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    数 学 试 卷
    2021.11.9
    一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.)
    1.已知集合eq A={x|y=\r(,2-x)},集合B={x|y=ln(x-1)},则A∩B等于( )
    A.{x|1<x≤2} B.{x|1≤x≤2} C.{x|1<x<2} D.{x|x≥2}
    2.设复数z满足2z+ eq \(z,\s\up6(-))=3+6i,则z等于( )
    A.1+2i B.1+6i C.3+2i D.3+6i
    3.“a∈[0,1]”是“∀x∈R,eq x\s\up6(2)-ax+1>0”成立的( )
    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
    4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一,书中有这样一道题:把100个面包分给5个人,使每人所得面包个数成等差数列,且使较大的三份之和的eq \f(1,7)是较小的两份之和.则最小的一份为( )
    A.eq \f(5,3) B.eq \f(10,3) C.eq \f(5,6) D.eq \f(11,6)
    5.已知函数y=f(x)的图象与函数eq y=2\s\up6(x)的图象关于直线y=x对称,函数g(x)是奇函数,且当x>0时,g(x)=f(x)+x,则g(-4)=( )
    A.-18 B.-12 C.-8 D.-6
    6.已知α∈(-π,0),且3cs2α+4csα+1=0,则tanα等于( )
    A.eq \f(\r(,2),4) B.eq 2\r(,2) C.eq -2\r(,2) D.eq -\f(\r(,2),4)
    7.已知向量EQ \\ac(\S\UP7(→),OA)=(1,3),向量EQ \\ac(\S\UP7(→),OB)=(3,t),eq |\\ac(\S\UP7(→),AB)|=2,则cs等于( )
    A.eq -\f(\r(,10),10) B.eq \f(\r(,10),10) C.eq \f(3\r(,10),10) D.eq -\f(3\r(,10),10)
    8.已知函数eq f(x)=e\s\up6(x-2)+e\s\up6(-x+2)+asin(\f(πx,3)-\f(π,6))有且只有一个零点,则实数a的值为( )
    A.4 B.2 C.-2 D.-4
    二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)
    9.已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的有( )
    A.eq x\s\up6(3)>y\s\up6(3) B.eq \f(1,x)<\f(1,y) C.ln(x-y+1)>0 D.sinx>siny
    10.已知函数f(x)=EQ \B\lc\{(\a\al(\l(x\S(2)+2,x<0),\l(e\S(x),x≥0))),满足对任意的x∈R,f(x)≥ax恒成立,则实数a的取值可以是( )
    A.eq -2\r(,2) B.eq -\r(,2) C.eq \r(,2) D.eq 2\r(,2)
    11.任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3加1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述运算,经过有限次步骤,必进人循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”).如果对于正整数m,经过n步变换,第一次到达1,就称为n步“雹程”.如取m=3,由上述运算法则得出:3→10→5→16→8→4→2→1,共需经过7个步骤变成1,得n=7.则下列命题正确的有( )
    A.若n=2,则m只能是4
    B.当m=17时,n=12
    C.随着m的增大,n也增大
    D.若n=7,则m的取值集合为{3,20,21,128}.
    12.已知函数f(x)=sin|x|+|csx|,下列叙述正确的有( )
    A.函数y=f(x)的周期为2π
    B.函数y=f(x)是偶函数
    C.函数y=f(x)在区间eq [\f(3π,4),\f(5π,4)]上单调递减
    D.eq ∀x\s\d(1),x\s\d(2)∈R.|f(x\s\d(1))-f(x\s\d(2))|≤\r(,2)
    三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共计20分.)
    13.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且eq lna\s\d(n+1)=2S\s\d(n)+2(n∈N*),则eq a\s\d(1)= .
    14.已知函数y=f(x)满足eq f(x)=f′(\f(π,4))sinx-csx,则eq f′(\f(π,4))= .
    15.已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形,角A为直角,点P为平面ABC上的一点,则eq \\ac(\S\UP7(→),PB)·\\ac(\S\UP7(→),PC)的最小值为 .
    16.函数eq f(x)=x\s\up6(2)-ax-1的零点个数为 ;当x∈[0,3]时,|f(x)|≤5恒成立,则实数a的取值范围为 .
    四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
    17.(10分)在①、②两个条件中任取一个填入下面的横线上,并完成解答.
    ①在(0,2π)上有且仅有4个零点;
    ②在(0,2π)上有且仅有2个极大值点和2个极小值点.
    设函数eq f(x)=sin(\f(ωx,2)+\f(π,3))(ω∈N*),且满足 .
    (1)求ω的值;
    (2)将函数f(x)的图象向右平移eq \f(π,3)个单位得到函数g(x)的图像,求g(x)在(0,2π)上的单调递减区间.
    18.(12分)我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.
    (1)请写出一个图象关于点(-1,0)成中心对称的函数解析式;
    (2)利用题目中的推广结论,求函数eq f(x)=x\s\up6(3)-3x\s\up6(2)+4图象的对称中心.
    19.(12分)在锐角三角形ABC中,已知eq tan2A=\f(sinA,csA-1).
    (1)求角A的值;
    (2)若eq a=2\r(,3),求b+c的取值范围.
    20.(12分)在△ABC中,已知eq AB=2,AC=\r(,11),cs∠BAC=\f(5\r(,11),22),D为BC的中点,E为AB边上的一个动点,AD与CE交于点O.设eq \\ac(\S\UP7(→),AE)=x\\ac(\S\UP7(→),AB).
    (1)若eq x=\f(1,4),求eq \f(CO,OE)的值;
    (2)求eq \\ac(\S\UP7(→),AO)·\\ac(\S\UP7(→),CE)的最小值.
    21.(12分)已知正项数列{an}的前项积为Tn,且满足an=eq \f(T\s\d(n),3T\s\d(n)-1)(n∈N*).
    (1)求证:数列eq {T\s\d(n)-\f(1,2)}为等比数列;
    (2)若eq a\s\d(1)+a\s\d(2)+…+a\s\d(n)>10,求n的最小值.
    22.(12分)已知函数eq f(x)=e\s\up6(x-m)-lnx(m≥0).
    (1)当m=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
    (2)若函数f(x)的最小值为eq \f(1,e)-1,求实数m的值.
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