23版新高考一轮分层练案(五十五)　列联表与独立性检验

这是一份23版新高考一轮分层练案(五十五)　列联表与独立性检验，共10页。

一轮分层练案(五十五)　列联表与独立性检验
A级——基础达标
1．对于分类变量X与Y的统计量χ2的值，下列说法正确的是(　　)
A．χ2越大，“X与Y有关系”的可信程度越小
B．χ2越小，“X与Y有关系”的可信程度越小
C．χ2越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小
D．χ2越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大
【答案】B　χ2越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小，则“X与Y有关系”的可信程度越大，即χ2越小，“X与Y有关系”的可信程度越小．
2．利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时，若有99.5%的把握认为事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是(　　)
A．χ2≥6.635　　　　　　 B.χ2＜6.635
C．χ2≥7.879 D．χ2＜7.879
【答案】C　有99.5%的把握认为事件A和B有关系，即犯错误的概率为0.5%，对应的xα的值为7.879，由独立性检验的思想可知应为χ2≥7.879.
3．两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35.若X与Y有关系的可信程度不小于97.5%，则c＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
附：
α
0.05
0.025
xα
3.841
5.024
【答案】A　列2×2列联表如下：
X
Y
合计
y1
y2
x1
10
21
31
x2
c
d
35
合计
10＋c
21＋d
66

故χ2＝≥5.024.
把选项A、B、C、D代入验证可知选A.
4．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表：
生育意愿
城市
合计
非一线
一线
愿生
45
20
65
不愿生
13
22
35
合计
58
42
100

由χ2＝，
得χ2＝≈9.616.
参照下表：
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828

正确的结论是(　　)
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
【答案】C　∵χ2≈9.616>6.635，∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选C.
5．(多选)假设有两个分类变量X和Y，其2×2列联表如下表所示：
X
Y
合计
y1
y2
x1
a
40
a＋40
x2
30－a
30
60－a
合计
30
70
100

在犯错误的概率不超过5%的前提下，下面哪个选项可以认为变量X，Y有关(　　)
A．a＝10 B．a＝12
C．a＝8 D．a＝9
【答案】ACD　根据列联表知，与的差距越小，则越无法认为变量X，Y有关联，分析四个选项，B选项中，a＝12时，与的差距最小，且不满足犯错误的概率不超过5%的条件，而其他选项均满足．
6．(多选)某俱乐部为了解会员对运动场所的满意程度，随机调查了50名会员，每位会员对俱乐部提供的场所给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表，经计算χ2≈5.059，则可以推断出(　　)
性别
是否满意
合计
满意
不满意
男性
18
9
27
女性
8
15
23
合计
26
24
50
附：
α
0.025
0.010
0.005
xα
5.024
6.635
7.879
A．该俱乐部的男性会员对运动场所满意的概率的估计值为
B．调查结果显示，该俱乐部的男性会员比女性会员对俱乐部的场所更满意
C．有97.5%的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异
D．有99%的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异
【答案】ABC　对于选项A，该俱乐部男性会员对运动场所满意的概率的估计值为＝，故A正确；
对于选项B，该俱乐部女性会员对运动场所满意的概率的估计值为，而＝＞＝，故B正确；
因为χ2≈5.059＞5.024，所以有97.5%的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异，故C正确，D错误．
7．(多选)某机构在研究性别与是否爱好拳击运动的关系中，通过收集数据得到如下2×2列联表.
是否爱
好拳击
性别
合计
男
女
爱好拳击
35
22
57
不爱好拳击
15
28
43
合计
50
50
100

经计算得χ2＝≈6.895.之后又对被研究者的身高进行了统计，得到男、女身高分别近似服从正态分布N(175,16)和N(164,9)，则下列选项中正确的是(　　)
α
0.50
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
0.455
3.841
6.635
7.897
10.828

A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好拳击运动与性别有关”　　
B．在100个男生中，至少有一个人爱好打拳击
C．男生身高的平均数为175，男生身高的标准差为16
D．女生身高的平均数为164，女生身高的标准差为3
【答案】AD　χ2≈6.895＞6.635，A对；显然B错；
男生标准差为4，C错；显然D对，故选A、D.
8．心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从所在学校中按分层随机抽样的方法抽取50名同学(男30，女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：(单位：人)
性别
题型
合计
几何题
代数题
男同学
22
8
30
女同学
8
12
20
合计
30
20
50

根据上述数据，推断视觉和空间想象能力与性别有关系，则这种推断犯错误的概率不超过________．
附表：
α
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

解析：由列联表计算得χ2＝≈5.556>5.024，∴推断犯错误的概率不超过0.025.
【答案】0.025
9．为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：
性别
疗效
合计
无效
有效
男性患者
15
35
50
女性患者
6
44
50
合计
21
79
100

设H：服用此药的效果与患者的性别无关，则χ2≈________(小数点后保留3位有效数字)，从而得出结论；服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________．
解析：由公式计算得χ2＝≈4.882，
∵χ2>3.841，∴我们有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而有5%的可能性出错．
【答案】4.882　5%
10．中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示，2020年7月，大部分一线城市的房租租金同比涨幅都在10%以上．某部门研究成果认为，房租支出超过月收入的租户“幸福指数”低，房租支出不超过月收入的租户“幸福指数”高．为了了解甲、乙两小区租户的幸福指数高低，随机抽取甲、乙两小区的租户各100户进行调查．甲小区租户的月收入以[0,3)，[3,6)，[6,9)，[9,12)，[12,15](单位：千元)分组的频率分布直方图如图所示．

乙小区租户的月收入(单位：千元)的频数分布表如下：
月收入
[0,3)
[3,6)
[6,9)
[9,12)
[12,15]
户数
38
27
24
9
2

(1)设甲、乙两小区租户的月收入相互独立，记M表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元，乙小区租户的月收入不低于6千元”，把频率视为概率，求M的概率；
(2)利用频率分布直方图，求所抽取的甲小区100户租户的月收入的中位数；
(3)若甲、乙两小区每户的月租费分别为2千元、1千元．请根据条件完成下面的2×2列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“幸福指数与租住的小区”有关.
租住小区
幸福指数
合计
幸福指数低
幸福指数高
甲小区租户



乙小区租户



合计




附：临界值表
α
0.10
0.010
0.001
xα
2.706
6.635
10.828

参考公式：χ2＝.
解：(1)记A表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元”，记B表示事件“乙小区租户的月收入不低于6千元”，
甲小区租户的月收入低于6千元的频率为(0.060＋0.160)×3＝0.66，故P(A)的估计值为0.66；
乙小区租户的月收入不低于6千元的频率为＝0.35，故P(B)的估计值为0.35.
因为甲、乙两小区租户的月收入相互独立，
所以事件M的概率的估计值为P(M)＝P(A)P(B)＝0.66×0.35＝0.231.
(2)设甲小区所抽取的100户的月收入的中位数为t，
则0.060×3＋(t－3)×0.160＝0.5，
解得t＝5.
(3)设H0：幸福指数与租住的小区无关，
租住小区
幸福指数
合计
幸福指数低
幸福指数高
甲小区租户
66
34
100
乙小区租户
38
62
100
合计
104
96
200

根据2×2列联表中的数据，
得到χ2＝≈15.705>10.828，
所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“幸福指数与租住的小区”有关．
B级——综合应用
11．甲、乙两个班级进行一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下列联表：
班级
成绩
合计
优秀
不优秀
甲班
10
35
45
乙班
7
38
45
合计
17
73
90
利用独立性检验估计，你认为推断“成绩与班级有关系”错误的概率介于(　　)
附表：
α
0.50
0.40
0.25
0.15
xα
0.455
0.708
1.323
2.072

A．0.3～0.4 B．0.4～0.5
C．0.5～0.6 D．0.6～0.7
【答案】B　根据表中数据，计算
χ2＝≈0.652 7，
对照临界值表知，
0．455＜0.652 7＜0.708，由P(χ2＞0.708)＝0.40，P(χ2＞0.455)＝0.50，推断“成绩与班级有关系”错误的概率介于0.4～0.5.故选B.
12．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表，并计算得到χ2≈19.05，下列小波对地区A天气判断不正确的是(　　)
夜晚天气，日落云里走
下雨
未下雨
合计
出现
25
5
30
未出现
25
45
70
合计
50
50
100

附表：
α
1.10
0.05
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828

A．夜晚下雨的概率约为
B．未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为
C．有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关
D．出现“日落云里走”，有99.9%的把握认为夜晚会下雨
【答案】D　据列联表，100天中有50天下雨，50天未下雨，因此下雨的概率约为P＝＝，A正确；
同样，未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为
P＝＝，B正确；
因为χ2≈19.05，
所以有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关，C正确；
有关只是说可能性，不代表一定下雨，D错误．故选D.
13．(多选)针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关“作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有______人．(　　)
附表：

α
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

附：χ2＝
A．25 B．35
C．45 D．60
【答案】CD　设男生可能有x人，依题意得女生有x人，可得2×2列联表如下：
性别
是否喜欢抖音
合计
喜欢抖音
不喜欢抖音
男生
x
x
x
女生
x
x
x
合计
x
x
2x

若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则χ2＞3.841，
即χ2＝＝x＞3.841，
解得x＞40.330 5，
由题意知x＞0，且x是5的整数倍，所以45和60都满足题意．故选C、D.
14．已知如表所示的是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，那么女性青年观众喜欢戏剧的频率与男性青年观众喜欢戏剧的频率的比值是______.
青年观
众性别
是否喜欢戏剧
合计
不喜欢戏剧
喜欢戏剧
男性青年观众
40
10
50
女性青年观众
40
60
100
合计
80
70
150

解析：由表中数据可知，女性青年观众喜欢戏剧的频率为＝0.6，男性青年观众喜欢戏剧的频率为＝0.2，所以女性青年观众喜欢戏剧的频率与男性青年观众喜欢戏剧的频率的比值是0.6∶0.2＝3∶1，
【答案】3∶1
15．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
①国家创新指数得分的频率分布直方图(数据分成7组：30≤x<40,40≤x<50,50≤x<60,60≤x<70，70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100)．

②国家创新指数得分在60≤x<70这一组的是：61.7,62.4,63.6,65.9,66.4,68.5,69.1,69.3,69.5.
③40个国家的人均国内生产总值(万美元)和国家创新指数得分情况统计图：

④中国的国家创新指数得分为69.5，人均国内生产总值9 960美元．
(以上数据来源于《国家创新指数报告》)
根据以上信息，解答下列问题：
(1)中国的国家创新指数得分排名世界第几？
(2)是否有99.9%的把握认为“人均国内生产总值影响国家创新指数得分”？
(3)用(1)(2)得到的结论，结合所学知识，合理解释④中客观存在的数据．
附：χ2＝.
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
解：(1)由国家创新指数得分的频率分布直方图可得，“国家创新指数得分”在70≤x≤100的频率为(0.03＋0.005＋0.005)×10＝0.4.
因此，中国的国家创新指数得分排名为0.4×40＋1＝17.
(2)由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可得2×2列联表如下：
国家创新指数得分
人均国内生产总值
合计
人均国内生产总值≤2
人均国内生产总值>2
国家创新指数得分≥65
2
20
22
国家创新指数得分<65
12
6
18
合计
14
26
40
由2×2列联表可得χ2＝≈14.43，
由于14.43>10.828，
所以有99.9%的把握认为“人均国内生产总值影响国家创新指数得分”．
(3)由(2)的结论说明：“人均国内生产总值与国家创新指数得分成线性相关关系”；事实上，我国的人均国内生产总值并不高，但是我国的国家创新指数相对比较高，恰恰说明了“中国特色社会主义制度的优越性，能够集中社会力量办大事”．
C级——迁移创新
16．市教育部门为研究高中学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该市某校200名高中学生的课外体育锻炼平均每天锻炼的时间进行了调查，数据如下表：
平均每天锻炼的时间(分钟)
[0，10)
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60]
总人数
20
36
44
50
40
10

将学生日均课外体育锻炼时间在[40,60]内的学生评价为“课外体育达标”．
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关；
性别
学生评价
合计
课外体育不达标
课外体育达标
男



女

20
110
合计




(2)从上述课外体育不达标的学生中，按性别用分层简单随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取3人了解他们锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男生的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
(3)将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有高中学生中抽取4名学生，求其中恰好有2名学生课外体育达标的概率．
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
参考数据：
α
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解：(1)
性别
学生评价
合计
课外体育不达标
课外体育达标
男
60
30
90
女
90
20
110
合计
150
50
200

χ2＝＝≈6.061＜6.635，
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关．
(2)易知，所抽取的10名学生中，男生为10×＝4(名)，女生为10×＝6(名)，X可取0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P




E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(3)设所抽取的4名学生中，课外体育达标的人数为ζ，(1)中表中学生课外体育达标的频率为＝，将频率视为概率，
∴ζ～B，∴P(ζ＝2)＝C×2×2＝.
∴4名学生中，恰好有2名学生的课外体育达标的概率为.