精品解析：北京市大兴区2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2023北京大兴高一（下）期中

数    学

第一部分 （选择题   共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 复数（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的乘法法，准确计算，即可求解.

【详解】由复数的运算法则，可得.

故选：D.

2. （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由二倍角的正弦公式求解即可.

【详解】 .

故选：B.

3. 已知向量，，若，则（    ）

A.  B.  C. 4 D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】根据平面向量共线的坐标表示即可求解．

【详解】由，则，得.

故选：B．

4. 函数的最小正周期是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】化简解析式，由此求得的最小正周期.

【详解】，最小正周期为.

故选：B

5. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可解出，则可得到复平面内对应的点的坐标为.

【详解】因为，所以，

从而复平面内对应的点的坐标为，

故选：C.

6. 设平面向量，，均为非零向量，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.

【详解】由，得，得；反之不成立.

故“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】本题主要考查判断命题的必要不充分条件，涉及向量数量积，属于基础题型.

7. 在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于轴对称，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题意，求出与的关系，再运用二倍角余弦公式求解.

【详解】由题意作下图：

，；

故选：D.

8. 中，，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据余弦定理求得，结合三角函数的基本关系式，利用，即可求解.

【详解】因为，由余弦定理可得，

又，则，

又因为，所以.

故选：A.

9. 已知是边长为的等边三角形，是边上的动点，是边的中点，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用基底的思路结合共线向量表示出，然后根据的取值范围计算即可.

【详解】 

设，则，

，

所以的取值范围为.

故选：C.

10. 已知函数部分图象如图，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先结合已知条件和图像求出的解析式，然后利用函数的对称关系求出与之间的关系式，然后通过求出，进而即可求出.

【详解】结合题意可知，，

∵，∴，

又由图像可知，，

又由，即，即，，

从而，故，

令，，

从而的对称轴为，，

由图像可知，与关于对称，即，且，

因为，

所以.

故选：C.

第二部分 （非选择题   共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 复数的共轭复数为_______

【答案】

【解析】

【分析】根据共轭复数定义直接写出已知复数的共轭复数即可.

【详解】由共轭复数得定义：复数的共轭复数为.

故答案为：

12. 已知平面向量满足，，且与的夹角为，则_________．

【答案】

【解析】

【分析】利用平面向量数量积运算公式进行出，从而求出.

【详解】，

故.

故答案为：

13. 在中，若，则_____．

【答案】##

【解析】

【分析】利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后利用同角三角函数的关系可求得结果.

【详解】因为，

所以由正弦定理得，

因为，所以，

所以，

所以，

因为，

所以，

故答案为：

14. 已知，，，，点满足，点满足，则_____，_____．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】先确定D，E点的位置，再根据数量积的运算规则求解.

【详解】由题意作下图：

其中点D是BC的中点，点E是AD的中点；

，，

，

；

故答案为：，.

15. 已知函数，给出下列四个结论：

①为奇函数；

②在区间内有2个零点；

③的周期是；

④的最大值为．

其中所有正确结论的序号是_________．

【答案】②④

【解析】

【分析】根据三角函数的有关性质逐项分析.

【详解】对于①，，不是奇函数，错误；

对于②，，令，

，解得，对应的x值分别在第三象限和第四象限有一个，正确；

对于③，，错误；

对于④，由②的分析知，的最大值为，正确；

故答案为：②④.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 已知，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求出，再根据两角差的正弦公式求解；

（2）先求出，再根据两角差的正切公式求解.

【小问1详解】

因为，，所以，

所以；

【小问2详解】

因为，

，

所以，

所以.

17. 已知复数，为虚数单位．

（1）若，求的值；

（2）若为实数，求的值；

（3）若是关于的实系数方程的一个复数根，求的值．

【答案】（1）0    （2）1   

（3）或

【解析】

【分析】（1）直接列方程求解即可；

（2）把代入化简，然后由虚部为零，可求出的值；

（3）把代入方程化简，然后列方程组可求出的值．

小问1详解】

因为，所以.

【小问2详解】

因为为实数，

所以，解得.

【小问3详解】

因为是关于的实系数方程的一个复数根，

所以，

整理得，

所以，

解得或.

18. 已知函数，再从条件①､条件②､条件③中选择一个作为已知.

条件①：函数的图象经过点；

条件②：函数图象可由函数的图象平移得到；

条件③：函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为.

注：如果选择条件①､条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.

（1）求的解析式；

（2）求的单调递增区间；

（3）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）化简函数得，

若选①，则把代入函数中可求出的值，则可求出解析式，

若选②，则由三角函数图象平移规律可求出的值，

若选③，则，求出周期，再利用周期公式可求出的值；

（2）由可求出函数的单调增区间；

（3）利用正弦函数的性质求出在上的最大值，从而可求出实数的取值范围.

【小问1详解】

,

选①：函数的图象经过点，则，

所以，则.

由，可得，则；

选②：函数的图象可由函数的图象平移得到，

即的图象可由函数的图象平移得到，

则，则

选③：函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，

则函数的最小正周期为，故，

故.

【小问2详解】

令,因为的单调递增区间是，

且由，得.

所以，的单调递增区间是.

【小问3详解】

当时，,则，

故，

又当时，关于的不等式恒成立，故,

即实数的取值范围为.

19. 如图，在中，，，，点在边的延长线上，且.

（1）求；

（2）求的周长．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）在中，利用正弦定理即可求解；

（2）由（1）可求得，在中，利用余弦定理可求，从而可求的周长.

【小问1详解】

在中，由正弦定理，

又，，，

所以.  

因为，所以或.

若，则，与三角形两角和定理矛盾，故舍去，

所以.

【小问2详解】

在中，因为

所以是直角三角形，又，，

所以，

又因为，所以，

因为，

所以在中，由余弦定理

得，所以，

所以，的周长为.

20. 在△ABC中，．

（1）求B的值；

（2）给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：

（i）求的值；

（ii）求∠ABC的角平分线BD的长．

【答案】（1）   

（2）正确条件为①③，（i），（ii）

【解析】

【分析】（1）利用和角正弦公式可得，结合三角形内角和性质即可求B的值；

（2）根据条件组合判断出正确条件为①③，（i）应用余弦定理、三角形面积公式求各边长，最后由正弦定理求；

（ii）由角平分线性质求得，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式求出，再根据正弦定理求BD的长．

【小问1详解】

由题设，

而，

所以，故；

【小问2详解】

若①②正确，则，得或，

所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，

若②③正确，则，可得，即②为错误条件，

综上，正确条件为①③，

（i）由，则，即，

又，可得，

所以，可得，则，

故；

（ii）因为且，得，

由平分得，

在中，，

在中，由，得．

21. 在中，.

（1）设点为边靠近点的三等分点，，求的值；

（2）设点是线段的等分点，其中，.

（i）当时，求的值；（用含的式子表示）

（ii）求的值．（用含的式子表示）

【答案】（1）   

（2）（i）；（ii）

【解析】

【分析】（1）根据，结合点为线段靠近点的三等分点，列出方程，即可求解；

（2）（i）根据题意得到，即可求解；

（ii）对任意正整数，得到 ， ，进而得到，，…,分为奇数和为偶数，两种情况讨论，即可求解.

【小问1详解】

解：因为，

而点为线段靠近点的三等分点，所以 ，所以，

所以.

【小问2详解】

解：（i）由题意得，,,

,,

所以.

所以.

（ii）对任意正整数，且，，,

由 ， ，

所以，

所以，，，

当为奇数时，，

当为偶数时，

所以，，.

所以

.