专题训练七 直线与圆锥曲线的综合问题高分基础提升必刷专题（34道）-高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册）

这是一份专题训练七 直线与圆锥曲线的综合问题高分基础提升必刷专题（34道）-高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册），共31页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2021·铁岭市清河高级中学高二月考）已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过点做倾斜角为的直线与椭圆相交与A，B两点，若，则椭圆C的离心率e为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·乌苏市第一中学高二月考）已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若的中点坐标为，则此椭圆方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·沈阳市第一二〇中学高二月考）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，弦过，若的内切圆的周长为，A、B两点的坐标分别为，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·全国高二专题练习）已知顶点在原点，关于轴对称的抛物线与直线交于，两点，若，则抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．或D．以上都不是
5．（2021·全国高二课时练习）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，过其焦点作直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为点，，，且，则该抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·全国高二课时练习）过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于，两点，使得，若这样的直线有且只有两条，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2021·江西新余四中高二月考（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点满足.若点是椭圆上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·安徽金安·六安一中高二期末（文））已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为（ ）
A．＋＝1B．＋＝1
C．＋＝1D．＋＝1
9．（2021·浙江杭州·高二期末）已知椭圆：的右焦点为，点，为第一象限内椭圆上的两个点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
10．（2021·广东广州·高二期末）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则当取得最小值时，四边形的面积为（ ）
A．32B．16C．21D．8
11．（2021·四川自贡·高二期末（文））已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于、两点，、两点分别为、两点在直线上的射影，而且，为线段的中点.则下列命题（ ）
①
②等腰直角三角形
③直线的斜率为
④的面积为4（为坐标原点），其中正确的命题个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
12．（2020·伊宁市第三中学高二期末（理））过轴上点的直线与抛物线交于，两点，若为定值，则实数的值为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
13．（2021·湖南长沙·高二期末）已知椭圆C：（）的左、右焦点为F1，F2，O为坐标原点，直线过F2交C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则（ ）
A．椭圆焦距为B．椭圆方程为
C．弦长D．
14．（2021·江苏南通·高二期末）过抛物线的焦点的直线与相交于，两点.若的最小值为，则（ ）
A．抛物线的方程为
B．的中点到准线的距离的最小值为3
C．
D．当直线的倾斜角为时，为的一个四等分点
15．（2021·广东广州·高二期末）已知双曲线的右焦点为，过的动直线与相交于，两点，则（ ）
A．曲线与椭圆有公共焦点
B．曲线的离心率为，渐近线方程为．
C．的最小值为1
D．满足的直线有且仅有4条
16．（2021·湖北黄冈·高二期末）直线与抛物线交于，两点（在的上方），为抛物线的焦点，行为坐标原点，的面积是面积的倍，以为直径的圆与直线相切，切点为.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的面积为
C．的值为
D．
17．（2021·江苏海安高级中学高二期末）已知双曲线的右顶点、右焦点分别为、，过点的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与轴垂直B．的离心率为
C．的渐近线方程为D．（其中为坐标原点）
18．（2019·徐州市侯集高级中学高二期末）已知双曲线（，），，是其左、右顶点，，是其左、右焦点，是双曲线上异于，的任意一点，下列结论正确的是（ ）
A．
B．直线，的斜率之积等于定值
C．使得为等腰三角形的点有且仅有8个
D．的面积为
三、填空题
19．（2021·山西晋中·高二期末（理））已知点是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线的一般方程为_________.
20．（2021·山西晋中·高二期末（理））过抛物线：的焦点作两条相互垂直的弦，，分别交于，，，，则的最小值为___________.
21．（2020·山西长治·高二期末（理））已知离心率为的椭圆的左、右顶点分别为，，点为该椭圆上一点，且在第一象限，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，则直线的斜率为___________.
22．（2021·四川达州·高二期末（文））已知抛物线：与双曲线：有
相同的焦点且在第一象限交于点，为双曲线的下焦点，若直线与抛物线有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为______.
23．（2021·河南开封·高二期末（理））已知抛物线的焦点为，直线过点交抛物线于，两点，且．直线，分别过点，，且与轴平行，在直线，上分别取点，，（，分别在点，的右侧），分别作和的角平分线相交于点，则的面积为________．
24．（2021·江苏盐城·高二期末）设，分别为椭圆：的左､右顶点，动直线经过轴上一定点，交椭圆于，两点(，分别在轴上､下方)，记直线，的斜率分别为､，若，则点的坐标为___________.
四、解答题
25．（2020·长春兴华高中高二期末（文））已知抛物线C；过点．
求抛物线C的方程；
过点的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点均与点A不重合，设直线AM，AN的斜率分别为，，求证：为定值．
26．（2021·浙江高二期末）已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（Ⅰ）当t=4，时，求△AMN的面积；
（Ⅱ）当时，求k的取值范围.
27．（2019·广东湛江·高二期末（文））已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点P（2,1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程.
28．（2020·甘肃张掖·高二期末（理））设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.
29．（2019·浙江慈溪·高二期末）已知椭圆的长轴长为4，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当时，设，过作直线交椭圆于、两点，记椭圆的左顶点为，直线，的斜率分别为，，且，求实数的值.
30．（2021·甘肃张掖·高二期末（理））已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）不过原点的直线与抛物线交于不同两点，若，求的值．
31．（2020·广东广州·高二期末）如图，已知圆：，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点.当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设过点的直线与曲线相交于两点（点在两点之间）.是否存在直线使得？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.
32．（2016·山东淄川·高二期末（理））如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
33．（2019·福建仙游一中高二期末）已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．
34．（2021·浙江高二期末）已知点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点.
（1）证明：直线过定点，并求出定点的坐标；
（2）若直线交椭圆于、两点，、分别是、的面积，求的最小值.
参考答案
1．A
设,过点的直线方程为,
由,得,
由韦达定理得:,,
因为，
所以，
则，即，
解得，
因为，
所以，
故选：A
2．D
由题设，且，若，则，
∴，可得，而，
∴，解得，即椭圆方程为.
故选：D
3．C
由椭圆=1，可得a=5，b=4，c==3．
如图所示，
设的内切圆的半径为r，则2πr=π，解得r=．
则==•|F1F2|，
∴ 2a=|y2﹣y1|×2c，
∴| y2﹣y1|==．
故选：C
4．C
解：设抛物线的方程为，则
抛物线与直线，消去得，
，
则
，
，或
或．
故选：C.
5．A
设，，，
抛物线的方程为，，
由可得，
所以
所以，，
所以，，，，
所以，， ，，
所以，
因为，所以，所以，
所以抛物线的方程为．
故选：A.
6．B
若，在同一支上，当时为双曲线的通经，即有；
若，不在同一支上，则．
因为与不可能同时等于6，所以或，
解得或
故选：B
7．B
由椭圆C：可得：，，，．
，．
设，则又，
，又．
的最小值为．
故选：B．
8．D
【详解】
设，所以 ，，
运用点差法，作差可得，
所以直线的斜率为，
又，所以，
又，
所以，
故选：D
9．C
【详解】
设点，右焦点为，椭圆的离心率为，，
，同理，
如图，过P，Q分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，
因，则，即，，
于是得，又，则，即，
因此得，即，整理得，而，则，
所以椭圆的离心率为.
故选：C
10．A
解：设， 为，为．分别代入抛物线方程得：①，②．
∴，
由于．当且仅当，即或时取等号，
不妨取，所以直线的方程为：，
所以，整理可得，，，
所以可得，
所以．
故选：A．
11．B
根据题意可得焦点F(1,0),准线方程为x=-1,由题意可得直线BA的斜率不为0,
可设直线AB的方程为x=my+1设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可知,将直线AB与抛物线方程联立得y2-4my-4=0所以.
对于①：所以FC⊥FD,即∠CFD=90°,故①正确;
对于②:由①可得,不可能CM⊥DM,更不会∠C或∠D为直角,故B不正确;
对于③:因为,所以,即，
因为所以解得,所以，
所以直线的斜率为.故③正确；
对于④:由題意可得，
点O到直线AB的距离，
所以，故④错误.
故选:B
12．D
设直线的方程为，
代入，得，
设，，则，．
，
同理，，
∴
，
∵为定值是与无关的常数，
∴，
故选：D．
13．BC
因为的周长为8，所以，得，
因为过右焦点F2，所以，所以，
所以椭圆焦距为，故A错误；所以椭圆方程为，故B正确；
设，
由得，解得，
，故C正确；
原点到直线的距离为，
所以，故D错误.
故选：BC.
14．ABD
【详解】
当直线的斜率不存在时，
因为直线过抛物线的焦点，所以的方程为：，
由 可得，此时，
当直线的斜率存在时，
设的方程为：，，，
由可得：，
所以，，
所以，
对于A：由以上证明可知：当直线的斜率不存在时，，可得，
所以抛物线的方程为，故选项A正确；
对于B：的中点到准线的距离的最小值为，故选项B正确；
对于C：当直线的斜率不存在时，，，此时 ，
故选项C不正确；
对于D：当直线的倾斜角为时，直线的方程为：，
由可得：，即，
解得：或，
所以，，
所以，所以为的一个四等分点，故选项D正确；
故选：ABD
15．BC
对于A：由知双曲线的焦点在轴上，由知椭圆的焦点在轴上，所以焦点不相同，故选项A不正确；
对于B：由双曲线可得，，所以，
所以双曲线的离心率为，渐进线方程为，即，
故选项B正确；
对于C：当，两点位于双曲线的异支时，直线的斜率为时最小，此时，两点分别为双曲线的左右顶点，此时，
当，两点位于双曲线的同支时，直线的斜率不存在时最小，直线的方程为代入可得，所以，所以的最小值为1，故选项C正确；
对于D：由选项C知，当，两点位于双曲线的异支时，，此时只有一条，
当，两点位于双曲线的同支时，，根据对称性可知，此时存在两条直线使得，所以满足的直线有且仅有条.故选项D不正确；
故选：BC.
16．ACD
【详解】
由题意可得，设，，
且，，，
，即，
联立，整理可得，
，，
，解得，，
，解得，
即，，
，故A正确；
，
，故B错误；
线段的中点为，直径，
半径为，圆为，
所以，故C正确；
，，故D正确.
故选：ACD
17．AB
【详解】
由已知得，设，由，得，所以轴，即，A正确；
不妨设点在第一象限，易知，，，即点，
设，由，得，所以，
所以，即．
因为点在双曲线上，所以，整理得，
所以，解得或（负值舍去），B正确；
，故C的渐近线的斜率的平方为，C错误；
不妨设点在第一象限，则，
所以，D错误．
故选：AB．
18．ABC
A，根据双曲线方程以及双曲线的定义可得，所以A正确；
B，设点，
有，，
直线的斜率之积
，所以B正确；
C，根据双曲线对称性分析：要使为等腰三角形，则必为腰，
在第一象限双曲线上有且仅有一个点使，
此时为等腰三角形，
也且仅有一个点使，此时为等腰三角形，
同理可得第二三四象限每个象限也有且仅有两个点，一共八个，所以C正确；
D，，
设，，由双曲线的定义可得，
则，①
由余弦定理可得，②
②①得，，
则
，所以D不正确.
故选：ABC
19．
设过点的直线与椭圆的两个交点分别为，，
则，，
两式相减得，
化简得，即，
直线AB的方程为，
所以直线AB的一般方程为，
故答案为：
20．16
【详解】
易知直线AB的斜率存在且不为，
所以设直线的方程为，，，
直线AB的方程与抛物线方程联立，消，得：，
∴，，
同理，
∴，当且仅当时等号成立.
故答案为：16.
21．
【详解】
由，得，则，
设，易知，
设，则，
若直线的方程为，则的坐标为.
直线的方程为，则的坐标为，
∴，解得或.
当时，在轴上，故.
故答案为：
22．
【详解】
抛物线：的焦点为，
双曲线：的上焦点为，
因为两曲线有相同的交点，可得，所以，
所以抛物线：，
设，则，由题意知直线与抛物线相切于点，
，
所以直线的方程为：，
整理可得：，将其代入
可得即
由，所以，
即，可得，所以，
所以，因为点在双曲线上，
所以，即
又因为，
所以即，
两边同除以可得：，
解得或（舍）
因为，所以，
故答案为：.
23．
【详解】
由抛物线可得：焦点，
作出抛物线的准线，设两点在上的摄影分别是，
连接、，过点作于点，
设方程为，
由 可得：，
所以，
由抛物线的定义可得：，解得：，
所以 ，不妨取，则直线的倾斜角为，
因为轴，所以，
因为轴，轴，所以，
因为、分别是和的角平分线，
所以，可得，
因为是的角平分线，所以，
由二倍角的余弦公式可得，
，
在中，，，
所以的面积为，
故答案为：.
24．
【详解】
由已知得，由已知是存在的，
设直线的方程为，
由得，
解得，因为，所以，
，所以，
设直线的方程为，
由得，
解得，因为，所以，
，所以，
设，，
所以， 即，
又因为，所以，
整理得，，
所以.
故答案为：.
25．（1）由题意得，所以抛物线方程为．
（2）设，，直线MN的方程为，
代入抛物线方程得．
所以，，．
所以,
所以，是定值．
26．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
（Ⅰ）设，则由题意知，当时，的方程为，.
由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.
将代入得.解得或，所以.
因此的面积.
（Ⅱ）由题意，，.
将直线的方程代入得.
由得，故.
由题设，直线的方程为，故同理可得，
由得，即.
当时上式不成立，
因此.等价于，
即.由此得，或，解得.
因此的取值范围是.
27．(1) (2)
（1），2b=4，所以a=4，b=2，c=，椭圆标准方程为
（2）设以点为中点的弦与椭圆交于，则，分别代入椭圆的方程，两式相减得，所以，所以，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为，即．
28．（Ⅰ）（Ⅱ）或.
(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，b=2，c=1.
所以，椭圆方程为.
(Ⅱ)由题意，设.设直线的斜率为，
又，则直线的方程为，与椭圆方程联立，
整理得，可得，
代入得，
进而直线的斜率，
在中，令，得.
由题意得，所以直线的斜率为.
由，得，
化简得，从而.
所以，直线的斜率为或.
29．（Ⅰ）或；（Ⅱ）1.
【详解】
（I）当时，由得，；
当时，由得，.
所以椭圆C的方程为或.
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，l的方程为，则
由得两点.
所以，
即得（舍去）或.
直线l的斜率存在时，l的方程设为
设，，联立，消去y得
（*），
所以，，
而，
，
化简得，即，显然，
所以，解得或（舍去），
对时，方程（*）的，所以，
故综上得所求实数.
30．（1）（2）
解：（1）已知抛物线过点，且
则，
∴，
故抛物线的方程为；
（2）设，，
联立，得，
，得，
，，
又，则，
，
或，
经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意，
又，
综上：的值为-8．
31．（1）（2）存在，或．
【详解】
（1）因为圆的方程为，
所以，半径．
因为是线段的垂直平分线，所以．
所以．
因为，
所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆．
因为，，，
所以曲线的方程为．
（2）存在直线使得．
方法一：因为点在曲线外，直线与曲线相交，
所以直线的斜率存在，设直线的方程为．
设，
由 得．
则， ①
， ②
由题意知，解得．
因为，
所以，即． ③
把③代入①得， ④
把④代入②得，得，满足．
所以直线的方程为：或．
方法二：因为当直线的斜率为0时，，，，
此时．
因此设直线的方程为：．
设，
由 得．
由题意知，解得或，
则， ①
， ②
因为，所以． ③
把③代入①得， ④
把④代入②得，，满足或．
所以直线的方程为或．
32．（1）；（2）存在，Q点的坐标为.
【详解】
（1）由已知，点在椭圆E上.
因此，解得.
所以椭圆的方程为.
（2）当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于C、D两点.
如果存在定点Q满足条件，则，即.
所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为.
当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于M、N两点.
则，
由，有，解得或.
所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，
则Q点的坐标只可能为.
下面证明：对任意的直线，均有.
当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立.
当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，
A、B的坐标分别为.
联立得.
其判别式，
所以，.
因此.
易知，点B关于y轴对称的点的坐标为.
又，
所以，即三点共线.
所以.
故存在与P不同的定点，使得恒成立.
33．
解析：（Ⅰ）由抛物线C：过点P（1，1），得.
所以抛物线C的方程为.
抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.
（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，.
由，得.
则，.
因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.
直线ON的方程为，点B的坐标为.
因为
，
所以.
故A为线段BM的中点.
34．
【详解】
（1）先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为，
由于点在抛物线上，则，
联立，消去得，，即，
所以，关于的方程有两个相等的实根，此时，
因此，直线与抛物线相切，且切点为.
设点、，
则以为切点的切线方程为，同理以为切点的切线方程为，
两条切线均过点，，即，
所以，点、的坐标满足直线的方程，
所以，直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，所以，直线过定点；
（2）设点到直线的距离为，则.
由题意可知，直线不与轴重合，可设直线的方程为，
设、，由，得，恒成立，
由韦达定理得，，
由弦长公式可得，
由，得，恒成立.
由韦达定理得，，
由弦长公式得.
，
当且仅当时，等号成立.
因此，的最小值为.
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