2023届北京市大兴区高三上学期期中检测数学试题含解析

2023届北京市大兴区高三上学期期中检测数学试题

一、单选题

1．若复数满足，则在复平面内所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】由复数乘法法则把复数化为代数形式后可得对应点的坐标，得出结论．

【详解】，对应点坐标为，在第一象限．

故选：A．

2．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解绝对值不等式求集合B，再由集合的交运算求结果.

【详解】由题设，且，

所以.

故选：D

3．下列函数中，在上单调递增，且值域为的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由指数函数、幂函数、对数函数图像和性质判断各选项即可.

【详解】选项A：在上单调递增，值域为，错误；

选项B：在上单调递增，值域为，错误；

选项C：在上单调递增，值域为，正确；

选项D：在上单调递增，值域为，错误.

故选：C.

4．若命题“”是真命题，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】不等式能成立，等价于方程有实数解，用判别式计算求参数即可.

【详解】由题可知，不等式在实数范围内有解，

等价于方程有实数解，

即，解得.

故选：B.

5．“”是“函数具有奇偶性”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分、必要性的定义，及奇偶性的定义求参数a，判断题设条件间的关系即可.

【详解】当时，则定义域为，

，故为奇函数，充分性成立；

若具有奇偶性，

当为偶函数，则，

所以恒成立，可得；

当为奇函数，则，

所以恒成立，可得；

所以必要性不成立；

综上，“”是“函数具有奇偶性”的充分而不必要条件.

故选：A

6．在中，，则（    ）

A．3 B．5 C．6 D．10

【答案】C

【分析】由题设可得、，结合已知及向量数量积的定义求即可.

【详解】由题设，则，

又，则，

所以.

故选：C

7．已知函数，则结论正确的是（    ）

A．的图象关于点中心对称 B．的图象关于直线对称

C．在区间内有2个零点 D．在区间上单调递增

【答案】D

【分析】A、B应用代入法判断对称轴和对称中心；C、D根据给定区间求的范围，结合正弦型函数的性质求零点和单调性.

【详解】A：，故不是对称中心，错误；

B：，故不是对称轴，错误；

C：在，则，故，可得，所以为在内的唯一零点，错误；

D：在，则，故递增，正确.

故选：D

8．若，则①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【答案】A

【分析】对①，由两边同除ab化简即可判断；

对②，由得，两边同除化简即可判断；

对③，先移项得，可化为，即可比较分母大小判断

【详解】对①，，即，①对；

对②，由，则，②对；

对③，由，

则，与矛盾，③错；

故选：A

9．已知函数，则（    ）

A．在R上单调递增 B．对恒成立

C．不存在正实数a，使得函数为奇函数 D．方程只有一个解

【答案】B

【分析】对求导，研究在、上的符号，结合指数幂的性质判断零点的存在性，进而确定单调性区间、最小值，进而判断A、B的正误；利用奇偶性定义求参数a判断C；由、即可排除D.

【详解】由，而，

当时，即上递增，且恒成立；

而，令，可得，所以使，

综上，上，递减；上，递增；故在R上不单调递增，A错误；

所以时，有最小值，而，，

所以，故恒成立，B正确；

令为奇函数且，则恒成立，

所以恒成立，则满足要求，C错误；

显然，故为一个解，且，即为另一个解，显然不止有一个解，D错误.

故选：B

【点睛】关键点点睛：A、B判断注意分类讨论的符号，结合指数幂的性质确定导函数的零点位置，C、D应用奇偶性定义得到等式恒成立求参、特殊值法直接确定的解.

10．如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与时间（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”为无人机在时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据速度差函数的定义，分四种情况，分别求得函数解析式，从而得到函数图像.

【详解】由题意可得，当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”；

当时，无人机做匀速运动，，“速度差函数”；

当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”；

当时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”，结合选项C满足“速度差函数”解析式，

故选：C.

二、填空题

11．已知且，则＝______．

【答案】

【分析】∵，，∴，故，故答案为.

12．已知向量，若，则____________．

【答案】

【分析】根据向量共线定理，结合其坐标表示列方程组求参数即可.

【详解】由题设且，则，解得.

故答案为：

13．在平面直角坐标系中，角以为始边，的终边过点，若的终边绕原点按逆时针方向旋转得到角，则的值为____________．

【答案】

【分析】根据题意，求出，进而求出，利用即可求解.

【详解】由已知得，角以为始边，的终边过点，可得，又由为第二象限角，故，

故答案为：

14．设数列的前项和为，，．给出下列四个结论：

①是递增数列；                     ②都不是等差数列；

③当时，是中的最小项；     ④当时，．

其中所有正确结论的序号是____________．

【答案】③④

【分析】利用特殊数列排除①②，当时显然有，对数列递推关系变形得到，再判断③④即可.

【详解】当数列为常数列时，，不是递增数列，是公差为的等差数列，①②错误；

当时，，显然有，所以，又因为，所以由递推关系得，

所以，故数列是递增数列，是中的最小项，③正确；

当时，由③得，所以由基本不等式得，

当且仅当时等号成立，所以，所以，④正确.

故选：③④.

三、双空题

15．已知函数若的值域为R，则a的一个取值为____________；若是R上的增函数，则实数a的取值范围是____________．

【答案】     0（）；    

【分析】①的值域为R等价于的值域包含，即，由导数法，对分别讨论、、下的最大值即可；

②是R上的增函数，则等价于单调递增且，单调递增等价于在恒大于等于0，分别讨论、即可

【详解】①值域为R等价于的值域包含，即，由，

当时，，单调递增，即有，故有，解得或；

当时，由得，由得，

故当，，单调递增，即有，故有，解得；

当，时，，单调递增，，，单调递减，即有，故有恒成立，故；

综上，的值域为R时，

②若是R上的增函数，等价于单调递增且，解得或，

由单调递增即在恒大于等于0得，

当，，得或；

当，

综上，或.

故答案为：0（）；

四、解答题

16．已知函数．

(1)求函数的最小正周期；

(2)求不等式的解集．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式化简，再利用最小正周期公式求解即可；

（2）由正弦函数的图像和性质求解即可.

【详解】（1）由题意得，

所以的最小正周期.

（2）由（1）得，

当时，，解得，

即不等式的解集为.

17．已知数列的前n项和为，且满足．

(1)若成等比数列，求m的值；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由题意是公差为2的等差数列，根据已知求并写出通项公式，再根据等比中项性质列方程求参数；

（2）由（1）得，应用分组求和，结合等差等比前n项和公式求.

【详解】（1）由题设，故是公差为2的等差数列，

所以，即，得，

所以，又，则，即.

（2）由（1）知：，

所以.

18．在中，．

(1)求；

(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知，使得存在且唯一确定时，求的面积．

条件①：；

条件②：边上的高为2；

条件③：．

【答案】(1)；

(2)选择①，面积为；选择②，三角形不唯一；选择③，面积为.

【分析】（1）利用余弦的二倍角公式，结合已知条件，即可求得结果；

（2）利用正余弦定理，结合三角形多解情况的判断，以及三角形面积公式，对每种选择进行逐一求解即可求得结果.

【详解】（1），即，

又，即，故可得，又，

故.

（2）选择①：，

即，由余弦定理可得，

解得，此时存在，且唯一确定，

其面积；

选择②：边上的高为2，

即，，因为，

故三角形有两解，不唯一；

选择③：，

故可得，则，

故，，由余弦定理，

解得或（舍），

此时三角形存在且唯一确定，

其面积.

19．已知函数．

(1)求导函数的零点；

(2)求的最大值与最小值．

【答案】(1)为导函数的零点；

(2)最大值为，最小值为.

【分析】（1）由题设，结合正弦型函数性质及其定义域求零点即可；

（2）由（1）确定单调性，进而求其最值.

【详解】（1）由题设，

令，即，又，故，

所以，可得，故为的零点.

（2）由（1）知：上，即上递减；

上，即上递增；

所以极小值，也是最小值为，

又，

所以最大值为，

综上，的最大值为，最小值为.

20．已知函数．

(1)当时，求函数在点处的切线方程；

(2)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围；

(3)讨论函数的零点个数．

【答案】(1)；

(2)；

(3)时，有1个零点，时，有3个零点

【分析】（1）由导数法求切线即可；

（2）函数在区间上单调递增等价于在上恒成立，即在上恒成立，由均值不等式求最小值即可；

（3）当，由（2）中在区间上单调递增可得有1个零点，当，由导数法讨论的单调性，再结合零点存在定理判断即可

【详解】（1），，，当时，，故函数在点处的切线方程为；

（2）函数在区间上单调递增等价于在上恒成立，即在上恒成立，

∵，当且仅当即时成立，故实数a的取值范围为；

（3）由（2）得，当，函数在区间上单调递增，又，故有1个零点；

当，令，由得，，

，，

由二次函数性质，在，，；在，，；在，，，

∴在，单调递增，在单调递减，

又，∴，，

又，，

∴有3个零点

【点睛】（1）含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.

 一般将参数分离出来，用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起，用导数法对参数分类讨论.

当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式.

（2）含参函数零点个数问题，

 i. 一般对参数分类讨论，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理判断；

ii. 将参数分离出来，用导数法讨论不含参数部分的单调性，由数形结合，转化成两个图象交点的问题；

21．若数列的子列均为等差数列，则称为k阶等差数列．

(1)若，数列的前15项与的前15项中相同的项构成数列，写出的各项，并求的各项和；

(2)若数列既是3阶也是4阶等差数列，设的公差分别为．

（ⅰ）判断的大小关系并证明；

（ⅱ）求证：数列是等差数列．

【答案】(1)的各项为：4，16，28，40；的各项和为：

(2)（ⅰ）,证明见解析；（ⅱ）证明见解析；

【分析】（1）根据题意，利用枚举法，即可求解；

（2）（ⅰ）根据题意，均为等差数列，通过等量代换找到的关系即可；

（ⅱ）均为等差数列，由（ⅰ）得，设，进而利用等量代换关系，得到，进而可以递推，得到，即可证明数列是等差数列

【详解】（1），，，

前15项分别为：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43；

前15项分别为：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60；

的各项为：4，16，28，40；的各项和为：；

（2）（ⅰ）由已知得，均为等差数列，数列既是3阶也是4阶等差数列，故也为等差数列，

：，设公差为，

：，故，

：，故，

：，故，

故.

（ⅱ）数列既是3阶也是4阶等差数列，

均为等差数列，由（ⅰ）得，设，

对于，有，，

对于，有，对于，有，

对于，有，

，，，整理得，

，，

故；

；

所以，，故，，

所以，数列是等差数列