2023届广东省汕头市高三上学期期末数学试题（解析版）

2023届广东省汕头市高三上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则以下命题为真命题的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】利用集合的关系分析即可.

【详解】由题知，集合，集合，

所以是的真子集，

所以，或，或，，

只有A选项符合要求，

故选：A.

2．已知复数z满足，则（    ）

A． B．1 C． D．5

【答案】B

【分析】根据复数的除法及模长公式运算求解．

【详解】由题意，所以，

故选：B.

3．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（    ）

A．甲成绩的极差小于乙成绩的极差

B．甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数

C．甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数

D．甲成绩的方差小于乙成绩的方差

【答案】B

【分析】分析图中数据，结合方差，极差的求法和意义，结合百分位数的求解，得到答案.

【详解】从图表可以看出甲成绩的波动情况小于乙成绩的波动情况，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，且甲成绩的极差小于乙成绩的极差，AD正确；

将甲成绩进行排序，又，故从小到大，选择第二个成绩作为甲成绩的第25百分位数，估计值为90分，

将乙成绩进行排序，又，故从小到大，选择第5个成绩成绩作为乙成绩的第75百分位数，估计值大于90分，

从而甲成绩的第25百分位数小于乙成绩的第75百分位数，B错误；

甲成绩均集中在90分左右，而乙成绩大多数集中在60分左右，故C正确.

故选：B

4．已知等差数列且，则数列的前13项之和为（    ）

A．24 B．39 C．104 D．52

【答案】D

【分析】根据等差数列的性质化简已知条件可得的值，再由等差数列前项和等差数列的性质即可求解.

【详解】由等差数列的性质可得：，，

所以由可得：，

解得：，

所以数列的前13项之和为

，

故选：D.

5．已知某运动员每次射击击中目标的概率是，假设每次射击击中目标与否互不影响，设为该运动员次射击练习中击中目标的次数，且，，则值为（    ）

A．0.6 B．0.8

C．0.9 D．0.92

【答案】B

【分析】由服从，根据二项分布的均值和方差公式列式求解．

【详解】由题意，所以，解得．

故选：B．

6．如图1，水平放置的直三棱柱容器中，，，现往内灌进一些水，水深为2．将容器底面的一边AB固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为三角形，如图2，则容器的高h为（    ）

A．3 B．4 C． D．6

【答案】A

【分析】利用两个图形装水的体积相等即可求解.

【详解】在图1中，

在图2中，，

.

故选：A.

7．的展开式中的系数为（    ）

A．60 B．24 C． D．

【答案】B

【分析】首先写出展开式通项，再考虑通项与相乘得到含的项，即可得系数.

【详解】由的展开式通项为，

所以的展开式项为，

故系数为.

故选：B

8．如图为函数的部分图象，则（    ）

A．函数的周期为

B．对任意的，都有

C．函数在区间上恰好有三个零点

D．函数是偶函数

【答案】C

【分析】A选项，利用函数图象求出函数解析式，利用正弦函数的周期性得到A错误；

B选项，计算，B错误；

C选项，整体法得到，计算出，C正确；

D选项，计算出为奇函数，D错误.

【详解】从图象可看出的最小正周期为，

因为，所以，解得：，

故A错误；

，代入，

，

因为，所以，

故，

，

故不满足对任意的，都有，B错误；

，则，

由可得：，可得：，

故函数在区间上恰好有三个零点，C正确；

，为奇函数，D错误.

故选：C

二、多选题

9．已知同一平面内的两个向量，，则（    ）

A．与同向的单位向量是 B．不能作为该平面的基底

C．和的夹角是 D．在上的投影向量等于

【答案】ACD

【分析】A选项，利用进行求解；

B选项，求出与不平行，从而B错误；

C选项，利用向量余弦夹角公式进行求解；

D选项，利用求解.

【详解】，，

则与同向的单位向量是，A正确；

，故与不平行，且为非零向量，

故可以作出该平面的基底，B错误；

，

因为，所以，

故和的夹角是，C正确；

在上的投影向量等于，D正确.

故选：ACD

10．为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素与学生对体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行普查，得到下表：

附：，．

已知男生喜欢体育锻炼的人数占男生人数的，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的，则下列说法正确的是（    ）A．列联表中q的值为120，p的值为180

B．随机对一名学生进行调查，此学生有90%的可能性喜欢体育锻炼

C．根据小概率值的独立性检验，男女生对体育锻炼的喜好有差异

D．根据小概率值的独立性检验，男女生对体育锻炼的喜好没有差异

【答案】ACD

【分析】根据题意求出q、p，补全列联表，分析数据，利用卡方计算公式求出，结合独立性检验的思想依次判断选项即可.

【详解】A：由题意知，男生喜欢该项运动的人数占男生人数的，

女生喜欢该项运动的人数占女生人数的，

则，，解得，故A正确；

B：补全列联表如下：

所以随机抽一名学生进行调查，喜欢该项运动的概率约为，故B错误；

C：，

而，

所以根据小概率值的独立性检验，男女生对体育锻炼的喜好有差异

D：由选项C知，根据小概率值的独立性检验，男女生对体育锻炼的喜好没有差异.

故选：ACD

11．在直四棱柱中，，，.（    ）

A．在棱AB上存在点P，使得平面

B．在棱BC上存在点P，使得平面

C．若P在棱AB上移动，则

D．在棱上存在点P，使得平面

【答案】ABC

【分析】通过线面平行的判定定理来判断AB选项的正确性，根据线线垂直、线面垂直的知识来判断C选项的正确性，利用向量法判断D选项的正确性.

【详解】A选项，当是的中点时，依题意可知，所以四边形是平行四边形，所以，由于平面,平面,所以平面,A选项正确.

B选项，设是的中点，是的中点，由上述分析可知平面.由于，平面，平面，所以平面.由于，所以平面平面，所以平面.B选项正确.

C选项，根据已知条件可知四边形是正方形，所以，由于,，，所以平面，所以.由于，所以平面，所以.C选项正确.

D选项，建立如图所示空间直角坐标系，，

.设.，此方程组无解，所以在棱上不存在点P，使得平面.D错误.

故选：ABC

12．已知函数，其导函数为，下列说法正确的是（    ）

A．函数的单调减区间为

B．函数的极小值是

C．当时，对于任意的，都有

D．函数的图像有条切线方程为

【答案】AB

【分析】对函数进行求导，对A令即可解决问题；

B选项把增减区间求出来后即可得极值；C选项做差法证明即可；D由切线斜率为3出发

反向分析即可得答案.

【详解】因为

所以，，

所以的单调减区间为，

故A正确．

令，

则或

所以在，单调递增

在单调递减

所以函数的极小值为，

故选项B正确；

由，

若

即

矛盾，

故选项C错误．

，

解的或，

当时切点不在上

当时切点不在上，

故选项D错误，

故选：AB．

三、填空题

13．若等比数列的前项和为，且，，则_____．

【答案】511

【分析】利用等比数列的性质可得成等比数列，代入数据即可求解.

【详解】因为等比数列中成等比数列，

所以成等比数列，

所以，

即，解得：.

故答案为：511

【点睛】本题考查等比数列性质的应用，熟练掌握各个性质，可大大简化计算步骤，节约时间，提高正确率.考查计算化简的能力，属基础题.

14．已知长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D的椭圆的离心率为______．

【答案】##

【分析】利用椭圆定义及简单几何性质，明确a与c，即可得到椭圆的离心率.

【详解】由题知，，解得，

，

由椭圆的定义知：，解得，

所以椭圆的离心率．

故答案为：．

15．写出符合如下两个条件的一个函数______．①，②在内单调递增．

【答案】（答案不唯一）

【分析】先求出对称轴，再结合单调性即可．

【详解】

函数的图象关于对称，

又函数在内单调递增，

符合条件的一个函数解析式可以是：（答案不唯一）．

故答案为：（答案不唯一）．

16．剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中华汉族最古老的民间艺术之一．如图，一圆形纸片直径，需要剪去四边形，可以经过对折，沿裁剪，展开就可以得到．

已知点在圆上且，．则镂空四边形的面积的最小值为______．

【答案】

【分析】由对称性可得，所以求面积的最小值即可，设，根据可得，根据的面积公式可得的关系，再根据基本不等式即可求面积的最小值.

【详解】由对称性可得，所以求面积的最小值即可，

如图所示，设为圆心，连接，作于，

由题意，所以，所以，

设，由面积公式得 ，

由余弦定理可得，

又根据基本不等式可得，即，

当且仅当时取等号，

所以，

所以四边形的面积的最小值为，

故答案为：

四、解答题

17．已知数列的前n项积为，且，．

(1)求证：数列是等差数列；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）利用等差数列的定义即可求解；

（2）利用裂项相消法即可求解．

【详解】（1）数列的前n项积为

，，

，

时，，即，解得

，即，

故数列是以为首项，以2为公差的等差数列．

（2）由（1）知，

所以，所以，

因此，，

所以，

即

化简得：．

18．设锐角三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．

(1)求证：B＝2A；

(2)求的取值范围．

【答案】(1)证明过程见解析.

(2)

【分析】（1）利用正弦定理及积化和差得到，结合角的范围，得到；

（2）利用正弦定理得到，根据三角形为锐角三角形，得到，，从而求出取值范围.

【详解】（1），

由正弦定理得：，

由积化和差公式可得：，

因为，

所以，

因为三角形ABC为锐角三角形，故，

所以，

故，即；

（2）由（1）知：，

由正弦定理得：

，

其中，

因为，

所以

，

由得：，

由，解得：，

结合可得：，，

故在上单调递增，

所以，

即.

19．如图，在三棱柱中，平面平面，且，，．

(1)求平面与平面夹角的余弦值；

(2)求三棱柱的高h．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，从而证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，求出夹角的余弦值；

（2）在第一问的基础上，利用点到平面的向量求距离公式进行求解.

【详解】（1）取的中点，连接，在上取点E，使得，连接，

因为，所以为等边三角形，

故⊥，

因为平面平面，交线为，平面，

故⊥平面，

因为，，，

所以，

则为等边三角形，，

因为，所以，

在中，由余弦定理得：，

故，

则，

故，则，

因为平面平面，交线为，平面，

所以DE⊥平面，故两两垂直，

以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则，

设平面的法向量为，

则，

令，则，

故，

平面的法向量为，

设平面与平面夹角为，

则平面与平面夹角的余弦值；

（2）点到平面的距离即为三棱柱的高h，

由（1）知：平面的法向量为，，

故.

20．某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示．

(1)当甲出场比赛时，求球队输球的概率；

(2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率；

(3)如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由．

【答案】(1)0.32

(2)

(3)边锋，理由见解析.

【分析】（1）根据条件概率公式分别计算出甲球员在担任边锋、前卫、中场时赢球的概率，最后相加得到甲球员参加比赛时，球队赢球的概率，再用1去减即可．

（2）根据条件概率的计算公式即可求解，

（3）由三个位置上的赢球几率，即可做出判断.

【详解】（1）设表示“甲球员担当边锋”； 表示“甲球员担当前卫”； 表示“甲球员担当中场”； 表示“球队赢了某场比赛”，

则

，

该球队某场比赛输球的概率为，

（2）由（1）知： ,

所以 ，

所以球员甲担当前卫的概率为

（3）同（2）

由于，所以应多安排甲球员担任边锋，来增大赢球的几率.

21．已知函数，．

(1)讨论的单调性；

(2)曲线上是否存在不同两点、，使得直线AB与曲线在点处的切线平行？若存在，求出A、B坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)答案见解析；

(2)不存在，理由见解析.

【分析】（1）求定义域，求导，分情况分类讨论，得到的单调性；

（2）利用直线AB的斜率与曲线在点处的切线斜率相等，列出方程，化简整理得：，，再证明出，，恒成立，从而说明不存在这样的不同两点、.

【详解】（1）定义域为，

则，

当，即时，，

此时在上单调递增，

当时，此时，令得：，

令时，

故在上单调递增，在上单调递减，

当时，此时，令得：，

令时，，

故在上单调递增，在上单调递减，

当时，，令，解得：，

令，解得：，

故在上单调递增，在上单调递减，

当时，，舍去，

此时，令，解得：，令，解得：，

故在上单调递增，在上单调递减，

综上：当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减，

当时，在上单调递增.

（2），

在点处的切线斜率为，

因为、为函数曲线上的不同两点，故，

直线AB的斜率为，

令，

整理得：，

接下来证明，，恒成立，

不妨设，变形为，

即，令，则

构造，，

则恒成立，

故在上单调递增，

则，故，，恒成立，

从而不存在不同两点、，使得直线AB与曲线在点处的切线平行.

【点睛】对数平均不等式为，在处理函数极值点偏移问题上经常用到，可先证明，再利用对数平均不等式解决相关问题，证明的方法是结合，换元后将二元问题一元化，利用导函数进行证明.

22．已知椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，记四边形的内切圆为，过椭圆上一点T引圆的两条切线（切线斜率存在且不为0），分别交椭圆于点P、Q．

(1)试探究直线TP与TQ斜率之积是否为定值，并说明理由；

(2)记点O为坐标原点，求证：P、O、Q三点共线．

【答案】(1)直线TP与TQ斜率之积为定值，理由见解析

(2)证明过程见解析

【分析】（1）先求出：，不妨取，则，利用点到直线距离等于半径，得到，得到，将代入可得直线TP与TQ斜率之积为；

（2）设直线，得到，直线与椭圆联立，根据韦达定理得到，同理设出直线，联立后得到，从而，同理可得，证明出P、O、Q三点共线．

【详解】（1）由题意得：，

直线方程为，即，

原点到直线的距离为，

故内切圆的半径为，由对称性可知圆心为，

所以：，

不妨取，则，

此时切线方程为，

则，

整理得：，

设过点引圆的两条切线斜率分别为，

则，

由得：，将其代入上式中，

，

故直线TP与TQ斜率之积为；

（2）设直线，

则，解得：，

与椭圆联立得：，

设，则，

将代入，可得：，

设直线，

则，整理得：，

与椭圆联立得：，

设，则，

将代入可得：，

显然，

设直线，则，解得：，

与椭圆联立得：，

设，则，

将代入得：，

设直线，则，解得：，

与椭圆联立得：，

设，则，

将代入得：，

故，

所以P、O、Q三点共线.

【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.