2022届湖南省岳阳市岳阳县一中高三下学期高考适应性考试数学试题含解析

这是一份2022届湖南省岳阳市岳阳县一中高三下学期高考适应性考试数学试题含解析，共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

湖南省岳阳市岳阳县一中2022届高三下学期高考适应性考试
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，若有三个元素，则实数m的取值范围是（　　）
A．[3，4） B．[1，2） C．[2，3） D．（2，3]
2．下列选项中，说法正确的是（　　）
A．若 ，则
B．向量，（m∈R）垂直的充要条件是m＝1
C．命题“ ”的否定是“ ”
D．某辩论社由4名男生和5名女生组成，现从中选出5人组成代表队参加某项辩论比赛．要求代表队中至少一名男生，并且女生人数要比男多，那么组队的方法数为80.
3．已知点A（2，0），B（0，﹣1），点是圆x2+（y﹣1）2＝1上任意一点，则 面积最大值为（       ）
A．2 B． C． D．
4．已知角的终边经过点P()，则sin()=（       ）
A． B． C． D．
5．函数（）在一个周期内的图象可以是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（　　）

A．AH⊥△EFH所在平面
B．AG⊥△EFH所在平面
C．HF⊥△AEF所在平面
D．HG⊥△AEF所在平面
7．已知椭圆 及圆O：，如图，过点与椭圆相切的直线l交圆O于点A，若 ，则椭圆离心率的为（     ）

A． B． C． D．
8．已知定义在上的函数满足，且时，上恒成立，则不等式 的解集为（       ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．若的展开式中的系数是，则（       ）
A． B．所有项系数之和为1
C．二项式系数之和为 D．常数项为
10．已知在边长为2的等边中，向量满足，则下列式子正确的是（       ）
A． B． C． D．
11．已知抛物线C：的焦点为F，点P在抛物线C上，，若为等腰三角形，则直线AP的斜率可能为（       ）
A． B． C． D．
12．过平面内一点作曲线两条互相垂直的切线､，切点为､（､不重合），设直线､分别与轴交于点､，则下列结论正确的是（       ）
A．､两点的横坐标之积为定值 B．直线的斜率为定值；
C．线段的长度为定值 D．三角形面积的取值范围为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知复数z满足，则_____________
14．某种产品的广告支出费用x（单位：万元）与销售量y（单位：万件）之间的对应数据如表所示：
广告支出费用x
2.2
2.6
4.0
5.3
5.9
销售量y
3.8
5.4
7.0
11.6
12.2
根据表中的数据可得回归直线方程2.27x，R2≈0.96，则
①第三个样本点对应的残差1       
②在该回归模型对应的残差图中，残差点比较均匀地分布在倾斜的带状区域中
③销售量的多少有96%是由广告支出费用引起的       
上述结论判断中有一个是错误的，其序号为 _____________
15．某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为，球形巧克力的半径为，每个球形巧克力的体积为，包装盒的体积为，则 ________

16．已知函数，若函数，则函数的图象的对称中心为______；若数列为等差数列，，______．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，请从条件①、条件②、条件③中任意选择两个作为已知条件作答．
条件①：的最小值为；
条件②：的图象的一个对称中心为；
条件③：的图象经过点．
(1)求的解析式；
(2)在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，，求周长的最大值.
18．如图，在五面体中，△是边长为2的等边三角形，四边形为直角梯形，，，，．

(1)若平面平面求证：；
(2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
19．冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，．

(1)求甲、乙两人所得分数相同的概率；
(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望．
20．设等差数列的前n项和为，数列是首项为1公比为的等比数列，其前n项和为，且，对任意恒成立.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
21．已知椭圆过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于、两点，过、作直线的垂线，垂足分别为、，点为线段的中点，为椭圆的左焦点．求证：四边形为梯形．
22．已知函数（是自然对数底数）.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：

参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据题意，由集合B可得，又由有三个元素，由交集的意义分析可得m的取值范围，即可得答案．
【详解】
根据题意则A={0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，，
若有三个元素，则有，
即实数m的取值范围是[2，3）；
故选：C
2．D
【解析】
【分析】
根据对数函数的性质判断A，根据向量垂直的坐标表示判断B，根据含量词的命题的否定判断C，根据排列组合知识判断D.
【详解】
对于A，当时，，∴A错误；
对于B，向量，垂直的充要条件m+m（2m﹣1）＝0，解得m＝0，∴B错误；
对于C，命题“”的否定是“”，∴C错误；
对于D，5人的代表队中至少一名男生，且女生人数要比男多，分2种情况讨论：
①5人的代表队中有2男3女，有 种选法，
②5人的代表队中有1男4女，有种选法，则一共有60+20＝80种选法，D正确，
故选：D.
3．D
【解析】
【分析】
结合点到直线距离公式及图形求出圆上点到直线距离的最大值，由此可求面积的最大值.
【详解】
由已知，
要使的面积最大，只要点P到直线的距离最大．
由于AB的方程为1，即x﹣2y﹣2＝0，
圆心（0，1）到直线AB的距离为d，
故P到直线AB的距离最大值为1，
所以面积的最大值为，
故选：D．
4．A
【解析】
【详解】
由题意可得三角函数的定义可知：
，，则：

本题选择A选项.
5．C
【解析】
【分析】
根据辅助角公式化简函数，利用平移关系，即可判断选项.
【详解】
，（其中），因为，
所以，因为正弦函数的周期为2π，
将y的图象向左或者向右平移（）个单位，可得的图象，
结合选项可知，C符合题意.
故选：C
6．A
【解析】
【分析】
利用原图中的垂直关系可证AH⊥△EFH所在平面，从而可判断ABD，根据与不垂直可判断C.
【详解】
解析：原图中AD⊥DF，AB⊥BE，所以折起后AH⊥FH，AH⊥EH，FH∩EH＝H，
又FH平面EFH，EH平面EFH，所以AH⊥△EFH所在平面．故A正确，B错误；
由上知，，故D错误；由原图知与不垂直，故C错误.
故选：A.
7．A
【解析】
【分析】
由条件列出的齐次方程，由此可求椭圆离心率的值.
【详解】
由题意得是等边三角形，则直线的倾斜角为，其斜率为，故直线的方程为，代入椭圆方程整理得，其判别式，化简可得，则，又，所以，
故选：A.
8．B
【解析】
【分析】
令，利用定义证明其奇偶性，由得出的单调性，将所求不等式变为，从而得到，利用函数的奇偶性以及单调性解不等式即可.
【详解】
由题得，
令，则为偶函数
时，，则，则递增
由得：
，即，
则，所以.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了利用函数的单调性以及奇偶性解不等式，构造新函数是解题关键，本题属于中档题.
9．ABC
【解析】
【分析】
首先根据展开式中的系数是得到，从而判断A正确，令得到所有项系数之和为，从而判断B正确，根据二项式系数之和为，从而判断C正确，根据的常数项为，从而判断D错误.
【详解】
对选项A，的展开式中项为，
所以，解得，故A正确；
由A知：，
令，所有项系数之和为，故B正确；
对选项C，二项式系数之和为，故C正确；
对选项D，的常数项为，故D错误.
故选：ABC
【点睛】
本题主要考查二项式的定理的各项系数之和，项的系数之和，常数项，属于中档题.
10．ABD
【解析】
【分析】
先把向量，用三角形的三条边的向量进行表示，再对选项进行一一判断，即可得到答案；
【详解】
，
对A，，故A正确；
对B，，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确；
故选：ABD
11．AB
【解析】
【分析】
由题意知，然后分和两种情况求出点的坐标，从而可求出直线AP的斜率
【详解】
由题意知，设，
若，则，解得，
则点P的坐标为或，
所以或；
若，则.
因为，所以，解得或（舍去），
所以点P的坐标为或，
所以或.
故选：AB
12．ABC
【解析】
【分析】
A.由条件可知两条直线的斜率存在时，斜率之积为-1，讨论的位置，即可判断；
B.由两点的坐标，表示直线的斜率，即可判断；
C.分别求切线方程，并表示点的坐标，即可求线段的长度；
D.根据切线方程，求交点的横坐标，因为为定值，即转化为求点的横坐标的取值范围.
【详解】
因为，
所以，当时，；当时，，
不妨设点，的横坐标分别为，且，
若时，直线，的斜率分别为，，此时，不合题意；
若时，则直线，的斜率分别为，，此时，不合题意.
所以或，则，，
由题意可得，可得，
若，则；若，则，不合题意，所以，选项A对；
对于选项B，易知点，，
所以，直线的斜率为，选项B对；
对于选项C，直线的方程为，令可得，即点，
直线的方程为，令可得，即点，
所以，，选项C对；
对于选项D，联立可得，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，则当时，，
所以，，选项D错.
故选：ABC.
13．4
【解析】
【分析】
根据复数的运算公式求出复数的代数形式，再由复数模的公式求.
【详解】
因为，所以，
所以，
故答案为：4
14．②
【解析】
【分析】
求出，代入回归直线方程求得系数，利用回归方程可得残差，从而判断①②，根据判断③．
【详解】
解：由表可知，
4，8．
∴样本中心点为（4，8），
将其代入线性回归方程2.27x，有8＝2.27×4，解得1.08，
故线性回归方程为2.27x﹣1.08．
当x＝4时，2.27×4﹣1.08＝8，所以残差y7﹣8＝﹣1，即选项正确；
当x＝2.2时，3.914，3.8﹣3.914＝﹣0.114，
当x＝2.6时，4.822，5.4﹣4.822＝0.578，
当x＝5.3时，10.951，11.6﹣10.951＝0.649，
当x＝5.9时，12.313，12.2﹣12.313＝﹣0.113．
可知在该回归模型对应的残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，故错误；
∵R2≈0.96，∴销售量的多少有96%是由广告支出费用引起的，故正确；
故答案为：②．
15．
【解析】
【分析】
根据给定条件，求出包装盒的底面半径与球形巧克力半径的关系，再利用圆柱、球的体积公式计算作答.
【详解】
由图知，包装盒的高为，因此，，又，
所以.
故答案为：
16．          44
【解析】
【分析】
根据题意计算的值，从而可求出其对称中心，由等差数列的性质结合，可得，再利用等差数的性质和的对称性可求出的值
【详解】
因为，
所以


，
所以的图象的对称中心为，即为，
因为等差数列中，，
所以，得，
因为的图象的对称中心为，
所以， ，，，，
因为，
所以 ，
故答案为：，44
17．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）若选①②，由①得，再根据正弦函数的图象的对称中心可求出，即可得解；
若选①③，由①得，再根据正弦函数的图象经过点可求出，即可得解；
若选②③，根据正弦函数的图象的对称中心可求出，根据正弦函数的图象经过点求出，即可得解.
（2）根据求出，再根据余弦定理得，再根据基本不等式，即可得解.
(1)
因为图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，即，所以，所以，
若选①②，则，，，即，，
因为，所以，
所以；
若选①③，则，，即，
因为，所以，所以，得，
所以；
若选②③，，，即，，
因为，所以，此时，
因为，所以，即，所以，
所以
(2)
由（1）知，，
因为，所以，
因为，所以，
所以，即，
因为，当且仅当时，取等号，
所以，所以，
所以，即周长的最大值为.
18．(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由线面平行的判定可得平面，再由线面平行的性质即可证结论.
（2）取的中点O，连接，，由已知及线面垂直判定有平面，进而可得平面，构建空间直角坐标系并确定相关点坐标，求出面、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值．
(1)
由，面，面，
所以平面，又面面，平面，
所以.
(2)
取的中点O，连接，.
由，则，又，，
所以平面，                                                                   
由，则四边形是平行四边形，
所以，则平面．
如图建立空间直角坐标系，则，
由，则，

设平面的法向量为，又，，
则，若，即．
设平面的法向量为，又，，
则，若，即，
所以，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
19．(1)
(2)分布列见解析；期望为
【解析】
【分析】
（1）求出甲乙二人都得0分的概率，然后由两人同时得0分、1分、2分、3分计算概率并相加即可；
（2）由题意X可能取值为0，1，2，3，4，5，6，分别计算出概率得分布列，由期望公式计算期望．
(1)
由题意知甲得0分的概率为，
乙得0分的概率为，
所以甲、乙两人所得分数相同的概率为．
(2)
X可能取值为0，1，2，3，4，5，6，
则，
，
，
，
，
，
，
所以，随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
5
6
P







所以．
20．(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件及等差等比数列的通项公式及前n项和公式即可求解；
（2）利用（1）得出的通项公式，再利用错位相减法求出，将不等式恒成立问题转化为最值问题即可求解.
(1)
设等差数列的首项为，公差为则
由，得即
由①得，由②得，由③得，
所以数列的通项公式为，
所以数列的通项公式为.
(2)
由（1）知，，所以，
①
②
②-①得：
化简得：，
又因为，即
即，
（i）当时，，所以；
（ii）当时，，
令，则


当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增；
当时，取得最小值为
，即,
所以的取值范围是.
21．(1)
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件，结合离心率的定义和的平方关系，求得的值，进而得到椭圆的方程.
（2）分析可得四边形为梯形的充分必要条件是，设,可转化为证明，然后联立方程组，利用韦达定理证得此式，即证得结论.
(1)
解：由已知得,解得,
∴椭圆的方程.
(2)
证明：由（1）的结论可知，椭圆的左焦点,
设,则,.
，.
∵直线与椭圆交于、两点，
∴
由于直线与直线不平行，
∴四边形为梯形的充分必要条件是，即，
即,即,
∵,∴上式又等价于，
即（*）.
由,得,
∴,

，
∴（*）成立，
∴四边形为梯形.
22．(1)单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）把代入，求出函数的导数并变形，构造函数探求大于0或小于0的取值区间作答.
（2）在给定条件下探讨函数的最大值，将不等式转化为证的最大值小于即可作答.
(1)
依题意，函数的定义域为，当时，，求导得，
令，则，则在上单调递减，而，
当时，，，当时，，，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)
当时，，，令，则，
在上单调递减，而，，
则有，即，有，
当时，，，在上单调递增，
时，，，在上单调递减，
因此，函数在时取最大值，即，
令函数，则在上单调递减，即有，
要证，即证，只需证，
令，，则在上单调递减，
因此，，即成立，则有成立，
所以当时，不等式成立.
【点睛】
思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.