湖南省岳阳市岳阳县2023届高三下学期新高考适应性测试数学试题（含解析）

湖南省岳阳市岳阳县2023届高三下学期新高考适应性测试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（    ）

A．-3 B．-1 C．1 D．3

2．已知：，，：，若为真，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．空间中，是三个互不重合的平面，是一条直线，则下列命题中正确的是

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

4．某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的名男医生(含一名主任医师)､名女医生(含一名主任医师)中分别选派名男医生和名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（    ）

A． B． C． D．

5．已知函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

6．已知等差数列的前项和为，若，，下列结论正确的是（    ）

A．数列是递增数列 B．

C．当取得最大值时， D．

7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若点M满足，且∠MAB＝∠MBA，则△AMC的面积是（    ）

A． B． C． D．

8．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知正实数a，b满足，则（    ）

A． B． C． D．

10．关于函数，下列结论正确的是（    ）

A．函数的最大值是

B．函数在上单调递增

C．函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到

D．若方程在区间有两个实根，则

11．在长方体中，，E是棱的中点，过点B，E，的平面交棱AD于点F，点P为线段上一动点，则（    ）

A．三棱锥的体积为定值

B．存在点P，使得

C．直线PE与平面所成角的正切值的最大值为

D．三棱锥外接球表面积的取值范围是

12．已知双曲线与椭圆的焦点相同，双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点.若，则下列说法正确的有（       ）

A．双曲线的渐近线方程为

B．过点存在两条直线与双曲线有且仅有一个交点

C．点在变化过程中，面积的取值范围是

D．若，则的内切圆面积为

三、填空题

13．已知向量，满足，，，则___________．

14．的展开式中，的系数为______．

15．如图，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是_______.

四、双空题

16．我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.现有一张半径为的圆形纸，对折次可以得到两个规格相同的图形，将其中之一进行第次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相同，取规格相同的两个之一进行第次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推，每次对折后都会有两个图形规格相同.如果把次对折后得到的不同规格的图形面积和用表示，由题意知，，则________；如果对折次，则________.

五、解答题

17．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的最小正周期及解析式；

(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值.

18．已知数列满足.

(1)求的通项公式；

(2)已知数列的前20项和.

19．如图，在四棱锥P—ABCD中，已知PC⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝1，E是PB上一点．

(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；

(2)若E是PB的中点，且二面角P—AC—E的余弦值是，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

20．汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：

(1)统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；

(2)为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业心随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油汽车的有名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车．

①若，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）中的线性回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数（假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千人）；

②设男性车主中购置新能源汽车的概率为，将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为，求当为何值时，最大．

附： 为回归方程，，．

21．已知、分别为椭圆的左、右焦点，M为上的一点.

(1)若点M的坐标为，求的面积；

(2)若点M的坐标为，且直线与交于不同的两点A、B，求证：为定值，并求出该定值；

(3)如图，设点M的坐标为，过坐标原点O作圆（其中r为定值，且）的两条切线，分别交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为，.如果为定值，求的取值范围，以及取得最大值时圆M的方程.

22．已知函数

(1)求函数的极值；

(2)设，为两个不等的正数，且，若不等式恒成立，求实数的取值范围．

参考答案：

1．A

【分析】利用复数的除法，将复数表示为一般形式，然后利用复数的实部与虚部相等求出实数的值.

【详解】解：

因为复数的实部与虚部相等，

所以，解得

故实数a的值为.

故选：A

2．A

【分析】利用基本不等式求出命题为真时的取值范围，再解一元二次不等式得到，最后根据为真，求出参数的取值范围；

【详解】解：若为真：即，，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以；

因为，所以，解得

因为为真，所以为真且为真，所以解得，即

故选：A

3．C

【详解】若l∥α，l∥β，则α与β可能平行也可能相交(此时交线与l平行)，故A错误；

若，，则l∥α或l⊂α，故B错误；

若，，则l与β可能平行也可能相交，故D错误；

若l∥β，则存在直线m⊂β，使得l∥m，又由l⊥α可得m⊥α，故α⊥β，故C正确；

本题选择C选项.

4．A

【分析】设事件A表示“有一名主任医师被选派”，事件B表示“两名主任医师都被选派”，则由题意可知所求为，代入条件概率的公式计算即可.

【详解】设事件A表示“有一名主任医师被选派”，事件B表示“两名主任医师都被选派”，则“在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派”的概率为.

故选：A.

5．D

【分析】利用导数判断函数的单调性，在根据偶函数性质得到全局的单调性，最后根据单调性脱去函数记号，解不等式来处理.

【详解】当时，，所以，因为，所以，

即，所以函数在上单调递增，又因为函数为上的偶函数，所以函数在上单调递减．则不等式，

即等价于，解得或．

故选：D．

6．B

【分析】根据等差数列求和公式及等差中项，得到，，，进而得到数列是递减数列，作差法比较出，进而判断出答案.

【详解】，所以，，所以，所以且，所以数列是递减数列，且当时，取得最大值.故B正确，AC错误.

因为，所以，故D错误.

故选：B.

7．D

【分析】由正弦定理及诱导公式结合可得.

由，结合可得，.后由∠MAB＝∠MBA，结合正弦定理，可得，即可得面积

【详解】由正弦定理及诱导公式，可得：

，

化简得：，又，则.

又，则 ，.

因，则，，

则在MAC中，，解之：.

则，

则MAC中，边对应高，

则MAC面积．

8．D

【分析】设内层椭圆方程为，由题可知外层椭圆可设成 ，再根据直线与椭圆的位置关系可求出，即可利用求出离心率．

【详解】设内层椭圆方程为,因为内外椭圆离心率相同，

外层椭圆可设成 ，

设切线A C的方程为, 与联立得：

，由, 则,

 同理可得,, 则,

因此．

故选：D.

9．ABC

【分析】利用基本不等式可得A,B,D正误，利用1的妙用可得C的正误.

【详解】对于A，因为，所以，当且仅当，即时，取到等号，故A正确；

对于B，，当且仅当，即时，取到等号，故B正确；

对于C，，当且仅当，即时，取到等号，故C正确；

对于D，，所以，当且仅当，即时，取到等号，故D错误．

故选：ABC.

10．BCD

【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式为，利用正弦型函数的最值可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；利用三角函数图象变换可判断C选项；数型结合可判断D选项.

【详解】

.

对于A：函数的最大值是，A选项错误；

对于B：时，，是正弦函数的递增区间，故B选项正确；

对于C：函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，

即函数的图象，C选项正确；

对于D：当时，，令，则，

由题意可知，直线与函数在上的图象有两个交点，如下图所示：

当时，，

由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，

因此，实数的取值范围是，D对.

故选：BCD.

11．ACD

【分析】对于选项A，利用面面平行的性质，得到平面，从而可判断出选项A正确；对于选项B，假设存在，可推出平面，从而判断选项B错误；对于选项C，利用线面角的定义，找出线面角为，从而在中，求出的值，进而判断选项C正确.对于选项D，利用球的截面圆的几何性质，找出球心在直线上，利用，建立方程，从而求出球的表面积的取值范围.

【详解】对于A，因为平面平面，根据面面平行的性质，平面与这两个平面的交线互相平行，即，

因为面，面，所以平面，

又点P在线段上,所以三棱锥的体积为定值，故A正确；

对于B，若存在点P，使得，因为，则，

因为，平面,所以平面，与题意矛盾，故B错误；

对于C，如图1所示，取BC的中点Q，连接，

则点P在平面内的射影在上，直线PE与平面所成角即，且有

由已知可得，最小为，所以的最大值为，故C正确．

对于D，如图2，取的中点G，连接AG，分别取BE，AG的中点，

连接，因为是等腰直角三角形，

所以三棱锥外接球的球心O在直线上，

设三棱锥外接球的半径为R，则，

所以，

设，则，

所以,

当点P与F重合时，取最小值，此时，

三棱锥外接球的表面积为，

当点P与重合时，取最大值，

此时，三棱锥外接球的表面积为，故D正确．

故选：ACD

12．AC

【分析】结合双曲线的定义、圆的切线长定理求得，从而求得双曲线的方程，结合双曲线的渐近线、直线和双曲线的交点、焦点三角形的性质、三角形内切圆面积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】由题可得，

因为的内切圆与边相切于点，设的内切圆与分别切于，如图，

由切线长定理可知，，

所以，

，

所以双曲线的方程为，

对A，由题可得双曲线的渐近线方程为，故A正确；

对B，由双曲线的性质可知过点的直线与渐近线平行时与双曲线有且仅有一个公共点，

又过点的直线斜率不存在时，即与双曲线有且仅有一个公共点，

故过点的直线存在三条直线与双曲线有且仅有一个交点，故B错误.

对C，因为面积为，因此只需求的范围即可，可取临界位置，

当与渐近线平行时，不妨设，令可得，

当与另一条渐近线平行时，不妨设，联立双曲线方程，

解得，即，所以，令可得，

所以，，故C正确；

对D，当时，则，，解得，

故的内切圆的周长为，

的面积为，

由题可知，故，，即，

所以，，设的内切圆的半径为，

则，即，的内切圆的面积为，故D错误.

故选：AC.

【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法有：

（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；

（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．

13．

【分析】由得，展开可得关于的方程，解方程即得答案.

【详解】因为，所以，

即，

即，因为，所以可解得.

故答案为：

14．30

【分析】建立组合模型求解

【详解】 表示5个因式的乘积，在这5个因式中，有2个因式选 ，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选 ，即可得到含 的项，即可算出答案．

表示5个因式的乘积，

在这5个因式中，有2个因式选 ，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选 ，即可得到含 的项，故含的项系数是.

故答案为：30

15．

【分析】求出抛物线的焦点，准线方程为，三角形周长转化为，求出范围可解.

【详解】抛物线的焦点，准线方程为，

圆的圆心，

三角形周长为：

周长的取值范围是

故答案为：

【点睛】利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．

16．         

【分析】首先根据题意得到，再计算即可；根据题意得到，再利用分组求和法求和即可.

【详解】因为，，

所以，

所以.

.

故答案为： ；

17．(1)，

(2).

【分析】（1）由图象可知，相邻的对称中心和对称轴距离相差，再代入关键点可得解析式；

（2）根据图象的变换得到解析式，再根据正弦函数的图象与性质可得其在区间上最值.

【详解】（1）由图象可知的最大值为1，最小值-1，故；

又∴，

将点代入，

∴，

∵∴

故答案为：，.

（2）由的图象向右平移个单位长度得到函数

∵

∴

∴当时，即，；

当时，即，

故答案为：

18．(1)

(2)

【分析】（1）根据得到，然后两式相减得到，最后验证时是否成立，即可得到；

（2）分奇偶项求和，奇数项用等差数列求和公式求和，偶数项用裂项相消的方法求和，最后相加即可.

【详解】（1）当时，可得，

当时，，

，

上述两式作差可得，

因为满足，所以的通项公式为.

（2），

所以，

.

所以数列的前20项和为.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）设AB的中点为G，连接CG，易得四边形ADCG为边长为1的正方形，得到，再由，从而证得平面PBC，再利用面面垂直的判定定理证明；

（2）建立空间直角坐标，设 ，易知 为 平面 PAC的一个法向量，再求得平面EAC的一个法向量 ，由，求得 ，从而得到 求解.

【详解】（1）证明：如图所示：

因为PC⊥底面ABCD，AC底面ABCD，

所以，又，在中，，

设AB的中点为G，连接CG，则四边形ADCG为边长为1的正方形，

所以，且，

则，所以，又，

所以平面PBC，又平面EAC，

所以平面EAC⊥平面PBC；

（2）建立如图所示空间直角坐标系：

则，

设 ，则 ，

所以 ，

因为 ，

所以 平面PAC，则 为 平面 PAC的一个法向量，

设平面EAC的一个法向量为 ，

则 ，即 ，

令 ，则 ，

所以 ，

解得 ，则 ，

设直线PA与平面EAC所成的角为 ，

则 ，

所以 直线PA与平面EAC所成的角的正弦值为.

20．(1)，2028年

(2)①万人；②

【分析】（1）根据所给数据，结合线性回归的公式求解方程，再令求解即可；

（2）①计算该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的频数与总人数求解即可；

②根据二项分布的概率公式可得，再求导分析的最大值即可.

【详解】（1）解：由题意得 ，，

，．

所以，．

所以关于的线性回归方程为，令，得，

所以最小的整数为12，，

所以该地区新能源汽车的销量最早在2028年能突破50万辆．

（2）解：①由题意知，该地区200名购车者中女性有名，

故其中购置新能源汽车的女性车主的有名．

所购置新能源汽车的车主中，女性车主所占的比例为．

所以该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的概率为．

预测该地区2023年购置新能源汽车的销量为33万辆，

因此预测该地区2020年购置新能源汽车的女性车主的人数为万人

②由题意知，，则

当时，知所以函数单调递增

当时，知所以函数单调递减

所以当取得最大值．

此时，解得，所以当时取得最大值．

21．(1)；

(2)证明见解析，0；

(3)，圆M的方程为或.

【分析】（1）将点代入求出，再求出左、右焦点即可求解.

（2）将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理以及向量数量积的坐标运算即可求解.

（3）设出直线:，直线:，利用点到直线的距离公式可得、是关于的方程的两实根，根据题意为定值，可得，，设，，将直线:，直线:与椭圆联立，求出，即求.

【详解】（1）由已知条件得，因为，则，又，

因此的面积为.

（2）设，由，得，

，又，，

，

于是

，

即为定值.

（3）因为直线:与相切，则，即，

同理，由直线:与相切，可得，

于是、是关于的方程的两实根，

注意到，且，故，

因为定值，故不妨设（定值），

于是有，即.

依题意可知，变化，而、均为定值，即有，解得，，

设，，由得，同理，

所以

，当且仅当时取等号，

因此，解得，所以的范围为，

当或时，直线关于坐标轴对称，此时圆心M为椭圆顶点，

所以圆M的方程为或.

【点睛】思路点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．

22．(1)函数极大值1，无极小值；

(2).

【分析】(1)对函数求导，求出导数值的零点并判断在其左右两侧导数值正负即可计算作答.

(2)令，把问题转化为用函数表示出，再利用(1)中信息进行推理计算作答.

【详解】（1）函数定义域为R，求导得，当时，，当时，，

因此，函数在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，函数有极大值1，无极小值.

（2）令，即，

则，

依题意，两个不等的实数满足，且不等式恒成立，

不妨令，由(1)知，在上递增，在上递减，且当时，恒成立，而，

因此有，由知，，，则有，而在上递减，

从而有，即，两边取对数得：，

即，，令，，

，

当时，，则在上单调递增，，符合题意，

当时，即，当时，，在上单调递减，

当时，，不符合题意，

综上得：，

所以实数的取值范围是.

【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.