2023届安徽省六安第一中学高三上学期第三次月考数学试题含解析

2023届安徽省六安第一中学高三上学期第三次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先求得集合，结合集合并集的概念与运算，即可求解.

【详解】由不等式，解得，所以，

又由集合，所以.

故选：C.

2．设，则的虚部为（    ）

A．i B．2i C．1 D．2

【答案】D

【分析】根据复数的除法法则化简，结合复数的相关概念判断.

【详解】∵，故的虚部为2.

故选：D.

3．设数列满足且，则（    ）

A． B． C． D．3

【答案】D

【分析】由题意首先确定数列为周期数列，然后结合数列的周期即可求得最终结果.

【详解】由题意可得：，，

，，

据此可得数列是周期为4的周期数列，

则.

故选：D

4．已知向量，，且，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据向量平行公式结合三角函数知识得到或，根据范围的大小关系得到答案.

【详解】，，且，，

则，即，

或，故“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难.次日脚痛减一半，六朝才得到其关.要见每朝行里数，请公仔细算相还.”意思是：有一个人要走441里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完.则此人最后一天走的路程是（    ）

A．7里 B．14里 C．21里 D．112里

【答案】A

【分析】由等比数列的性质求解，

【详解】设为公比为的等比数列，则，

解得，则，

故选：A

6．已知为等差数列，为的前项和.若，，则当取最大值时，的值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【分析】根据等差数列的，且，由此可以得到，结合条件结论即可得到.

【详解】在等差数列中，因为，

所以，又，所以，所以，

所以有该等差数列首项，公差，所以.

故选: D.

7．如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，，则的值为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】由题意设，则可得，再结合可求出，再表示出，再结合已知条件可求得的值.

【详解】由题意设，

因为，所以，

所以

，

因为，

所以，解得，

所以，

因为，，，，

所以

,

故选：C.

8．在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】延长交于，由重心性质和直角三角形特点可求得，由，利用余弦定理可构造等量关系得到，由此确定为锐角，则可假设为钝角，得到，，，由此可构造不等式组求得的取值范围，在利用余弦定理可得，利用的范围，结合为锐角可求得的取值范围.

【详解】延长交于，如下图所示：

为的重心，为中点且，

，，；

在中，；

在中，；

，，

即，整理可得：，为锐角；

设为钝角，则，，，

，，解得：，

，，

由余弦定理得：，

又为锐角，，即的取值范围为.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形中的取值范围问题的求解，解题关键是能够由两角互补得到余弦值互为相反数，由余弦定理得到，确定为锐角，从而得到三边之间的不等关系，求得的范围.

二、多选题

9．若复数，，其中是虚数单位，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．

C．若是纯虚数，那么

D．若，在复平面内对应的向量分别为，（为坐标原点），则

【答案】BC

【分析】由虚数不能比较大小可判断A，由复数模的计算可判断B，由纯虚数的定义可判断C，由向量的运算可判断D.

【详解】对于A，虚数不能比较大小，故A错误；

对于B，， ，

，，故有，B正确；

对于C，，若是纯虚数，

则有，即，C正确；

对于D，，，

则，，所以，

所以，D错误.

故选：BC

10．在中，角，，的对边分别是，，.下面四个结论正确的是（    ）

A．若，则 B．，，则的外接圆半径是4

C．若，则 D．若，，，则有两解

【答案】AC

【分析】由正弦定理可判断ABC；余弦定理可判断D.

【详解】对于A，若，则，由正弦定理得，即，故正确；

对于B， ，，由正弦定理可得，

则的外接圆半径是2，故错误；

对于C， 若，由正弦定理得，，

因为，所以，故正确；    

对于D， 若，，，则由余弦定理可得，

即，，

解得，因为，所以有一解，

即有一解，故错误.

故选：AC.

11．正方形ABCD的边长为4，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（    ）

A．最大值为1 B．最大值为2

C．最大值是8 D．最大值是

【答案】ACD

【分析】如图，以线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，

设，,又，利用向量的坐标运算，结合三角函数的性质逐一求解即可.

【详解】如图，以线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，

设，

又，

则，

，即

，

解得，

因为，则，

，其中，为锐角，

当，即时，取最大值，故A正确，B错误；

，C正确；

，

其中，为锐角

当，即时，取最大值，D正确

故选：ACD.

12．已知数列中，，若，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据递推公式，求得，再对每个选项进行逐一分析，即可选择.

【详解】因为，故可得，

，

对A：当时，，故可得，故A正确；

对B：因为，则对也成立，

又当，时，，则，故B正确；

对C：令，则，故在单调递减，

则，则当时，，；

则当，时，，即；

则，

即，又，，故C正确；

对D：，故D错误.

故选：ABC.

【点睛】关键点点睛：本题考查数列的综合知识，涉及逐差法的应用，以及导数的应用，解决问题的关键是熟练使用逐差法，以及能够结合导数证明不等式，属综合中档题.

三、填空题

13．已知向量，满足，，与的夹角为，，则_______.

【答案】4

【分析】利用向量垂直以及数量积的运算法则，可得，在结合题目所给的模，代入即可求得.

【详解】， 即，又

故答案为：4

14．如图，某中学校园中央有一座钟楼，某学生为了测量钟楼高AB，该学生先在钟楼的正西方点C处测得钟楼顶部的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进20m到达点D处，在D处测得钟楼顶部的仰角为30°，则钟楼AB的高度是___________m.

【答案】

【分析】利用余弦定理即可求得.

【详解】

由已知设

如图在中：，所以

在中：，所以

在中，易得

由余弦定理可得

故

解得或（舍）

故答案为：

15．记为数列的前项和，为数列的前项积，已知，则___________.

【答案】

【分析】由题意可得，从而得到是等差数列，进一步得，再求出，利用求得＝即可求出答案.

【详解】解：因为，

所以，，所以，

又因为，当时，得，所以，

当时，，即，

所以是等差数列，首项为，公差，

所以，

所以，满足，

故，

即，

所以，

两式相除得，当时也成立，

所以，

所以，

所以.

 故答案为：.

16．中，，，是外接圆的圆心，则的最大值为___________.

【答案】6

【分析】首先根据平面图形的几何性质求出外接圆半径长度与，然后将向量，，用向量，，线性表示.

再根据数量积运算得，最后根据的取值范围求得的最大值即可

【详解】中，，是外接圆圆心，如图所示：

则，又因为，

所以，即外接圆的半径.

，，即.

故得，

因为、不重合，所以向量与的夹角范围为，

所以，

所以，即为的中点时，

取得最大值为.

故答案为：

四、解答题

17．已知向量，，函数.

(1)求函数的单调递增区间；

(2)求函数在上的最大值和最小值以及对应的的值.

【答案】(1)

(2)时，，时，.

【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算以及三角函数辅助角公式，可得，再结合三角函数单调性，即可求得单调增区间.

（2）利用换元法，再结合三角函数图像性质，即可求解.

【详解】（1）

令，

∴函数的单增区间为.

（2）由（1）可知，，

令，

当即时，

当即时，.

18．已知数列的首项，，.

(1)证明：为等比数列；

(2)证明：.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）由题知，再根据等比数列的定义证明即可；

（2）结合（1）得，，进而根据裂项求和方法求解即可证明.

【详解】（1）解：∵，

∴

∴（且）

又∵

∴是以4为首项，以2为公比的等比数列.

（2）解：由（1）得，

∴

∴

∵，

∴，

∴.

19．设内角，，的对边分别为，，，已知.

(1)求角的大小；

(2)若，且___________，求的周长.

请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充到上面的横线中，并完成作答.

①；②；③的面积为.

注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一解答计分.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）结合正弦定理、三角恒等变换等知识求得.

（2）选①则根据正弦定理求得，选②则根据向量运算求得，选③则根据三角形的面积公式求得；结合余弦定理求得，进而求得三角形的周长.

【详解】（1），

，

，

∵，∴,

又，∴.

（2）若选①且，，

∴.

若选②，，则.

若选③，则.

由余弦定理得，

，∴，∴，

∴的周长为.

20．已知锐角内角，，的对边分别为，，.若.

(1)求角的大小；

(2)若，求边上高的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据条件，运用诱导公式以及倍角公式即可求出角C；

(2)运用等面积法将AB边上的高h转化为ab的乘积，在根据正弦定理转化为三角函数，运用三角函数的性质即可求出h的范围.

【详解】（1）由条件可知：，，

∵，∴，，

又，∴，∴，∴；

（2）设边上的高为，则

且，∴，∴

由正弦定理得，∴，，

又

∴

，

∵为锐角三角形，∴ ，解得： ，

∴，∴，∴边上高的取值范围是；

综上， ，边上高的取值范围是.

21．已知数列是公差不为0的等差数列，为的前项和，，且为与的等比中项.

(1)求的通项公式；

(2)若，求的前项和；

(3)若，判断数列是否存在最大项，若存在，求的最大项，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)；

(2)；

(3)存在，最大项为.

【分析】（1）由等差数列及前n项和定义、等比中项性质列式可解出，，即可写出等差数列的通项；

（2）由错位相减法求和；

（3），取对数得，由导数法讨论的最大值，结合为正整数，即可求得的最大项

【详解】（1）设的首项为，公差为，则，

∵为和的等比中项，∴，即，

可解得，，∴；

（2），①，

②，

由①-②得，

∴.

（3），

令，

当时，，当时，，

∴在上单增，在上单减，故最大值为，

∵为正整数，故，

又，，且，

∴，∴的最大项为.

22．已知函数，设函数为的导函数.

(1)当时

（ⅰ）讨论函数的单调性；

（ⅱ）证明：.

(2)设方程在区间内的根为，，证明：.

【答案】(1)（ⅰ）在上单增，在上单减；（ⅱ）证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）（ⅰ）对函数求导，即可得到其在的单调性.

（ⅱ）令，转化为，然后对函数求导，求得其在的最小值，即可证明.

（2）根据题意可得，分别得出，由（1）得在上单调递减及由（ⅱ）得，代入计算化简，即可证明.

【详解】（1）（ⅰ），

当时，，当时，

∴在上单增，在上单减.

（ⅱ）证明：由题意得，令，

当时，，∴在上单减，∴

∴当时，.

（2）证明：由题意得，∴

设，则

且

由（1）得在上单调递减，∴

又在上单减，∴

由（ⅱ）得

∴

∴

∴.