2023届辽宁省沈阳市小三校高三上学期10月月考数学试题含解析

2023届辽宁省沈阳市小三校高三上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别求出集合和，取交集即可，一定要注意集合中元素是什么.

【详解】集合中的元素是，表示函数值的范围，

易知，，

中的元素是，表示自变量的范围，

易知，则有，，

所以.

故选：C

2．已知是虚数单位，若复数满足，则 （    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据复数相等、共轭复数的知识求得正确答案.

【详解】依题意，即，

即，所以，所以.

故选：C

3．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．既不充分也不必要条件 D．充要条件

【答案】A

【分析】根据分式不等式求解，再判断充分性与必要性即可.

【详解】因为且，充分性成立，

所以“0”是“”的充分不必要条件.

故选：A

4．若，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用作差比较法及不等式的性质逐项判断即可求解.

【详解】对于A，，因为，所以，

所以，即，于是有故A错误；

对于B，因为，

因为，所以，但与的大小不确定，故不一定成立，故B错误；

对于C，因为，因为，所以，所以，即，于是有，故C正确；

对于D，因为，因为，所以，所以，即，于是有，故D错误.

故选：C.

5．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．是数列中的最大值 D．

【答案】D

【分析】首先由条件分析出等比数列的等比取值，即可得到是正项递减数列，然后利用这个性质结合题设条件即可判断.

【详解】∵数列是等比数列，

∴，，∴，∴，

又，∴，有：或，

当时，，有：，

此时：，与矛盾，所以不成立，

当时，，有：，

综上：，

∴数列是，的正项递减数列，

∴，所以A错误；

∵，，则有，，，

，∴，所以B错误；

为前项的积，，，，所以C错误；

∵

又：

∴，所以D正确.

故选：D.

6．已知正三棱锥的底面是边长为6的正三角形，其外接球球的表面积为，且点到平面的距离小于球的半径，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用外接球的表面积求出外接球半径为，再根据勾股定理求出点到平面的距离，找到异面直线与所成的角，然后在三角形中利用余弦定理进行分析求解，即可得到答案.

【详解】因为外接球的表面积为，设外接球半径为，则，则，

设点到平面的距离为， 的中心为，则，由勾股定理得，解得：或（舍去）

取的中点，则由中位线性质知，，

所以异面直线与所成的角为或其补角，

在中，勾股定理知，即，

，又，，

，

故

所以异面直线与所成角的余弦值为

故选：A

【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．

7．若对任意的，且当时，都有，则m的最小值是（    ）

A．e B． C．3 D．

【答案】C

【分析】对已知不等式进行变形，通过构造新函数，结合导数的性质进行求解即可.

【详解】因为，

所以由

，构造函数，

即当任意的，当时，有，

所以有当时，函数单调递增，

由，

当时，单调递增，当时，单调递减，

于是有，

故选：C

【点睛】关键点睛：根据，由得到，通过构造函数，利用导数的性质是解题的关键.

8．已知函数的部分图像如图所示，其中B，C两点的纵坐标相等，若函数在上恰有3个零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的部分图像及周期公式求出函数的解析式，进而得到，根据已知条件得出，再结合有三个零点即可求解.

【详解】由题意知,轴，所以的图像的一条对称轴方程为，，所以．

由于的图像过由，且，得，

所以．

故

因为，所以，其中

解得，则，

因为在上的零点为，

且在内恰有3个零点，所以或，

解得.

故选：D.

二、多选题

9．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．图象是轴对称图形 B．

C．在区间上单调递增 D．

【答案】ABD

【分析】对于A，求出与比较可得结论，对于B，直接计算即可，对于C，对函数求导后，通过导数的正负判断函数的单调性，对于D，由选项AC的结论结合正弦函数的性质判断.

【详解】对于A，因为，所以的图象关于直线对称，所以图象是轴对称图形，所以A正确，

对于B，因为，

所以

，所以B正确，

对于C，由，得，

因为，所以，所以，

所以，所以，

所以在区间上单调递减，所以C错误，

对于D，由选项A和选项C可知在上递增，在上递减，

所以，

因为，所以，所以，

所以，所以D正确，

故选：ABD

10．如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论，其中正确的结论的是（    ）

A．三棱锥的体积不变

B．平面

C．

D．平面平面

【答案】ABD

【分析】证明平面判断A；证明平面平面判断B；利用判断C；证明平面判断D作答.

【详解】如图，在正方体中，

，，即四边形为平行四边形，，

平面，平面，则平面，于是得点P到平面的距离是定值，

而面积是定值，因此三棱锥的体积不变，A正确；

由选项A知，平面，同理平面，而，

平面，则平面平面，而平面，即有平面，B正确；

因，即为正三角形，点P在上，则与不一定垂直，C不正确；

因平面，平面，即有，正方形中，，

而，平面，则平面，平面，

于是得，同理，又，平面，

则平面，而平面，因此平面平面，D正确.

故选：ABD

11．（多选）在三维空间中，叫作向量与的外积，它是一个向量，且满足下列两个条件：①，，且，，三个向量构成右手系（如图所示）；②.在正方体中，已知其表面积为S，下列结论正确的有（    ）

A． B．

C． D．与共线

【答案】ACD

【分析】运用新定义及空间向量的基本概念对选项一一判断即可得出答案.

【详解】设正方体的棱长为a，如图.

对于A，连接，因为为等边三角形，故，

连接，因为，，为等边三角形，

所以，故A正确；

对于B，根据定义，，，故B错误；

对于C，，故C正确；

对于D，因为，而平面，所以

，则平面，又平面，所以，

又，，，所以平面，

所以，结合外积的定义可知与共线，故D正确.

故选：ACD.

12．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，记，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】根据给定条件逐项分析、推理计算即可判断作答.

【详解】依题意，的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即，A正确；

依题意，当时，，得，B正确；

由给定的递推公式得：，，…，，累加得，

于是有，即，C错误；

，，，…，

，因此，，D正确.

故选：ABD

【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.

三、填空题

13．如图，点G为的重心，过点G的直线分别交直线AB，AC点D，E两点，，，则m＋n＝______．

【答案】1

【分析】延长交于，由于点G为△ABC的重心，可得，再将已知条件代入，利用三点共线可得，

【详解】延长交于，因为点G为△ABC的重心，

则，

所以

因为，，

所以，

因为三点共线，

所以.

故答案为：1

14．已知正数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_________．

【答案】m < 8

【分析】化简题中的等量关系，结合基本不等式求解x+2y的最小值，进而根据不等式恒成立求解m的取值范围.

【详解】由得，即，

又因为，为正数，

所以，

则有，

当且仅当时，等号成立，

则由不等式恒成立得，

即实数m的取值范围为m<8.

故答案为：m<8.

15．关于函数有如下四个命题：

① 若是的极大值点，则在上单调递增；

②，；

③若函数存在极值点，则；

④函数的图象关于点中心对称．

其中所有真命题的序号是__________（填上所有正确命题序号）．

【答案】②③④

【分析】对于①，根据导数与函数极值点的关系可判断；对于②，根据三次函数的函数值的正负情况可判断；对于③，根据函数极值点与导数的关系可判断；对于④，可计算与，根据结果是否相等可判断.

【详解】对于①，若是的极大值点，则当时，函数单调递增，

当时，函数单调递减，错误；

对于②，由于的函数值的变化幅度远大于的变化幅度，

故当时，，

当时，，

故，，正确；

对于③，若函数存在极值点，则有两不相等实数根，

故 ，正确；

对于④，

，

而 ，

故，

即函数的图象关于点中心对称，正确，

故答案为：②③④

【点睛】本题考查了三次函数的极值点与导数的关系以及零点问题和对称中心问题，综合性较强，解答时要明确导数与函数的极值点之间的关系，能熟悉并解决三次函数的对称中心问题。

16．剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，纸片为一圆形，直径，需要剪去四边形，可以经过对折、沿裁剪、展开就可以得到．

已知点在圆上且．要使得镂空的四边形面积最小，的长应为_____．

【答案】

【分析】设 根据可得，进而根据的面积公式可得的关系，再根据基本不等式可得当为等腰三角形时取得面积最小值，进而得出此时，结合三角函数求解即可.

【详解】如图，连接，作于，由题意，，故，所以.

设则由面积公式，，即.由余弦定理，结合基本不等式，即，当且仅当时取等号.

故取最小值时，此时.

故.

故答案为：

四、解答题

17．设的三个内角所对的边分别为且.

(1)求角的大小；

(2)若，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理，结合三角形的面积公式与两角和的正弦公式化简求解即可；

（2）根据正弦定理边化角可得

【详解】（1）在中，，故

又，

由正弦定理，，

故，

即.

，  ，

，

（2），

  ，

，当取得最大值

所求的

18．已知函数，．

(1)求过点且与曲线相切的直线的方程；

(2)求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）设切点坐标为，求出切线的方程，又因为切点在曲线上，解出，即可求出直线的方程；

（2）方法1：，即，设，对求导，得到的单调性，可证得①，令，对求导，得到的单调性，可证得②，①②得即可证明.

方法2：令，对求导得到，得到的单调性，所以在内有唯一零点，设该零点为，可得到，所以 ，再由均值不等式即可证明.

【详解】（1）设切点坐标为，则切线的斜率，切线的方程为，

因为切点在切线上，所以，又切点在曲线上，

所以，得，所以，

得切线．

（2）方法1：，即．

设，则，

因为，所以，在上为增函数，

所以，即 …①．

令，则．

当时，，在上为增函数；

当时，，在上为减函数，所以，

所以…②．

①②得，原命题得证．  

方法2：令，则，

则在上递增，又，，

所以在内有唯一零点，设该零点为，，

所以，，当时，，当时，，

所以，又，

故，得．

19．已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，，，，.

(1)求数列和的通项公式；

(2)若，设数列的前项和为，求.

【答案】（1），；（2）.

【详解】试题分析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为,根据题意列出表达式，解出公比和公差，再根据等差数等比列的通项公式的求法求出通项即可；（2）根据第一问得到前n项和，数列,分组求和即可.

解析：

(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

∵，，，，∴，

∴，，∴，.

(2)由(1)知，，∴，

∴ .

20．如图①，在梯形中，为的中点，以为折痕把折起，连接，得到如图②的几何体.

(1)证明：；

(2)若四棱锥的体积为2，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用等边三角形三线合一证明出平面，进而得到.（2）利用体积证明出平面，进而以以为坐标原点建立空间直角坐标系，表示出坐标进而求出平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【详解】（1）解：（1）

证明：在图①中

因为为中点所以，

所以为平行四边形，所以，同理可证

在图②中，取中点，连接，

因为，所以，

因为，所以平面，

因为平面，所以.

（2）

因为平面平面，

所以平面平面且交线为，所以过点作，

则平面，因为，

所以四棱锥的体积，

所以，所以与重合，所以平面，

以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，则，

平面法向量为，设平面法向量为，

因为，

所以，得，

设平面与平面所成锐二面角的大小为，

则，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

21．喷绘在商业广告、宣传等领域应用广泛，喷绘画面是使用喷绘机打印出来的，喷绘机工作时相当于一条直线（喷嘴）连续扫过一张画布．一家广告公司在一个等腰梯形OABC的画布上使用喷绘机印刷广告，画布的底角为45°，上底长2米，下底长4米，如图所示，记梯形OABC位于直线左侧的图形（阴影部分）的面积为．

(1)试求的解析式

(2)定义“”为“平均喷绘率”，求的峰值（最大值）

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题，根据等腰梯形OABC的形状，将t分为，，求即可

（2）由（1）结论得出的解析式，讨论各分段函数的最大值，最后比较得出整体的最大值即可

【详解】（1）由题意知梯形OABC的高为1米，

当时，，

当时，，

当时，，

综上所述，．

（2）设．

当时，单调递增，故；

当时，单调递增，故；

当时，，

因为，所以（当且仅当时取等号），

故．

因为，所以的峰值为．

22．已知函数，和．

(1)若与有相同的最小值，求a的值；

(2)设有两个零点，求a的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）分别求出，，利用导函数分析单调性，求出，，让最小值相等解出即可；

（2）根据题意，将函数有两个零点，转化为有两个根，构造函数，根据函数的单调性，得到有两个根，再构造函数，利用函数的单调性和最值列不等式，即可得到的范围.

【详解】（1），则，

当时，，在R上单调递减，无最值，舍去；

当时，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，则；

因为，所以的定义域为，

，令，解得，

所以在上单调递增，上单调递减，则，

根据题意得，解得.

（2）由题意得，，

令，整理得，，

令，，所以在上单调递增，

又，所以，则题意可转化为在上有两个根，

令，则，

令，解得，，解得，

所以在上单调递增，上单调递减，，图象如下所示，

所以，解得，所以.

【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.