还剩72页未读，
继续阅读
【期末专项】苏科版初一数学上册期末复习专题 与角相关的旋转（翻折）问题 专项讲练
展开
这是一份【期末专项】苏科版初一数学上册期末复习专题 与角相关的旋转（翻折）问题 专项讲练，共75页。
专题 与角相关的旋转（翻折）问题 专项讲练
与角有关的旋转（翻折）问题属于苏科版七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转问题（求值问题；定值问题；探究问题；分类讨论问题）和与角有关的翻折问题。
【与角相关的旋转问题】
【解题技巧】
1、角度旋转问题解题步骤：
①找——根据题意找到目标角度；
②表——表示出目标角度：
1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间；
2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间；
3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大：
变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角
③列——根据题意列方程求解。
注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。
常见的三角板旋转的问题：三角板有两种，一种是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一种是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。
总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。
【重要题型】
题型1：求值问题
例1．（2022·江苏·七年级期中）已知∠AOB和∠COD均为锐角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC=α（0≤α＜180°）
（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①当α=0°时，如图1，则∠POQ= ；②当α=80°时，如图2，求∠POQ的度数；③当α=130°时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ的度数；
（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，则∠POQ= ，（请用含m、n的代数式表示）．
变式1．（2022•高新区期末）已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如图1所示摆放，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧：
（1）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O旋转至如图2所示的位置，则
①∠AOC+∠BOD＝ ；②∠BOC﹣∠AOD＝ ．
（2）若∠COD按每分钟5°的速度绕点O逆时针方向旋转，∠AOB按每分钟2°的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算∠MOC﹣∠AOD（用t的代数式表示）．
（3）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O逆时针方向旋转n°（n≤360），若射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的大小．
变式2.（2022•浙江七年级期中）如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．（注：本题旋转角度最多．）
（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，则______秒（直接写结果）．
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求为多少秒？
（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒平分？（直接写结果）
题型2：定值问题（角度不变问题）
例2．（2022·江苏南京·七年级期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角）
（1）图中一定有 个直角；当t＝2时，∠MON的度数为 ，∠BON的度数为 ；
（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值；
（3）当射线OM在∠COB内部，且是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值．
变式1．（2022•渝中区七年级期中）如图1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分别为∠AOB和∠BOD的角平分线．（1）若∠MON＝70°，则∠BOC＝ °；（2）如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒．①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由．
变式2．（2022•碑林区七年级开学）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请直接写出结论：直线ON 平分 （平分或不平分）∠AOC．
（2）将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 10或40 ．（直接写出结果）
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究，当ON始终在∠AOC的内部时（如图3），∠AOM与∠NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明．
题型3：探究类问题（判断角的数量之间的关系）
例3．（2022·四川·成都市七年级期末）如图所示：点是直线上一点，∠是直角，平分∠．
（1）如图1，若∠=40°，求∠的度数；
（2）如图1，若∠=，直接写出∠的度数（用含的代数式表示）；
（3）保持题目条件不变，将图1中的∠按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠和∠的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
变式1．（2022·广东七年级期中）如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
（1）若∠DCE=25°，∠ACB 等于多少；若∠ACB=130°，则∠DCE 等于多少；
（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；
（3）如图（b），若是两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小有何关系，请说明理由；（4）已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是锐角），如图（c），若把它们的顶点O重合在一起，则∠AOD与∠BOC的大小有何关系，请说明理由．
变式2．（2022•喀喇沁旗七年级期中）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使点N在OC的反向延长线上，请直接写出图中∠MOB的度数；（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；（3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图4，使ON在∠AOC内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
题型4：分类讨论问题
例4．（2022·成都市七中育才学校七年级月考）一副三角板（直角三角板和直角三角板）如图1所示放置，两个顶点重合于点，与重合，且，，，．将三角板绕着点逆时针旋转一周，旋转过程中，平分，平分，（和均是指小于180°的角）探究的度数．
（1）当三角板绕点旋转至如图2的位置时，与重合，______°，______°．
（2）三角板绕点旋转过程中，的度数还有其他可能吗？如果有，请研究证明结论，若没有，请说明理由．（3）类比拓展：当的度数为时，其他条件不变，在旋转过程中，请直接写出的度数．（用含的式子来表示）
变式1.（2022•广东七年级期末）如图（1），∠BOC和∠AOB都是锐角，射线OB在∠AOC内部，，．（本题所涉及的角都是小于180°的角）
(1)如图（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：
①当，时，______，______，______；
②______（用含有或的代数式表示）．
(2)如图（3），P为∠AOB内任意一点，直线PQ过点O，点Q在∠AOB外部：
①当OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度数为______；
②当OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度数为______；
（∠MON的度数用含有或的代数式表示）
(3)如图（4），当，时，射线OP从OC处以5°/分的速度绕点O开始逆时针旋转一周，同时射线OQ从OB处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分钟时，∠MON的度数是40°？
变式2．（2022·成都市七年级阶段练习）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若，则是的内半角．
（1）如图1，已知，，是的内半角，则________；
（2）如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度得，当旋转的角度为何值时，是的内半角；
（3）已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以3度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由．
【折叠（翻折）问题】
【解题技巧】
折叠前后对应角、对应边相等；出现角的比值或无角的具体度数却求度数常设列方程。在旋转问题中求解角度是初一数学的难点题型，需要熟悉并灵活运用角度求解的方法，本文就例题详细解析这类题型的解题思路，希望能给初一学生的数学学习带来帮助。
解决本题的关键是根据题目给出的角度或角与角之间的关系，确定射线旋转的角度，再根据射线的旋转速度，就可以求得射线旋转的时间，特别要注意在角的两边所处位置不明确的情况下，必须要考虑多解的可能。
例1．（2022·山东东营·期末）如图，长方形纸片，点、分别在边、上，连接．将对折，点落在直线上的点处，得折痕；将对折，点落在直线上的点处，得折痕．则的度数为（ ）
A． B． C． D．不能确定
变式1．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（ ）
A．40.5° B．41° C．41.5° D．42°
例2．（2022·辽宁西丰县·七年级期中）利用折纸可以作出角平分线．
（1）如图1，若∠AOB＝58°，则∠BOC＝ ．
（2）折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A′，点B落在点B'，连接OA'．
①如图2，当点B'在OA'上时，判断∠AOC与∠BOD的关系，并说明理由；
②如图3，当点B'在∠COA'的内部时，连接OB'，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度数．
变式2．（2022·湖南长沙·七年级月考）已知长方形纸片ABCD， E、F分别是AD、AB上的一点，点I在射线BC上、连接EF，FI，将∠A沿EF所在的直线对折，点A落在点H处，∠B沿FI所在的直线对折，点B落在点G处．(1)如图1，当HF与GF重合时，则∠EFI＝_________°；
(2)如图2，当重叠角∠HFG＝30°时，求∠EFI的度数；
(3)如图3，当∠GFI＝α，∠EFH＝β时，∠GFI绕点F进行逆时针旋转，且∠GFI总有一条边在∠EFH内，PF是∠GFH的角平分线，QF是∠EFI的角平分线，旋转过程中求出∠PFQ的度数(用含α，β的式子表示)．
课后专项训练
1．（2022·甘州区初一月考）如图，将一张长方形纸片沿线段AB折叠，已知∠1=40°，则∠2=___．
2．（2022·浙江·初一期中）如图，将一张长方形纸片ABCD分别沿着BE、BF折叠，使边AB、CB均落在BD上，得到折痕BE、BF，则∠ABE+∠CBF＝ ．
3．（2022•崇川区校级月考）如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，则∠HBC的度数为 ．
4．（2022·湖北江汉·初一期中）已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG．将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．
（1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数；
（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数；
（3）若∠MEN＝α，请直接用含α的式子表示∠FEG的大小．
5．（2022•历下区期末）点O为直线l上一点，射线OA、OB均与直线l重合，如图1所示，过点O作射线OC和射线OD，使得∠BOC＝100°，∠COD＝90°，作∠AOC的平分线OM．
（1）求∠AOC与∠MOD的度数；（2）作射线OP，使得∠BOP+∠AOM＝90°，请在图2中画出图形，并求出∠COP的度数；（3）如图3，将射线OB从图1位置开始，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转一周，作∠COD的平分线ON，当∠MON＝20°时，求旋转的时间．
6．（2022·山东烟台·期中）如图1，直角三角板的直角顶点O在直线上，线段是三角板的两条直角边，射线是的平分线．
(1)当时，求的度数；(2)当时，则______（用含的式子表示）；
(3)当三角板绕点O逆时针旋转到图2位置时，，它条件不变，则______（用含的式子表示）
7．（2022·山东日照·七年级期末）如图1，O为直线上一点，为射线，，将一个三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．
(1)将三角板绕点O顺时针旋转，若恰好平分（如图2），试说明平分；
(2)将三角板绕点O在直线上方顺时针旋转，当落在内部，且时，求的度数；(3)将图1中的三角板和射线同时绕点O，分别以每秒和每秒的速度顺时针旋转一周，求第几秒时，恰好与在同一条直线上？
7．（2022·浙江省义乌市稠江中学七年级阶段练习）如图1，点A，O，B依次在直线MN上，将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒15°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿顺时针方向以每秒6°的速度旋转（如图2），设旋转时间为t（0⩽t⩽48，单位秒）．
(1)当t=12时，∠AOB= °．
(2)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OM是由射线OB、射线OA组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
(3)在运动过程中，当∠AOB=60°时，求t的值．
8．（2022·河北·泊头市教师发展中心七年级期中）【实践操作】三角尺中的数学．
(1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，．
①若，则_________；若，则______；
②猜想与的大小有何特殊关系，并说明理由；
(2)如图2，若是两个同样的直角三角尺锐角的顶，点A重合在一起，，则与的大小又有何关系，请说明理由；
(3)已知，（都是锐角），如图3，若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出与的大小关系：________．
9．（2022·河南·郑州市第四初级中学七年级期末）【阅读理解】
如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比为1：2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．
(1)∠AOB的角平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
(2)若∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC＝ ．
【问题解决】(3)如图②，已知∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以20°/s的速度顺时针方向旋转，射线OQ从OB出发，以10°/s的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当其中一条射线旋转到与∠AOB的边重合时，运动停止，设旋转的时间为t（s），当t为何值时，射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的幸运线？试说明理由．
10．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射线OP从OF处开始出发，绕点O逆时针匀速旋转，旋转速度为每秒5度：射线OQ从OC处开始出发，绕点O顺时针匀速旋转，两条射线同时开始旋转（当射线OQ旋转至与射线OF重合时，OP、OQ同时停止运动），旋转时间为t秒.（旋转速度÷旋转角度：旋转时间）
(1)当t＝ 秒，射线OP平分∠AOB时；
(2)若射线OQ的旋转速度为每秒4度时，请求出当∠POQ=60°时，射线OP旋转的时间；
(3)若射线OQ的旋转速度为每秒3度时，是否存在某个时刻，使得射线OQ，OP，OB中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的的值，若不存在，请说明理由．
11．（2022·浙江·杭州外国语学校七年级期末）已知，为内部的一条射线，.（1）如图1，若平分，为内部的一条射线，，求的度数；
（2）如图2，若射线绕着点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动.若运动时间为秒，当时，求的值；（3）若射线绕着点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问在某时间段内是否为定值；若不是，请说明理由；若是，请补全图形，并直接写出这个定值以及相应所在的时间段.（本题中的角均为大于且小于的角）
12．（2022成都市七中育才学校七年级期末）如图1，在表盘上12：00时，时针、分针都指向数字12，我们将这一位置称为“标准位置”(图中)．小文同学为研究12点分()时，时针与分针的指针位置，将时针记为，分针记为．如：12：30时，时针、分针的位置如图2所示，试解决下列问题：
（1）分针每分钟转动 °；时针每分钟转动 °；
（2）当与在同一直线上时，求的值；
（3）当、、两两所夹的三个角、、中有两个角相等时，试求出所有符合条件的的值．(本小题中所有角的度数均不超过180°)
13．（2022·浙江镇海区·七年级期中）已知：如图，在内部有（）．
（1）如图1，求的度数；（2）如图2，平分，平分，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，当从的位置开始，绕着点以每秒的速度顺时针旋转秒时，使，求的值．
14．（2022·江西莲花县·七年级期末）乐乐对几何中角平分线的兴趣浓厚，请你和乐乐一起探究下面问题吧．已知°，射线分别是和的平分线；
（1）如图1，若射线在的内部，且，求的度数；
（2）如图2，若射线在的内部绕点旋转，则的度数为；
（3）若射线在的外部绕点旋转(旋转中，均指小于的角)，其余条件不变，请借助图3探究的大小，请直接写出的度数(不写探究过程)
15．（2022•金华七年级期中）已知∠AOB，过顶点O作射线OP，若∠BOP=12∠AOP，则称射线OP为∠AOB的“好线”，因此∠AOB的“好线”有两条，如图1，射线OP1，OP2都是∠AOB的“好线”．
（1）已知射线OP是∠AOB的“好线”，且∠BOP＝30°，求∠AOB的度数．
（2）如图2，O是直线MN上的一点，OB，OA分别是∠MOP和∠PON的平分线，已知∠MOB＝30°，请通过计算说明射线OP是∠AOB的一条“好线”．
（3）如图3，已知∠MON＝120°，∠NOB＝40°．射线OP和OA分别从OM和OB同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，OP的速度为每秒12°，OA的速度为每秒4°，当射线OP旋转到ON上时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线OP能否成为∠AOB的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间．
16．（2022•天心区七年级期中）已知长方形纸片ABCD，E、F分别是AD、AB上的一点，点I在射线BC上、连接EF，FI，将∠A沿EF所在的直线对折，点A落在点H处，∠B沿FI所在的直线对折，点B落在点G处．（1）如图1，当HF与GF重合时，则∠EFI＝ °；（2）如图2，当重叠角∠HFG＝30°时，求∠EFI的度数；（3）如图3，当∠GFI＝α，∠EFH＝β时，∠GFI绕点F进行逆时针旋转，且∠GFI总有一条边在∠EFH内，PF是∠GFH的角平分线，QF是∠EFI的角平分线，旋转过程中求出∠PFQ的度数（用含α，β的式子表示）．
【重要题型】
题型1：求值问题
例1．（2022·江苏·七年级期中）已知∠AOB和∠COD均为锐角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC=α（0≤α＜180°）
（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①当α=0°时，如图1，则∠POQ= ；②当α=80°时，如图2，求∠POQ的度数；③当α=130°时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ的度数；
（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，则∠POQ= ，（请用含m、n的代数式表示）．
【答案】（1）①50°；②50°；③130°；（2）m°+n°或180°-m°-n°
【分析】（1）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论；（2）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】解：（1）①∵∠AOB=60°，∠COD=40°，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，
∴∠BOP=∠AOB=30°，∠BOQ=∠COD=20°，∴∠POQ=50°，故答案为：50°；
②解：∵∠AOB=60°，∠BOC=α=80°，∴∠AOC=140°，
∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=70°，
∵∠COD=40°，∠BOC=α=80°，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=60°，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=20°，∴∠POQ=∠POC-∠COQ=70°-20°=50°；
③解：补全图形如图3所示，
∵∠AOB=60°，∠BOC=α=130°，∴∠AOC=360°-60°-130°=170°，
∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=85°，
∵∠COD=40°，∠BOC=α=130°，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=85°，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=85°-40°=45°，∴∠POQ=∠POC+∠COQ=85°+45°=130°；
（2）当∠AOB=m°，∠COD=n°时，如图2，
∴∠AOC= m°+ °，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=(m°+ °)，
同理可求∠DOQ=(n°+ °)，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=(n°+ °)- n°=(-n°+ °)，
∴∠POQ=∠POC-∠COQ=(m°+ °)-(-n°+ °) =m°+n°，
当∠AOB=m°，∠COD=n°时，如图3，
∵∠AOB=m°，∠BOC=α，∴∠AOC=360°-m°-°，
∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=180°(m°+ °)，
∵∠COD=n°，∠BOC=α，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=(n°+ °)，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=(n°+ °)-n°=(-n°+ °)，
∴∠POQ=∠POC+∠COQ=180°(m°+ °)+(-n°+ °) =180°-m°-n°，
综上所述，若∠AOB=m°，∠COD=n°，则∠POQ=m°+n°或180°-m°-n°．
故答案为：m°+n°或180°-m°-n°．
【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
变式1．（2022•高新区期末）已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如图1所示摆放，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧：
（1）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O旋转至如图2所示的位置，则
①∠AOC+∠BOD＝ ；②∠BOC﹣∠AOD＝ ．
（2）若∠COD按每分钟5°的速度绕点O逆时针方向旋转，∠AOB按每分钟2°的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算∠MOC﹣∠AOD（用t的代数式表示）．
（3）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O逆时针方向旋转n°（n≤360），若射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的大小．
【解题思路】（1）①将∠AOC+∠BOD拆分、转化为∠COD+∠AOB即可得；②依据∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC、∠AOD＝∠COD﹣∠AOC，将原式拆分、转化为∠AOB﹣∠COD计算可得；
（2）设运动时间为t秒，0＜t≤36，∠MOC＝（5t）°，只需表示出∠AOD即可得出答案，而∠AOD在OD与OA相遇前、后表达式不同，故需分OD与OA相遇前后即0＜t≤20和20＜t≤36两种情况求解；
（3）设OC绕点O逆时针旋转n°，则OD也绕点O逆时针旋转n°，再分①射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN同侧；②射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN同侧；③射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN异侧；④射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN异侧；四种情况分别求解．
【解答过程】解：（1）①∠AOC+∠BOD
＝∠AOC+∠AOD+∠AOB
＝∠COD+∠AOB
＝60°+90°
＝150°；
②∠BOC﹣∠AOD
＝（∠AOB﹣∠AOC）﹣（∠COD﹣∠AOC）
＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD+∠AOC
＝∠AOB﹣∠COD
＝90°﹣60°
＝30°；
故答案为：150°、30°；
（2）设运动时间为t秒，0＜t≤36，∠MOC＝（5t）°，
①0＜t≤20时，OD与OA相遇前，∠AOD＝（60+2t﹣5t）°＝（60﹣3t）°，
∴∠MOC﹣∠AOD＝（8t﹣60）°；
②20＜t≤36时，OD与OA相遇后，∠AOD＝[5t﹣（60+2t）]°＝（3t﹣60）°，
∴∠MOC﹣∠AOD＝（2t+60）°；
（3）设OC绕点O逆时针旋转n°，则OD也绕点O逆时针旋转n°，
①0＜n°≤150°时，如图4，
射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN同侧，
∵∠BOF=12[90°﹣（n﹣60°）]=12（150﹣n）°，∠BOE＝（90−12n）°=12（180﹣n）°，
∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF＝15°；
②150°＜n°≤180°时，如图5，
射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN同侧，
∵∠BOF=12(n−150)°，∠BOE＝（90−12n）°=12（180﹣n）°，
∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝15°；
③180°＜n°≤330°时，如图6，
射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN异侧，
∵∠DOF=12(n−150)°，∠COE=12(360−n)°，
∴∠EOF＝∠DOF+∠COD+∠COE＝165°；
④330°＜n°≤360°时，如图7，
射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN异侧，
∵∠DOF=12[360﹣（n﹣150）]°=12（510﹣n）°，∠COE=12(360−n)°，
∴∠EOF＝∠DOF﹣∠COD﹣∠COE＝15°；
综上，∠EOF＝15°或165°．
变式2.（2022•浙江七年级期中）如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．（注：本题旋转角度最多．）
（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，则______秒（直接写结果）．
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求为多少秒？
（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒平分？（直接写结果）
【答案】（1），5；（2），；（3）经过秒平分
【解析】（1），∵，∴
∵平分，，∴，∴
∴，解得：秒
（2）度
∵，平分，∴
∴，∴解得：秒
（3）如图：
∵，
由题可设为，为，∴
∵，，解得：秒
答：经过秒平分．
题型2：定值问题（角度不变问题）
例2．（2022·江苏南京·七年级期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角）
（1）图中一定有 个直角；当t＝2时，∠MON的度数为 ，∠BON的度数为 ；
（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值；
（3）当射线OM在∠COB内部，且是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值．
【答案】(1)4；144°，114°；(2)t的值为10s；(3)当射线OM在∠COB内部，且是定值时，t的取值范围为＜t＜6，这个定值是3
【分析】(1)由直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD即可得到共4个直角；当t＝2时求得∠BOM＝30°，∠NON＝24°，即可得到∠MON、∠BON的度数；
(2)用t分别表示出∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°，根据OE平分∠COM，OF平分∠NOD，分别求得∠COE、∠DOF,由∠EOF为直角即∠COE+∠DOF＝90°，列出方程解答即可.
(3)先确定∠MON＝180°时，∠BOM＝90°时t的值，再分两种情况进行计算，得到0＜t＜时不是定值，当＜t＜6时，=3是定值.
【详解】（1）如图所示，∵两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD，
∴∠AOC＝∠AOD＝90°，∴∠BOC＝∠BOD＝90°，∴图中一定有4个直角；
当t＝2时，∠BOM＝30°，∠NON＝24°，
∴∠MON＝30°+90°+24°＝144°，∠BON＝90°+24°＝114°；
故答案为：4；144°，114°；
（2）如图所示，∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°，
∵OE平分∠COM，OF平分∠NOD，
∴∠COE＝∠COM＝（15t﹣90°），∠DOF＝∠DON＝×12t，
∵当∠EOF为直角时，∠COE+∠DOF＝90°，
∴（15t﹣90°）＝×12t，解得t＝10，
∴当∠EOF为直角时，t的值为10s；
（3）当∠MON＝180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON＝180°，
∴15t+90°+12t＝180°，解得t＝，
当∠BOM＝90°时，15t＝90°，解得t＝6，
①如图所示，当0＜t＜时，
∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，
∠MON＝∠BOM+∠BOD+∠DON＝15t+90°+12t，
∴＝，（不是定值）
②如图所示，当＜t＜6时，
∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，
∠MON＝360°﹣（∠BOM+∠BOD+∠DON）＝360°﹣（15t+90°+12t）＝270°﹣27t，
∴＝=3，（是定值）
综上所述，当射线OM在∠COB内部，且是定值时，
t的取值范围为＜t＜6，这个定值是3．
【点睛】此题考察图形中的运动问题，(3)先确定∠MON＝180°时，∠BOM＝90°时t的值，再分两种情况进行计算，得到0＜t＜时不是定值，当＜t＜6时，=3是定值.
变式1．（2022•渝中区七年级期中）如图1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分别为∠AOB和∠BOD的角平分线．（1）若∠MON＝70°，则∠BOC＝ °；（2）如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒．①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）根据角平分线的定义结合图形根据已知条件求角的大小；
（2）①分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，根据角平分线的定义用t表示出角的度数，列出等量关系式求出t；②分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，当C′在B下方时，当C′在B上方时，根据角平分线的定义用t表示出角的度数，求在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变，求出这个定值及其对应的t的取值范围．
【解答过程】解：（1）∵OM为∠AOB的角平分线、∠AOB＝40°，∴∠MOB＝20°．
∵∠MON＝70°，∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝50°．
∵ON为∠BOD的角平分线，∴∠BON＝∠DON＝50°．
∴∠CON＝∠COD﹣∠DON＝10°∴∠BOC＝∠DON﹣∠CON＝40°．故答案为：40°．
（2）如图①：①逆时针旋转时：
当C′在B上方时，根据题意可知，∠BOC′＝40°﹣4t，∠BOD′＝∠BOD﹣4t＝100°﹣4t．
∠BON′=12∠BOD′=12(100°−4t)=50°﹣2t，
∵OC′平分∠BON′，
∴∠BOC′=12∠BON'，即40°﹣4t=12（50°﹣2t），解得：t＝5（s）．
当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．
顺时针旋转时：如图②，
同理当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．
当C′在B上方时，即OC′与OB重合，
由题意可求OC′与OB重合用的时间＝∠AOC÷4+∠AOB÷6
＝（∠AOB+∠BOC）÷4+∠AOB÷6
=803（s）．
∴OC′与OB重合之后，∠BOC′＝6（t−803）（s）．
∴∠BOD′＝∠BOC′+60°＝6（t−803）+60°＝6t﹣100°．
∴∠BON′=12∠BOD'=12（6t﹣100°）＝3t﹣50°，
∵OC′平分∠BON′，
∴∠BOC′=12∠BON'，
∴6（t−803）=12（3t﹣50°），
解得：t＝30（s）
综上所述t的值为5或30．
②逆时针旋转时：当C′在B上方时，如图③
根据①可知，∠BOC′＝40°﹣4t，∠BOD′＝100°﹣4t，∠BON′＝50°﹣2t．
∴∠AOD′＝∠AOB+∠BOD′＝140°﹣4t，
∴∠AOP=12∠AOD'=12∠(140°−4t)=70°﹣2t，
∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝30°﹣2t，
∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝70°﹣2t，
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|30°﹣2t﹣70°+2t|＝40°，
此段时间0≤t≤10s；
如图④当C′在B下方时，设经过OB后运动时间为t2，
同理可知，∠BOC′＝4t2，∠BOD′＝60°﹣4t2，
∴∠MON'=12∠BON'=30−2t2，
∴∠AOD′＝∠AOB+∠BOD′＝100°﹣4t2，
∴∠AOP=12∠AOD'=50°−2t2，
∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝10°﹣2t2，
∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝50°﹣2t2，
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|10°﹣2t2﹣50°+2t2|＝40°．
此时：10＜t≤20；
顺时针旋转时：当C′在B下方时，如图⑤，
设经过OB后运动时间为t1，
同理可知：∠BOC′＝40°﹣6t1，∠BOD′＝20°+6t1，
∴∠BON'=12∠BOD'=10°+3t1，
∴∠AOD′＝60°+6t1，
∠AOP＝30°+3t1，
∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝3t1﹣10°，
∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝30°﹣3t1，
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|3t1﹣10°﹣30°﹣3t1|＝40°，
此时：20＜t≤803；
当C′在B上方时，如图⑥，
设经过OB后运动时间为t3，
同理可知：，∠BOC′＝60°+6t3，∠BOD′＝100°+6t3，
∴∠BON′=12∠BON'=50°+3t3，
∴∠AOD′＝140°+6t3，
∴∠AOP＝70°+3t3，
∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝30°+3t3，
∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝70°+3t3，
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|30°+3t3﹣70°﹣3t3|＝40°，
此时：803＜t≤50．
综上所述：存在且定值为40°，0≤t≤50．
变式2．（2022•碑林区七年级开学）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请直接写出结论：直线ON 平分 （平分或不平分）∠AOC．
（2）将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 10或40 ．（直接写出结果）
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究，当ON始终在∠AOC的内部时（如图3），∠AOM与∠NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明．
【解题思路】（1）设ON的反向延长线为OD，由角平分线的性质和对顶角的性质可求得∠BON＝∠AOD＝∠COD＝30°；
（2）由直线ON恰好平分锐角∠AOC可知旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC，根据旋转速度可求得需要的时间；
（3）由∠MON＝90°，∠AOC＝60°，可知∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，最后求得两角的差，从而可做出判断．
【解答过程】解：（1）直线ON平分∠AOC．
理由如下：
设ON的反向延长线为OD，
∵OM平分∠BOC，∠BOC＝120°，
∴∠MOC＝∠MOB=12∠BOC＝60°，
又∠MOD＝∠MON＝90°，
∴∠COD＝90°﹣∠MOC＝30°，
∵∠AOC＝180°﹣∠BOC＝60°，
∴∠COD=12∠AOC，
∴OD平分∠AOC，
即直线ON平分∠AOC，
故答案为：平分；
（2）∵∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝60°．
∴∠BON＝∠COD＝30°．
即旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC．
由题意得，6t＝60或240．
解得：t＝10或40，
故答案为：10或40；
（3）∠AOM﹣∠NOC的差不变．
∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON．
∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．
∴∠AOM与∠NOC的差不变，这个差值是30°．
题型3：探究类问题（判断角的数量之间的关系）
例3．（2022·四川·成都市七年级期末）如图所示：点是直线上一点，∠是直角，平分∠．
（1）如图1，若∠=40°，求∠的度数；
（2）如图1，若∠=，直接写出∠的度数（用含的代数式表示）；
（3）保持题目条件不变，将图1中的∠按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠和∠的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
【答案】（1）20°；（2）；（3），理由见解析
【分析】（1）首先求得∠BPC，∠BPD的度数，然后根据角平分线的定义求得∠BPE的度数，再根据即可求解；
（2）解法与（1）相同，把（1）中的40°改成α即可；
（3）把∠APC的度数作为已知量，求得∠BPC的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠BPE的度数，再根据即可解决．
【详解】（1）∵，，
∴，
，
又∵平分，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴，
，
又∵平分，
∴，
∴．
（3）结论：．理由如下：
设，则，
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角度的计算，正确理解角平分线的定义，理解角度之间的和差关系是关键．
变式1．（2022·广东七年级期中）如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
（1）若∠DCE=25°，∠ACB 等于多少；若∠ACB=130°，则∠DCE 等于多少；
（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；
（3）如图（b），若是两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小有何关系，请说明理由；（4）已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是锐角），如图（c），若把它们的顶点O重合在一起，则∠AOD与∠BOC的大小有何关系，请说明理由．
【答案】（1）∠ACB=155°；∠DCE=50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由见解析；（4）∠AOD+∠BOC=α+β，理由见解析．
【分析】（1）先求出∠BCD，再代入∠ACB=∠ACD+∠BCD求出即可；先求出∠BCD，再代入∠DCE=∠BCE﹣∠BCD求出即可；（2）根据∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠DCE求出即可；
（3）根据∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB求出即可；（4）根据∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD求出即可．
【详解】解：(1)∵∠BCE=90°，∠DCE=25°，∴∠BCD=∠BCE﹣∠DCE=65°，
∵∠ACD=90°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+65°=155°；
∵∠ACB=130°，∠ACD=90°，∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=130°﹣90°=40°，
∵∠BCE=90°，∴∠DCE=∠BCE﹣∠BCD=90°﹣40°=50°，故答案为：155°，50°；
（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：∵∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠DCE=∠ACD+∠BCE=180°；
（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由如下：∵∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB，
∴∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE=∠DAC+∠BAE=120°；
（4）∠AOD+∠BOC=α+β，理由如下：∵∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD，
∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COB+∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=α+β．
【点睛】本题考查了角的运算，理解角的和差运算是解题的关键．
变式2．（2022•喀喇沁旗七年级期中）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使点N在OC的反向延长线上，请直接写出图中∠MOB的度数；
（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；
（3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图4，使ON在∠AOC内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
【解题思路】（1）根据对顶角求出∠BON，代入∠BOM＝∠MON﹣∠BON求出即可；
（2）求出∠BOC＝120°，根据角平分线定义请求出∠COM＝∠BOM＝60°，代入∠CON＝∠MON+∠COM求出即可；
（3）用∠AOM和∠CON表示出∠AON，然后列出方程整理即可得解．
【解答过程】解：（1）如图2，∵∠AOC＝60°，
∴∠BON＝∠AOC＝60°，
∵∠MON＝90°，
∴∠BOM＝∠MON﹣∠BON＝30°，
故答案为：30°；
（2）∵∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝120°，
∵OM平分∠BOC，
∴∠COM＝∠BOM＝60°，
∵∠MON＝90°，
∴∠CON＝∠MON+∠COM＝90°+60°＝150°；
（3）∠AOM﹣∠NOC＝30°，
理由是：∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠AON＝90°﹣∠AOM，
∠AON＝60°﹣∠NOC，
∴90°﹣∠AOM＝60°﹣∠NOC，
∴∠AOM﹣∠NOC＝30°，
故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°．
题型4：分类讨论问题
例4．（2022·成都市七中育才学校七年级月考）一副三角板（直角三角板和直角三角板）如图1所示放置，两个顶点重合于点，与重合，且，，，．将三角板绕着点逆时针旋转一周，旋转过程中，平分，平分，（和均是指小于180°的角）探究的度数．
（1）当三角板绕点旋转至如图2的位置时，与重合，______°，______°．
（2）三角板绕点旋转过程中，的度数还有其他可能吗？如果有，请研究证明结论，若没有，请说明理由．（3）类比拓展：当的度数为时，其他条件不变，在旋转过程中，请直接写出的度数．（用含的式子来表示）
【答案】（1）150；75 （2）有，105° （3）或
【分析】（1）利用两个角的和的定义,角的平分线的定义计算即可； （2）利用分类思想， 确定不同方式计算即可；（3）利用特殊与一般的思想，分类将问题抽象即可．
【详解】（1）如图，由与重合，
∵，，∴．
又∵平分，平分，∴，，
∴．故答案为：150°；75°；
（2）如图，∵平分，平分，
∴
+30°+30°+30°．
∴，∴．
（3）如图，
∵平分，平分，
∴，
，
∴=+60°-=；
如图，∵OE平分，平分，
∴，
∴．
综上所述，或．
【点睛】本题考查了两个角的和，角的平分线，周角的定义，灵活运用分类思想，角的平分线定义，角的和，差定义计算是解题的关键．
变式1.（2022•广东七年级期末）如图（1），∠BOC和∠AOB都是锐角，射线OB在∠AOC内部，，．（本题所涉及的角都是小于180°的角）
(1)如图（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：
①当，时，______，______，______；
②______（用含有或的代数式表示）．
(2)如图（3），P为∠AOB内任意一点，直线PQ过点O，点Q在∠AOB外部：
①当OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度数为______；
②当OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度数为______；
（∠MON的度数用含有或的代数式表示）
(3)如图（4），当，时，射线OP从OC处以5°/分的速度绕点O开始逆时针旋转一周，同时射线OQ从OB处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分钟时，∠MON的度数是40°？
【答案】(1)；(2)，；(3)分钟时，∠MON的度数是40°
【解析】(1)① OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
当，时，，
，
②，故答案为：
(2)①OM平分∠POB，ON平分∠POA，
②OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，
故答案为：，
(3)根据题意
OM平分∠POQ，
如图，当在的外部时，
MON的度数是40°
ON平分∠POA，，，则旋转了
分，即分钟时，∠MON的度数是40°
如图，在的内部时，
即
此情况不存在，综上所述，分钟时，∠MON的度数是40°
变式2．（2022·成都市七年级阶段练习）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若，则是的内半角．
（1）如图1，已知，，是的内半角，则________；
（2）如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度得，当旋转的角度为何值时，是的内半角；
（3）已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以3度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）能，或或或．
【分析】（1）根据内半角的定义解答即可；
（2）根据内半角的定义解答即可；
（3）设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为，根据内半角的定义列方程即可得到结论．
【详解】（1）∵是的内半角，，∴，
∵，∴，故答案为：．
（2）∵，∴，
∵是的内半角，
∴，∴，
∴旋转的角度为时，是的内半角．
（3）设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为，
如图1，∵是的内半角，，
∴，∴，解得：，∴；
如图2，∵是的内半角，，
∴，∴，∴，∴；
如图3，∵是的内半角，，∴，
∴，∴，∴；
如图4，∵是的内半角，，
∴，
∴，解得：，∴，
综上所述，当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成内半角．
【点睛】本题考查了与角的有关的计算，涉及到角的和差，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
【折叠（翻折）问题】
【解题技巧】
折叠前后对应角、对应边相等；出现角的比值或无角的具体度数却求度数常设列方程。在旋转问题中求解角度是初一数学的难点题型，需要熟悉并灵活运用角度求解的方法，本文就例题详细解析这类题型的解题思路，希望能给初一学生的数学学习带来帮助。
解决本题的关键是根据题目给出的角度或角与角之间的关系，确定射线旋转的角度，再根据射线的旋转速度，就可以求得射线旋转的时间，特别要注意在角的两边所处位置不明确的情况下，必须要考虑多解的可能。
例1．（2022·山东东营·期末）如图，长方形纸片，点、分别在边、上，连接．将对折，点落在直线上的点处，得折痕；将对折，点落在直线上的点处，得折痕．则的度数为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【分析】由翻折可得∠FEN＝∠AEN，∠FEM＝∠BEM，从而可得∠NEM＝∠AEB，进而求解．
【详解】解：由翻折可得∠FEN＝∠AEN＝∠AEF，∠FEM＝∠BEM＝∠BEF，
∴∠NEM＝∠FEN＋∠FEM＝（∠AEF＋∠BEF）＝×180°＝90°．故选：B．
【点睛】本题考查角的计算，解题关键通过翻折得到角相等．
变式1．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（ ）
A．40.5° B．41° C．41.5° D．42°
【答案】B
【分析】由长方形和折叠的性质结合题意可求出．再根据，即可求出答案．
【详解】由长方形的性质可知：．
∴，即．
由折叠的性质可知，
∴．
∵，
∴．故选B．
【点睛】本题考查长方形的性质，折叠的性质．利用数形结合的思想找到角之间的关系是解题关键．
例2．（2022·辽宁西丰县·七年级期中）利用折纸可以作出角平分线．
（1）如图1，若∠AOB＝58°，则∠BOC＝ ．
（2）折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A′，点B落在点B'，连接OA'．
①如图2，当点B'在OA'上时，判断∠AOC与∠BOD的关系，并说明理由；
②如图3，当点B'在∠COA'的内部时，连接OB'，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度数．
【答案】（1）29°；（2）①∠AOC+∠BOD＝90°，理由见解析；②30°
【分析】（1）由折叠得出∠AOC＝∠BOC，即可得出结论；（2）①由折叠得出∠AOA'＝2∠AOC，∠BOB'＝2∠BOD，再由点B'落在OA'上，得出∠AOA'+∠BOB'＝180°，即可得出结论；
②同①的方法求出∠AOA'＝88°，∠BOB'＝122°，即可得出结论．
【详解】解：（1）由折叠知，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，
∵∠AOB＝58°，∴∠BOC＝∠AOB＝×58°＝29°，故答案为：29°；
（2）①∠AOC+∠BOD＝90°，
理由：由折叠知，∠AOC＝∠A'OC，∴∠AOA'＝2∠AOC，
由折叠知，∠BOD＝∠B'OD，∴∠BOB'＝2∠BOD，
∵点B'落在OA'，∴∠AOA'+∠BOB'＝180°，∴2∠AOC+2∠BOD＝180°，∴∠AOC+∠BOD＝90°；
②由折叠知，∠AOA'＝2∠AOC，∠BOB'＝2∠BOD，
∵∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，∴∠AOA'＝2∠AOC＝2×44°＝88°，∠BOB'＝2∠BOD＝2×61°＝122°，
∴∠A'OB'＝∠AOA'+∠BOB'﹣180°＝88°+122°﹣180°＝30°，即∠A'OB'的度数为30°．
【点睛】此题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，从图形中找出角之间的关系是解本题的关键．
变式2．（2022·湖南长沙·七年级月考）已知长方形纸片ABCD， E、F分别是AD、AB上的一点，点I在射线BC上、连接EF，FI，将∠A沿EF所在的直线对折，点A落在点H处，∠B沿FI所在的直线对折，点B落在点G处．(1)如图1，当HF与GF重合时，则∠EFI＝_________°；
(2)如图2，当重叠角∠HFG＝30°时，求∠EFI的度数；
(3)如图3，当∠GFI＝α，∠EFH＝β时，∠GFI绕点F进行逆时针旋转，且∠GFI总有一条边在∠EFH内，PF是∠GFH的角平分线，QF是∠EFI的角平分线，旋转过程中求出∠PFQ的度数(用含α，β的式子表示)．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根据折叠的性质可得∠HFE=∠AFE，∠IFG=∠IFB，再根据∠HFE+∠AFE+∠IFG+∠IFB=180°，即可得到∠EFI=∠HFE+∠IFH=90°；（2）令，，推导出x与y的和即可求得答案；
（3）先求出∠GFH，∠GFP，∠QFI，根据，即可得到答案.
【详解】（1）由折叠的性质得∠HFE=∠AFE，∠IFG=∠IFB，
∵∠HFE+∠AFE+∠IFG+∠IFB=180°，∴∠EFI=∠HFE+∠IFH=90°；
（2）令，∵30°∴30°+x，30+y，
∴180°，
即90°，∴45°，∴75°；
（3）,，
∴180°，∴90°，
又∵，
.
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，角的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
课后专项训练
1．（2022·甘州区初一月考）如图，将一张长方形纸片沿线段AB折叠，已知∠1=40°，则∠2=___．
【答案】100°
【分析】先根据折叠的性质得∠1=∠3=40°，然后根据平角的定义可计算出∠2=100°．
【解析】∵长方形纸片沿线段AB折叠，
∴∠1=∠3=40°，∴∠2=180°-∠1-∠3=180°-2×40°=100°．故答案为50°
【点睛】本题考查了折叠的性质，也考查了平角的定义．
2．（2022·浙江·初一期中）如图，将一张长方形纸片ABCD分别沿着BE、BF折叠，使边AB、CB均落在BD上，得到折痕BE、BF，则∠ABE+∠CBF＝ ．
解：由折叠得，∠ABE＝∠DBE，∠CBF＝∠DBF，
∵∠ABE+∠DBE+∠CBF+∠DBF＝∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝∠ABC＝×90°＝45°，故答案为：45°．
3．（2022•崇川区校级月考）如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，则∠HBC的度数为 ．
解：∵MN垂直平分AD，
∴DH＝AH．
由翻折的性质可知：AH＝AB．
∴AH＝AD＝DH．
∴△ADH是一个等边三角形．
∴∠DAH＝60°．
∴∠HAB＝30°．
∵AB＝AH，
∴∠ABH＝×（180°﹣30°）＝75°．
∴∠HBC＝∠ABC﹣∠ABH＝90°﹣75°＝15°．
故答案为：15°．
4．（2022·湖北江汉·初一期中）已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG．将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．
（1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数；
（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数；
（3）若∠MEN＝α，请直接用含α的式子表示∠FEG的大小．
【答案】（1）∠MEN＝90°；（2）∠MEN＝105°；（3）∠FEG＝2α﹣180°，∠FEG＝180°﹣2α．
【分析】（1）根据角平分线的定义，平角的定义，角的和差定义计算即可．（2）根据∠MEN=∠NEF+∠FEG+∠MEG，求出∠NEF+∠MEG即可解决问题．（3）分两种情形分别讨论求解．
【解析】（1）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEF∴∠NEF＝∠AEF，∠MEF＝∠BEF
∴∠MEN＝∠NEF+∠MEF＝∠AEF+∠BEF＝（∠AEF+∠BEF）＝∠AEB
∵∠AEB＝180°∴∠MEN＝×180°＝90°
（2）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG∴∠NEF＝∠AEF，∠MEG＝∠BEG
∴∠NEF+∠MEG＝∠AEF+∠BEG＝（∠AEF+∠BEG）＝（∠AEB﹣∠FEG）
∵∠AEB＝180°，∠FEG＝30°∴∠NEF+∠MEG＝（180°﹣30°）＝75°
∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝75°+30°＝105°
（3）若点G在点F的右侧，∠FEG＝2α﹣180°，若点G在点F的左侧侧，∠FEG＝180°﹣2α．
【点睛】考查了角的计算，翻折变换，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
5．（2022•历下区期末）点O为直线l上一点，射线OA、OB均与直线l重合，如图1所示，过点O作射线OC和射线OD，使得∠BOC＝100°，∠COD＝90°，作∠AOC的平分线OM．
（1）求∠AOC与∠MOD的度数；（2）作射线OP，使得∠BOP+∠AOM＝90°，请在图2中画出图形，并求出∠COP的度数；（3）如图3，将射线OB从图1位置开始，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转一周，作∠COD的平分线ON，当∠MON＝20°时，求旋转的时间．
【解题思路】（1）由平角的定义可得，∠AOB＝180°，所以∠AOC＝AOB﹣∠BOC＝80°，再由角平分线的性质可得∠MOD的度数；
（2）由（1）可知，∠AOM＝∠AOC﹣∠COM＝40°，∠BOP＝90°﹣∠AOM＝50°，再分当射线OP在∠BOC内部时，和当射线OP在∠BOC外部时两种情况，根据图中和差关系求∠COP的度数即可；
（3）在射线OP旋转的过程中，OM和ON的相对位置在不断的变化，存在两种情况满足条件，画出草图，根据角度的和差关系求解即可．
【解答过程】解：（1）由题意可知，∠AOB＝180°，
∵∠BOC＝100°，
∴∠AOC＝AOB﹣∠BOC＝80°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠COM=12∠AOC＝40°，
∴∠MOD＝∠COD﹣∠COM＝50°；
（2）由（1）知，∠AOM＝∠AOC﹣∠COM＝40°，
∴∠BOP＝90°﹣∠AOM＝50°，
①当射线OP在∠BOC内部时，如图2（1），
∠COP＝∠BOC﹣∠BOP＝50°；
②当射线OP在∠BOC外部时，如图2（2），
∠COP＝∠BOC+∠BOP＝150°，
综上所述，∠COP的度数为50°或150°；
（3）∵ON平分∠COD，
∴∠CON=12∠COD＝45°，
①如图3，
∠COM＝∠CON﹣∠MON＝25°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠COM＝50°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC＝﹣∠BOC＝30°，
∴旋转的时间t＝30°÷5°＝6（秒）；
②如图3（1），
此时，∠COM＝∠CON+∠MON＝65°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠COM＝130°，
∴∠COE＝180°﹣130°＝50°，
∴∠BOE＝100°﹣50°＝50°，
∴旋转的时间＝（360°﹣50°）÷5°＝62（秒）；
综上所述，旋转的时间为6秒或62秒．
6．（2022·山东烟台·期中）如图1，直角三角板的直角顶点O在直线上，线段是三角板的两条直角边，射线是的平分线．
(1)当时，求的度数；(2)当时，则______（用含的式子表示）；
(3)当三角板绕点O逆时针旋转到图2位置时，，它条件不变，则______（用含的式子表示）
【答案】(1)60°
(2)2α
(3)360°-2α
【分析】（1）利用已知求得∠DOE=60°，利用角平分线的性质得到∠AOD=2∠DOE，再利用平角的定义，∠BOD可求；
（2）利用（1）中方法可求；
（3）利用已知可求∠DOE=α-90°，然后利用（1）中的方法求得∠BOD的度数．
（1）
∵∠COD=90°，∠COE=30°，
∴∠DOE=90°-30°=60°．
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠DOE=2×60°=120°．
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-120°=60°．
（2）
∵∠COD=90°，∠COE=α，
∴∠DOE=90°-α．
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠DOE=2×（90°-α）=180°-2α．
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-（180°-2α）=2α．
故答案为：2α．
（3）
由题意：∠DOE=α-90°．
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠DOE=2α-180°．
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-（2α-180°）=180°-2α+180°=360°-2α．
故答案为：360°-2α．
【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的性质，平角的定义．正确使用角平分线的性质和平角的性质是解题的关键．
7．（2022·山东日照·七年级期末）如图1，O为直线上一点，为射线，，将一个三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．
(1)将三角板绕点O顺时针旋转，若恰好平分（如图2），试说明平分；
(2)将三角板绕点O在直线上方顺时针旋转，当落在内部，且时，求的度数；
(3)将图1中的三角板和射线同时绕点O，分别以每秒和每秒的速度顺时针旋转一周，求第几秒时，恰好与在同一条直线上？
【答案】(1)见解析
(2)
(3)第10秒或70秒时，OD与OC恰好在同一条直线上
【分析】（1）由角平分线的性质及同角的余角相等，即可得；
（2）设，则，当OD在的内部时，，则，计算得，即可得；
（3）设第t秒时，OD与OC恰好在同一条直线上，则，，分OD与OC重合、OD与OC的反向延长线重合两种情况分别讨论即可得．
（1）
解：∵OD恰好平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴OE平分．
（2）
解：设，则，
当OD在的内部时，，
∵，
∴，
，
∴，
即的度数为．
（3）
解：设第t秒时，OD与OC恰好在同一条直线上，
则，，
当OD与OC重合时，，
解得，
当OD与OC的反向延长线重合时，，
解得，
∴第10秒或70秒时，OD与OC恰好在同一条直线上．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，余角的性质，角度的计算，解题的关键是掌握这些知识点，分类讨论．
7．（2022·浙江省义乌市稠江中学七年级阶段练习）如图1，点A，O，B依次在直线MN上，将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒15°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿顺时针方向以每秒6°的速度旋转（如图2），设旋转时间为t（0⩽t⩽48，单位秒）．
(1)当t=12时，∠AOB= °．
(2)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OM是由射线OB、射线OA组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
(3)在运动过程中，当∠AOB=60°时，求t的值．
【答案】(1)60°
(2)27或45
(3)12或24或48
【分析】（1）t=12时，∠AOM=15°×12=180°，即OA与ON重合，故∠AOB=∠BON=5°×12=60°．
（2）①求OA追上OB的大致时刻，得到OM平分∠AOB时的图形，用t表示此时∠AOM与∠BOM的度数，列方程即可求t；②当OA超过OB将要旋转到第二圈，OB旋转过OM时，此时OM可以是∠AOB的角平分线，列第二个方程求t。
（3）OA、OB都是顺时针旋转，可理解为初始路程差为180°的追及问题：当∠AOB第一次达到60°时，即OA差60°追上OB，路程差为（180-60）°，即15t-5t=180-60；第二次达到60°时，即OA追上OB且超过60°，路程差为（180+60）°；第三次达到60°时，OA再走一圈差60°追上OB，路程差为（180+360-60）°，此时求出的t．
（1）
解：当t=12时,∠AOM=15°×12=180°,∠BON=5°×12=60°，
∴∠AOB=180°−∠AOM+∠BON=60°，
故答案为：60°．
（2）
存在满足条件的t值。
①∵OA旋转一周所需时间为：360°÷15°=24(秒)，
此时,∠BON=5°×24=120°，即OA已经旋转过OB的位置，
若OM平分∠AOB且0°<∠AOB<180°，位置如图1，
∴∠AOM=(15t−360)°,∠BOM=(180−5t)°，
∴15t−360=180−5t，解得：t=27，
②若OM平分∠BOA且0°<∠BOA<180°，位置如下图2，
∴∠AOM=(720-15t)°,∠BOM=(5t-180)°，
∴720-15t=5t-180，解得：t=45，
（3）
(3)①如图3,当∠AOB第一次达到60°时,OA比OB多转了(180−60)°，得：
15t−5t=180°−60°，解得：t=12，
②如图3,当∠AOB第二次达到60°时,OA比OB多转了(180+60)°，得：
15t−5t=180°+60°，解得：t=24，
③如图5，当∠AOB第三次达到60°时,OA比OB多转了(180+360−60)°，
得：15t−5t=180°+360°−60°，
解得：t=48，符合题意，
综上所述,当∠AOB=60°时,t=12或24或48．
【点睛】本题考查一元一次方程在角度计算中的应用，解题的关键是根据射线的旋转，分情况进行讨论．
8．（2022·河北·泊头市教师发展中心七年级期中）【实践操作】三角尺中的数学．
(1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，．
①若，则_________；若，则______；
②猜想与的大小有何特殊关系，并说明理由；
(2)如图2，若是两个同样的直角三角尺锐角的顶，点A重合在一起，，则与的大小又有何关系，请说明理由；
(3)已知，（都是锐角），如图3，若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出与的大小关系：________．
【答案】(1)①，；②，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】(1) ①先计算∠ACE的大小，再根据∠ACB=∠ACE+∠BCE计算即可；先根∠ACB=∠ACE+∠BCE计算∠ACE的大小，再根据∠DCE=∠ACD-∠ACE计算即可；
②根据∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠DCE=∠ACD-∠ACE，可得∠ACB+∠DCE =∠BCE+∠ACD；
（2）根据∠GAC=∠CAD+∠GAD，∠DAF =∠FAG-∠GAD，可得∠GAC+∠DAF =∠CAD+∠FAG．
（3）根据∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠BOC=∠COD-∠BOD，计算∠AOD+∠BOC即可．
（1）
解：①∵，
∴∠ACE=∠ACD- ＝90°-35°＝55°，
∴∠ACB=∠ACE+∠ECB=90°+55°＝145°，
故答案为：145°；
∵∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠ACB＝140°，
∴∠ACE=140°-90°=50°，
∵∠DCE=∠ACD-∠ACE，
∴∠DCE=90°-50°=40°，
故答案为：50°．
②∠ACB与∠DCE数量关系为∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：
∵∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠DCE=∠ACD-∠ACE，
∴∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠BCE+∠ACD-∠ACE=∠BCE+∠ACD=180°．
（2）
∠GAC与∠DAF的数量关系，∠GAC+∠DAF =120°，理由如下：
∵∠GAC=∠CAD+∠GAD，∠DAF =∠FAG-∠GAD，
∴∠GAC+∠DAF
=∠CAD+∠GAD +∠FAG-∠GAD=∠CAD+∠FAG=60°+60°=120°．
（3）
∠AOD+∠BOC=α+β.理由如下：
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠BOC=∠COD-∠BOD，∠AOB=α，∠COD＝β（α，β都是锐角），
∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠COD-∠BOD，=∠AOB+∠COD＝α+β．
【点睛】本题考查了角和差关系，一般与特殊的思想，熟练掌握角的运算，理解角的和与差的关系是解题的关键．
9．（2022·河南·郑州市第四初级中学七年级期末）【阅读理解】
如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比为1：2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．
(1)∠AOB的角平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
(2)若∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC＝ ．
【问题解决】
(3)如图②，已知∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以20°/s的速度顺时针方向旋转，射线OQ从OB出发，以10°/s的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当其中一条射线旋转到与∠AOB的边重合时，运动停止，设旋转的时间为t（s），当t为何值时，射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的幸运线？试说明理由．
【答案】(1)是；
(2)40°或60°或80°；
(3)或或3．
【分析】（1）由角平分线的定义可得；
（2）分三种情况讨论，即∠AOC=2∠BOC，2∠AOC=∠BOC，∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC三种情况，结合∠AOC+∠BOC=∠AOB =120°可以求出∠AOC．
（3）分三种情况讨论，由“幸运线”的定义，列出方程可求t的值．
（1）
解：∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的两倍，
∴一个角的角平分线是 这个角的“幸运线”，
故答案为：是．
（2）
解：∵射线OC在∠AOB内部，
∴∠AOC+∠BOC=∠AOB =120°．
①当∠AOC=2∠BOC时，∠AOC+∠BOC=3∠BOC =120°，
∴∠BOC=40°，
∴∠AOC=80°．
②当2∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=3∠AOC =120°，
∴∠AOC=40°．
③当∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC时，OC平分∠AOB，
∴∠AOC =∠AOB =60°．
综上所述：∠AOC=40°或60°或80°．
故答案为： 40°或60°或80°．
（3）
解：∵射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的“幸运线”，
∴射线OP在以射线OA、OQ为边构成角的内部．如下图所示：
∴∠AOP=20t°，∠BOQ =10t°，
∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ= (150-20t-10t)°=(150-30t)°,
∠AOQ=∠AOB -∠BOQ==(150-10t)°．
①当∠AOP=2∠POQ时，则20t =2×(150-30t)，
∴t=．
②若∠POQ=2∠AOP，则150-30t =2×20t，
∴t=．
③若2∠AOP=∠AOQ或2∠POQ=∠AOQ，则2×20t=150-10t，
∴t=3．
综上所述：t=或或3．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，角平分线的性质，找等量关系列出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型．
10．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射线OP从OF处开始出发，绕点O逆时针匀速旋转，旋转速度为每秒5度：射线OQ从OC处开始出发，绕点O顺时针匀速旋转，两条射线同时开始旋转（当射线OQ旋转至与射线OF重合时，OP、OQ同时停止运动），旋转时间为t秒.（旋转速度÷旋转角度：旋转时间）
(1)当t＝ 秒，射线OP平分∠AOB时；
(2)若射线OQ的旋转速度为每秒4度时，请求出当∠POQ=60°时，射线OP旋转的时间；
(3)若射线OQ的旋转速度为每秒3度时，是否存在某个时刻，使得射线OQ，OP，OB中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)10；
(2)或秒；
(3)或；
【分析】（1）作出角平分线，求出OP运动到OG时的时间即可．
（2）动点问题需要分类讨论，第一种OP、OQ还没有相遇时，第二种OP、OQ相遇之后，画图利用角度列出等式．
（3）分别一其中一条作为角平分线来分析，画出图像之后列等式求时间．
（1）
解：作∠AOB的角平分线OG
∵∠AOB=60°，
∴∠AOG=∠AOB=30°，
∴∠FOG=∠FOA+∠AOG=20°+30°=50°，
此时OP的运动时间t=（秒）；
故答案为：10；
（2）
解：∵∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，
∴∠FOC=90°
由题意可得，∠FOP=5t°，∠COQ=4t°
①如图所示：
∴4t+60+5t=90，
∴t=；
②如图所示：
此时 4t+5t-60=90，
∴t=
∵OQ停止运动时间t=，
∴以上两种情况均符合
∴当∠POQ=60°时，OP的旋转时间为或秒；
（3）
解：存在；
①当OQ平分∠BOP时，则∠BOQ=∠POQ，如图：
则，
解得：；
②当OP平分∠BOQ时，则∠BOP=∠POQ，如图：
则，
解得：；
综合上述，或；
【点睛】主要考查角平分线的计算，角度的和差倍分问题，解题的关键是掌握所学的知识，运用分类讨论的思想，利用图象找关系．
11．（2022·浙江·杭州外国语学校七年级期末）已知，为内部的一条射线，.（1）如图1，若平分，为内部的一条射线，，求的度数；
（2）如图2，若射线绕着点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动.若运动时间为秒，当时，求的值；（3）若射线绕着点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问在某时间段内是否为定值；若不是，请说明理由；若是，请补全图形，并直接写出这个定值以及相应所在的时间段.（本题中的角均为大于且小于的角）
【答案】（1）；（2）t的值为3或7.5；（3）当或时，为定值，此时补全的图形见解析．
【分析】（1）先根据角平分线的定义求出的度数，再根据角的倍差求出的度数，最后根据角的和差即可；
（2）先求出的度数和t的最大值，从而可知停止运动时，OF在OC的右侧，因此，分OE在OC左侧和右侧两种情况，再根据列出等式求解即可；
（3）因本题中的角均为大于且小于的角，则需分OM与OB在一条直线上、ON与OB在一条直线上、OM与OA在一条直线上三个临界位置，从而求出此时t的取值范围，并求出各范围内和的度数，即可得出答案．
【详解】（1）平分，
；
（2）
由题意知，当OE转到OB时，两条射线均停止运动
此时（秒）
则OF停止转动时，
即OF从开始旋转至停止运动，始终在OC的右侧
因此，分以下2种情况：
①当OE在OC左侧时，
则由得，解得
②当OE在OC右侧时，
则由得，解得
综上，t的值为3或7.5；
（3）射线OM从开始转动至OB结束时，转动时间为（秒）
由题意，分OM与OB在一条直线上（）、ON与OB在一条直线上（）、OM与OA在一条直线上（）三个临界位置
①当时，如图1所示
此时，
则为定值
②当时，如图2所示
此时，
则不为定值
③当时，如图3所示
此时，
则为定值
④当时，如图4所示
此时，
则不为定值
综上，当或时，为定值．
【点睛】本题考查角平分线的定义、角的和差倍分，较难的是题（3），正确找出三个临界位置是解题关键．
12．（2022成都市七中育才学校七年级期末）如图1，在表盘上12：00时，时针、分针都指向数字12，我们将这一位置称为“标准位置”(图中)．小文同学为研究12点分()时，时针与分针的指针位置，将时针记为，分针记为．如：12：30时，时针、分针的位置如图2所示，试解决下列问题：
（1）分针每分钟转动 °；时针每分钟转动 °；
（2）当与在同一直线上时，求的值；
（3）当、、两两所夹的三个角、、中有两个角相等时，试求出所有符合条件的的值．(本小题中所有角的度数均不超过180°)
【答案】（1）6，0.5；（2）的值为；（3）的值为或
【分析】（1）由题意根据分针每60分钟转动一圈，时针每12小时转动一圈进行分析计算；
（2）由题意与在同一直线上即与所围成的角为180°，据此进行分析计算；
（3）根据题意分当时以及当时两种情况进行分析求解.
【详解】解：（1）由题意得分针每分钟转动：；
时针每分钟转动：.
故答案为：6，0．5.
（2）当与在同一直线上时，
时针转了度，即
分针转了度，即
∴
解得，
∴的值为．
（3）①当时，
∵
∴
∴；
②当时，
∵
∴
∴；
∴综上所述，符合条件的的值为或.
【点睛】本题考查钟表角的实际应用，根据题意熟练掌握并运用方程思维进行分析是解答此题的关键.
13．（2022·浙江镇海区·七年级期中）已知：如图，在内部有（）．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，平分，平分，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，当从的位置开始，绕着点以每秒的速度顺时针旋转秒时，使，求的值．
【答案】（1）170°；（2）65°；（3）19
【分析】（1）根据∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠COD+∠BOD 计算即可；
（2）利用各角的关系得出∠MON=∠AOB-(∠AON+∠BOM)，再利用角平分线的定义求解即可；
（3）根据题意可得∠AON=∠∠AOD=（10+20+2t）°=(15+t)°，∠BOM=∠BOC=（150-10-2t）°=(70-t)°，再根据，列出方程求解即可．
【详解】解：（1）∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠COD+∠BOD =∠AOB+∠COD =150°+20°=170°
（2）∵ON平分∠AOD，OM平分∠BOC ∴∠AON+∠BOM=（∠AOD+∠BOC）=×170°=85°
∴∠MON=∠AOB-(∠AON+∠BOM) =150°-85°=65°
（3）∵∠AON=∠∠AOD=（10+20+2t）°=(15+t) ° ∠BOM=∠BOC=（150-10-2t）°=(70-t) °
又∵∠BOM=∠AON ∴70-t=（15+t） ∴t=19
【点睛】本题考查了角的计算，以及角平分线的定义，关键是根据图形理清角之间的和差关系．
14．（2022·江西莲花县·七年级期末）乐乐对几何中角平分线的兴趣浓厚，请你和乐乐一起探究下面问题吧．已知°，射线分别是和的平分线；
（1）如图1，若射线在的内部，且，求的度数；
（2）如图2，若射线在的内部绕点旋转，则的度数为；
（3）若射线在的外部绕点旋转(旋转中，均指小于的角)，其余条件不变，请借助图3探究的大小，请直接写出的度数(不写探究过程)
【答案】（1）50°；（2）50°；（3）50°或130°
【分析】（1）先求出∠BOC度数，根据角平分线定义求出∠EOC和∠FOC度数，求和即可得出答案；
（2）根据角平分线定义得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB，代入求出即可；（3）分两种情况：①射线OE，OF只有1个在∠AOB外面，根据角平分线定义得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠FOC-∠COE=∠AOB；②射线OE，OF，2个都在∠AOB外面，根据角平分线定义得出∠EOF=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠COF=（360°-∠AOB），代入求出即可．
【详解】解：（1）∵∠AOB=100°，∠AOC=30°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=70°，
∵OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠EOC=∠AOC=15°，∠FOC=∠BOC=35°，∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=15°+35°=50°；
（2）∵OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠EOC=∠AOC，∠FOC=∠BOC，
∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB=×100°=50°；故答案为：50°．
（3）①射线OE，OF只有1个在∠AOB外面，如图3①，
∴∠EOF=∠FOC-∠COE=∠BOC-∠AOC=（∠BOC-∠AOC）=∠AOB=×100°=50°；
②射线OE，OF2个都在∠AOB外面，如图3②，
∴∠EOF=∠EOC+∠COF=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=（360°-∠AOB）=×260°=130°．
∴∠EOF的度数是50°或130°．
【点睛】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用．
15．（2022•金华七年级期中）已知∠AOB，过顶点O作射线OP，若∠BOP=12∠AOP，则称射线OP为∠AOB的“好线”，因此∠AOB的“好线”有两条，如图1，射线OP1，OP2都是∠AOB的“好线”．
（1）已知射线OP是∠AOB的“好线”，且∠BOP＝30°，求∠AOB的度数．
（2）如图2，O是直线MN上的一点，OB，OA分别是∠MOP和∠PON的平分线，已知∠MOB＝30°，请通过计算说明射线OP是∠AOB的一条“好线”．
（3）如图3，已知∠MON＝120°，∠NOB＝40°．射线OP和OA分别从OM和OB同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，OP的速度为每秒12°，OA的速度为每秒4°，当射线OP旋转到ON上时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线OP能否成为∠AOB的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间．
【解题思路】（1）根据“好线”的定义可得∠AOP的度数，然后分①当OP在∠AOB的外部时，②当OP在∠AOB的内部时两种情况可得答案；
（2）直接根据角平分线的定义可得问题的答案；
（3）设旋转的时间为t秒，根据题意列出方程，求解可得答案．
【解答过程】解：（1）∵OP是∠AOB的“好线”，且∠BOP＝30°，
∴∠AOP＝2∠BOP＝60°，
①当OP在∠AOB的外部时，∠AOB＝∠AOP﹣∠BOP＝30°，
②当OP在∠AOB的内部时，∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝90°．
（2）∵OB是∠MOP的平分线，且∠MOB＝30°，
∴∠BOP＝∠MOB＝30°，
∠MOP＝2∠MOB＝60°，
∴∠PON＝120°，
∵OA是∠PON的平分线，
∴∠AOP=12∠PON＝60°，
∴∠BOP=12∠AOP，
∴OP是∠AOB的一条“好线”；
（3）设旋转的时间为t秒，
①80﹣12t＝4t，
∴t＝5，
②3（12t﹣80）＝4t，
∴t=152，
综上所述，所有符合条件的旋转时间为5秒或152秒．
16．（2022•天心区七年级期中）已知长方形纸片ABCD，E、F分别是AD、AB上的一点，点I在射线BC上、连接EF，FI，将∠A沿EF所在的直线对折，点A落在点H处，∠B沿FI所在的直线对折，点B落在点G处．（1）如图1，当HF与GF重合时，则∠EFI＝ °；（2）如图2，当重叠角∠HFG＝30°时，求∠EFI的度数；（3）如图3，当∠GFI＝α，∠EFH＝β时，∠GFI绕点F进行逆时针旋转，且∠GFI总有一条边在∠EFH内，PF是∠GFH的角平分线，QF是∠EFI的角平分线，旋转过程中求出∠PFQ的度数（用含α，β的式子表示）．
【解题思路】（1）根据EF平分∠AFH，IF平分∠BFG，得出∠EFI=12（∠AFH+∠BFH），即可得出∠EFI的度数．
（2）设∠EFG＝x，∠HFI＝y，求出x和y即可得出答案．
（3）先求出∠GFH、∠GFP和∠QFI，根据∠PFQ＝|∠GFH﹣∠GFP﹣∠QFI|，即可得出答案．
【解答过程】解：（1）∵EF平分∠AFH，IF平分∠BFG，
∴∠EFH=12∠AFH，∠IFH=12∠BFH，
∵∠EFI＝∠EFH+∠IFG=12（∠AFH+∠BFH）=12∠AFB＝90°，
∴∠EFI=12∠AFB＝90°，
故答案为：90．
（2）令∠EFG＝x，∠HFI＝y，
∵∠HFG＝30°
∴∠EFA＝30°+x，∠BFI＝30°+y
∴∠AFE+∠EFI+∠BFI＝（30°+x）+（x+30°+y）+（30°+y）＝180°，
即2x+2y＝90°，
∴x+y＝45°，
∴∠EFI＝x+y+30＝75°，
∴∠EFI＝75°．
（3）由题意得∠AFE＝∠EFH＝β，∠BFI＝∠GFI＝α，
∴∠GFH＝2α+2β﹣180°，
∴∠GFP＝∠HFP＝α+β﹣90°，
又∵∠EFQ=∠IFQ=180−(α+β)2，
∴∠PFQ＝|∠GFH﹣∠GFP﹣∠QFI|，
∴∠PFQ＝|α﹣（α+β﹣90°）−[180°−(α+β)2]|＝|α−β2|，
∴∠PFQ|＝|α−β2|．
专题 与角相关的旋转（翻折）问题 专项讲练
与角有关的旋转（翻折）问题属于苏科版七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转问题（求值问题；定值问题；探究问题；分类讨论问题）和与角有关的翻折问题。
【与角相关的旋转问题】
【解题技巧】
1、角度旋转问题解题步骤：
①找——根据题意找到目标角度；
②表——表示出目标角度：
1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间；
2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间；
3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大：
变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角
③列——根据题意列方程求解。
注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。
常见的三角板旋转的问题：三角板有两种，一种是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一种是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。
总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。
【重要题型】
题型1：求值问题
例1．（2022·江苏·七年级期中）已知∠AOB和∠COD均为锐角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC=α（0≤α＜180°）
（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①当α=0°时，如图1，则∠POQ= ；②当α=80°时，如图2，求∠POQ的度数；③当α=130°时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ的度数；
（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，则∠POQ= ，（请用含m、n的代数式表示）．
变式1．（2022•高新区期末）已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如图1所示摆放，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧：
（1）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O旋转至如图2所示的位置，则
①∠AOC+∠BOD＝ ；②∠BOC﹣∠AOD＝ ．
（2）若∠COD按每分钟5°的速度绕点O逆时针方向旋转，∠AOB按每分钟2°的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算∠MOC﹣∠AOD（用t的代数式表示）．
（3）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O逆时针方向旋转n°（n≤360），若射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的大小．
变式2.（2022•浙江七年级期中）如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．（注：本题旋转角度最多．）
（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，则______秒（直接写结果）．
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求为多少秒？
（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒平分？（直接写结果）
题型2：定值问题（角度不变问题）
例2．（2022·江苏南京·七年级期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角）
（1）图中一定有 个直角；当t＝2时，∠MON的度数为 ，∠BON的度数为 ；
（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值；
（3）当射线OM在∠COB内部，且是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值．
变式1．（2022•渝中区七年级期中）如图1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分别为∠AOB和∠BOD的角平分线．（1）若∠MON＝70°，则∠BOC＝ °；（2）如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒．①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由．
变式2．（2022•碑林区七年级开学）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请直接写出结论：直线ON 平分 （平分或不平分）∠AOC．
（2）将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 10或40 ．（直接写出结果）
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究，当ON始终在∠AOC的内部时（如图3），∠AOM与∠NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明．
题型3：探究类问题（判断角的数量之间的关系）
例3．（2022·四川·成都市七年级期末）如图所示：点是直线上一点，∠是直角，平分∠．
（1）如图1，若∠=40°，求∠的度数；
（2）如图1，若∠=，直接写出∠的度数（用含的代数式表示）；
（3）保持题目条件不变，将图1中的∠按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠和∠的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
变式1．（2022·广东七年级期中）如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
（1）若∠DCE=25°，∠ACB 等于多少；若∠ACB=130°，则∠DCE 等于多少；
（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；
（3）如图（b），若是两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小有何关系，请说明理由；（4）已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是锐角），如图（c），若把它们的顶点O重合在一起，则∠AOD与∠BOC的大小有何关系，请说明理由．
变式2．（2022•喀喇沁旗七年级期中）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使点N在OC的反向延长线上，请直接写出图中∠MOB的度数；（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；（3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图4，使ON在∠AOC内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
题型4：分类讨论问题
例4．（2022·成都市七中育才学校七年级月考）一副三角板（直角三角板和直角三角板）如图1所示放置，两个顶点重合于点，与重合，且，，，．将三角板绕着点逆时针旋转一周，旋转过程中，平分，平分，（和均是指小于180°的角）探究的度数．
（1）当三角板绕点旋转至如图2的位置时，与重合，______°，______°．
（2）三角板绕点旋转过程中，的度数还有其他可能吗？如果有，请研究证明结论，若没有，请说明理由．（3）类比拓展：当的度数为时，其他条件不变，在旋转过程中，请直接写出的度数．（用含的式子来表示）
变式1.（2022•广东七年级期末）如图（1），∠BOC和∠AOB都是锐角，射线OB在∠AOC内部，，．（本题所涉及的角都是小于180°的角）
(1)如图（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：
①当，时，______，______，______；
②______（用含有或的代数式表示）．
(2)如图（3），P为∠AOB内任意一点，直线PQ过点O，点Q在∠AOB外部：
①当OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度数为______；
②当OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度数为______；
（∠MON的度数用含有或的代数式表示）
(3)如图（4），当，时，射线OP从OC处以5°/分的速度绕点O开始逆时针旋转一周，同时射线OQ从OB处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分钟时，∠MON的度数是40°？
变式2．（2022·成都市七年级阶段练习）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若，则是的内半角．
（1）如图1，已知，，是的内半角，则________；
（2）如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度得，当旋转的角度为何值时，是的内半角；
（3）已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以3度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由．
【折叠（翻折）问题】
【解题技巧】
折叠前后对应角、对应边相等；出现角的比值或无角的具体度数却求度数常设列方程。在旋转问题中求解角度是初一数学的难点题型，需要熟悉并灵活运用角度求解的方法，本文就例题详细解析这类题型的解题思路，希望能给初一学生的数学学习带来帮助。
解决本题的关键是根据题目给出的角度或角与角之间的关系，确定射线旋转的角度，再根据射线的旋转速度，就可以求得射线旋转的时间，特别要注意在角的两边所处位置不明确的情况下，必须要考虑多解的可能。
例1．（2022·山东东营·期末）如图，长方形纸片，点、分别在边、上，连接．将对折，点落在直线上的点处，得折痕；将对折，点落在直线上的点处，得折痕．则的度数为（ ）
A． B． C． D．不能确定
变式1．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（ ）
A．40.5° B．41° C．41.5° D．42°
例2．（2022·辽宁西丰县·七年级期中）利用折纸可以作出角平分线．
（1）如图1，若∠AOB＝58°，则∠BOC＝ ．
（2）折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A′，点B落在点B'，连接OA'．
①如图2，当点B'在OA'上时，判断∠AOC与∠BOD的关系，并说明理由；
②如图3，当点B'在∠COA'的内部时，连接OB'，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度数．
变式2．（2022·湖南长沙·七年级月考）已知长方形纸片ABCD， E、F分别是AD、AB上的一点，点I在射线BC上、连接EF，FI，将∠A沿EF所在的直线对折，点A落在点H处，∠B沿FI所在的直线对折，点B落在点G处．(1)如图1，当HF与GF重合时，则∠EFI＝_________°；
(2)如图2，当重叠角∠HFG＝30°时，求∠EFI的度数；
(3)如图3，当∠GFI＝α，∠EFH＝β时，∠GFI绕点F进行逆时针旋转，且∠GFI总有一条边在∠EFH内，PF是∠GFH的角平分线，QF是∠EFI的角平分线，旋转过程中求出∠PFQ的度数(用含α，β的式子表示)．
课后专项训练
1．（2022·甘州区初一月考）如图，将一张长方形纸片沿线段AB折叠，已知∠1=40°，则∠2=___．
2．（2022·浙江·初一期中）如图，将一张长方形纸片ABCD分别沿着BE、BF折叠，使边AB、CB均落在BD上，得到折痕BE、BF，则∠ABE+∠CBF＝ ．
3．（2022•崇川区校级月考）如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，则∠HBC的度数为 ．
4．（2022·湖北江汉·初一期中）已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG．将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．
（1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数；
（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数；
（3）若∠MEN＝α，请直接用含α的式子表示∠FEG的大小．
5．（2022•历下区期末）点O为直线l上一点，射线OA、OB均与直线l重合，如图1所示，过点O作射线OC和射线OD，使得∠BOC＝100°，∠COD＝90°，作∠AOC的平分线OM．
（1）求∠AOC与∠MOD的度数；（2）作射线OP，使得∠BOP+∠AOM＝90°，请在图2中画出图形，并求出∠COP的度数；（3）如图3，将射线OB从图1位置开始，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转一周，作∠COD的平分线ON，当∠MON＝20°时，求旋转的时间．
6．（2022·山东烟台·期中）如图1，直角三角板的直角顶点O在直线上，线段是三角板的两条直角边，射线是的平分线．
(1)当时，求的度数；(2)当时，则______（用含的式子表示）；
(3)当三角板绕点O逆时针旋转到图2位置时，，它条件不变，则______（用含的式子表示）
7．（2022·山东日照·七年级期末）如图1，O为直线上一点，为射线，，将一个三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．
(1)将三角板绕点O顺时针旋转，若恰好平分（如图2），试说明平分；
(2)将三角板绕点O在直线上方顺时针旋转，当落在内部，且时，求的度数；(3)将图1中的三角板和射线同时绕点O，分别以每秒和每秒的速度顺时针旋转一周，求第几秒时，恰好与在同一条直线上？
7．（2022·浙江省义乌市稠江中学七年级阶段练习）如图1，点A，O，B依次在直线MN上，将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒15°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿顺时针方向以每秒6°的速度旋转（如图2），设旋转时间为t（0⩽t⩽48，单位秒）．
(1)当t=12时，∠AOB= °．
(2)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OM是由射线OB、射线OA组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
(3)在运动过程中，当∠AOB=60°时，求t的值．
8．（2022·河北·泊头市教师发展中心七年级期中）【实践操作】三角尺中的数学．
(1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，．
①若，则_________；若，则______；
②猜想与的大小有何特殊关系，并说明理由；
(2)如图2，若是两个同样的直角三角尺锐角的顶，点A重合在一起，，则与的大小又有何关系，请说明理由；
(3)已知，（都是锐角），如图3，若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出与的大小关系：________．
9．（2022·河南·郑州市第四初级中学七年级期末）【阅读理解】
如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比为1：2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．
(1)∠AOB的角平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
(2)若∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC＝ ．
【问题解决】(3)如图②，已知∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以20°/s的速度顺时针方向旋转，射线OQ从OB出发，以10°/s的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当其中一条射线旋转到与∠AOB的边重合时，运动停止，设旋转的时间为t（s），当t为何值时，射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的幸运线？试说明理由．
10．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射线OP从OF处开始出发，绕点O逆时针匀速旋转，旋转速度为每秒5度：射线OQ从OC处开始出发，绕点O顺时针匀速旋转，两条射线同时开始旋转（当射线OQ旋转至与射线OF重合时，OP、OQ同时停止运动），旋转时间为t秒.（旋转速度÷旋转角度：旋转时间）
(1)当t＝ 秒，射线OP平分∠AOB时；
(2)若射线OQ的旋转速度为每秒4度时，请求出当∠POQ=60°时，射线OP旋转的时间；
(3)若射线OQ的旋转速度为每秒3度时，是否存在某个时刻，使得射线OQ，OP，OB中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的的值，若不存在，请说明理由．
11．（2022·浙江·杭州外国语学校七年级期末）已知，为内部的一条射线，.（1）如图1，若平分，为内部的一条射线，，求的度数；
（2）如图2，若射线绕着点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动.若运动时间为秒，当时，求的值；（3）若射线绕着点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问在某时间段内是否为定值；若不是，请说明理由；若是，请补全图形，并直接写出这个定值以及相应所在的时间段.（本题中的角均为大于且小于的角）
12．（2022成都市七中育才学校七年级期末）如图1，在表盘上12：00时，时针、分针都指向数字12，我们将这一位置称为“标准位置”(图中)．小文同学为研究12点分()时，时针与分针的指针位置，将时针记为，分针记为．如：12：30时，时针、分针的位置如图2所示，试解决下列问题：
（1）分针每分钟转动 °；时针每分钟转动 °；
（2）当与在同一直线上时，求的值；
（3）当、、两两所夹的三个角、、中有两个角相等时，试求出所有符合条件的的值．(本小题中所有角的度数均不超过180°)
13．（2022·浙江镇海区·七年级期中）已知：如图，在内部有（）．
（1）如图1，求的度数；（2）如图2，平分，平分，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，当从的位置开始，绕着点以每秒的速度顺时针旋转秒时，使，求的值．
14．（2022·江西莲花县·七年级期末）乐乐对几何中角平分线的兴趣浓厚，请你和乐乐一起探究下面问题吧．已知°，射线分别是和的平分线；
（1）如图1，若射线在的内部，且，求的度数；
（2）如图2，若射线在的内部绕点旋转，则的度数为；
（3）若射线在的外部绕点旋转(旋转中，均指小于的角)，其余条件不变，请借助图3探究的大小，请直接写出的度数(不写探究过程)
15．（2022•金华七年级期中）已知∠AOB，过顶点O作射线OP，若∠BOP=12∠AOP，则称射线OP为∠AOB的“好线”，因此∠AOB的“好线”有两条，如图1，射线OP1，OP2都是∠AOB的“好线”．
（1）已知射线OP是∠AOB的“好线”，且∠BOP＝30°，求∠AOB的度数．
（2）如图2，O是直线MN上的一点，OB，OA分别是∠MOP和∠PON的平分线，已知∠MOB＝30°，请通过计算说明射线OP是∠AOB的一条“好线”．
（3）如图3，已知∠MON＝120°，∠NOB＝40°．射线OP和OA分别从OM和OB同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，OP的速度为每秒12°，OA的速度为每秒4°，当射线OP旋转到ON上时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线OP能否成为∠AOB的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间．
16．（2022•天心区七年级期中）已知长方形纸片ABCD，E、F分别是AD、AB上的一点，点I在射线BC上、连接EF，FI，将∠A沿EF所在的直线对折，点A落在点H处，∠B沿FI所在的直线对折，点B落在点G处．（1）如图1，当HF与GF重合时，则∠EFI＝ °；（2）如图2，当重叠角∠HFG＝30°时，求∠EFI的度数；（3）如图3，当∠GFI＝α，∠EFH＝β时，∠GFI绕点F进行逆时针旋转，且∠GFI总有一条边在∠EFH内，PF是∠GFH的角平分线，QF是∠EFI的角平分线，旋转过程中求出∠PFQ的度数（用含α，β的式子表示）．
【重要题型】
题型1：求值问题
例1．（2022·江苏·七年级期中）已知∠AOB和∠COD均为锐角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC=α（0≤α＜180°）
（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①当α=0°时，如图1，则∠POQ= ；②当α=80°时，如图2，求∠POQ的度数；③当α=130°时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ的度数；
（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，则∠POQ= ，（请用含m、n的代数式表示）．
【答案】（1）①50°；②50°；③130°；（2）m°+n°或180°-m°-n°
【分析】（1）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论；（2）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】解：（1）①∵∠AOB=60°，∠COD=40°，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，
∴∠BOP=∠AOB=30°，∠BOQ=∠COD=20°，∴∠POQ=50°，故答案为：50°；
②解：∵∠AOB=60°，∠BOC=α=80°，∴∠AOC=140°，
∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=70°，
∵∠COD=40°，∠BOC=α=80°，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=60°，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=20°，∴∠POQ=∠POC-∠COQ=70°-20°=50°；
③解：补全图形如图3所示，
∵∠AOB=60°，∠BOC=α=130°，∴∠AOC=360°-60°-130°=170°，
∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=85°，
∵∠COD=40°，∠BOC=α=130°，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=85°，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=85°-40°=45°，∴∠POQ=∠POC+∠COQ=85°+45°=130°；
（2）当∠AOB=m°，∠COD=n°时，如图2，
∴∠AOC= m°+ °，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=(m°+ °)，
同理可求∠DOQ=(n°+ °)，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=(n°+ °)- n°=(-n°+ °)，
∴∠POQ=∠POC-∠COQ=(m°+ °)-(-n°+ °) =m°+n°，
当∠AOB=m°，∠COD=n°时，如图3，
∵∠AOB=m°，∠BOC=α，∴∠AOC=360°-m°-°，
∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=180°(m°+ °)，
∵∠COD=n°，∠BOC=α，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=(n°+ °)，
∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=(n°+ °)-n°=(-n°+ °)，
∴∠POQ=∠POC+∠COQ=180°(m°+ °)+(-n°+ °) =180°-m°-n°，
综上所述，若∠AOB=m°，∠COD=n°，则∠POQ=m°+n°或180°-m°-n°．
故答案为：m°+n°或180°-m°-n°．
【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
变式1．（2022•高新区期末）已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如图1所示摆放，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧：
（1）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O旋转至如图2所示的位置，则
①∠AOC+∠BOD＝ ；②∠BOC﹣∠AOD＝ ．
（2）若∠COD按每分钟5°的速度绕点O逆时针方向旋转，∠AOB按每分钟2°的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算∠MOC﹣∠AOD（用t的代数式表示）．
（3）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O逆时针方向旋转n°（n≤360），若射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的大小．
【解题思路】（1）①将∠AOC+∠BOD拆分、转化为∠COD+∠AOB即可得；②依据∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC、∠AOD＝∠COD﹣∠AOC，将原式拆分、转化为∠AOB﹣∠COD计算可得；
（2）设运动时间为t秒，0＜t≤36，∠MOC＝（5t）°，只需表示出∠AOD即可得出答案，而∠AOD在OD与OA相遇前、后表达式不同，故需分OD与OA相遇前后即0＜t≤20和20＜t≤36两种情况求解；
（3）设OC绕点O逆时针旋转n°，则OD也绕点O逆时针旋转n°，再分①射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN同侧；②射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN同侧；③射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN异侧；④射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN异侧；四种情况分别求解．
【解答过程】解：（1）①∠AOC+∠BOD
＝∠AOC+∠AOD+∠AOB
＝∠COD+∠AOB
＝60°+90°
＝150°；
②∠BOC﹣∠AOD
＝（∠AOB﹣∠AOC）﹣（∠COD﹣∠AOC）
＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD+∠AOC
＝∠AOB﹣∠COD
＝90°﹣60°
＝30°；
故答案为：150°、30°；
（2）设运动时间为t秒，0＜t≤36，∠MOC＝（5t）°，
①0＜t≤20时，OD与OA相遇前，∠AOD＝（60+2t﹣5t）°＝（60﹣3t）°，
∴∠MOC﹣∠AOD＝（8t﹣60）°；
②20＜t≤36时，OD与OA相遇后，∠AOD＝[5t﹣（60+2t）]°＝（3t﹣60）°，
∴∠MOC﹣∠AOD＝（2t+60）°；
（3）设OC绕点O逆时针旋转n°，则OD也绕点O逆时针旋转n°，
①0＜n°≤150°时，如图4，
射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN同侧，
∵∠BOF=12[90°﹣（n﹣60°）]=12（150﹣n）°，∠BOE＝（90−12n）°=12（180﹣n）°，
∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF＝15°；
②150°＜n°≤180°时，如图5，
射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN同侧，
∵∠BOF=12(n−150)°，∠BOE＝（90−12n）°=12（180﹣n）°，
∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝15°；
③180°＜n°≤330°时，如图6，
射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN异侧，
∵∠DOF=12(n−150)°，∠COE=12(360−n)°，
∴∠EOF＝∠DOF+∠COD+∠COE＝165°；
④330°＜n°≤360°时，如图7，
射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN异侧，
∵∠DOF=12[360﹣（n﹣150）]°=12（510﹣n）°，∠COE=12(360−n)°，
∴∠EOF＝∠DOF﹣∠COD﹣∠COE＝15°；
综上，∠EOF＝15°或165°．
变式2.（2022•浙江七年级期中）如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．（注：本题旋转角度最多．）
（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，则______秒（直接写结果）．
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求为多少秒？
（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒平分？（直接写结果）
【答案】（1），5；（2），；（3）经过秒平分
【解析】（1），∵，∴
∵平分，，∴，∴
∴，解得：秒
（2）度
∵，平分，∴
∴，∴解得：秒
（3）如图：
∵，
由题可设为，为，∴
∵，，解得：秒
答：经过秒平分．
题型2：定值问题（角度不变问题）
例2．（2022·江苏南京·七年级期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角）
（1）图中一定有 个直角；当t＝2时，∠MON的度数为 ，∠BON的度数为 ；
（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值；
（3）当射线OM在∠COB内部，且是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值．
【答案】(1)4；144°，114°；(2)t的值为10s；(3)当射线OM在∠COB内部，且是定值时，t的取值范围为＜t＜6，这个定值是3
【分析】(1)由直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD即可得到共4个直角；当t＝2时求得∠BOM＝30°，∠NON＝24°，即可得到∠MON、∠BON的度数；
(2)用t分别表示出∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°，根据OE平分∠COM，OF平分∠NOD，分别求得∠COE、∠DOF,由∠EOF为直角即∠COE+∠DOF＝90°，列出方程解答即可.
(3)先确定∠MON＝180°时，∠BOM＝90°时t的值，再分两种情况进行计算，得到0＜t＜时不是定值，当＜t＜6时，=3是定值.
【详解】（1）如图所示，∵两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD，
∴∠AOC＝∠AOD＝90°，∴∠BOC＝∠BOD＝90°，∴图中一定有4个直角；
当t＝2时，∠BOM＝30°，∠NON＝24°，
∴∠MON＝30°+90°+24°＝144°，∠BON＝90°+24°＝114°；
故答案为：4；144°，114°；
（2）如图所示，∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°，
∵OE平分∠COM，OF平分∠NOD，
∴∠COE＝∠COM＝（15t﹣90°），∠DOF＝∠DON＝×12t，
∵当∠EOF为直角时，∠COE+∠DOF＝90°，
∴（15t﹣90°）＝×12t，解得t＝10，
∴当∠EOF为直角时，t的值为10s；
（3）当∠MON＝180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON＝180°，
∴15t+90°+12t＝180°，解得t＝，
当∠BOM＝90°时，15t＝90°，解得t＝6，
①如图所示，当0＜t＜时，
∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，
∠MON＝∠BOM+∠BOD+∠DON＝15t+90°+12t，
∴＝，（不是定值）
②如图所示，当＜t＜6时，
∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，
∠MON＝360°﹣（∠BOM+∠BOD+∠DON）＝360°﹣（15t+90°+12t）＝270°﹣27t，
∴＝=3，（是定值）
综上所述，当射线OM在∠COB内部，且是定值时，
t的取值范围为＜t＜6，这个定值是3．
【点睛】此题考察图形中的运动问题，(3)先确定∠MON＝180°时，∠BOM＝90°时t的值，再分两种情况进行计算，得到0＜t＜时不是定值，当＜t＜6时，=3是定值.
变式1．（2022•渝中区七年级期中）如图1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分别为∠AOB和∠BOD的角平分线．（1）若∠MON＝70°，则∠BOC＝ °；（2）如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒．①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）根据角平分线的定义结合图形根据已知条件求角的大小；
（2）①分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，根据角平分线的定义用t表示出角的度数，列出等量关系式求出t；②分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，当C′在B下方时，当C′在B上方时，根据角平分线的定义用t表示出角的度数，求在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变，求出这个定值及其对应的t的取值范围．
【解答过程】解：（1）∵OM为∠AOB的角平分线、∠AOB＝40°，∴∠MOB＝20°．
∵∠MON＝70°，∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝50°．
∵ON为∠BOD的角平分线，∴∠BON＝∠DON＝50°．
∴∠CON＝∠COD﹣∠DON＝10°∴∠BOC＝∠DON﹣∠CON＝40°．故答案为：40°．
（2）如图①：①逆时针旋转时：
当C′在B上方时，根据题意可知，∠BOC′＝40°﹣4t，∠BOD′＝∠BOD﹣4t＝100°﹣4t．
∠BON′=12∠BOD′=12(100°−4t)=50°﹣2t，
∵OC′平分∠BON′，
∴∠BOC′=12∠BON'，即40°﹣4t=12（50°﹣2t），解得：t＝5（s）．
当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．
顺时针旋转时：如图②，
同理当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．
当C′在B上方时，即OC′与OB重合，
由题意可求OC′与OB重合用的时间＝∠AOC÷4+∠AOB÷6
＝（∠AOB+∠BOC）÷4+∠AOB÷6
=803（s）．
∴OC′与OB重合之后，∠BOC′＝6（t−803）（s）．
∴∠BOD′＝∠BOC′+60°＝6（t−803）+60°＝6t﹣100°．
∴∠BON′=12∠BOD'=12（6t﹣100°）＝3t﹣50°，
∵OC′平分∠BON′，
∴∠BOC′=12∠BON'，
∴6（t−803）=12（3t﹣50°），
解得：t＝30（s）
综上所述t的值为5或30．
②逆时针旋转时：当C′在B上方时，如图③
根据①可知，∠BOC′＝40°﹣4t，∠BOD′＝100°﹣4t，∠BON′＝50°﹣2t．
∴∠AOD′＝∠AOB+∠BOD′＝140°﹣4t，
∴∠AOP=12∠AOD'=12∠(140°−4t)=70°﹣2t，
∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝30°﹣2t，
∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝70°﹣2t，
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|30°﹣2t﹣70°+2t|＝40°，
此段时间0≤t≤10s；
如图④当C′在B下方时，设经过OB后运动时间为t2，
同理可知，∠BOC′＝4t2，∠BOD′＝60°﹣4t2，
∴∠MON'=12∠BON'=30−2t2，
∴∠AOD′＝∠AOB+∠BOD′＝100°﹣4t2，
∴∠AOP=12∠AOD'=50°−2t2，
∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝10°﹣2t2，
∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝50°﹣2t2，
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|10°﹣2t2﹣50°+2t2|＝40°．
此时：10＜t≤20；
顺时针旋转时：当C′在B下方时，如图⑤，
设经过OB后运动时间为t1，
同理可知：∠BOC′＝40°﹣6t1，∠BOD′＝20°+6t1，
∴∠BON'=12∠BOD'=10°+3t1，
∴∠AOD′＝60°+6t1，
∠AOP＝30°+3t1，
∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝3t1﹣10°，
∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝30°﹣3t1，
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|3t1﹣10°﹣30°﹣3t1|＝40°，
此时：20＜t≤803；
当C′在B上方时，如图⑥，
设经过OB后运动时间为t3，
同理可知：，∠BOC′＝60°+6t3，∠BOD′＝100°+6t3，
∴∠BON′=12∠BON'=50°+3t3，
∴∠AOD′＝140°+6t3，
∴∠AOP＝70°+3t3，
∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝30°+3t3，
∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝70°+3t3，
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|30°+3t3﹣70°﹣3t3|＝40°，
此时：803＜t≤50．
综上所述：存在且定值为40°，0≤t≤50．
变式2．（2022•碑林区七年级开学）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请直接写出结论：直线ON 平分 （平分或不平分）∠AOC．
（2）将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 10或40 ．（直接写出结果）
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究，当ON始终在∠AOC的内部时（如图3），∠AOM与∠NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明．
【解题思路】（1）设ON的反向延长线为OD，由角平分线的性质和对顶角的性质可求得∠BON＝∠AOD＝∠COD＝30°；
（2）由直线ON恰好平分锐角∠AOC可知旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC，根据旋转速度可求得需要的时间；
（3）由∠MON＝90°，∠AOC＝60°，可知∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，最后求得两角的差，从而可做出判断．
【解答过程】解：（1）直线ON平分∠AOC．
理由如下：
设ON的反向延长线为OD，
∵OM平分∠BOC，∠BOC＝120°，
∴∠MOC＝∠MOB=12∠BOC＝60°，
又∠MOD＝∠MON＝90°，
∴∠COD＝90°﹣∠MOC＝30°，
∵∠AOC＝180°﹣∠BOC＝60°，
∴∠COD=12∠AOC，
∴OD平分∠AOC，
即直线ON平分∠AOC，
故答案为：平分；
（2）∵∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝60°．
∴∠BON＝∠COD＝30°．
即旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC．
由题意得，6t＝60或240．
解得：t＝10或40，
故答案为：10或40；
（3）∠AOM﹣∠NOC的差不变．
∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON．
∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．
∴∠AOM与∠NOC的差不变，这个差值是30°．
题型3：探究类问题（判断角的数量之间的关系）
例3．（2022·四川·成都市七年级期末）如图所示：点是直线上一点，∠是直角，平分∠．
（1）如图1，若∠=40°，求∠的度数；
（2）如图1，若∠=，直接写出∠的度数（用含的代数式表示）；
（3）保持题目条件不变，将图1中的∠按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠和∠的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
【答案】（1）20°；（2）；（3），理由见解析
【分析】（1）首先求得∠BPC，∠BPD的度数，然后根据角平分线的定义求得∠BPE的度数，再根据即可求解；
（2）解法与（1）相同，把（1）中的40°改成α即可；
（3）把∠APC的度数作为已知量，求得∠BPC的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠BPE的度数，再根据即可解决．
【详解】（1）∵，，
∴，
，
又∵平分，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴，
，
又∵平分，
∴，
∴．
（3）结论：．理由如下：
设，则，
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角度的计算，正确理解角平分线的定义，理解角度之间的和差关系是关键．
变式1．（2022·广东七年级期中）如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
（1）若∠DCE=25°，∠ACB 等于多少；若∠ACB=130°，则∠DCE 等于多少；
（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；
（3）如图（b），若是两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小有何关系，请说明理由；（4）已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是锐角），如图（c），若把它们的顶点O重合在一起，则∠AOD与∠BOC的大小有何关系，请说明理由．
【答案】（1）∠ACB=155°；∠DCE=50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由见解析；（4）∠AOD+∠BOC=α+β，理由见解析．
【分析】（1）先求出∠BCD，再代入∠ACB=∠ACD+∠BCD求出即可；先求出∠BCD，再代入∠DCE=∠BCE﹣∠BCD求出即可；（2）根据∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠DCE求出即可；
（3）根据∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB求出即可；（4）根据∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD求出即可．
【详解】解：(1)∵∠BCE=90°，∠DCE=25°，∴∠BCD=∠BCE﹣∠DCE=65°，
∵∠ACD=90°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+65°=155°；
∵∠ACB=130°，∠ACD=90°，∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=130°﹣90°=40°，
∵∠BCE=90°，∴∠DCE=∠BCE﹣∠BCD=90°﹣40°=50°，故答案为：155°，50°；
（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：∵∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠DCE=∠ACD+∠BCE=180°；
（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由如下：∵∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB，
∴∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE=∠DAC+∠BAE=120°；
（4）∠AOD+∠BOC=α+β，理由如下：∵∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD，
∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COB+∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=α+β．
【点睛】本题考查了角的运算，理解角的和差运算是解题的关键．
变式2．（2022•喀喇沁旗七年级期中）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使点N在OC的反向延长线上，请直接写出图中∠MOB的度数；
（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；
（3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图4，使ON在∠AOC内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
【解题思路】（1）根据对顶角求出∠BON，代入∠BOM＝∠MON﹣∠BON求出即可；
（2）求出∠BOC＝120°，根据角平分线定义请求出∠COM＝∠BOM＝60°，代入∠CON＝∠MON+∠COM求出即可；
（3）用∠AOM和∠CON表示出∠AON，然后列出方程整理即可得解．
【解答过程】解：（1）如图2，∵∠AOC＝60°，
∴∠BON＝∠AOC＝60°，
∵∠MON＝90°，
∴∠BOM＝∠MON﹣∠BON＝30°，
故答案为：30°；
（2）∵∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝120°，
∵OM平分∠BOC，
∴∠COM＝∠BOM＝60°，
∵∠MON＝90°，
∴∠CON＝∠MON+∠COM＝90°+60°＝150°；
（3）∠AOM﹣∠NOC＝30°，
理由是：∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠AON＝90°﹣∠AOM，
∠AON＝60°﹣∠NOC，
∴90°﹣∠AOM＝60°﹣∠NOC，
∴∠AOM﹣∠NOC＝30°，
故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°．
题型4：分类讨论问题
例4．（2022·成都市七中育才学校七年级月考）一副三角板（直角三角板和直角三角板）如图1所示放置，两个顶点重合于点，与重合，且，，，．将三角板绕着点逆时针旋转一周，旋转过程中，平分，平分，（和均是指小于180°的角）探究的度数．
（1）当三角板绕点旋转至如图2的位置时，与重合，______°，______°．
（2）三角板绕点旋转过程中，的度数还有其他可能吗？如果有，请研究证明结论，若没有，请说明理由．（3）类比拓展：当的度数为时，其他条件不变，在旋转过程中，请直接写出的度数．（用含的式子来表示）
【答案】（1）150；75 （2）有，105° （3）或
【分析】（1）利用两个角的和的定义,角的平分线的定义计算即可； （2）利用分类思想， 确定不同方式计算即可；（3）利用特殊与一般的思想，分类将问题抽象即可．
【详解】（1）如图，由与重合，
∵，，∴．
又∵平分，平分，∴，，
∴．故答案为：150°；75°；
（2）如图，∵平分，平分，
∴
+30°+30°+30°．
∴，∴．
（3）如图，
∵平分，平分，
∴，
，
∴=+60°-=；
如图，∵OE平分，平分，
∴，
∴．
综上所述，或．
【点睛】本题考查了两个角的和，角的平分线，周角的定义，灵活运用分类思想，角的平分线定义，角的和，差定义计算是解题的关键．
变式1.（2022•广东七年级期末）如图（1），∠BOC和∠AOB都是锐角，射线OB在∠AOC内部，，．（本题所涉及的角都是小于180°的角）
(1)如图（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：
①当，时，______，______，______；
②______（用含有或的代数式表示）．
(2)如图（3），P为∠AOB内任意一点，直线PQ过点O，点Q在∠AOB外部：
①当OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度数为______；
②当OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度数为______；
（∠MON的度数用含有或的代数式表示）
(3)如图（4），当，时，射线OP从OC处以5°/分的速度绕点O开始逆时针旋转一周，同时射线OQ从OB处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分钟时，∠MON的度数是40°？
【答案】(1)；(2)，；(3)分钟时，∠MON的度数是40°
【解析】(1)① OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
当，时，，
，
②，故答案为：
(2)①OM平分∠POB，ON平分∠POA，
②OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，
故答案为：，
(3)根据题意
OM平分∠POQ，
如图，当在的外部时，
MON的度数是40°
ON平分∠POA，，，则旋转了
分，即分钟时，∠MON的度数是40°
如图，在的内部时，
即
此情况不存在，综上所述，分钟时，∠MON的度数是40°
变式2．（2022·成都市七年级阶段练习）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若，则是的内半角．
（1）如图1，已知，，是的内半角，则________；
（2）如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度得，当旋转的角度为何值时，是的内半角；
（3）已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以3度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）能，或或或．
【分析】（1）根据内半角的定义解答即可；
（2）根据内半角的定义解答即可；
（3）设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为，根据内半角的定义列方程即可得到结论．
【详解】（1）∵是的内半角，，∴，
∵，∴，故答案为：．
（2）∵，∴，
∵是的内半角，
∴，∴，
∴旋转的角度为时，是的内半角．
（3）设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为，
如图1，∵是的内半角，，
∴，∴，解得：，∴；
如图2，∵是的内半角，，
∴，∴，∴，∴；
如图3，∵是的内半角，，∴，
∴，∴，∴；
如图4，∵是的内半角，，
∴，
∴，解得：，∴，
综上所述，当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成内半角．
【点睛】本题考查了与角的有关的计算，涉及到角的和差，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
【折叠（翻折）问题】
【解题技巧】
折叠前后对应角、对应边相等；出现角的比值或无角的具体度数却求度数常设列方程。在旋转问题中求解角度是初一数学的难点题型，需要熟悉并灵活运用角度求解的方法，本文就例题详细解析这类题型的解题思路，希望能给初一学生的数学学习带来帮助。
解决本题的关键是根据题目给出的角度或角与角之间的关系，确定射线旋转的角度，再根据射线的旋转速度，就可以求得射线旋转的时间，特别要注意在角的两边所处位置不明确的情况下，必须要考虑多解的可能。
例1．（2022·山东东营·期末）如图，长方形纸片，点、分别在边、上，连接．将对折，点落在直线上的点处，得折痕；将对折，点落在直线上的点处，得折痕．则的度数为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【分析】由翻折可得∠FEN＝∠AEN，∠FEM＝∠BEM，从而可得∠NEM＝∠AEB，进而求解．
【详解】解：由翻折可得∠FEN＝∠AEN＝∠AEF，∠FEM＝∠BEM＝∠BEF，
∴∠NEM＝∠FEN＋∠FEM＝（∠AEF＋∠BEF）＝×180°＝90°．故选：B．
【点睛】本题考查角的计算，解题关键通过翻折得到角相等．
变式1．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（ ）
A．40.5° B．41° C．41.5° D．42°
【答案】B
【分析】由长方形和折叠的性质结合题意可求出．再根据，即可求出答案．
【详解】由长方形的性质可知：．
∴，即．
由折叠的性质可知，
∴．
∵，
∴．故选B．
【点睛】本题考查长方形的性质，折叠的性质．利用数形结合的思想找到角之间的关系是解题关键．
例2．（2022·辽宁西丰县·七年级期中）利用折纸可以作出角平分线．
（1）如图1，若∠AOB＝58°，则∠BOC＝ ．
（2）折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A′，点B落在点B'，连接OA'．
①如图2，当点B'在OA'上时，判断∠AOC与∠BOD的关系，并说明理由；
②如图3，当点B'在∠COA'的内部时，连接OB'，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度数．
【答案】（1）29°；（2）①∠AOC+∠BOD＝90°，理由见解析；②30°
【分析】（1）由折叠得出∠AOC＝∠BOC，即可得出结论；（2）①由折叠得出∠AOA'＝2∠AOC，∠BOB'＝2∠BOD，再由点B'落在OA'上，得出∠AOA'+∠BOB'＝180°，即可得出结论；
②同①的方法求出∠AOA'＝88°，∠BOB'＝122°，即可得出结论．
【详解】解：（1）由折叠知，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，
∵∠AOB＝58°，∴∠BOC＝∠AOB＝×58°＝29°，故答案为：29°；
（2）①∠AOC+∠BOD＝90°，
理由：由折叠知，∠AOC＝∠A'OC，∴∠AOA'＝2∠AOC，
由折叠知，∠BOD＝∠B'OD，∴∠BOB'＝2∠BOD，
∵点B'落在OA'，∴∠AOA'+∠BOB'＝180°，∴2∠AOC+2∠BOD＝180°，∴∠AOC+∠BOD＝90°；
②由折叠知，∠AOA'＝2∠AOC，∠BOB'＝2∠BOD，
∵∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，∴∠AOA'＝2∠AOC＝2×44°＝88°，∠BOB'＝2∠BOD＝2×61°＝122°，
∴∠A'OB'＝∠AOA'+∠BOB'﹣180°＝88°+122°﹣180°＝30°，即∠A'OB'的度数为30°．
【点睛】此题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，从图形中找出角之间的关系是解本题的关键．
变式2．（2022·湖南长沙·七年级月考）已知长方形纸片ABCD， E、F分别是AD、AB上的一点，点I在射线BC上、连接EF，FI，将∠A沿EF所在的直线对折，点A落在点H处，∠B沿FI所在的直线对折，点B落在点G处．(1)如图1，当HF与GF重合时，则∠EFI＝_________°；
(2)如图2，当重叠角∠HFG＝30°时，求∠EFI的度数；
(3)如图3，当∠GFI＝α，∠EFH＝β时，∠GFI绕点F进行逆时针旋转，且∠GFI总有一条边在∠EFH内，PF是∠GFH的角平分线，QF是∠EFI的角平分线，旋转过程中求出∠PFQ的度数(用含α，β的式子表示)．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根据折叠的性质可得∠HFE=∠AFE，∠IFG=∠IFB，再根据∠HFE+∠AFE+∠IFG+∠IFB=180°，即可得到∠EFI=∠HFE+∠IFH=90°；（2）令，，推导出x与y的和即可求得答案；
（3）先求出∠GFH，∠GFP，∠QFI，根据，即可得到答案.
【详解】（1）由折叠的性质得∠HFE=∠AFE，∠IFG=∠IFB，
∵∠HFE+∠AFE+∠IFG+∠IFB=180°，∴∠EFI=∠HFE+∠IFH=90°；
（2）令，∵30°∴30°+x，30+y，
∴180°，
即90°，∴45°，∴75°；
（3）,，
∴180°，∴90°，
又∵，
.
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，角的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
课后专项训练
1．（2022·甘州区初一月考）如图，将一张长方形纸片沿线段AB折叠，已知∠1=40°，则∠2=___．
【答案】100°
【分析】先根据折叠的性质得∠1=∠3=40°，然后根据平角的定义可计算出∠2=100°．
【解析】∵长方形纸片沿线段AB折叠，
∴∠1=∠3=40°，∴∠2=180°-∠1-∠3=180°-2×40°=100°．故答案为50°
【点睛】本题考查了折叠的性质，也考查了平角的定义．
2．（2022·浙江·初一期中）如图，将一张长方形纸片ABCD分别沿着BE、BF折叠，使边AB、CB均落在BD上，得到折痕BE、BF，则∠ABE+∠CBF＝ ．
解：由折叠得，∠ABE＝∠DBE，∠CBF＝∠DBF，
∵∠ABE+∠DBE+∠CBF+∠DBF＝∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝∠ABC＝×90°＝45°，故答案为：45°．
3．（2022•崇川区校级月考）如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，则∠HBC的度数为 ．
解：∵MN垂直平分AD，
∴DH＝AH．
由翻折的性质可知：AH＝AB．
∴AH＝AD＝DH．
∴△ADH是一个等边三角形．
∴∠DAH＝60°．
∴∠HAB＝30°．
∵AB＝AH，
∴∠ABH＝×（180°﹣30°）＝75°．
∴∠HBC＝∠ABC﹣∠ABH＝90°﹣75°＝15°．
故答案为：15°．
4．（2022·湖北江汉·初一期中）已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG．将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．
（1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数；
（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数；
（3）若∠MEN＝α，请直接用含α的式子表示∠FEG的大小．
【答案】（1）∠MEN＝90°；（2）∠MEN＝105°；（3）∠FEG＝2α﹣180°，∠FEG＝180°﹣2α．
【分析】（1）根据角平分线的定义，平角的定义，角的和差定义计算即可．（2）根据∠MEN=∠NEF+∠FEG+∠MEG，求出∠NEF+∠MEG即可解决问题．（3）分两种情形分别讨论求解．
【解析】（1）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEF∴∠NEF＝∠AEF，∠MEF＝∠BEF
∴∠MEN＝∠NEF+∠MEF＝∠AEF+∠BEF＝（∠AEF+∠BEF）＝∠AEB
∵∠AEB＝180°∴∠MEN＝×180°＝90°
（2）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG∴∠NEF＝∠AEF，∠MEG＝∠BEG
∴∠NEF+∠MEG＝∠AEF+∠BEG＝（∠AEF+∠BEG）＝（∠AEB﹣∠FEG）
∵∠AEB＝180°，∠FEG＝30°∴∠NEF+∠MEG＝（180°﹣30°）＝75°
∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝75°+30°＝105°
（3）若点G在点F的右侧，∠FEG＝2α﹣180°，若点G在点F的左侧侧，∠FEG＝180°﹣2α．
【点睛】考查了角的计算，翻折变换，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
5．（2022•历下区期末）点O为直线l上一点，射线OA、OB均与直线l重合，如图1所示，过点O作射线OC和射线OD，使得∠BOC＝100°，∠COD＝90°，作∠AOC的平分线OM．
（1）求∠AOC与∠MOD的度数；（2）作射线OP，使得∠BOP+∠AOM＝90°，请在图2中画出图形，并求出∠COP的度数；（3）如图3，将射线OB从图1位置开始，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转一周，作∠COD的平分线ON，当∠MON＝20°时，求旋转的时间．
【解题思路】（1）由平角的定义可得，∠AOB＝180°，所以∠AOC＝AOB﹣∠BOC＝80°，再由角平分线的性质可得∠MOD的度数；
（2）由（1）可知，∠AOM＝∠AOC﹣∠COM＝40°，∠BOP＝90°﹣∠AOM＝50°，再分当射线OP在∠BOC内部时，和当射线OP在∠BOC外部时两种情况，根据图中和差关系求∠COP的度数即可；
（3）在射线OP旋转的过程中，OM和ON的相对位置在不断的变化，存在两种情况满足条件，画出草图，根据角度的和差关系求解即可．
【解答过程】解：（1）由题意可知，∠AOB＝180°，
∵∠BOC＝100°，
∴∠AOC＝AOB﹣∠BOC＝80°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠COM=12∠AOC＝40°，
∴∠MOD＝∠COD﹣∠COM＝50°；
（2）由（1）知，∠AOM＝∠AOC﹣∠COM＝40°，
∴∠BOP＝90°﹣∠AOM＝50°，
①当射线OP在∠BOC内部时，如图2（1），
∠COP＝∠BOC﹣∠BOP＝50°；
②当射线OP在∠BOC外部时，如图2（2），
∠COP＝∠BOC+∠BOP＝150°，
综上所述，∠COP的度数为50°或150°；
（3）∵ON平分∠COD，
∴∠CON=12∠COD＝45°，
①如图3，
∠COM＝∠CON﹣∠MON＝25°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠COM＝50°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC＝﹣∠BOC＝30°，
∴旋转的时间t＝30°÷5°＝6（秒）；
②如图3（1），
此时，∠COM＝∠CON+∠MON＝65°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠COM＝130°，
∴∠COE＝180°﹣130°＝50°，
∴∠BOE＝100°﹣50°＝50°，
∴旋转的时间＝（360°﹣50°）÷5°＝62（秒）；
综上所述，旋转的时间为6秒或62秒．
6．（2022·山东烟台·期中）如图1，直角三角板的直角顶点O在直线上，线段是三角板的两条直角边，射线是的平分线．
(1)当时，求的度数；(2)当时，则______（用含的式子表示）；
(3)当三角板绕点O逆时针旋转到图2位置时，，它条件不变，则______（用含的式子表示）
【答案】(1)60°
(2)2α
(3)360°-2α
【分析】（1）利用已知求得∠DOE=60°，利用角平分线的性质得到∠AOD=2∠DOE，再利用平角的定义，∠BOD可求；
（2）利用（1）中方法可求；
（3）利用已知可求∠DOE=α-90°，然后利用（1）中的方法求得∠BOD的度数．
（1）
∵∠COD=90°，∠COE=30°，
∴∠DOE=90°-30°=60°．
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠DOE=2×60°=120°．
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-120°=60°．
（2）
∵∠COD=90°，∠COE=α，
∴∠DOE=90°-α．
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠DOE=2×（90°-α）=180°-2α．
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-（180°-2α）=2α．
故答案为：2α．
（3）
由题意：∠DOE=α-90°．
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠DOE=2α-180°．
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-（2α-180°）=180°-2α+180°=360°-2α．
故答案为：360°-2α．
【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的性质，平角的定义．正确使用角平分线的性质和平角的性质是解题的关键．
7．（2022·山东日照·七年级期末）如图1，O为直线上一点，为射线，，将一个三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．
(1)将三角板绕点O顺时针旋转，若恰好平分（如图2），试说明平分；
(2)将三角板绕点O在直线上方顺时针旋转，当落在内部，且时，求的度数；
(3)将图1中的三角板和射线同时绕点O，分别以每秒和每秒的速度顺时针旋转一周，求第几秒时，恰好与在同一条直线上？
【答案】(1)见解析
(2)
(3)第10秒或70秒时，OD与OC恰好在同一条直线上
【分析】（1）由角平分线的性质及同角的余角相等，即可得；
（2）设，则，当OD在的内部时，，则，计算得，即可得；
（3）设第t秒时，OD与OC恰好在同一条直线上，则，，分OD与OC重合、OD与OC的反向延长线重合两种情况分别讨论即可得．
（1）
解：∵OD恰好平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴OE平分．
（2）
解：设，则，
当OD在的内部时，，
∵，
∴，
，
∴，
即的度数为．
（3）
解：设第t秒时，OD与OC恰好在同一条直线上，
则，，
当OD与OC重合时，，
解得，
当OD与OC的反向延长线重合时，，
解得，
∴第10秒或70秒时，OD与OC恰好在同一条直线上．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，余角的性质，角度的计算，解题的关键是掌握这些知识点，分类讨论．
7．（2022·浙江省义乌市稠江中学七年级阶段练习）如图1，点A，O，B依次在直线MN上，将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒15°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿顺时针方向以每秒6°的速度旋转（如图2），设旋转时间为t（0⩽t⩽48，单位秒）．
(1)当t=12时，∠AOB= °．
(2)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OM是由射线OB、射线OA组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
(3)在运动过程中，当∠AOB=60°时，求t的值．
【答案】(1)60°
(2)27或45
(3)12或24或48
【分析】（1）t=12时，∠AOM=15°×12=180°，即OA与ON重合，故∠AOB=∠BON=5°×12=60°．
（2）①求OA追上OB的大致时刻，得到OM平分∠AOB时的图形，用t表示此时∠AOM与∠BOM的度数，列方程即可求t；②当OA超过OB将要旋转到第二圈，OB旋转过OM时，此时OM可以是∠AOB的角平分线，列第二个方程求t。
（3）OA、OB都是顺时针旋转，可理解为初始路程差为180°的追及问题：当∠AOB第一次达到60°时，即OA差60°追上OB，路程差为（180-60）°，即15t-5t=180-60；第二次达到60°时，即OA追上OB且超过60°，路程差为（180+60）°；第三次达到60°时，OA再走一圈差60°追上OB，路程差为（180+360-60）°，此时求出的t．
（1）
解：当t=12时,∠AOM=15°×12=180°,∠BON=5°×12=60°，
∴∠AOB=180°−∠AOM+∠BON=60°，
故答案为：60°．
（2）
存在满足条件的t值。
①∵OA旋转一周所需时间为：360°÷15°=24(秒)，
此时,∠BON=5°×24=120°，即OA已经旋转过OB的位置，
若OM平分∠AOB且0°<∠AOB<180°，位置如图1，
∴∠AOM=(15t−360)°,∠BOM=(180−5t)°，
∴15t−360=180−5t，解得：t=27，
②若OM平分∠BOA且0°<∠BOA<180°，位置如下图2，
∴∠AOM=(720-15t)°,∠BOM=(5t-180)°，
∴720-15t=5t-180，解得：t=45，
（3）
(3)①如图3,当∠AOB第一次达到60°时,OA比OB多转了(180−60)°，得：
15t−5t=180°−60°，解得：t=12，
②如图3,当∠AOB第二次达到60°时,OA比OB多转了(180+60)°，得：
15t−5t=180°+60°，解得：t=24，
③如图5，当∠AOB第三次达到60°时,OA比OB多转了(180+360−60)°，
得：15t−5t=180°+360°−60°，
解得：t=48，符合题意，
综上所述,当∠AOB=60°时,t=12或24或48．
【点睛】本题考查一元一次方程在角度计算中的应用，解题的关键是根据射线的旋转，分情况进行讨论．
8．（2022·河北·泊头市教师发展中心七年级期中）【实践操作】三角尺中的数学．
(1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，．
①若，则_________；若，则______；
②猜想与的大小有何特殊关系，并说明理由；
(2)如图2，若是两个同样的直角三角尺锐角的顶，点A重合在一起，，则与的大小又有何关系，请说明理由；
(3)已知，（都是锐角），如图3，若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出与的大小关系：________．
【答案】(1)①，；②，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】(1) ①先计算∠ACE的大小，再根据∠ACB=∠ACE+∠BCE计算即可；先根∠ACB=∠ACE+∠BCE计算∠ACE的大小，再根据∠DCE=∠ACD-∠ACE计算即可；
②根据∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠DCE=∠ACD-∠ACE，可得∠ACB+∠DCE =∠BCE+∠ACD；
（2）根据∠GAC=∠CAD+∠GAD，∠DAF =∠FAG-∠GAD，可得∠GAC+∠DAF =∠CAD+∠FAG．
（3）根据∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠BOC=∠COD-∠BOD，计算∠AOD+∠BOC即可．
（1）
解：①∵，
∴∠ACE=∠ACD- ＝90°-35°＝55°，
∴∠ACB=∠ACE+∠ECB=90°+55°＝145°，
故答案为：145°；
∵∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠ACB＝140°，
∴∠ACE=140°-90°=50°，
∵∠DCE=∠ACD-∠ACE，
∴∠DCE=90°-50°=40°，
故答案为：50°．
②∠ACB与∠DCE数量关系为∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：
∵∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠DCE=∠ACD-∠ACE，
∴∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠BCE+∠ACD-∠ACE=∠BCE+∠ACD=180°．
（2）
∠GAC与∠DAF的数量关系，∠GAC+∠DAF =120°，理由如下：
∵∠GAC=∠CAD+∠GAD，∠DAF =∠FAG-∠GAD，
∴∠GAC+∠DAF
=∠CAD+∠GAD +∠FAG-∠GAD=∠CAD+∠FAG=60°+60°=120°．
（3）
∠AOD+∠BOC=α+β.理由如下：
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠BOC=∠COD-∠BOD，∠AOB=α，∠COD＝β（α，β都是锐角），
∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠COD-∠BOD，=∠AOB+∠COD＝α+β．
【点睛】本题考查了角和差关系，一般与特殊的思想，熟练掌握角的运算，理解角的和与差的关系是解题的关键．
9．（2022·河南·郑州市第四初级中学七年级期末）【阅读理解】
如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比为1：2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．
(1)∠AOB的角平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
(2)若∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC＝ ．
【问题解决】
(3)如图②，已知∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以20°/s的速度顺时针方向旋转，射线OQ从OB出发，以10°/s的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当其中一条射线旋转到与∠AOB的边重合时，运动停止，设旋转的时间为t（s），当t为何值时，射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的幸运线？试说明理由．
【答案】(1)是；
(2)40°或60°或80°；
(3)或或3．
【分析】（1）由角平分线的定义可得；
（2）分三种情况讨论，即∠AOC=2∠BOC，2∠AOC=∠BOC，∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC三种情况，结合∠AOC+∠BOC=∠AOB =120°可以求出∠AOC．
（3）分三种情况讨论，由“幸运线”的定义，列出方程可求t的值．
（1）
解：∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的两倍，
∴一个角的角平分线是 这个角的“幸运线”，
故答案为：是．
（2）
解：∵射线OC在∠AOB内部，
∴∠AOC+∠BOC=∠AOB =120°．
①当∠AOC=2∠BOC时，∠AOC+∠BOC=3∠BOC =120°，
∴∠BOC=40°，
∴∠AOC=80°．
②当2∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=3∠AOC =120°，
∴∠AOC=40°．
③当∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC时，OC平分∠AOB，
∴∠AOC =∠AOB =60°．
综上所述：∠AOC=40°或60°或80°．
故答案为： 40°或60°或80°．
（3）
解：∵射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的“幸运线”，
∴射线OP在以射线OA、OQ为边构成角的内部．如下图所示：
∴∠AOP=20t°，∠BOQ =10t°，
∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ= (150-20t-10t)°=(150-30t)°,
∠AOQ=∠AOB -∠BOQ==(150-10t)°．
①当∠AOP=2∠POQ时，则20t =2×(150-30t)，
∴t=．
②若∠POQ=2∠AOP，则150-30t =2×20t，
∴t=．
③若2∠AOP=∠AOQ或2∠POQ=∠AOQ，则2×20t=150-10t，
∴t=3．
综上所述：t=或或3．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，角平分线的性质，找等量关系列出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型．
10．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射线OP从OF处开始出发，绕点O逆时针匀速旋转，旋转速度为每秒5度：射线OQ从OC处开始出发，绕点O顺时针匀速旋转，两条射线同时开始旋转（当射线OQ旋转至与射线OF重合时，OP、OQ同时停止运动），旋转时间为t秒.（旋转速度÷旋转角度：旋转时间）
(1)当t＝ 秒，射线OP平分∠AOB时；
(2)若射线OQ的旋转速度为每秒4度时，请求出当∠POQ=60°时，射线OP旋转的时间；
(3)若射线OQ的旋转速度为每秒3度时，是否存在某个时刻，使得射线OQ，OP，OB中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)10；
(2)或秒；
(3)或；
【分析】（1）作出角平分线，求出OP运动到OG时的时间即可．
（2）动点问题需要分类讨论，第一种OP、OQ还没有相遇时，第二种OP、OQ相遇之后，画图利用角度列出等式．
（3）分别一其中一条作为角平分线来分析，画出图像之后列等式求时间．
（1）
解：作∠AOB的角平分线OG
∵∠AOB=60°，
∴∠AOG=∠AOB=30°，
∴∠FOG=∠FOA+∠AOG=20°+30°=50°，
此时OP的运动时间t=（秒）；
故答案为：10；
（2）
解：∵∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，
∴∠FOC=90°
由题意可得，∠FOP=5t°，∠COQ=4t°
①如图所示：
∴4t+60+5t=90，
∴t=；
②如图所示：
此时 4t+5t-60=90，
∴t=
∵OQ停止运动时间t=，
∴以上两种情况均符合
∴当∠POQ=60°时，OP的旋转时间为或秒；
（3）
解：存在；
①当OQ平分∠BOP时，则∠BOQ=∠POQ，如图：
则，
解得：；
②当OP平分∠BOQ时，则∠BOP=∠POQ，如图：
则，
解得：；
综合上述，或；
【点睛】主要考查角平分线的计算，角度的和差倍分问题，解题的关键是掌握所学的知识，运用分类讨论的思想，利用图象找关系．
11．（2022·浙江·杭州外国语学校七年级期末）已知，为内部的一条射线，.（1）如图1，若平分，为内部的一条射线，，求的度数；
（2）如图2，若射线绕着点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动.若运动时间为秒，当时，求的值；（3）若射线绕着点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问在某时间段内是否为定值；若不是，请说明理由；若是，请补全图形，并直接写出这个定值以及相应所在的时间段.（本题中的角均为大于且小于的角）
【答案】（1）；（2）t的值为3或7.5；（3）当或时，为定值，此时补全的图形见解析．
【分析】（1）先根据角平分线的定义求出的度数，再根据角的倍差求出的度数，最后根据角的和差即可；
（2）先求出的度数和t的最大值，从而可知停止运动时，OF在OC的右侧，因此，分OE在OC左侧和右侧两种情况，再根据列出等式求解即可；
（3）因本题中的角均为大于且小于的角，则需分OM与OB在一条直线上、ON与OB在一条直线上、OM与OA在一条直线上三个临界位置，从而求出此时t的取值范围，并求出各范围内和的度数，即可得出答案．
【详解】（1）平分，
；
（2）
由题意知，当OE转到OB时，两条射线均停止运动
此时（秒）
则OF停止转动时，
即OF从开始旋转至停止运动，始终在OC的右侧
因此，分以下2种情况：
①当OE在OC左侧时，
则由得，解得
②当OE在OC右侧时，
则由得，解得
综上，t的值为3或7.5；
（3）射线OM从开始转动至OB结束时，转动时间为（秒）
由题意，分OM与OB在一条直线上（）、ON与OB在一条直线上（）、OM与OA在一条直线上（）三个临界位置
①当时，如图1所示
此时，
则为定值
②当时，如图2所示
此时，
则不为定值
③当时，如图3所示
此时，
则为定值
④当时，如图4所示
此时，
则不为定值
综上，当或时，为定值．
【点睛】本题考查角平分线的定义、角的和差倍分，较难的是题（3），正确找出三个临界位置是解题关键．
12．（2022成都市七中育才学校七年级期末）如图1，在表盘上12：00时，时针、分针都指向数字12，我们将这一位置称为“标准位置”(图中)．小文同学为研究12点分()时，时针与分针的指针位置，将时针记为，分针记为．如：12：30时，时针、分针的位置如图2所示，试解决下列问题：
（1）分针每分钟转动 °；时针每分钟转动 °；
（2）当与在同一直线上时，求的值；
（3）当、、两两所夹的三个角、、中有两个角相等时，试求出所有符合条件的的值．(本小题中所有角的度数均不超过180°)
【答案】（1）6，0.5；（2）的值为；（3）的值为或
【分析】（1）由题意根据分针每60分钟转动一圈，时针每12小时转动一圈进行分析计算；
（2）由题意与在同一直线上即与所围成的角为180°，据此进行分析计算；
（3）根据题意分当时以及当时两种情况进行分析求解.
【详解】解：（1）由题意得分针每分钟转动：；
时针每分钟转动：.
故答案为：6，0．5.
（2）当与在同一直线上时，
时针转了度，即
分针转了度，即
∴
解得，
∴的值为．
（3）①当时，
∵
∴
∴；
②当时，
∵
∴
∴；
∴综上所述，符合条件的的值为或.
【点睛】本题考查钟表角的实际应用，根据题意熟练掌握并运用方程思维进行分析是解答此题的关键.
13．（2022·浙江镇海区·七年级期中）已知：如图，在内部有（）．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，平分，平分，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，当从的位置开始，绕着点以每秒的速度顺时针旋转秒时，使，求的值．
【答案】（1）170°；（2）65°；（3）19
【分析】（1）根据∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠COD+∠BOD 计算即可；
（2）利用各角的关系得出∠MON=∠AOB-(∠AON+∠BOM)，再利用角平分线的定义求解即可；
（3）根据题意可得∠AON=∠∠AOD=（10+20+2t）°=(15+t)°，∠BOM=∠BOC=（150-10-2t）°=(70-t)°，再根据，列出方程求解即可．
【详解】解：（1）∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠COD+∠BOD =∠AOB+∠COD =150°+20°=170°
（2）∵ON平分∠AOD，OM平分∠BOC ∴∠AON+∠BOM=（∠AOD+∠BOC）=×170°=85°
∴∠MON=∠AOB-(∠AON+∠BOM) =150°-85°=65°
（3）∵∠AON=∠∠AOD=（10+20+2t）°=(15+t) ° ∠BOM=∠BOC=（150-10-2t）°=(70-t) °
又∵∠BOM=∠AON ∴70-t=（15+t） ∴t=19
【点睛】本题考查了角的计算，以及角平分线的定义，关键是根据图形理清角之间的和差关系．
14．（2022·江西莲花县·七年级期末）乐乐对几何中角平分线的兴趣浓厚，请你和乐乐一起探究下面问题吧．已知°，射线分别是和的平分线；
（1）如图1，若射线在的内部，且，求的度数；
（2）如图2，若射线在的内部绕点旋转，则的度数为；
（3）若射线在的外部绕点旋转(旋转中，均指小于的角)，其余条件不变，请借助图3探究的大小，请直接写出的度数(不写探究过程)
【答案】（1）50°；（2）50°；（3）50°或130°
【分析】（1）先求出∠BOC度数，根据角平分线定义求出∠EOC和∠FOC度数，求和即可得出答案；
（2）根据角平分线定义得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB，代入求出即可；（3）分两种情况：①射线OE，OF只有1个在∠AOB外面，根据角平分线定义得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠FOC-∠COE=∠AOB；②射线OE，OF，2个都在∠AOB外面，根据角平分线定义得出∠EOF=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠COF=（360°-∠AOB），代入求出即可．
【详解】解：（1）∵∠AOB=100°，∠AOC=30°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=70°，
∵OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠EOC=∠AOC=15°，∠FOC=∠BOC=35°，∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=15°+35°=50°；
（2）∵OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠EOC=∠AOC，∠FOC=∠BOC，
∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB=×100°=50°；故答案为：50°．
（3）①射线OE，OF只有1个在∠AOB外面，如图3①，
∴∠EOF=∠FOC-∠COE=∠BOC-∠AOC=（∠BOC-∠AOC）=∠AOB=×100°=50°；
②射线OE，OF2个都在∠AOB外面，如图3②，
∴∠EOF=∠EOC+∠COF=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=（360°-∠AOB）=×260°=130°．
∴∠EOF的度数是50°或130°．
【点睛】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用．
15．（2022•金华七年级期中）已知∠AOB，过顶点O作射线OP，若∠BOP=12∠AOP，则称射线OP为∠AOB的“好线”，因此∠AOB的“好线”有两条，如图1，射线OP1，OP2都是∠AOB的“好线”．
（1）已知射线OP是∠AOB的“好线”，且∠BOP＝30°，求∠AOB的度数．
（2）如图2，O是直线MN上的一点，OB，OA分别是∠MOP和∠PON的平分线，已知∠MOB＝30°，请通过计算说明射线OP是∠AOB的一条“好线”．
（3）如图3，已知∠MON＝120°，∠NOB＝40°．射线OP和OA分别从OM和OB同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，OP的速度为每秒12°，OA的速度为每秒4°，当射线OP旋转到ON上时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线OP能否成为∠AOB的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间．
【解题思路】（1）根据“好线”的定义可得∠AOP的度数，然后分①当OP在∠AOB的外部时，②当OP在∠AOB的内部时两种情况可得答案；
（2）直接根据角平分线的定义可得问题的答案；
（3）设旋转的时间为t秒，根据题意列出方程，求解可得答案．
【解答过程】解：（1）∵OP是∠AOB的“好线”，且∠BOP＝30°，
∴∠AOP＝2∠BOP＝60°，
①当OP在∠AOB的外部时，∠AOB＝∠AOP﹣∠BOP＝30°，
②当OP在∠AOB的内部时，∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝90°．
（2）∵OB是∠MOP的平分线，且∠MOB＝30°，
∴∠BOP＝∠MOB＝30°，
∠MOP＝2∠MOB＝60°，
∴∠PON＝120°，
∵OA是∠PON的平分线，
∴∠AOP=12∠PON＝60°，
∴∠BOP=12∠AOP，
∴OP是∠AOB的一条“好线”；
（3）设旋转的时间为t秒，
①80﹣12t＝4t，
∴t＝5，
②3（12t﹣80）＝4t，
∴t=152，
综上所述，所有符合条件的旋转时间为5秒或152秒．
16．（2022•天心区七年级期中）已知长方形纸片ABCD，E、F分别是AD、AB上的一点，点I在射线BC上、连接EF，FI，将∠A沿EF所在的直线对折，点A落在点H处，∠B沿FI所在的直线对折，点B落在点G处．（1）如图1，当HF与GF重合时，则∠EFI＝ °；（2）如图2，当重叠角∠HFG＝30°时，求∠EFI的度数；（3）如图3，当∠GFI＝α，∠EFH＝β时，∠GFI绕点F进行逆时针旋转，且∠GFI总有一条边在∠EFH内，PF是∠GFH的角平分线，QF是∠EFI的角平分线，旋转过程中求出∠PFQ的度数（用含α，β的式子表示）．
【解题思路】（1）根据EF平分∠AFH，IF平分∠BFG，得出∠EFI=12（∠AFH+∠BFH），即可得出∠EFI的度数．
（2）设∠EFG＝x，∠HFI＝y，求出x和y即可得出答案．
（3）先求出∠GFH、∠GFP和∠QFI，根据∠PFQ＝|∠GFH﹣∠GFP﹣∠QFI|，即可得出答案．
【解答过程】解：（1）∵EF平分∠AFH，IF平分∠BFG，
∴∠EFH=12∠AFH，∠IFH=12∠BFH，
∵∠EFI＝∠EFH+∠IFG=12（∠AFH+∠BFH）=12∠AFB＝90°，
∴∠EFI=12∠AFB＝90°，
故答案为：90．
（2）令∠EFG＝x，∠HFI＝y，
∵∠HFG＝30°
∴∠EFA＝30°+x，∠BFI＝30°+y
∴∠AFE+∠EFI+∠BFI＝（30°+x）+（x+30°+y）+（30°+y）＝180°，
即2x+2y＝90°，
∴x+y＝45°，
∴∠EFI＝x+y+30＝75°，
∴∠EFI＝75°．
（3）由题意得∠AFE＝∠EFH＝β，∠BFI＝∠GFI＝α，
∴∠GFH＝2α+2β﹣180°，
∴∠GFP＝∠HFP＝α+β﹣90°，
又∵∠EFQ=∠IFQ=180−(α+β)2，
∴∠PFQ＝|∠GFH﹣∠GFP﹣∠QFI|，
∴∠PFQ＝|α﹣（α+β﹣90°）−[180°−(α+β)2]|＝|α−β2|，
∴∠PFQ|＝|α−β2|．
相关试卷
人教版七年级上册4.3.1 角课后测评： 这是一份人教版七年级上册4.3.1 角课后测评，文件包含七年级数学上册专题13与角相关的旋转翻折问题专项讲练原卷版docx、七年级数学上册专题13与角相关的旋转翻折问题专项讲练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共81页， 欢迎下载使用。
中考数学二轮专题练习：旋转、翻折问题（含答案）： 这是一份中考数学二轮专题练习：旋转、翻折问题（含答案），共6页。
专题6.25 一次函数中的折叠、翻折、对称问题专题（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）： 这是一份专题6.25 一次函数中的折叠、翻折、对称问题专题（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版），共83页。试卷主要包含了一次函数y＝kx+b，如图1等内容，欢迎下载使用。
