2023届湖南省岳阳地区高三上学期适应性考试数学试题含解析

这是一份2023届湖南省岳阳地区高三上学期适应性考试数学试题含解析，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届湖南省岳阳地区高三上学期适应性考试数学试题

一、单选题
1．已知集合,且Ü,则实数的取值范围为(    )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画图，按照真子集的定义分析即可
【详解】由题知

又Ü,所以实数的取值范围为
故选：A
2．已知复数（为虚数单位）为实系数方程的一根，则（    ）
A．4 B．2 C．0 D．
【答案】C
【分析】将代入方程中，根据复数相等的充要条件即可求解.
【详解】因为是方程的根，所以，
，且，
故选：C
3．中国青年志愿者协会成立于1994年12月5日，此后广大志愿者､志愿服务组织不断蓬勃发展，目前高校青年志愿者组织就有132个.为了解某大学学生参加志愿者工作的情况，随机抽取某高校志愿者协会的40名成员，就他们2022年第2季度参加志愿服务的次数进行了统计，数据如表所示.则这40名学生本季度参加志愿活动的第40百分数位为（    ）
次数
7
8
9
10
11
人数
6
10
9
8
7

A．9 B．8 C．8.5 D．9.5
【答案】C
【分析】根据百分位数的定义运算求解.
【详解】∵为整数
∴第40百分数位为第16位和第17位的平均数，即为
故选：C.
4．在平面直角坐标系中，“点在椭圆内”是“”的（    ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】在椭圆内得，由得，进而判断是成立的必要不充分条件即可得答案.
【详解】解：当点在椭圆内时，，即，
因为，则，
所以，当成立时，一定成立，
反之，成立时，不一定成立，
所以，是成立的必要不充分条件，
所以，“点在椭圆内”是“”的必要不充分条件.
故选：C
5．青铜器是指以青铜为基本原料加工而成的器皿､用器等，青铜是红铜与其它化学元素（锡､锦､铅､磷等）的合金.其铜锈呈青绿色，故名青铜.青铜器以其独特的器形，精美的纹饰，典雅的铭文向人们揭示了我国古代杰出的铸造工艺和文化水平.图中所示为觚，饮酒器，长身，侈口，口底均成喇叭状，外形近似双曲线的一部分绕虚轴所在直线旋转而成的曲面.已知，该曲面高15寸，上口直径为10寸，下口直径为7.5寸.最小横截面直径为6寸，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将实际问题转化成坐标系中的双曲线模型，列方程求解.
【详解】依题意，该酒杯可近似看成双曲线模型，建立直角坐标系，并作出双曲线如下：设均和轴垂直.则，，设双曲线的方程为：，根据双曲线经过，可知，设的纵坐标分别为，结合图像可知，由可得：，，解得，根据可知，，解得，于是.
故选：B

6．已知正数，满足，则的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知得，设，可得，令，利用导数可得最值判断出，再由可得答案.
【详解】均为正数，
因为，所以，设，
则，
令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，
即，所以，可得，
又得，综上，.
故选：D.
7．已知面积为6的直角中，为斜边上的两个三等分点，则的最小值为（    ）
A． B． C．8 D．
【答案】B
【分析】根据题意绘出草图，建立平面直角坐标系，由直角面积为6设出点P，Q坐标，代入向量的坐标运算，利用基本不等式可解得其最小值.
【详解】根据题意绘图如下，直角面积为6，设，则.
又为斜边上的两个三等分点，设，，，，，当且仅当，即时，取得最小值.
故选：B

8．已知直三棱柱中，，当该三棱柱体积最大时，其外接球的体积为（  ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】要使三棱柱的体积最大，则面积最大，故令，则，再结合余弦定理得，进而得，当且仅当时，取得最大值，此时为等腰三角形，，再求解三棱柱外接球的半径即可得答案.
【详解】解：因为三棱柱为直三棱柱，
所以，平面
所以，要使三棱柱的体积最大，则面积最大，
因为，
令
因为，所以，
在中，，
所以，，
所以，，
所以，当，即时，取得最大值，
所以，当时，取得最大值，此时为等腰三角形，，
所以，，
所以，
所以，由正弦定理得外接圆的半径满足，即，
所以，直三棱柱外接球的半径，即，
所以，直三棱柱外接球的体积为.
故选：C

二、多选题
9．已知函数，则下列论述正确的是（    ）
A．的定义域为
B．为偶函数.
C．是周期函数，且最小正周期为
D．的解集为
【答案】BD
【分析】利用余弦、对数函数的性质求定义域、解不等式判断A、D；奇偶性定义判断奇偶性判断B；根据即可判断C.
【详解】由，即，故定义域为，A错误；
，结合A知为偶函数，B正确；
，显然也是的周期，故最小正周期不是，C错误；
，则，即或，所以解集为，D正确.
故选：BD
10．在平面直角坐标系中，是圆上的两个动点，点坐标为，则下列判断正确的有（    ）
A．面积的最大值为1
B．的取值范围为
C．若为直径，则
D．若直线过点.则点到直线距离的最大值为
【答案】ABD
【分析】根据三角形面积公式即可判断A，根据直线与圆相切可判断B,根据向量的加法法则可判断C,根据点到直线的距离可判断D.
【详解】，（如图1）
由于，所以，
当时，取最大值为1，故 的面积最大值为1，A正确；
设当直线分别与圆相切时，此时最大，（如图2）
由于，所以在中， ，因此，故B正确；
当是直径时，是的中点，则,故C错误；
当时，此时圆心到直线的距离最大，且最大值为 ,（如图3）
故点到直线距离最大值为，故D正确；
故选：ABD

图1         图2      图3
11．设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（    ）
A．的取值范围为
B．的图像与直线在上的交点恰有2个
C．的图像与直线在上的交点恰有1个
D．在上单调递增
【答案】AB
【分析】当时，，且在上有且仅有4个零点，所以介于第四个零点与第五个零点之间，然后借助余弦函数的图像性质逐一判断即可.
【详解】当时，，
因为在上有且仅有4个零点，
所以，解得，故A正确.
又由以上分析知，函数在上有且仅有4个零点，
且，则在上，出现两次最大值，
即在上两次出现最大值1，
即取时，取最大值，
故的图像与直线在上的交点恰有2个，故B正确.
由于当时， ，
，当时，
取最小值，由于是否取到不确定，
故的图像与直线在上的交点可能是1个或2个，故C错误.
当时，
因为，所以，，
故不一定小于，所以在上一定不单调递增.故D错误
故选:AB.
12．在直四棱柱中中，为中点，点满足.下列结论正确的是（    ）

A．若，则四面体的体积为定值.
B．若平面，则的最小值为.
C．若的外心为，则为定值2.
D．若，则点的轨迹长度为.
【答案】ABD
【分析】对于A，由，可得三点共线，可得点在，而由直四棱柱的性质可得∥平面，所以点到平面的距离为定值，而的面积为定值，从而可进行判断，对于B，取的中点分别为，连接，由面面平行的判定定理可得平面∥平面，从而可得∥平面，进而可求得的最小值，对于C，由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断，对于D，在上取点，使得，可得点的轨迹为圆弧，从而可进行判断.
【详解】对于A，因为，，所以三点共线，所以点在，因为∥，平面，平面，所以∥平面，所以点到平面的距离为定值，因为的面积为定值，所以四面体的体积为定值，所以A正确，
对于B，取的中点分别为，连接，则∥，因为平面，平面，所以∥平面，因为∥，∥，所以∥，因为平面，平面，∥平面，因为，平面，所以平面∥平面，因为平面，所以平面，所以当时，最小，因为，所以，，所以，所以重合，所以的最小值为，所以B正确，

对于C，若的外心为，过作于，因为，所以，所以C错误，

对于D，过作于点，因为则可得平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，，
在上取点，使得，则，所以若，则在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，
因为，所以，则圆弧等于，所以D正确，

故选：ABD

三、填空题
13．已知的展开式中含项的系数为8，则实数___________.
【答案】3
【分析】根据题意得到的展开式的通项公式，再由条件列出方程即可得到结果.
【详解】因为的展开式的通项公式为，
则展开式中含项的系数为
解得
故答案为:
14．已知拋物线，过焦点的直线交抛物线于两点，过作准线的垂线，垂足为，若被轴平分，则直线的斜率为___________.
【答案】
【分析】根据题意绘出草图，把点的位置分两种情况进行讨论，分情况设出点的坐标，利用点与点关于轴对称关系（见详解图），结合直线的斜率来求解即可.
【详解】根据题意绘图如下，设直线AB交准线于G点，当点在第一象限时，设，则， 被轴平分，点与点关于轴对称，.

又，，，由得：，即，故，.
同理，当点在第四象限时，设，则有.
综上分析得知：.
故答案为：
15．将正整数分解为两个正整数的积，即，当两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如即为6的最优分解，当是的最优分解时，定义，则数列的前100项和为___________.
【答案】
【分析】根据定义得到为奇数和为偶数时，的通项公式，进而求出前100项和.
【详解】当时，由于，此时，
当时，由于，此时，
所以的前100项和为.
故答案为：
16．已知函数，，若存在，，使得成立，则的最小值为______.
【答案】
【分析】利用导数研究函数可得函数的单调性情况，且时，，时，，同时注意，则，所以，构造函数，，利用导数求其最小值即可．
【详解】函数的定义域为，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
又，所以时，；时，；时，，
同时注意到，
所以若存在，，使得成立，
则且，
所以，所以，
所以构造函数，而，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，即.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：利用同构的方式将联系起来，这样就构造了新函数，然后利用导数研究函数的单调性及最值.

四、解答题
17．已知中，内角所对的边分别为，且
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)利用正弦定理角化边再结合余弦定理可求解;(2) 由为锐角三角形确定,用正弦定理以及面积公式即可求解.
【详解】(1)由题知：，
由正弦定理可化为：，
即，
由余弦定理知，
故.
(2)由题知为锐角三角形且，
则  ，即，
则，
又由正弦定理，



，
又，
则，
故.
18．已知数列为等差数列，其前项和为，且，又为与的等比中项.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和；
(3)若，判断数列是否存在最大项和最小项，若存在，求的最大和最小项，不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，最小项为，最大项为

【分析】（1）先根据可求出公差，然后根据为与的等比中项可求出首项，最后代入等差数列的通项公式即可；
（2）用错位相减法可求；
（3）构造函数，通过求导判断出其单调性，进而求出其最大值与最小值.
【详解】(1)解：由题知：，且为等差数列，设公差为，故
即，故
又即
解得
故
(2)解：由题知中：则有


故


(3)解：由题知：，故，
令，则，故
又，当时，单调递增，当时，单调递减，
故
又，且
故
综合得，数列的最小项为，最大项为
19．伴随经济的飞速发展，中国全民健身赛事活动日益丰富，公共服务体系日趋完善.据相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上.健身之于个人是一种自然而然的习惯，之于国家与民族，则是全民健康的基础柱石之一，某市一健身连锁机构对去年的参与了该连锁机构健身的会员进行了统计，制作成如下两个统计图，图1为该健身连锁机构会员年龄等级分布图，图2为一个月内会员到健身连锁机构频数分布扇形图

若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类，将一月内来健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有是“年轻人”.
(1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100人的样本，根据上图的数据，补全下方列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为是否为“健身达人”与年龄有关；
类别
年轻人
非年轻人
合计
健身达人



健身爱好者



合计


100

临界值表：












(2)将（1）中的频率作为概率，连锁机构随机选取会员进行回访，抽取3人回访.
①若选到的3人中2人为“年轻人”，1人为“非年轻人”,再从这3人中随机选取的1人，了解到该会员是“健身达人”，求该人为非年轻人的概率；
②设3人中既是“年轻人”又是“健身达人”的人数为随机变量X，求X的分布列和期望值.
【答案】(1)列联表答案见解析，不能认为“健身达人”与年龄有关
(2)①；②分布列答案见解析，数学期望：

【分析】（1）首先根据题意填写好表格，根据公式计算值，对照表格得到结论；
（2）根据条件概率公式得到此人为非年轻人的概率，根据独立性检验实验分，计算各自概率，得到分布列.
【详解】(1)根据年轻人标准结合图1可得年轻人占比为80%，则年轻人人数为，则非年轻人为20人，根据图2表格得健身达人所占比60%，所以其人数为，根据其中年轻人占比，所以健身达人中年轻人人数为，则非年轻人为10人；
健身爱好者人数为，再通过总共年轻人合计为80人，则健身爱好者中年轻人人数为，3根据非年轻人总共为20人，则健身爱好者中非年轻人人数为，具体表格填写如下.
列联表为
类别
年轻人
非年轻人
合计
健身达人
50
10
60
健身爱好者
30
10
40
合计
80
20
100

零假设，是否为“健身达人”与年龄无关.

所以，依据的独立性检验，不能认为“健身达人”与年龄有关；
(2)①设事件为：该人为年轻人，事件为：该人为健身达人，故此人为“非年轻人”的概率为则
②由（1）知，既是年轻人又是健身达人的概率为，
，




故X的分布列：

0
1
2
3






的数学期望值
.
20．如图，圆柱的轴截面为正方形，点在底面圆周上，且为上的一点，且为线段上一动点（不与重合）

(1)若，设平面面，求证：；
(2)当平面与平面夹角为，试确定点的位置.
【答案】(1)证明见解析；
(2)为中点.

【分析】（1）由线面垂直、圆的性质有、，再由线面垂直的判定及性质得，进而有面，最后由线面垂直的性质、射影定理及线面平行的判定和性质证结论；
（2）构建空间直角坐标系求的坐标，设，可得，再分别求出面、面的法向量，结合已知面面角的大小求参数，即可确定点的位置.
【详解】(1)由题知面面，则，
由为底面圆的直径，则，
由，面，
面，
又∵面，∴，
又，面，
面，
又∵面，故.
由，在中，由射影定理：，
故面面,
∴面，又面面，面，
∴.
(2)由（1）知，以为原点为轴正方向，过的母线为轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设，

则，
设，，
设面的法向量为，则，
令，则，
又平面的一个法向量
设平面与平面的夹角为，则，
解得或，
其中时重合，不合题意，
故当平面与平面夹角为时，此时为中点.
21．已知椭圆的左右焦点分别为，，左右顶点分别为为垂直于轴的动直线.

(1)当时，设直线交椭圆于两点，直线的斜率之积为，且的周长最大值为，求椭圆方程；
(2)在第（1）问条件下，将直线移动至处，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于两点，直线分别交椭圆于点，试探究直线是否经过定点，若是，请求出该定点，若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)过定点，定点

【分析】（1）设出的坐标，得到，再根据的周长最大值为，即可得到的值，从而得到椭圆方程.
（2）设直线PQ的方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理，表示出点的坐标，再根据为直径得到，计算化简，即可得到结果.
【详解】(1)
设C点坐标为，由对称轴知
又
故
点在椭圆上，故代入得

又周长
当且仅当三点共线时，可取到“=”，故
综合知
故所求椭圆方程为
(2)由题知，直线PQ斜率不为0，设为
联立得
，且
点坐标为，故
令则
同理且
又以为直径的圆过点，即
即：
即：
即：
代入化简得：
解得：或
时，过不合题意
时，直线过满足题意
即过定点
22．已知（为自然对数的底数），
(1)当时，若直线是与的公切线，求的方程；
(2)若对于任意的，都有，求实数的取数范围.
【答案】(1)或
(2)

【分析】（1）分别设与，的切点，求出切线方程，进而结合公切线建立方程，再解方程得切点坐标，再求解切线方程即可；
（2）由题知，进而令，求函数的最小值得，再结合单调性得，则，最后根据在上单调递增即可得答案.
【详解】(1)解：设与的切点
又
切线方程为：，即①
设与切点为

切线方程为：，即②
由题知，①，②都是的方程，则有 ，
消去得，即，解得或
当时切线方程为
当时切线方程为
综上，直线的方程为或.
(2)解：要使，即
令，
易知在单调递增，
因为趋近于时趋近于，趋近于时趋近于，
故必有，使，此时
则当时单调递减；
当时单调递增.
故
又，
所以
令，
因为
所以在单调递减
所以，要使，则
又在上单调递增
所以，，即实数的取数范围为.
【点睛】本题考查利用导数求救公共切线问题，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，逻辑推理能力等.本题第二问解题的关键在于构造函数，结合函数隐零点问题，得，，再研究最小值大于等于零恒成立得，进而得的取数范围.