：∵与互为相反数，

∴+=0，

∴2x+y=2，x-y=-3，

解方程组，得，

∴，

∴的平方根是．

【点睛】此题考查了相反数的应用，解二元一次方程组，求一个数的平方根，综合掌握各知识点是解题的关键．

22. 如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB=CD，连接AC，求证：AD∥BC．

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据全等三角形的性质得到∠ACB=∠CAD，根据平行线的判定定理即可得到AD∥BC．

【详解】证明：∵AB∥CD，

∴∠BAC=∠DCA，

在△CBA与△ADC中，

，

∴△CBA≌△ADC(SAS)，

∴∠ACB=∠CAD，

∴AD∥BC．

【点睛】本题考查平行线的判定和性质，关键是根据SAS得出△CBA≌△ADC解答．

23. 如图，在中，，．

（1）请用无刻度直尺和圆规，在边上求作一点，使得点到、的距离相等；（不要求写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若，求的长．

【答案】（1）见解析    （2）3.

【解析】

【分析】（1）作AB的垂直平分线交BC于D，则点D满足条件；

（2）设CD＝x，利用勾股定理得到x2＋42＝（8-x）2，然后解方程即可．

【小问1详解】

解：如图，点D为所作；

【小问2详解】

解：设CD＝x，则BD=AD＝8-x，

在Rt△ACD中，∵CD2＋AC2＝AD2，

∴x2＋42＝（8-x）2，解得x＝3，

即CD的长为3．

【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理.

24. 如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺，经过的格点请描深一点．）

（1）边的长度为______；

（2）作△ABC的角平分线；

（3）已知点在线段上，点在（2）中作出的线段上，当PQ+BQ的长度最小时，在网格图中作出△PBQ．

【答案】（1）   

（2）见解析    （3）见解析

【解析】

【分析】（1）根据勾股定理即可求出AC的长；

（2）利用等腰三角形的性质，连接AD即可；

（3）取格点P，连接CP交AD于点Q，△PBQ即为所求．

【小问1详解】

解：根据勾股定理，得

AC=，

故答案为：；

【小问2详解】

解：如图，AD即为所求；

∵AB== AC，

∴△ABC为等腰三角形，

D为BC中点，

∴AD为△ABC的角平分线；

【小问3详解】

解：如图，△PBQ即为所求；

∵AC2=50，AP2=42+42=32，CP2=32+32=18，

∴AC2= AP2+CP2，

∴∠APC=90°，即CP⊥AB，

∵AD为等腰△ABC的角平分线，

∴QB=QC，

∴QB+ QP的最小值为CP．

【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图、等腰三角形的性质、勾股定理及其逆定理，解决本题的关键是综合掌握以上知识．

25. 经开区某中学计划举行一次知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．

（1）求甲、乙两种奖品的单价；

（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品不少于乙种奖品的一半，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．

【答案】（1）甲种奖品的单价为20元/件，乙种奖品的单价为10元/件；   

（2）当学习购买20件甲种奖品、40件乙种奖品时，总费用最少，最少费用是800元．

【解析】

【分析】（1）设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，根据“购买1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，购买2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（60-m）件，设购买两种奖品的总费用为w，由甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的一半，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再由总价=单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．

【小问1详解】

设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，
依题意，得：，
解得，
答：甲种奖品的单价为20元/件，乙种奖品的单价为10元/件．

【小问2详解】

设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（60-m）件，设购买两种奖品的总费用为w元，
∵甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的一半，
∴m≥（60-m），
∴m≥20．
依题意，得：w=20m+10（60-m）=10m+600，
∵10＞0，
∴w随m值的增大而增大，
∴当学校购买20件甲种奖品、40件乙种奖品时，总费用最少，最少费用是800元．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的一次函数关系式．

26. 一列快车和一列慢车同时从甲地出发，分别以速度、（单位：，且）匀速驶向乙地．快车到达乙地后停留了，沿原路仍以速度匀速返回甲地，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示从慢车出发至慢车到达乙地的过程中，与之间的函数关系．

（1）甲乙两地相距______；点实际意义：______；

（2）求，的值；

（3）慢车出发多长时间后，两车相距？

【答案】（1）900km；快车到达乙地   

（2）a=8，b=14；   

（3）h、7h、h

【解析】

【分析】（1）由图象即可得到结论；

（2）根据图象，得到慢车的速度为=60（km/h），快车的速度为：900÷=150（km/h），于是得到结论；

（3）根据每段的函数解析式即可得到结论．

【小问1详解】

由图象知，甲、乙两地之间的距离为900km；点实际意义：快车到达乙地；

【小问2详解】

根据图象，得慢车的速度为=60（km/h），
快车的速度为：900÷=150（km/h），

∴a==8，

b==14；

【小问3详解】

由题意得A(=6，540)，B(8，540-60×2=420)，C(=10，0)，D(14，14×60=840)，分别代入y=kx+b，

可得线段OA所表示的y与x之间的函数表达式为y3=90x（0≤x＜6）；

线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y1=-60x+900（6≤x＜8）

线段CD所表示的y与x之间的函数表达式为y2=210x-2100（10≤x＜14），

①线段OA所表示的y与x之间的函数表达式为y3=90x（0≤x＜6），
令y3=480，得x=，
②线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y1=-60x+900（6≤x＜8），
令y1=480，得x=7，
③线段CD所表示的y与x之间的函数表达式为y2=210x-2100（10≤x＜14），
令y2=480，得x=．
答：慢车出发h、7h、h后，两车相距480km．

【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，利用图表中数据得出慢车速度是解题关键．

27. 如图1，点的坐标为，点为轴正半轴上一个动点，将点绕着点顺时针旋转90°到的位置．

（1）若点的横坐标为：-2，求直线的函数表达式；

（2）如图2，若轴恰好平分，与轴相交于点，过点作于点，试探究与的数量关系；

（3）如图3，将点绕着点逆时针旋转90°到点，连接，在点的运动过程中，与轴相交于点，则线段的长度是否改变？若不变，求出的长度，若改变，请说明理由．

【答案】（1）直线AB表达式为：y=kx+2；   

（2）AE＝2CD，理由见解析.   

（3）线段BF的长度不变，为2．

【解析】

【分析】（1）作CH⊥BO，易证△ABO≌△BCH，根据全等三角形对应边相等的性质得到BO＝CH=2，用待定系数法求直线表达式即可；

（2）延长AB，CD交于点N，由“ASA”可证△ADN≌△ADC，可得CD＝ND，由“ASA”可证△ABE≌△CBN，可得AE＝CN，可得结论；

（3）作CG⊥BO于G，由AAS证得△ABO≌△BCG，由全等三角形对应边相等，得到OA = BG =4，BO=CG，由旋转性质得到BO=BD，∠OBD=90 º，从而BD=CG，再由AAS证△DBF≌△CGF，从而BF =GF，因此BF =BG=2。

【小问1详解】

解：如图1，

作CH⊥BO于H，则CH=2，

∵∠CBH＋∠ABO＝90°，∠ABO＋∠BAO＝90°，

∴∠CBH＝∠BAO，

在△ABO和△BCH中，

，

∴△ABO≌△BCH（AAS），

∴BO＝CH＝2，

∴B点坐标（0，2），

设直线AB表达式为：y=kx+b，

把A（4，0），B（0，2）代入，得，

解得：，

故直线AB表达式为：y=kx+2；

【小问2详解】

解：AE＝2CD，

如图②，

延长AB，CD交于点N，

∵，

∴∠ADN＝∠ADC＝90°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

在△ADN和△ADC中，，

∴△ADN≌△ADC（ASA），

∴CD＝ND，

∴CN＝2CD，

∵∠N＋∠BAD＝90°，∠N＋∠BCN＝90°，

∴∠BAD＝∠BCN，

在△ABE和△CBN中，，

∴△ABE≌△CBN（ASA），

∴AE＝CN，

∴AE＝2CD；

【小问3详解】

解：故线段BF的长度不变，为2，理由如下：

∵点A的坐标为，

∴OA=4，

如图3，作CG⊥BO于G，

∵∠CBG＋∠ABO＝90°，∠ABO＋∠BAO＝90°，

∴∠CBG＝∠BAO，

在△ABO和△BCG中，

，

∴△ABO≌△BCG（AAS），

∴OA = BG =4，BO=CG，

由旋转可知：BO=BD，∠OBD=90 º，

∴BD=CG，

在△DBF和△CGF中，

，

∴△DBF≌△CGF（AAS），

∴BF =GF，

∴BF =BG=2.

故线段BF的长度不变，为2．

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键，也考查了待定系数法求一次函数的解析式.