苏州市六区联考2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份苏州市六区联考2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析），共29页。试卷主要包含了有效数字的计算方法是等内容，欢迎下载使用。
苏州市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题注意事项：1．本试卷由选择题、填空题和解答题组成，共28题，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试号等信息填写在答题卡相应的位置上．3．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题．4．考生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效．一、选择题（本大题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上）1. 下列四个图标中，轴对称图案是（）A. B.  C.  D. 2. 下列四个数中，无理数是（）A.  B.  C.  D. 03. 若点在轴上，则点的坐标为（）A.  B.  C.  D. 4. 若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（）A. 2 B. 4 C. -1 D. 15. 若一次函数的图像经过第一、三、四象限，则的值可能为（）A. -2 B. -1 C. 0 D. 26. 如图，数轴上点表示的数是-1，点表示的数是1，，，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（）A.  B.  C.  D. 7. 在中，为边上的中线，，．下列结论：①是直角三角形；②是等边三角形；③；④，其中正确结论的个数为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 48. 苏州素有“园林之城”美誉，以拙政园、留园为代表的苏州园林“咫尺之内再造乾坤”，是中华园林文化的翘楚和骄傲．如图，某园林中一亭子的顶端可看作等腰，其中，若是边上的一点，则下列条件不能说明是角平分线的是（）A. 点到，的距离相等 B. C.  D. 9. 定义一种“”运算：，例如：，则方程的解是（）A.  B.  C.  D. 10. 为落实“五育并举”，某校利用课后延时服务时间进行趣味运动，甲同学从跑道处匀速跑往处，乙同学从处匀速跑往处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为（秒），甲、乙两人之间的距离为（米），与之间的函数关系如图所示，则图中的值是（）A.  B. 18 C.  D. 20二、填空题（本大题共8小题，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11. 16的平方根是．12. 北京2022年冬奥会志愿者招募活动于2019年12月5日启动，截至到2021年12月5日，共有来自全球168个国家和地区的超过961000人报名．将961000用四舍五入法精确到10000，并用科学记数法表示，则961000可表示为______．13. 化简：______．14. 已知点，是一次函数图像上的两点，则_____（填“”、“”或“”）．15. 如图，已知中，，垂足为，是的角平分线，是的中点，若，，，则点到的距离为__________．       16. 如图，三角形纸片中，，，．是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在延长线上的点处，则的长为__________．17. 已知是一次函数图像上一点，则的最小值是__________．18. “”是一款数学应用软件，用“”绘制的函数和的图像如图所示．若，分别为方程和的一个解，则根据图像可知____．（填“”、“”或“”）．三、解答题（本大题共10小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.计算：．20. 如图，在四边形中，是对角线上一点，，，．求证：．21. 如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上．（1）画出关于轴对称的；（2）点为轴上一动点，当取得最小值时，点的坐标为________．22. 滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，立柱，垂直于地面，滑道的长度与点到点的距离相等，滑梯高，且，求滑道的长度．23. 如图，已知直线：与直线平行，与轴交于点，与轴交于点．直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． （1）求直线对应的函数表达式；（2）求四边形的面积．24. 如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．（1）求证：；（2）若，，求的周长．25. 第十一届江苏书展在苏州国际博览中心设有400个展台，并在全省多地线上、线下同步举行．本届书展设置了“读经典、学四史、童心向党和百年辉煌”等活动．为保障书展的准备工作比原计划提前2天完成，每天准备展台的个数需比原计划增加．（1）求原计划每天准备展台的个数．（2）为满足读者购书需求，某厂装订，两种图书共6000本，其中种图书数量不多于种图书数量的，装订一本种图书成本为10元，装订一本种图书成本为15元．设装订种图书（本），问为何值时，两种图书装订总成本（元）最低，最低装订总成本为多少元？26. 若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”，即满足以下关系：①或②，要满足以上①、②的关系，可以从乘法公式入手，我们知道：③，如果等式③的右边也能写成“”的形式，那么它就符合②的关系．因此，只要设，，③式就可化成：．于是，当，为任意正整数，且时，“，和”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数．（1）当，时，该组勾股数是__________；（2）若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为72，且，求，的值；（3）若一组勾股数中最大的数是（是任意正整数），则另外两个数分别为_____， ___（分别用含的代数式表示）．27. 【情境】某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进行自主合作探究．图①是一块边长为的等边三角形学具，是边上一个动点，由点向点运动，速度为，是边延长线上一动点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动，连接，交于点，设点运动的时间为．（1）【问题】填空：_____；（2）【问题】当时，求的值；（3）【探究】如图②，过点作，垂足为，在点，点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由．28. 在平面直角坐标系中，对于，两点，若在轴上存在点，使得，且，则称，两点互相等垂，其中一个点叫做另一个点的等垂点．已知点的坐标是．（1）如图①，在点，，中，点的等垂点是_____；（选填“”，“”或“”）（2）如图②，若一次函数的图像上存在点的等垂点，求点的坐标；（3）若一次函数的图像上存在无数个点的等垂点，试写出该一次函数的所有表达式： ______．
答案与解析一、选择题（本大题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上）1. 下列四个图标中，轴对称图案是（）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：B．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．2. 下列四个数中，无理数是（）A.  B.  C.  D. 0【答案】C【解析】【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：A、是循环小数，属于有理数，故本选项不合题意；B、是分数，属于有理数，是故本选项不符合题意；C、无理数，故本选项合题意；D、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．3. 若点在轴上，则点的坐标为（）A. B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据y轴上的点的坐标特点可得a+2=0，再解即可．【详解】解：由题意得：a+2=0，解得：a=-2，则点P的坐标是（0，-2），故选：B．【点睛】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握y轴上的点的横坐标为0．4. 若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（）A. 2 B. 4 C. -1 D. 1【答案】D【解析】【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程求解．【详解】解：由题意，得：1+2a=3，解得a=1，故选：D．【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．5. 若一次函数的图像经过第一、三、四象限，则的值可能为（）A. -2 B. -1 C. 0 D. 2【答案】D【解析】【分析】利用一次函数图象与系数的关系可得出m-1＞0，解之即可得出m的取值范围，再对照四个选项即可得出结论．【详解】解：∵一次函数y=（m-1）x-1的图象经过第一、三、四象限，∴m-1＞0，∴m＞1，∴m的值可能为2．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系、解一元一次不等式，牢记“k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象经过一、三、四象限”是解题的关键．6. 如图，数轴上点表示的数是-1，点表示的数是1，，，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】首先根据勾股定理求出AC长，再根据圆的半径相等可知AP=AC，即可得出答案．【详解】解：∵BC⊥AB，∴∠ABC=90°，∴AC=，∵以A为圆心，AC为半径作弧交数轴于点P，∴AP=AC=，∴点P表示的数是，故选：A．【点睛】此题主要考查了勾股定理，以及数轴与实数，关键是求出AC的长．7. 在中，为边上的中线，，．下列结论：①是直角三角形；②是等边三角形；③；④，其中正确结论的个数为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】由题意得出AD=BD=CD，由等腰三角形的性质得出∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，由三角形内角和定理得出∠ACD+∠BCD=90°，即∠ACB=90°，即可判断结论①正确；由BD=CD=BC=3，可得△BCD是等边三角形，即可判断结论②，③正确；在Rt△ABC中，求出AC=AB =，即可判断结论④错误．【详解】解：∵CD是AB边上的中线，AB=6，∴AD=BD=AB=3，∵CD=3，∴AD=BD=CD，∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，∵∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°，∴∠ACD+∠BCD=90°，即∠ACB=90°，△ABC是直角三角形，故①正确；∵BD=CD=BC=3，∴△BCD是等边三角形，故②正确； 故③正确；在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6，∴AC=AB=，∵BC=3，∴AC=BC，故④错误．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定、直角三角形的判定、三角形内角和定理；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．8. 苏州素有“园林之城”美誉，以拙政园、留园为代表的苏州园林“咫尺之内再造乾坤”，是中华园林文化的翘楚和骄傲．如图，某园林中一亭子的顶端可看作等腰，其中，若是边上的一点，则下列条件不能说明是角平分线的是（）A. 点到，的距离相等 B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据到角两边距离相等的点在角的平分线上即可判断选项A，根据等腰三角形的性质（三线合一）即可判断选项B、选项C，选项D．【详解】解：A．∵点D到AB、AC的距离相等，∴AD是∠BAC的角平分线，故本选项不符合题意；B．∵∠ADB=∠ADC，∠ADC+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴AD是∠BAC的角平分线，故本选项不符合题意；C．∵BD=CD，AB=AC，∴AD是∠BAC的角平分线，故本选项不符合题意；D．AD=BC不能推出AD是△ABC的角平分线，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的性质和等腰三角形的性质，能熟记等腰三角形的性质和角平分线的性质是解此题的关键．9. 定义一种“”运算：，例如：，则方程的解是（）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出解．【详解】解：根据题中的新定义得：，整理得：，去分母得：-x=1+x-2，解得：x=，检验：把x=代入得：x-2≠0，∴分式方程的解为x=．故选：B．【点睛】此题考查了解分式方程，以及有理数的混合运算，分式方程注意要检验．10. 为落实“五育并举”，某校利用课后延时服务时间进行趣味运动，甲同学从跑道处匀速跑往处，乙同学从处匀速跑往处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为（秒），甲、乙两人之间的距离为（米），与之间的函数关系如图所示，则图中的值是（）A.  B. 18 C.  D. 20【答案】A【解析】【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到甲25秒跑完100米，从而可以求得甲的速度，再根据图象中的数据，可知甲、乙跑10秒钟跑的路程之和为100米，从而可以求得乙的速度，然后用100除以乙的速度，即可得到t的值．【详解】解：由图象可得，甲的速度为100÷25=4（米/秒），乙的速度为：100÷10-4=10-4=6（米/秒），则t=，故选：A．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是求出甲、乙的速度．二、填空题（本大题共8小题，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11. 16的平方根是．【答案】±4【解析】【详解】由（±4）2=16，可得16的平方根是±4，故答案为：±4．12. 北京2022年冬奥会志愿者招募活动于2019年12月5日启动，截至到2021年12月5日，共有来自全球168个国家和地区的超过961000人报名．将961000用四舍五入法精确到10000，并用科学记数法表示，则961000可表示为______．【答案】9.6×105【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于961000有6位，所以可以确定n=6-1=5．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．【详解】解：961000=9.61×105≈9.6×105，故答案为：9.6×105．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．13. 化简：______．【答案】1【解析】【分析】根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．【详解】解：原式===1故答案为：1．【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．14. 已知点，是一次函数图像上的两点，则_____（填“”、“”或“”）．【答案】＞【解析】【分析】由函数解析式可知y随x值的增大而增大，只需比较点的横坐标大小即可．【详解】解：∵一次函数y=x-3，∴y随x值的增大而增大，∵-3＞-5，∴y1＞y2，故答案为：＞．【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．15. 如图，已知中，，垂足为，是的角平分线，是的中点，若，，，则点到的距离为__________．【答案】3【解析】【分析】过点B作BH⊥CE于H，根据直角三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式出去AB，进而求出BD，根据角平分线的性质解答即可．【详解】解：过点B作BH⊥CE于H，∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，在Rt△ADC中，F是AC的中点，DF=6.5，∴AC=2DF=2×6.5=13，由勾股定理得：CD==12，∵△ABC的面积为48，∴×AB×12=48，解得：AB=8，∴BD=AB-AD=8-5=3，∵CB是△DCE的角平分线，BD⊥CD，BH⊥CE，∴BH=BD=3，即点B到CE的距离为3，故答案为：3．【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质、角平分线的性质、三角形的面积计算，正确作出辅助性、灵活运用直角三角形的性质、角平分线的性质是解题的关键．16. 如图，三角形纸片中，，，．是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在延长线上的点处，则的长为__________．【答案】##【解析】【分析】利用勾股定理求出AC，根据折叠的性质得到AB=AB′=5，BD=B′D，求出B′C，设CD=x，在△B′CD中，利用勾股定理列出方程，解之即可．【详解】解：∵∠ACB=90°，BC=3，AB=5，∴AC==4，由折叠可知：AB=AB′=5，BD=B′D，∴B′C=AB′-AC=1，设CD=x，则BD=B′D=3-x，在△B′CD中，，即，解得：x=，即CD=，故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，利用折叠的性质求出B′C的长是解题的关键．17. 已知是一次函数图像上一点，则的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】由P（a，b）是一次函数y=-2x+4图象上一点，得到b=-2a+4，即可得到a2+b2=a2+（-2a+4）2=5（a-）2+，根据非负性即可得到结论．【详解】解：∵P（a，b）是一次函数y=-2x+4图象上一点，∴b=-2a+4，∴a2+b2=a2+（-2a+4）2=5a2-16a+16=5（a-）2+∴当a=时，a2+b2有最小值，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，完全平方公式，考查了计算能力和转化思想．18. “”是一款数学应用软件，用“”绘制的函数和的图像如图所示．若，分别为方程和的一个解，则根据图像可知____．（填“”、“”或“”）．【答案】＜【解析】【分析】根据方程的解是函数图象交点的横坐标，结合图象得出结论．【详解】解：∵方程-x2（x-4）=-1的解为函数图象与直线y=-1的交点的横坐标，-x+4=-1的一个解为一次函数y=-x+4与直线y=-1交点的横坐标，如图所示：由图象可知：a＜b．故答案为：＜．【点睛】本题考查了函数图象与方程的解之间的关系，关键是利用数形结合，把方程的解转化为函数图象之间的关系．三、解答题（本大题共10小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. 计算：．【答案】0【解析】【分析】先化简各数，然后再进行计算即可．【详解】解：=2-3+1=0．【点睛】本题考查了实数的运算、零指数幂，准确熟练地化简各数是解题的关键．20. 如图，在四边形中，是对角线上一点，，，．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】由等角对等边可得AC=AD，再由平行线的性质可得∠DAE=∠ACB，由∠CED+∠B=180°，∠CED+∠AED=180°，得∠AED=∠B，从而利用AAS可判定△ADE≌△CAB．【详解】解：证明：∵∠ADC=∠ACD，∴AD=AC，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠ACB，∵∠CED+∠B=180°，∠CED+∠AED=180°，∴∠AED=∠B，在△ADE与△CAB中，，∴△ADE≌△CAB（AAS）．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是由已知条件得出相应的角或边的关系．21. 如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上．（1）画出关于轴对称的；（2）点为轴上一动点，当取得最小值时，点的坐标为________．【答案】（1）见解析（2）（0，3）【解析】【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标得到A′、B′、C′的坐标，然后描点即可；（2）连接BA′交y轴于P点，根据两点之间线段最短可判断P点满足条件，从而得到P点坐标．【小问1详解】解：如图，△A'B'C'为所作；【小问2详解】如图，根据轴对称的性质可知，，连接BA′交y轴于P点，此时点P为所求作，P点坐标为（0，3）．故答案为：（0，3）．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．22. 滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，立柱，垂直于地面，滑道的长度与点到点的距离相等，滑梯高，且，求滑道的长度．【答案】2.5m【解析】【分析】设AC=xm，则AE=AC=xm，AB=AE-BE=（x-0.5）m，在Rt△ABC中利用勾股定理列出方程，通过解方程即可求得答案．【详解】解：设AC=xm，则AE=AC=xm，AB=AE-BE=（x-0.5）m，由题意得：∠ABC=90°，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x-0.5）2+1.52=x2，解得x=2.5，∴AC=2.5m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．23. 如图，已知直线：与直线平行，与轴交于点，与轴交于点．直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．（1）求直线对应的函数表达式；（2）求四边形的面积．【答案】（1）y=-x+4（2）7【解析】【分析】（1）由直线l1：y=kx-2与直线y=x平行，得到直线l1为y=x-2，进而求得E的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l2对应的函数表达式；（2）根据两直线的解析式求得A、D的坐标，然后根据S四边形ABCE=S△COD-S△AED求解即可．【23题详解】解：∵直线l1：y=kx-2与直线y=x平行，∴k=1，∴直线l1为y=x-2，∵点E（3，m）在直线l1上，∴m=3-2=1，∴E（3，1），设直线l2的解析式为y=ax+b，把C（0，4），E（3，1）代入得，解得：，∴直线l2的解析式为y=-x+4；【24题详解】在直线l1：y=x-2中，令y=0，则x-2=0，解得x=2，∴A（2，0），在直线l2：y=-x+4中，令y=0，则-x+4=0，解得x=4，∴D（4，0），∴S△COD=×4×4=8，S△AED=（4-2）×1=1，∴S四边形ABCE=S△COD-S△AED=8-1=7．故四边形AOCE的面积是7．【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．24. 如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．（1）求证：；（2）若，，求的周长．【答案】（1）见解析（2）26【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB=AE=CE，求出∠AEB=∠B和∠C=∠EAC，再根据外角性质即可得出答案；（2）根据勾股定理求出CD=8，由已知能推出AB+BC=2DE+2EC=2×8=16，即可得出答案．【小问1详解】解：∵AD⊥BC，AE=AB，EF垂直平分AC，∴AB=AE=EC，∴∠C=∠CAE，∠B=∠AEB，∴∠B=∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C．【小问2详解】在直角三角形ACD中，∵∠ADC=90°，∴CD＝=8，∵AD⊥BC，AE=AB，EF垂直平分AC，∴AB=AE=EC，DE=BE，∴AB+BC=AB+BD+DE+CE=2DE+2CE=2CD=2×8=16，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=16+10=26．【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．25. 第十一届江苏书展在苏州国际博览中心设有400个展台，并在全省多地线上、线下同步举行．本届书展设置了“读经典、学四史、童心向党和百年辉煌”等活动．为保障书展的准备工作比原计划提前2天完成，每天准备展台的个数需比原计划增加．（1）求原计划每天准备展台的个数．（2）为满足读者购书需求，某厂装订，两种图书共6000本，其中种图书数量不多于种图书数量的，装订一本种图书成本为10元，装订一本种图书成本为15元．设装订种图书（本），问为何值时，两种图书装订总成本（元）最低，最低装订总成本为多少元？【答案】（1）40个（2）78000元【解析】【分析】（1）设原计划每天准备展台的个数为x个，由题意：设有400个展台，为保障书展的准备工作比原计划提前2天完成，每天准备展台的个数需比原计划增加25%．列出分式方程，解方程即可；（2）设装订A种图书x（本），则装订B种图书（6000-x）（本），由题意：A种图书数量不多于B种图书数量的，列出一元一次不等式，解得：x≤2400，再设装订总成本为w元，求出w关于x的一次函数，然后由一次函数的性质求解即可．【25题详解】解：（1）设原计划每天准备展台的个数为x个，由题意得：，解得：x=40，经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，答：原计划每天准备展台的个数为40个；【26题详解】设装订A种图书x（本），则装订B种图书（6000-x）（本），由题意得：x≤（6000-x），解得：x≤2400，设装订总成本为w元，由题意得：w=10x+15（6000-x）=-5x+90000，∵-5＜0，∴w随x的增大而减小，∴当x=2400时，w最小=-5×2400+90000=78000（元），答：最低装订总成本为78000元．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．26. 若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”，即满足以下关系：①或②，要满足以上①、②的关系，可以从乘法公式入手，我们知道：③，如果等式③的右边也能写成“”的形式，那么它就符合②的关系．因此，只要设，，③式就可化成：．于是，当，为任意正整数，且时，“，和”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数．（1）当，时，该组勾股数是__________；（2）若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为72，且，求，的值；（3）若一组勾股数中最大的数是（是任意正整数），则另外两个数分别为_____， ___（分别用含的代数式表示）．【答案】（1）3，4，5（2）m=6，n=5（3）2p+3，2p2+6p+4【解析】【分析】（1）将m=2，n=1代入计算，即可得到m2+n2=5，m2-n2=3，2mn=4，进而得出该组勾股数是3，4，5；（2）依据作差的方法即可判断出最大的数为m2+n2，再分类讨论：①当m2-n2最小时，②当2mn最小时，分别依据最大的数与最小的数的和为72，且m-n=1，即可得出m，n的值；（3）先利用配方法，得到2p2+6p+5=（p+1）2+（p+2）2，再令m=p+2，n=p+1，即可得到另外两个数分别为2p+3，2p2+6p+4．【26题详解】解：当m=2，n=1时，m2+n2=5，m2-n2=3，2mn=4，∴该组勾股数是3，4，5，故答案为：3，4，5；【27题详解】∵（m2+n2）-（m2-n2）=2n2＞0，∴m2+n2＞m2-n2，∵m2+n2-2mn=（m-n）2＞0，∴m2+n2＞2mn，∴最大的数为m2+n2，①当m2-n2最小时，（m2+n2）+（m2-n2）=2m2=72，解得m=6或m=-6（舍去），又∵m-n=1，∴n=5；②当2mn最小时，（m2+n2）+2mn=（m+n）2=72，解得m+n=±（舍去），综上所述，m=6，n=5；【28题详解】2p2+6p+5=（p2+2p+1）+（p2+4p+4）=（p+1）2+（p+2）2，令m=p+2，n=p+1，则m2-n2=（p+2）2-（p+1）2=2p+3，2mn=2（p+2）（p+1）=2p2+6p+4，∴另外两个数分别为2p+3，2p2+6p+4，故答案为：2p+3，2p2+6p+4．【点睛】本题主要考查了勾股数以及乘法公式的运用，掌握勾股数的定义以及完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．27. 【情境】某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进行自主合作探究．图①是一块边长为的等边三角形学具，是边上一个动点，由点向点运动，速度为，是边延长线上一动点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动，连接，交于点，设点运动的时间为．（1）【问题】填空：_____；（2）【问题】当时，求的值；（3）【探究】如图②，过点作，垂足为，在点，点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由．【答案】（1）24（2）4（3）线段DE的长度不改变，DE=6【解析】【分析】（1）由线段和差关系可求解；（2）由直角三角形的性质可列方程，即可求t的值；（3）连接EQ，PF，由全等三角形的性质可证AB=EF，由题意可证四边形PEQF是平行四边形，可得DE=DF．【小问1详解】解：∵△ABC是边长为12的等边三角形，∴∠ACB=60°，AB=BC=AC=12，设AP=tcm，则PC=（12-t）cm，QB=tcm，∴QC=QB+BC=（12+t）cm，∴CP+CQ=12-t+12+t=24（cm），故答案为：24．【小问2详解】解：∵∠ACB=60°，∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，∴QC=2PC，∴12+t=2（12-t），∴t=4；【小问3详解】解：线段DE的长度不改变，过点Q作QF⊥AB交AB延长线于点F，连接EQ，PF，∵PE⊥AB，QF⊥AB∴QF∥PE∵点P、Q速度相同，∴AP=BQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，∵AP=BQ，∠AEP=∠QFB，∠A=∠QBF，∴△AEP≌△BFQ（AAS），∴AE=BF，QF=PE，∴BE+AE=BF+BE，∴AB=EF=12，∵PE⊥AB，QF⊥AB，∴QF∥EP，QF=PE，∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE=DF=EF=6．【点睛】本题考查的是三角形综合题，等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，熟练全等三角形判定是解答此题的关键．28. 在平面直角坐标系中，对于，两点，若在轴上存在点，使得，且，则称，两点互相等垂，其中一个点叫做另一个点的等垂点．已知点的坐标是．（1）如图①，在点，，中，点的等垂点是_____；（选填“”，“”或“”）（2）如图②，若一次函数的图像上存在点的等垂点，求点的坐标；（3）若一次函数的图像上存在无数个点的等垂点，试写出该一次函数的所有表达式： ______．【答案】（1）D（2）（3，5）或（，）（3）y=x+2或y=-x-2【解析】【分析】（1）取点T（0，2），连接DT，AT，可得△ADT是等腰直角三角形，即知点A的等垂点是点D；（2）①当A'在x轴上方时，过A'作A'F⊥y轴于F，证明△A'FE≌△EOA（AAS），得EF=AO=2，A'F=OE，设OE=A'F=m，则OF=OE+EF=m+2，则A'（m，m+2），将A'（m，m+2）代入y=2x-1可得A'（3，5）；②当A'在x轴上方时，过A'作A'H⊥y轴于H，同理可得A'（，）；（3）设直线y=x+2上任意一点A'（t，t+2），连接AA'，作AA'的垂直平分线交y轴于R，交AA'于P，过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，可得RA=RA'，PA=PA'，P（，），从而可得△PRN≌△PAM（ASA），PR=PA=PA'，即知∠ARA'=90°，故A'是A的等垂点，即直线y=x+2上任意一点都是A的等垂点，一次函数y=x+2的图象上存在无数个点A的等垂点，同理可证一次函数y=-x-2的图象上存在无数个点A的等垂点．【小问1详解】解：取点T（0，2），连接DT，AT，如图：∵D（-2，0），A（2，0），T（0，2），∴OT=OD=OA=2，∴△ADT是等腰直角三角形，∴在点B（2，-2），C（0，1），D（-2，0）中，点A的等垂点是点D，故答案为：D；【小问2详解】①当A'在x轴上方时，过A'作A'F⊥y轴于F，如图：∵A'是A的等垂点，∴∠A'EA=90°，A'E=AE，∴∠A'EF=90°-∠AEO=∠EAO，∵∠A'FE=∠EOA=90°，∴△A'FE≌△EOA（AAS），∴EF=AO=2，A'F=OE，设OE=A'F=m，则OF=OE+EF=m+2，∴A'（m，m+2），将A'（m，m+2）代入y=2x-1得：m+2=2m-1，解得m=3，∴A'（3，5）；②当A'在x轴上方时，过A'作A'H⊥y轴于H，如图：同①可证明△AOG≌GHA'（AAS），∴A'H=OG，GH=OA=2，设A'H=OG=n，则OH=GH-OG=2-n，∴A'（-n，n-2），将A'（-n，n-2）代入y=2x-1得：n-2=-2n-1，解得n=，∴A'（，）；综上所述，A'点的坐标为（3，5）或（，）；【小问3详解】若一次函数y=kx+b（k≠0）的图象上存在无数个点A的等垂点，该一次函数的所有表达式为y=x+2或y=-x-2，理由如下：当一次函数为y=x+2时，设直线y=x+2上任意一点A'（t，t+2），连接AA'，作AA'的垂直平分线交y轴于R，交AA'于P，过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，如图：∵PR是线段AA'的垂直平分线，∴RA=RA'，PA=PA'，∴∠RPA=∠RPA'=90°，∵A（2，0），A'（t，t+2），∴P（，），∵PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，∴PM=PN=，而∠RPN=90°-∠NPA=∠APM，∠PNR=∠PMA=90°，∴△PRN≌△PAM（ASA），∴PR=PA，∴PR=PA=PA'，∴△PRA与△PRA'都是等腰直角三角形，∴∠ARP=∠A'RP=45°，∴∠ARA'=90°，根据等垂点定义，A'是A的等垂点，即直线y=x+2上任意一点都是A的等垂点，∴一次函数y=x+2的图象上存在无数个点A的等垂点，同理可证一次函数y=-x-2的图象上存在无数个点A的等垂点，故答案为：y=x+2或y=-x-2．【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质及应用等知识，解题的关键用含字母的代数式表示相关点的坐标，掌握函数图象上点坐标特征及应用．