2023届广东省汕头市高三上学期期中数学试题含解析

2023届广东省汕头市高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【详解】试题分析：由题意得 ，所以在复平面内表示复数的点为在第二象限．

故选B．

【解析】复数的运算；复数的代数表示以及几何意义.

2．已知M，N都是实数，则“”是“”的（       ）条件．

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】B

【分析】用定义法进行判断.

【详解】充分性：取，满足.但是无意义，所以充分性不满足；

必要性：当成立时，则有,所以.所以必要性满足.

故选：B

3．的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用诱导公式和恒等变换公式即可计算得出结果.

【详解】

故选：A

4．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在“2，3，5，7，11”这5个素数中，任取两个不同的素数，其和仍为素数的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求得5个数中任取2个数，总可能性，再求得符合题意的可能性，代入概率公式，即可得答案.

【详解】由题意得，5个数中任取2个数，可能为（2和3）、（2和5）、（2和7）、（2和11）、（3和5）、（3和7）、（3和11）、（5和7）、（5和11）、（7和11）共10种可能，

2个素数之和仍为素数，则可能为（2和3）、（2和5）、（2和11）共有3种可能，

所求概率.

故选：B

5．已知数列中，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分析出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式可求得结果.

【详解】在等式中，令，可得，则，

所以，数列为等差数列，且该数列的首项和公差均为，

因为，故，所以，，则，

因此，.

故选：C.

6．已知的外接圆圆心为O,且,则向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用向量的运算法则将已知等式化简得到，进而得到为正三角形，从而得到结论.

【详解】如图，由知O为BC的中点，

又∵O为的外接圆圆心，

又

为正三角形，，

在上的投影向量为.

故选：A.

【点睛】本题考查平面向量数量积的含义，解题的关键是熟练掌握向量的运算法则，本题是基本知识与技能考查题，主要考查了向量运算能力，属于基础题.

7．中国古代数学的瑰宝《九章第术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如下图所示的“曲池”，其高为3，底面，底面扇环所对的圆心角为，长度为长度的3倍，且线段，则该“曲池”的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据弧长与半径的关系，将两个弧所对应的半径求出，再根据圆柱的体积公式求出曲池的体积.

【详解】设对应半径为R，对应半径为r，根据弧长公式可知，，

因为两个扇环相同，长度为长度的3倍，

所以，

因为，

所以，

所以曲池体积为.

故选：D

8．已知定义在上的函数，满足为奇函数且为偶函数，则下列结论一定正确的是（    ）

A．函数的周期为 B．函数的周期为

C． D．

【答案】C

【分析】推导出，，可推导出函数的周期，可判断AB选项的正误；利用函数的周期性和对称性可判断CD选项的正误.

【详解】因为函数为奇函数，则，

令，则，

所以，对任意的，，

故函数的图象关于点对称，

因为函数为偶函数，则，

令，可得，

所以，对任意的，，故函数的图象关于直线对称，

所以，，

所以，，则，

所以，函数的周期为，AB都错；

对任意的，，令，可得，

，

的值不确定，C对D错.

故选：C.

【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：

（1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为；

（2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为；

（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为.

在推导周期时，解答时要注意能够根据抽象函数的性质进行代换，从而推导出函数的周期.

二、多选题

9．给出下列命题，其中正确命题为（    ）.

A．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为4

B．回归方程为时，变量与具有负的线性相关关系

C．随机变量服从正态分布，，则

D．相关指数来刻画回归的效果，值越大，说明模型的拟合效果越好

【答案】BD

【分析】根据线性变化后新旧数据方差的关系，线性回归方程的性质，正态分布，相关指数与拟合度的关系判断各选项．

【详解】A、若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为，故A错误；

B、回归方程为，可知，则变量与具有负的线性相关关系，B正确；

C、随机变量服从正态分布，，根据正态分布的对称性，所以，∴C错误；

D、相关指数来刻画回归的效果，值越大，说明模型的拟合效果越好，因此D正确.

故选：BD.

【点睛】本题考查线性变化后新旧数据方差的关系，回归方程与正负相关性，正态分布的概率，相关指数与拟合程度关系，掌握相应的概念，方法即可求解，属于基础题．

10．对于定义在上的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：①在区间上为增函数；②当时，函数值域也为，则称是函数的一个“递增黄金区间”．下列函数中存在“递增黄金区间”的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】利用题中定义可判断AB选项；数形结合可判断C选项；利用导数法可判断D选项.

【详解】对于A选项，函数在区间上为增函数，

且当时，，A不满足条件；

对于B选项，函数在区间上单调递增，

且当时，，

即函数存在“递增黄金区间”，B满足条件；

对于C选项，假设函数存在“递增黄金区间”，

因为函数在区间上单调递增，根据题意可得，

所以，、为函数与函数的交点的横坐标，如下图所示：

由图象可知，直线与函数的图象有两个公共点，C满足条件；

对于D选项，假设函数存在“递增黄金区间”，则，

因为函数在区间上单调递增，根据题意可得，

所以，、为函数与函数的交点的横坐标，

事实上，令，其中，则，

令可得，

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

故，故方程无解，D不满足条件.

故选：BC.

11．已知函数（）在区间上有且仅有条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（    ）

A．在区间上有且仅有个不同的零点

B．的最小正周期可能是

C．的取值范围是

D．在区间上单调递增

【答案】BC

【分析】根据三角函数对称轴情况可得的取值范围，进而判断各选项.

【详解】解：由函数（），

令，，则，，

函数在区间上有且仅有条对称轴，即有个整数符合，

由，得，即，

则，，，，

即，

，C正确；

对于A，，，

，

当时，在区间上有且仅有个不同的零点；

当时，在区间上有且仅有个不同的零点；故A错误；

对于B，周期，由，则，

，

又，所以的最小正周期可能是，故B正确；

对于D，，，

又，

又，所以在区间上不一定单调递增，故D错误；

故选：BC．

12．在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记，的斜率分别为，则（    ）

A．双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为1时，双曲线的方程为

B．双曲线的渐近线方程为

C．为定值

D．存在点，使得

【答案】AC

【分析】根据双曲线C：(a>0，b>0)的离心率为，分别求得，验证选项B，再由点到直线的距离求出c得双曲线方程，验证A，然后根据斜率公式和点P的坐标，验证选项C，D.

【详解】因为双曲线C：(a>0，b>0)的离心率为，

所以，，渐近线方程为，故B错误；

不妨设双曲线的焦点到的距离为1，即，解得，

又，故，所以双曲线方程为，故A正确；

因为，设，则，故C正确；

，因为点P在第一象限，渐近线方程为，所以，则 ，所以，所以不存在点P，使得+=1，故错误.

故选：AC

【点睛】关键点点睛：根据双曲线的离心率推出，结合斜率公式、渐近线的斜率，是解决CD选项的关键所在，属于中档题.

三、填空题

13．的展开式中常数项是______．

【答案】481

【分析】首先进行变型，结合二项式展开式的通项公式求得展开式中的常数项.

【详解】由得，，

当时，中的常数项为；

当时，中的常数项为；

当时，中的常数项是1，

故的展开式中常数项为481．

故答案为：481

14．已知是函数图象上的点，则到直线的最小距离为_____________．

【答案】

【分析】分析可知曲线在点处的切线与直线平行，利用导数的几何意义求出点的坐标，再利用点到直线的距离公式可求得结果.

【详解】当点到直线的距离最小时，曲线在点处的切线与直线平行，

对函数求导得，令，可得，则，

此时，点的坐标为，因此，到直线的最小距离为.

故答案为：.

15．如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别交，两边于M，N两点，且，，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】以为基底，由G是的重心和M，G，N三点共线，可得，利用基本不等式求最小值即可.

【详解】根据条件：，

因为G是的重心，，

，

又M，G，N三点共线，.

，

，

当且仅当，即 时取等号成立.

的最小值为，

故答案为： ．

【点睛】本题主要考查了基底向量、向量的共线定理性质运用、基本不等式的应用等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题.

16．如图，正三棱柱的棱长均为2，点M是侧棱的中点，过与平面垂直的平面与侧面的交线为l，则直线l与直线所成角的余弦值为__________．

【答案】

【分析】取，的中点E，F，根据线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理证明平面平面，由此确定直线l，再确定直线l与直线所成角，解三角形求其大小.

【详解】依题意，分别取，的中点E，F，连接，，，，．因为正三棱柱的棱长均为2，所以四边形为正方形，由点M是侧棱的中点，得．因为平面，所以，，所以平面，所以平面平面，所以过点与平面垂直的平面与侧面的交线l即为．又因为，可得直线l与直线所成角即与所成的角，在中，，，，，所以直线l与直线所成角的余弦值为．

四、解答题

17．的内角的对边分别为，已知的面积

（1）证明：；

（2）若，求.

【答案】(1)证明见解析；(2) 2

【分析】（1）由三角形面积公式，结合题意，得到，化简整理即可得出结论成立；

（2）由（1）的结论，结合（2）中数据，得到，再由余弦定理得到，解方程，即可求出结果.

【详解】（1）由得 ．

因为，所以，

又因为，所以 ，

因此．

（2）由（1）得，所以

由余弦定理得，

所以，

解得

因此，即

由（1）得，所以 ，

故．

【点睛】本题主要考查解三角形，熟记同角三角函数基本关系，以及余弦定理即可，属于常考题型.

18．已知数列的前项和是，，点均在斜率为的直线上. 数列、满足.

(1)求数列的通项、；

(2)若数列中去掉数列的项后，余下的项按原来的顺序组成数列，且数列的前项和为，求.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）将点点代入直线的斜率可得数列为等差数列，然后可求出，再根据，作差可求出；（2）根据（1）的结论求分析出数列含有的项 ，最后套用等差和等比数列的求和公式即可.

【详解】（1）数列的前项和是，，点均在斜率为直线上，

，数列是以首项，为公差的等差数列.

.

当时，，满足上式，故

数列、满足

时，，

两式相减得，，满足上式，故.

（2）设数列中前项中有数列的项，则，，即求满足的最大正整数，易得，所以数列中前106项有数列的6项，

所以

19．如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面为长方形，且，是的中点，作交于点．

（1）证明：平面；

（2）若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）先证明平面，可得，又，可证明平面，可得，又，即得证；

（2）建立空间直角坐标系，由，可得，分别求解两个平面的法向量，利用二面角的向量公式，即得解

【详解】（1）证明：底面，平面，，

由于底面为长方形，，而，

平面，

平面，，

，为的中点，，

，平面，

，又，，

平面．

（2）由题意易知两两垂直，以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系

，可得，，，

设，则有，

，，，，

设平面的法向量，由，，则

令，则，，

-

由（1）平面，

为平面PBC的法向量，

设二面角为，由图知二面角为锐角

则-

所以二面角的余弦值为．

20．新疆棉以绒长､品质好､产量高著称于世.现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.B类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完.

(1)通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价成本）；

(2)某服装专卖店店庆当天，全场A，B两类服装均以会员价销售.假设每位来店购买A，B两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A类服装的概率为.已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X为该店当天所售服装中B类服装的件数，Y为当天销售这两类服装带来的总收益.求当时，n可取的最大值及Y的期望E（Y）.

【答案】(1)B类服装单件收益的期望更高

(2)n可取的最大值为3，（元）

【分析】（1）结合期望公式由单件总盈利减去成本即可计算；

（2）由题知B类服装的销售件数符合二项分布，求出对应，，……，的值，可确定的最大值；先列出这5件衣服总收益关于X的关系式，得，结合化简即可求解.

【详解】（1）设A类服装､B类服装的单件收益分别为X1元，X2元，则

，

，

，故B类服装单件收益的期望更高；

（2）由题意可知，，

，，

，，

.

因为，，

所以当时，n可取的最大值为3.

（元），

因为，

所以（元）.

21．已知椭圆的左、右焦点分别为，，半焦距为1，以线段为直径的圆恰好过椭圆的上、下顶点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若关于直线对称的射线与分别与椭圆位于轴上方的部分交于，两点，求证：直线过轴上一定点.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）先求出，之间的等量关系，再结合，，间的关系即可求出椭圆的方程；

（2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用韦达定理及已知即可得出，的关系，进而即可得到直线所过的定点坐标.

【详解】（1）以线段为直径的圆恰好过椭圆的上下顶点，.

，，，

椭圆的方程为.

（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，

联立，消去并整理得.

设点，，

则，.

，且由题意知和必存在，

.

又，，即，

整理得，

得，

即，解得，

的方程为.

，

即，，解得.

，位于椭圆轴上方，，

此时直线过轴上的定点.

22．设函数，其中.

（Ⅰ）若，讨论的单调性；

（Ⅱ）若，

（i）证明恰有两个零点

（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.

【答案】（I）在内单调递增.；

（II）（i）见解析；（ii）见解析.

【分析】（I）；首先写出函数的定义域，对函数求导，判断导数在对应区间上的符号，从而得到结果；

（II）（i）对函数求导，确定函数的单调性，求得极值的符号，从而确定出函数的零点个数，得到结果；

（ii）首先根据题意，列出方程组，借助于中介函数，证得结果.

【详解】（I）解：由已知，的定义域为，

且，

因此当时，，从而，

所以在内单调递增.

（II）证明：（i）由（I）知，，

令，由，可知在内单调递减，

又，且，

故在内有唯一解，

从而在内有唯一解，不妨设为，

则，当时，，

所以在内单调递增；

当时，，

所以在内单调递减，

因此是的唯一极值点.

令，则当时，，故在内单调递减，

从而当时，，所以，

从而，

又因为，所以在内有唯一零点，

又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点.

（ii）由题意，，即，

从而，即，

因为当时，，又，故，

两边取对数，得，

于是，整理得，

【点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想、化归与转化思想，考查综合分析问题和解决问题的能力.