2021-2022学年江苏省苏州市六区联考九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

这是一份2021-2022学年江苏省苏州市六区联考九年级（上）期末数学试卷（含答案解析），共26页。试卷主要包含了5cmC，01m)；，【答案】B，【答案】C，【答案】D等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年江苏省苏州市六区联考九年级（上）期末数学试卷

1. 已知一组数据：1，2，2，4，6，则这组数据的中位数是(    )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 方程x2+x=0的解为(    )
A. x=0 B. x=−1
C. x1=0，x2=−1 D. x1=1，x2=−1
3. 若线段a=2cm，线段b=8cm，则a，b的比例中项c为(    )
A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 32cm
4. 已知⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是(    )
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切
5. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD.若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8cm，6cm，则实像CD的高度为(    )

A. 4cm B. 4.5cm C. 5cm D. 6cm
6. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则cosB的值为(    )
A. 34
B. 35
C. 45
D. 56


7. 如图，在△ABC中，∠A=30∘，∠C=45∘，BC=2，则AB的长度为(    )

A. π4
B. π2
C. π
D. 2π
8. 已知函数y=ax2−4ax−3(a≠0)，当x=m和x=n时函数值相等，则当x=m+n时的函数值为(    )
A. 2 B. 1 C. −2 D. −3
9. 如图，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点A(−1,0)，点B(m,0)，点C(0,−m)，其中20，②2a+c<0，③方程ax2+bx+c=−m有两个不相等的实数根，④不等式ax2+(b−1)x<0的解集为0 A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，将△ABC沿AC翻折，得到△ADC，再将△ADC沿AD翻折，得到△ADE，连接BE，则tan∠EBC的值为(    )

A. 819 B. 413 C. 25 D. 512
11. 1995年，联合国教科文组织宣布4月23日为“世界读书日”．2021年世界读书日当天，中国新闻出版研究院发布了第18次全国国民阅读调查结果，其中2020年我国14至17周岁青少年课外读书的人均阅读量是13.07本．某中学课外阅读小组的5位成员在2020年的课外阅读量如表：
成员
成员1
成员2
成员3
成员4
成员5
阅读量(单位：本)
13
14
14
16
18
则这5位成员在2020年的平均课外阅读量为______本．
12. 用黑白两种全等的等腰直角三角形地砖铺成如图所示的方形地面，一只小虫在方形地面上任意爬行，并随机停留在方形地面某处，则小虫停留在黑色区域的概率是______.


13. 已知关于x的方程x2−6x+m2−3m−5=0的一个根是−1，则m的值为______.
14. 如图，在▱ABCD中，AB=8，AD=6，E为AD延长线上一点，且DE=4，连接BE，BE交CD于点F，则CF=______.

15. 这是小明在阅读一本关于函数的课外读物时看到的一段图文，则被墨迹污染的二次函数的二次项系数为______.
由图象知，当x=−1时二次函数y=◼x2+6x−5有最小值．


16. 如图，将半径为6cm的圆分别沿两条平行弦对折，使得两弧都经过圆心，则图中阴影部分的面积为______cm2.

17. 我们给出定义：如果两个锐角的和为45∘，那么称这两个角互为半余角．如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且BCAC=223，则tanA=______.

18. 如图，以面积为20cm2的Rt△ABC的斜边AB为直径作⊙O，∠ACB的平分线交⊙O于点D，若CDAB=32，则AC+BC=______.


19. 计算：sin60∘−tan30∘+2cos45∘.
20. 解方程：x2−4x=5.
21. 国家实施“双减”政策后，为了解学生学业负担的减轻情况，学校随机抽取部分学生进行问卷调查，调查设置“显著”，“一般”，“略有”，“未有”四个减轻程度的等级．根据收集到的数据绘制不完整的条形统计图和扇形统计图．

(1)本次共调查了______名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校共有1800名学生，请根据抽样调查结果，估算该校学生学业负担“显著”和“一般”减轻的总人数．
22. 如图，电路图上有A，B，C，D4个开关和1个小灯泡，同时闭合开关A，B，或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发亮．
(1)在开关A闭合的条件下，任意闭合开关B，C，D中的一个，小灯泡发亮的概率为______；
(2)任意闭合开关A，B，C，D中的两个，求小灯泡发亮的概率(请用列表或画树状图的方法求概率).

23. 如图，二次函数y=a(x−1)2−4a(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0,−3).
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接AC，BC，判定△ABC的形状，并说明理由．

24. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为3万件，2021年12月的销量为3.63万件．
(1)求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
(2)假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，求2022年1月“冰墩墩”的销量．

25. 图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱AB，CD和折叠杆“AE−EF”组成，其中AB=CD=1.2m，AB，CD之间的水平距离BD=2.5m，AE=1.5m.道闸工作时，折叠杆“AE−EF”可绕点A在一定范围内转动，张角为∠BAE(90∘≤∠BAE≤150∘)，同时杆EF始终与地面BD保持平行．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
(1)当张角∠BAE为135∘时，求杆EF与地面BD之间的距离(结果精确到0.01m)；
(2)试通过计算判断宽度为1.8m，高度为2.45m的小型厢式货车能否正常通过此道闸？

26. 如图，△ABC内接于⊙O，D为AB延长线上一点，过点D作⊙O的切线，切点为E，连接BE，CE，AE.
(1)若BC//DE，求证：△ACE∽△EBD；
(2)在(1)的条件下，若AC=9，BD=4，sin∠BAE=35，求⊙O的半径．

27. 如图，二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点A(−1,0)，点B(3,0)，与y轴交于点C，连接BC.
(1)填空：b=______，c=______；
(2)过点C作CD//x轴，交二次函数y=−x2+bx+c的图象于点D，点M是二次函数y=−x2+bx+c图象上位于线段CD上方的一点，过点M作MN//y轴，交线段BC于点N.设点M的横坐标为m，四边形MCND的面积为S.
①S与m的函数表达式，并求S的最大值；
②点P为直线MN上一动点，当S取得最大值时，求△POC周长的最小值．

28. 如图，在矩形OABC中，顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，顶点B的坐标为(8,4)，∠EAF=90∘，且∠EAF的一边与线段OC交于点E，∠EAF的另一边与线段CB的延长线交于点F，连接EF，作AG⊥EF，垂足为G(m,n)，连接OG.
(1)当点E由点O移动到点C时，点F运动的路程为______；
(2)求n与m的函数表达式，并说明点B在直线OG上；
(3)当△AOE与△GOE的面积之差为35时，求线段OE的长度．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，2，2，4，6，
则中位数为2+22=2，
故选：A.
根据中位数和众数的概念求解．
本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

2.【答案】C 
【解析】解：
分解因式可得x(x+1)=0，
∴x=0或x+1=0，
∴x1=0，x2=−1，
故选：C.
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

3.【答案】A 
【解析】解：由比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
则c2=ab，即c2=2×8，
解得c=4，(线段是正数，负值舍去).
故选：A.
根据比例中项的定义，列出比例式即可得出c的值，注意线段不能为负．
本题考查了比例线段，理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．

4.【答案】B 
【解析】解：∵⊙O的直径为10cm，
∴⊙O的半径为5cm，
∵圆心O到直线AB的距离为5cm，
∴5=5，
∴⊙O与直线AB的位置关系是相切．
故选：B.
求出圆O的半径，把半径和圆O到直线AB的距离(相交：dr)比较即可．
本题主要考查了直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，熟练掌握直线与圆的位置关系的性质是解此题的关键．

5.【答案】B 
【解析】解：∵AB//CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴CDAB=CEBE，
∴CD6=68，
∴CD=4.5
答：实像CD的高度为4.5cm，
故选：B.
根据相似三角形的判定和性质定理即可得到答案．
本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，利用三角形相似，对应边成比例可求线段的长度．

6.【答案】B 
【解析】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，

∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，
∴BD=12BC=3，
在Rt△ABD中，cosB=BDAB=35，
故选：B.
根据等腰三角形的三线合一性质，想到过点A作AD⊥BC，垂足为D，然后放在Rt△ABD中即可解答．
本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握根据等腰三角形的三线合一性质添加辅助线是解题的关键．

7.【答案】C 
【解析】
【分析】
根据题意和图形，可以求得∠AOB和∠BOC的度数，从而可以得到OB的长，然后根据弧长公式即可求得AB的长度．
本题考查弧长的计算、等边三角形的判定与性质、圆周角、圆心角，解答本题的关键是求出OB的长和∠AOB的度数．
【解答】
解：连接OA、OB、OC，如图所示，








∵∠CAB=30∘，∠ACB=45∘，
∴∠BOC=60∘，∠AOB=90∘，
∵OB=OC，BC=2，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=2，
∴AB的长度为：90π×2180=π，
故选：C.  
8.【答案】D 
【解析】解：∵当x=m和x=n时，y的值相等，
∴am2−4am−3=an2−4an−3，
解得：a(m−n)(m+n−4)=0
∵a≠0，m≠n，
∴m+n−4=0，
即m+n=4，
∴把x=m+n代入y=ax2−4ax−3，得y=a(m+n)2−4a(m+n)−3=16a−16a−3=−3，
故选：D.
根据题意可得出m+n=4，再把x=m+n代入即可得出答案．
本题考查了二次函数图象上点的特征，解题关键是得出m与n的关系式．

9.【答案】D 
【解析】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点A(−1,0)，点B(m,0)，
∴二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象的对称轴是直线：x=−1+m2，
∵2 ∴1<−1+m<2，
∴12<−1+m2<1，
∴12<−b2a<1，
∵−b2a<1，a>0，
∴2a+b>0，
故①正确；
②把点A(−1,0)代入y=ax2+bx+c中可得：a−b+c=0，
∴b=a+c，
由①得：−b2a>12，
∵a>0，
∴a+b<0，
∴a+a+c<0，
∴2a+c<0，
故②正确；
③由图可知：
直线y=−m与二次函数y=ax2+bx+c的图象抛物线有两个交点，
∴方程ax2+bx+c=−m有两个不相等的实数根，
故③正确；
④∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点A(−1,0)，点B(m,0)，
∴y=a(x+1)(x−m)=ax2−amx+ax−am，
∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,−m)，
∴−am=−m，
∴a=1，
二次函数y=ax2+(b−1)x的对称轴为直线：x=−b−12a，
把x=0代入二次函数y=ax2+(b−1)x中可得：y=0，
∴二次函数y=ax2+(b−1)x的图象与x轴的交点为：(0,0)，
设二次函数y=ax2+(b−1)x的图象与x轴的另一个交点为(n,0)，
∴n+02=−b−12a，
∴n=1−ba=1−b，
∵不等式ax2+(b−1)x<0的解集为0 ∴不等式ax2+(b−1)x<0的解集为0 ∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象的对称轴是直线：x=−1+m2，
∴−b2a=−1+m2，
∴m=a−ba=1−b，
∴不等式ax2+(b−1)x<0的解集为0 故④正确，
所以：正确结论的个数有4个，
故选：D.
①利用点A(−1,0)，点B(m,0)求出对称轴，然后利用2 ②把点A(−1,0)代入y=ax2+bx+c中可得a−b+c=0，再结合①中的结论即可解答；
③利用直线y=−m与二次函数y=ax2+bx+c的图象的交点个数判断即可；
④先求出函数y=ax2+(b−1)x的对称轴，再求出与x轴的两个交点坐标即可解答．
本题考查了二次函数与不等式组，根的判别式，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，准确熟练地进行计算是解题的关键．

10.【答案】A 
【解析】解：过E作EG⊥CD交CD延长线于G，过A作AF⊥EG于F，如图：

∵将△ABC沿AC翻折，得到△ADC，再将△ADC沿AD翻折，
∴BC=CD=DE=3，AC=AE=4，∠ACD=∠AED=90∘，
∴∠DEG=90∘−∠AEF=∠EAF，
又∠G=∠F=90∘，
∴△EDG∽△AEF，
∴AFEG=EFDG=AEDE=43，
设AF=4m，EF=4n，则EG=3m，DG=3n，
∵∠ACD=90∘=∠G=∠F，
∴四边形ACGF是矩形，
∴AF=CD，AC=FG，
即4m=3+3n，4=4n+3m，
解得m=2425，n=725，
∴EG=3m=7225，DG=3n=2125，
∴BG=BC+CD+DG=17125，
在Rt△BEG中，
tan∠EBC=EGBG=722517125=819，
故选：A.
过E作EG⊥CD交CD延长线于G，过A作AF⊥EG于F，证明△EDG∽△AEF，可得AFEG=EFDG=AEDE=43，设AF=4m，EF=4n，则EG=3m，DG=3n，根据四边形ACGF是矩形，得4m=3+3n，4=4n+3m，解得m=2425，n=725，从而EG=3m=7225，DG=3n=2125，在Rt△BEG中，即可求得tan∠EBC=EGBG=722517125=819.
本题考查直角三角形的翻折，解题的关键是掌握翻折的性质，作辅助线，构造相似三角形，利用方程思想解决问题．

11.【答案】15 
【解析】解：这5位成员在2020年的平均课外阅读量为13+14+14+16+185=15(本)，
故答案为：15.
根据算术平均数的定义列式计算即可．
本题主要考查算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．

12.【答案】12 
【解析】解：∵由图可知，共有16块等腰直角三角形地砖，其中黑色等腰直角三角形地砖8块，
∴小虫停留在黑色区域的概率是816=12，
故答案为：12.
直接利用概率公式计算得出答案．
此题主要考查了几何概率，正确掌握概率公式是解题关键．

13.【答案】1或2 
【解析】解：∵方程x2−6x+m2−3m−5=0的一个根是−1，
∴(−1)2−6×(−1)+m2−3m−5=0，
解得：m=1或2.
故答案为：1或2.
将已知的根代入原方程，即可求得m的值．
本题主要考查了方程的根的定义，把求未知系数的问题转化为解方程的问题，是待定系数法的应用．

14.【答案】245 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，AB=DC=8，AD//BC，
∵BC//DE，
∴△BCF∽△EDF，
∴BCDE=CFDF，
设CF=x，则DF=8−x，
∴64=x8−x，
∴x=245，
∴CF=245.
故答案为：245.
由平行四边形的性质得出BC=AD=6，AB=DC=8，AD//BC，证明△BCF∽△EDF，由相似三角形的性质得出BCDE=CFDF，则可得出答案．
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

15.【答案】3 
【解析】解：∵当x=−1时，二次函数y=◼x2+6x−5的值最小，
∴对称轴为直线x=−1，
∴−b2a=−1，
∵b=6，
∴a=3.
答：被墨迹污染的二次项系数为3.
故答案为：3.
根据当x=−1时，二次函数y=◼x2+6x−5的值最小求得函数的对称轴，再根据二次函数的对称轴表达式求得答案即可．
本题考查了二次函数的最值及二次函数的对称性等性质，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．

16.【答案】(363−12π) 
【解析】解：作OC⊥AB于C，交AB于点D，连接AO，BO，AD，BD，
∴∠ACO=90∘.
∵△AOB与△ADB关于AB对称，
∴△AOB≌△ADB
∴AO=AD，∠ACO=∠ACD=90∘，
∴CO=CD.
∵OD=AO=6，
∴OC=3.
在Rt△AOC中，AC=62−32=33.
∵cos∠AOC=COOA=12，
∴∠AOC=60∘.
∵AO=BO，OC⊥AB，
∴∠AOB=2∠AOC=120∘.AB=2AC=63.
∴S扇形AOBD=120π×62360=12π.
∵S△AOB=12×63×3=93.
∴阴影部分的面积为：36π−4(12π−93)=(363−12π)cm2.
故答案为：(363−12π).
作OC⊥AB于C，交AB于点D，连接AO，BO，AD，BD，根据轴对称的性质可以得出CO=CD，由三角函数值就可以求出∠AOB的度数，由圆的面积−4个弓形的面积就可以得出结论．
本题考查了轴对称的性质的运用，勾股定理的运用，三角函数值的运用，扇形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．

17.【答案】25 
【解析】解：过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，

∵BCAC=223，
∴设BC=22a，AC=3a，
∵∠A，∠B互为半余角，
∴∠A+∠B=45∘，
∴∠DCB=∠A+∠B=45∘，
在Rt△CDB中，BD=BCsin45∘=22a⋅22=2a，
CD=BCcos45∘=22a⋅22=2a，
∵AC=3a，
∴AD=AC+CD=3a+2a=5a，
在Rt△ABD中，tanA=BDAD=2a5a=25，
故答案为：25.
要求tanA的值，想到构造直角三角形，根据已知可得∠ACB的补角为45∘，所以过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，分别在Rt△CDB和Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了余角和补角，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

18.【答案】415 
【解析】解：如图，连接OC、OD，过点O作OH⊥CD于点H，过点C作CE⊥AB于点E，则OC=OD，DH=CH，∠OHC=∠OHD=90∘，
由CDAB=32设AB=2x，CD=3x，
∴CH=DH=32x，OC=OD=x，
∴OH=OD2−HD2=12x，
∴OD=2OH，
∴∠OCH=∠ODH=30∘，
∵∠ACB=90∘，CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45∘，
∴∠ACO=∠OAC=15∘，∠OCB=75∘，
∴∠COB=30∘，
∴∠OCE=60∘，
∴CE=12x，OE=32x，
∵S△ABC=12AB⋅CE=12⋅12x⋅2x=20，
∴x=210，
∴AO=BO=210，OE=32x=32×210=30，CE=12x=12×210=10，
∴AE=AO+OE=210+30，BE=OB−OE=210−30，
∴AC=CE2+AE2=(10)2+(210+30)2=215+25，BC=CE2+BE2=(10)2+(210−30)2=215−25，
∴AC+BC=215+25+215−25=415，
故答案为：415.
连接OC、OD，过点O作OH⊥CD于点H，过点C作CE⊥AB于点E，则OC=OD，DH=CH，先由CDAB=32设AB=2x，CD=3x，进而得到CH=DH=32x，OC=OD=x，然后结合勾股定理求得OH=12x，从而得到∠OCH=∠ODH=30∘，然后由∠ACB=90∘和CD平分∠ACB得到∠ACD=∠BCD=45∘，进而得到∠ACO=∠OAC=15∘，∠OCB=75∘，再得到∠COB=30∘，从而有∠OCE=60∘，得到CE=12x，然后由△ABC的面积为20求得x的值，从而得到AO、OE、CE的长，然后由勾股定理求得AC和BC的长，最后求得AC+BC的值．
本题考查了垂径定理、勾股定理、角平分线的定义、含30∘角的直角三角形三边关系，解题的关键是准确作出辅助线构造直角三角形，然后通过三角形的三边关系得到含30∘角的直角三角形．

19.【答案】解：sin60∘−tan30∘+2cos45∘.
=32−33+2×22
=36+1. 
【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
本题考查了实数的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．

20.【答案】解：∵x2−4x=5，
∴x2−4x−5=0，
∴(x−5)(x+1)=0，
∴x−5=0或x+1=0，
∴原方程的解为：x1=5，x2=−1. 
【解析】先将原方程化为一般式，然后运用二次三项式的因式分解法进行求解．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

21.【答案】150 
【解析】解：(1)zA总人数=30÷20%=150(名)，
故答案为：150；
(2)一般的人数=150−45−30−15=60(名)，
条形图如图所示：

(3)1800×45+60150=1260(名).
(1)根据“未有”的人数和百分比求出总人数即可；
(2)求出一般的人数，画出条形图即可；
(3)利用总人数ד显著”和“一般”减轻的百分比可得结论．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

22.【答案】解：(1)13；
(2)画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有4种情况，
∴小灯泡发光的概率为412=13. 
【解析】解：(1)在开关A闭合的条件下，任意闭合开关B，C，D中的一个，小灯泡发亮的概率为13，
故答案为：13；
(2)见答案.
(1)根据概率公式求解即可．
(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

23.【答案】解：(1)将点C(0,−3)代入y=a(x−1)2−4a，得
a−4a=−3，
∴a=33，
∴函数的表达式为y=33(x−1)2−4×33=33x2−233x−3.
(2)△ABC是直角三角形，理由如下，
当y=0时，33x2−233x−3=0，
解得：x=−1或x=3，
∴A(−1,0)，B(3,0)，
∴AB=4，
∵C(0,−3)，
∴AC=2，BC=23，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形． 
【解析】(1)先将点C代入解析式求得a的值，然后得到函数的表达式；
(2)令y=0求得点A和点B的坐标，然后求得线段AB、AC、BC的长度，最后判定△ABC的形状．
本题考查了二次函数的解析式、三角形的形状判定，解题的关键是利用两点间的距离公式求得线段AB、AC、AB的长度．

24.【答案】解：(1)设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为x，
依题意得：3(1+x)2=3.63，
解得：x1=0.1=10%，x2=−2.1(不合题意，舍去).
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%.
(2)3.63×(1+10%)=3.63×1.1=3.993(万件).
答：2022年1月“冰墩墩”的销量为3.993万件． 
【解析】(1)设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为x，利用2021年12月的销量=2021年10月的销量×(1+月平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)利用2022年1月的销量=2021年12月的销量×(1+月平均增长率)，即可求出2022年1月“冰墩墩”的销量．
本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)根据各数量之间的关系，列式计算．

25.【答案】解：(1)过点E作EM⊥BD，垂足为M，交AC于点N，则EN⊥AC，

∵AB⊥BD，
∴四边形ABMN是矩形，
∴AB=MN=1.2(米)，∠BAN=90∘，
∵∠BAE=135∘，
∴∠EAN=∠BAE−∠BAN=45∘，
在Rt△AEN中，EN=AEsin45∘=1.5×22=324(米)，
∴EM=EN+MN=324+1.2≈2.26(米)，
答：杆EF与地面BD之间的距离为2.26米；
(2)由(1)得：∠BAN=90∘，
当∠BAE=150∘时，
∴∠EAN=∠BAE−∠BAN=60∘，
在Rt△AEN中，EN=AEsin60∘=1.5×32=334(米)，
∴EM=EN+MN=334+1.2≈2.5(米)，

当QD=PC=1.8m，
∴BQ=AP=2.5−1.8=0.7m，
当∠BAE=150∘时，
∴∠EAP=∠BAE−∠BAP=60∘，
在Rt△AGP中，GP=APtan60∘=0.73≈1.212米，
∴GP+PQ=1.212+1.2=2.412米，
∵2.412<2.45，
∴宽度为1.8m，高度为2.45m的小型厢式货车不能正常通过此道闸． 
【解析】(1)要求杆EF与地面BD之间的距离，所以过点E作EM⊥BD，垂足为M，交AC于点N，在Rt△AEN中进行计算即可解答；
(2)当张角为∠BAE为150∘时，按照(1)的思路求出EM的长，再计算当QD=1.8米时，GQ的长度，然后与车的宽度进行比较即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

26.【答案】(1)证明：连接AE，
∵四边形ABEC是⊙O的内接四边形，
∴∠ACE+∠ABE=180∘，
∵∠ABE+∠EBD=180∘，
∴∠EBD=∠ACE，
∵BC//DE，
∴∠CBE=∠DEB，
∵∠CAE=∠CBE，
∴∠CAE=∠BED，
∴△ACE∽△EBD.
(2)解：如图，连接OE交BC于点H，连接CO，
∵DE是⊙O的切线，
∴OE⊥DE，
∵CB//DE，
∴OE⊥BC，
∴CE=BE，
∵△ACE∽△EBD，
∴ACEB=CEBD，即9CE=CE4，
∴CE=6，
∵∠BAE=∠BCE，sin∠BAE=35，
∴sin∠BCE=EHCE=EH6=35，
∴EH=185，
∴CH=CE2−EH2=62−(185)2=245，
设⊙O的半径为r，则OH=r−185，
在Rt△OHC中，OH2+CH2=OC2，
∴(r−185)2+(245)2=r2，
∴r=5，
∴⊙O的半径为5. 
【解析】(1)由圆的内接四边形的性质得到∠ACE+∠ABE=180∘，由邻补角得到∠ABE+∠EBD=180∘，从而得到∠EBD=∠ACE，然后由BC//DE得到∠CBE=∠DEB，再由圆周角定理得到∠CAE=∠CBE，从而得到∠CAE=∠BED，最后可知△ACE∽△EBD；
(2)连接OE交BC于点H，连接CO，由DE是⊙O的切线得到OE⊥DE，再由CB//DE得到OE⊥BC，从而利用垂径定理得到CE=BE，然后利用相似三角形的性质求得CE的长，进而由圆周角定理得到∠BAE=∠BCE，然后结合sin∠BAE=35求得EH的长，最后设半径为r，由Rt△OHC三边关系列出方程求得r的值．
本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理，解题的关键是利用圆周角定理得到相等的角．

27.【答案】2 3 
【解析】解：(1)∵二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点A(−1,0)，点B(3,0)，
∴−1−b+c=0−9+3b+c=0，
解得：b=2c=3，
故答案为：2，3；
(2)①由(1)知二次函数y=−x2+2x+3，
令x=0，则y=3，
∴C(0,3)，
∵CD//x轴，
∴当y=3时，−x2+2x+3=3，
解得：x1=0，x2=2，
∴D(2,3)，
∴CD=2，
∵B(3,0)，C(0,3)，
∴设直线BC的解析式为y=kx+b，
则3k+b=0b=3，
解得：k=−1b=3，
∴直线BC的解析式为y=−x+3，
∵点M在二次函数y=−x2+2x++3的图象上，
∴点M(m,−m2+2m+3)(0 ∵MN//y轴，N在直线BC上，
∴N(m,−m+3)，
∵点M位于线段CD上方，
∴MN=−m2+2m+3−(−m+3)=−m2+3m，
由图象知，S=S△CMD+S△CND=12×CD×MN=12×2×(−m2+3m)=−m2+3m=−(m−32)2+94，
∵−1<0，0 ∴当m=32时，S有最大值，最大值为94，
∴S与m的函数表达式S=−m2+3m，S最大值为94；
②由①知，当S取最大值时，N(32,32)，M(32,154)，
∵点P为直线MN上一动点，
∴△POC周长=OP+OC+PC=3+OP+PC，
取点Q(3,3)，则点C与点D关于直线m=32对称，
∴PC=PQ，
则△POC的周长=3+PO+PQ≥3+OQ=3+32+32=3+32，
即当O，P，Q三点共线时，△POC的周长有最小值3+32.
(1)把点A，B的坐标代入二次函数解析式，解二元一次方程组即可；
(2)①先根据(1)求出二次函数解析式，求出点C坐标为(0,3)，把y=3代入二次函数解析式求出点D坐标(2,3)，则CD=2；根据B，C坐标求出直线BC的函数解析式，设点M(m,−m2+2m+3)(0 ②根据两点之间线段最短把求△POC周长的最小值转化为两点之间的距离即可．
本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的性质，二次函数求最值以及两点之间线段最短等知识，解题的关键是求出二次函数的解析式．

28.【答案】2 
【解析】(1)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OAB=∠ABC=∠ABF=90∘，
∵B(8,4)，
∴OA=8，OB=4，
∵∠EAF=∠OAB=90∘，
∴∠OAE=∠BAF
∵∠AOE=∠ABF=90∘，
∴△AOE∽△ABF，
∴OABA=OEBF，
∴84=OEBF，
∴OE=2BF，
当点E由点O移动到点C时，OE=4，
∴点F运动的路程BF=2.
故答案为：2；

(2)证明：连接BG.

∵AG⊥EF，
∴∠AGE=90∘，
∵∠AOE=90∘，
∴∠AOE+∠AGE=90∘，
∴O，A，G，E四点共圆，
∴∠AEO=∠AGO，
∵∠AGF=∠ABF=90∘，
∴A，G，B，F四点共圆，
∴∠AGB+∠AFB=180∘，
∵∠AOE∽△ABF，
∴∠AEO=∠AFB，
∴∠AGO=∠AFB，
∴∠AGB+∠AGO=180∘，
∴O，G，B共线，
∴点B落在直线OB上，
∵B(8,4)，
∴直线OB的解析式为y=12x，
∵G(m,n)，
∴n=12m；

(3)设OE=2t，则BF=t，
∴E(0,t)，F(8+t,4)，
∴直线EF的解析式为y=4−2t8+tx+2t，
由y=4−2t8+tx+2ty=12xy=4+2m8+mx+2my=12x，可得x=4t+325
∴点G的横坐标为4t+325，
∵△AOE与△GOE的面积之差为35，
∴12×8×2t−12×2t×4t+325=35，
解得，t=32或12，
∴OE=3或1.
(1)证明△AOE∽△ABF，推出OABA=OEBF，可得OE=2BF，解决问题；
(2)连接BG，证明∠AGB+∠AGO=180∘，可得结论；
(3)设OE=2mt，则BF=t，求出直线EF的解析式，构建方程组确定点G的横坐标，再根据面积关系构建方程求出t即可．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建一次函数．利用方程组确定交点坐标，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．