2022届辽宁省铁岭市六校高三上学期12月月考数学试题含解析

2022届辽宁省铁岭市六校高三上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B．

C．或 D．

【答案】C

【分析】解出集合A和B，再根据交集的运算方法计算即可.

【详解】或，

，

∴或．

故选：C．

2．已知复数z满足且，则复数z的虚部为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设复数，根据题意得到和，联立方程组，即可求解.

【详解】设复数，

因为，可得，即，

又由，可得，即，

两式相减可得，解得，

即复数z的虚部为.

故选：D

3．斐波那契数列指的是这样一个数列：，，当时，.学习了斐波那契数列以后，班长组织同学们体育课上做了一个报数游戏：所有同学按身高从高到低的顺序站成一排，第一位同学报出的数为1，第二位同学报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和.若班上一共有30位同学，且所报数为5的倍数的同学需要说出斐波那契数列的一个性质，则需要说性质的同学有几个？（       ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【分析】根据题意列出所报数构成的数列即可判断.

【详解】由题意知所报数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610…

，，，，，均为5的倍数，故有6个同学．

故选：C．

4．抛物线C：的焦点为F，其准线与x轴的交点为K，P为准线上一点，线段PF与抛物线交于M点，若是斜边长为的等腰直角三角形，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用抛物线的定可义可得，结合条件可得，即求.

【详解】∵是斜边长为的等腰直角三角形，

∴，过M作MN垂直准线于N点，则，

∴，即，

∴，

故选：D．

5．已知，则的值为（       ）

A．3 B．或 C． D．

【答案】D

【分析】由三角函数的基本关系式和倍角公式，化简得到，进而求得的值.

【详解】由，

整理得，解得或，

因为，所以，所以，

所以（舍去），故．

故选：D．

6．若实数（），则的最小值为（       ）

A．6 B．4 C．3 D．2

【答案】A

【分析】根据题意化简得到，且，进而得到，结合基本不等式，即可求解.

【详解】因为，且，

所以，且，

所以，

当且仅当且，即，时，等号成立，

所以的最小值为，

故选：A．

7．已知不等式成立，则的最小值是（       ）

A．-1 B．0 C．1 D．

【答案】B

【分析】由，化简得到，令，利用导数求得在上递增，结合，即可求解.

【详解】因为，可得，即，

当时，，则；当，，

令，可得，所以在上递增，

又由，所以，即．

故选：B．

8．已知函数，使得不等式恒成立的条件是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】化简函数解析式，判断函数f(x)的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性解抽象不等式即可.

【详解】，

函数为R上的偶函数，且，在上均单调递增，

故在上单调递增，

∵，∴，∴，．

故选：C．

二、多选题

9．下列命题错误的是（       ）

A．“平面向量与的夹角是锐角”的充分必要条件是“”

B．函数“的最小正周期为”是“”的必要不充分条件

C．命题“，”的否定是“，”

D．关于x的不等式的解集为，则实数m的取值范围是

【答案】AC

【分析】结合向量的数量积的概念和充分、必要条件的判定，可得判定A错误；根据三角函数的图形与性质，可判定B正确；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定C错误；根据二次函数的性质，可判定D正确．

【详解】对A中，当“”时，平面向量与的夹角是锐角或零角，

所以“平面向量与的夹角是锐角”的必要不充分条件是“”，故A错误；

对B中：由函数，则，则，

所以函数“的最小正周期为”是“”的必要不充分条件，故B正确；

对C中：命题“，”的否定是“，”，故C错误；

对D中，由不等式的解集为，则满足，解得，故D正确．

故选：AC

10．如图，在圆锥SO中，母线长为2，侧面积为，AB为底面圆的直径，C、D为底面圆周上的动点，且，则下列命题正确的是（       ）

A．若平面平面，则

B．的最大面积小于

C．当时，平面SAB与平面SCD所成的锐二面角为

D．当时，四棱锥S-ABDC的外接球表面积为

【答案】ACD

【分析】根据线面平行的性质定理，可判定A正确；根据圆锥的结构特征，以及三角形的面积公式，可判断B错误；取CD的中点为G，得到为二面角的平面角，可判定C正确；延长交球面于点，在中，求得，进而可判定D正确．

【详解】对于A中，由可知，平面，

又平面平面，平面，所以，所以A正确；

对于B中，由母线长为2，侧面积为，可知底面半径为，，

所以的最大面积，所以B错误；

对于C中，取CD的中点为G，连接，则为二面角的平面角，

因为，所以，，所以，所以C正确；

对于D中，四棱锥的外接球即圆锥的外接球，延长交球面于点，

则为外接球直径，在中，，所以，

所以外接球的表面积为，所以D正确．

故选：ACD.

11．函数的图象与函数的图象关于y轴对称，下列说法正确的是（       ）

A．函数

B．把函数的图象向左平移个单位得到函数的图象

C．函数与函数在上单调性相反

D．函数，满足，且，则

【答案】ACD

【分析】根据题意得，进而结合三角函数的性质依次判断各选项即可得答案.

【详解】解：∵函数的图象与函数的图象关于y轴对称，

∴，故A正确；

∵，

∴把函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，B错误；

当时，，函数单调递增，

，函数单调递减，C正确；

作出函数的图象如图，记点，点，通过上下平移直线l，可知：的取值范围为，D正确．

故选：ACD．

12．如图所示，，，…，，…，是函数C：上的点，，，…，，…是x轴正半轴上的点，且，，…，，…，均为等腰直角三角形（为坐标原点）．（       ）

A．

B．，，（）

C．

D．

【答案】ABD

【分析】A根据题设写出代入函数求坐标值判断；B由等腰三角形的性质找到的坐标规律即可；C由B所得坐标，代入函数式结合等差数列定义判断的性质并写出通项公式，应用累加法求通项公式；D应用裂项相消法求和即可.

【详解】由题意得：代入，解得；又代入，解得，故A正确；

由等腰三角形的性质可得：，，（），故B正确；

∵，，（），满足得，，

所以，又，两式相减得，，又，

∴，即，

∴是以2为首项，1为公差的等差数列，则，

∴，可得，故C错误，

∵，

∴，D正确．

故选：ABD

三、填空题

13．函数是值域为R的偶函数，且在上单调递减，则满足题意的一个函数为_____．

【答案】()(答案不唯一)

【分析】根据题意可利用对数函数的性质和图像的翻折进行构造函数.

【详解】∵函数是值域为R的偶函数，

∴满足题意的一个函数是()答案不唯一．

故答案为：().

14．已知两个单位向量，满足，当取最小值时，______．

【答案】

【分析】先求出，夹角为，再求出，即得解.

【详解】解：∵两个单位向量，满足，

所以.

∴两个单位向量，夹角为，

所以，

∴当取最小值时，.

故答案为：

15．在棱长为2的正方体中，E为CD中点，O为侧面的中心，平面，则_____．

【答案】

【分析】如图，连接，，DB，证明N为PQ的中点，再利用求解.

【详解】解：如图，连接，，DB，则O为中点，，，

连接，∵，，

∴，又O为的中点，

∴N为PQ的中点，∴

故答案为：

四、双空题

16．等轴双曲线是一种特殊的双曲线，特点是渐近线互相垂直且离心率为，（）的图象是等轴双曲线，设双曲线的焦点为A、B，则直线AB的方程为______，若O为坐标原点，则的面积为______．

【答案】         

【分析】根据双曲线的图像与性质，结合反比例函数的图像与性质，对比分析即可求得直线AB的方程，再联立双曲线方程和直线方程，求得坐标即可求得的面积.

【详解】，其对称中心，

渐近线方程为：，，

实轴所在直线方程为：，即，

即直线AB的方程为；

联立方程：解得顶点坐标为，，

所以实轴长为，又双曲线的离心率为，

故焦距为4，点O到直线的距离为：，

所以的面积为，

故答案为：，

五、解答题

17．在中，，，角A为钝角，的面积为．

(1)若D是BC的中点，求AD的长度；

(2)若AE为的角平分线，求AE的长度．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）求出，利用求解；

（2）求出，再利用求解.

(1)

解：∵，，的面积为，

∴，

∴，又为钝角，∴，

∵D是BC的中点，∴，∴，

又，，，∴，

∴.

(2)

解：∵AE为的角平分线，

∴，

因为，所以，

即，所以.

18．设数列的前n项和为，且满足（）．

(1)证明：数列是等比数列；

(2)令，求数列的前n项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由，得到，两式相减得到，即可求解；

（2）由（1）可得，得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解.

(1)

证明：当时，，解得，

由，可得，

两式相减得，

即，所以数列是首项为，公比为的等比数列.

(2)

解：由（1）可得，所以，

则，

则，

两式相减可得

，

所以．

19．已知，，，且．

(1)求动点C的轨迹E；

(2)若点为直线l：上一动点，过点P引轨迹E的两条切线，切点分别为A、B，两条切线PA，PB与y轴分别交于S、T两点，求面积的最小值．

【答案】(1)动点C的轨迹E是以（2，0）为圆心，1为半径的圆

(2)

【分析】(1)根据已知条件求出动点C的轨迹方程即可判断其轨迹；

(2)设切线方程，根据已知条件求出k与t的关系，再求出|ST|的长度，表示出的面积即可求其最小值.

(1)

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴动点C的轨迹E是以(2，0)为圆心，1为半径的圆；

(2)

设切线方程为，即，PA，PB的斜率为，，

故圆心C到切线的距离，得，

∴，，

在切线方程中令可得，

故，

∴，当时，等号成立．

故面积的最小值．

20．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G在AC上且，平面ABCD，且，．

(1)若H为线段DE的中点，证明：∥平面FGD；

(2)若底面ABCD是正方形且，线段ED上是否存在点H，使得直线CH与平面FBE所成角的正弦值为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，或

【分析】(1)延长EC，FG交于点K，连接KD，用比例证明即可；

(2)建立空间直角坐标系，用线面角角的向量求法求解即可.

(1)

延长EC，FG交于点K，连接KD，

因为，所以，则，又因为，

∴C为线段EK的中点，又H为线段DE的中点，故，

又因为平面FGD，平面FGD，故平面FGD；

(2)

以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设，

则，，，，，，

设，

则，，，

设平面BFE的法向量，则，即，

令，则，，∴，

∵直线CH与平面FBE所成角的正弦值为，

∴，

∴，即或，

∴或．

21．设椭圆C：的焦点为，，右顶点为M，过点斜率为k（）的直线与椭圆C交于A，B两点，三角形的周长为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)以M为圆心，半径为的圆与椭圆的另一个交点为，证明：直线过定点．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由题意可得的值，再根据的关系可求出，进而求得椭圆的标准方程；

（2）先设出直线方程，再和椭圆方程联立，表示出，，然后利用对称性可得到，进而求出直线中的参数，最后可证明直线过定点.

(1)

由题意可得，，，∴，，

∴椭圆C的标准方程：；

(2)

设，，直线，斜率存在且不为0．

代入椭圆方程可得：，，

∴，，

∵以M为圆心，半径为的圆与椭圆的另一个交点为，

∴点B关于x轴的对称点为，∴，即，

∴

∴，∴，

∴，即，

∴直线，∴直线过定点．

22．已知函数，．

(1)求函数在上的最小值；

(2)当时，讨论函数的零点个数．

【答案】(1)0

(2)0个零点

【分析】（1）求导函数单调性得函数在上单调递增，进而得最小值；

（2）先讨论时得无零点，再研究，结合（1）得，进一步将函数放缩，再研究函数得其无零点，最后综合得答案.

(1)

解：∵，

∴函数在上单调递增，

∴，

故函数在上的最小值为0；

(2)

解：当时，，，

在上单调递减，在上单调递增，

的最小值为，无零点．

当时，

由（1）知，时，，又，∴，

∴，

∴，

记，则，

，；，；

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴，∴，

综上，函数没有零点，即零点个数为0.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，零点问题，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第二问解题的关键在于借助第一问的结论得，，进而，再研究函数的零点即可.