2023届北京市第十四中学高三上学期期中检测数学试题含解析

2023届北京市第十四中学高三上学期期中检测数学试题

一、单选题

1．若集合，且，则集合可能是

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】由子集的概念易知只有选项A中集合可能为集合的子集．故选A．

2．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】令且即可求解.

【详解】由题意得：得且，

所以函数的定义域为，

故选：B

【点睛】本题主要考查了求函数的定义域，属于基础题.

3．已知向量，，若与共线，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】可求出，然后根据与共线即可得出，然后解出的值即可．

【详解】解：，，且与共线，

，解得．

故选：．

4．将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据图像平移即得解析式.

【详解】由题意可知，

故选：B．

5．已知是上的奇函数，当时,,则的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用函数的奇偶性，得到，进而得到或，进而求解即可

【详解】是上的奇函数，当时,，令,则有，则当时，，所以，

，所以，当或，

解得

故选：C

6．下列区间中，包含函数的零点的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可；

【详解】解：因为，所以在定义域上单调递增，

又，，，

所以，所以，使得，即的零点位于；

故选：B

7．已知三角形，那么“”是“三角形为锐角三角形”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】在不等式两边平方并化简得，判断出角的属性，再结合充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】三角形中，“”，可得为锐角，此时三角形不一定为锐角三角形.

三角形为锐角三角形为锐角.

三角形，那么“”是“三角形为锐角三角形”的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】本题考查必要而不充分条件的判断，同时也考查了平面向量数量积的应用，考查推理能力，属于中等题.

8．若函数在 一个周期内的图象如图所示，分别是这段图象的最高点和最低点，且（为坐标原点），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据图象求出函数的周期，再求出的值，根据周期设出和的坐标，利用向量的坐标运算求出的值．

【详解】解：由图知，则，

设，则，

解得，所以．

故选D．

【点睛】本题考查了由函数图象求出函数解析式的方法，考查向量的数量积的计算，考查了读图能力．

9．在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱AB，的中点.点P为线段EF上的动点.则下面结论中错误的是（    ）

A． B．平面

C． D．是锐角

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量解决问题.

【详解】以D为坐标原点，分别以DA，DC，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，

则，，

，，

所以，A正确；

因为，平面，平面，

所以平面，B正确；

，

所以，

所以，C正确；

，

当时，，

此时为钝角，故D错误.

故选：D

10．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作）的乘积等于常数．已知pH的定义为，健康人体血液的pH保持在7．35～7．45之间，那么健康人体血液中的可以为（参考数据： ， ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由题设有，又 ，所以，所以．又，只有在范围之中，故选C．

点睛：利用之间的关系把转化为，再利用指对数的关系求出，从而得到的范围，依次检验各值是否在这个范围中即可．

二、填空题

11．若的两个极值点为，，则______.

【答案】0

【分析】利用导数，求出函数的极值点即可得解.

【详解】由可得，

令解得或，令解得，

所以在和上单调递增，在上单调递减，

所以函数的极值点为和，则.

故答案为：0

12．已知平面和三条不同的直线m，n，l.给出下列六个论断：①；②；③；④；⑤；⑥.以其中两个论断作为条件，使得成立.这两个论断可以是______.（填上你认为正确的一组序号）

【答案】①④（或③⑥）

【解析】根据空间中直线，平面的位置关系进行判断即可.

【详解】对①④，由线面垂直的性质定理可知，若，，则，故可填①④

对①⑤，若，，则；

对①⑥，若，，则无法判断的位置关系；

对②④，若，，则；

对②⑤，若，，则可能相交，平行或异面；

对②⑥，若，，则无法判断的位置关系；

对③④，若，，则无法判断的位置关系；

对③⑤，若，，则无法判断的位置关系；

对③⑥，由平行的传递性可知，若，，则，故可填③⑥

故答案为：①④（或③⑥）

【点睛】本题主要考查了判断空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，属于中档题.

三、双空题

13．已知，且. 则=_________，=_________.

【答案】         

【解析】利用同角三角函数的基本关系求出，，再利用两角差的正切公式计算可得；

【详解】解：因为，且，所以，所以，所以

故答案为：，

14．在中，，，则________；________.

【答案】     6    

【分析】根据的余弦定理列出关于的方程，由此求解出的值；先根据二倍角公式将变形为，然后根据正弦定理以及的值即可计算出的值.

【详解】因为，所以，

所以，所以（舍去），

所以，

故答案为：；.

【点睛】关键点点睛：解本题第二空的关键是通过正弦二倍角公式先转化为单倍角的三角函数，然后结合正弦定理将正弦值之比转化为边长之比，对于公式运用以及转化计算有着较高要求.

15．已知函数.①若，则函数的零点有______个；②若存在实数，使得函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是______.

【答案】     2    

【分析】空1：通过分类讨论解方程判断零点个数；空2：根据题意可得与有3个交点，在同一坐标系作出与的图象，分类讨论结合图象分析求解.

【详解】空1：若，则函数，

令，则有：

当时，，解得或或（舍去）；

当时，，解得（舍去）；

故函数的零点为，共2个.

空2：对于函数，则，

令，则

∴在上单调递增，在上单调递减，且，

令，则，

由题意可得：与有3个交点，

如图，在同一坐标系作出与的图象，则有：

当时，存在，使得与有3个交点，即成立；

当时，与至多有2个交点，即不成立；

当时，存在，使得与有3个交点，即成立；

当时，与至多有2个交点，即不成立；

故实数的取值范围是.

故答案为：2；.

【点睛】判断函数零点个数的方法：

(1)直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数；

(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点；

(3)数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

四、解答题

16．如图，在三棱柱中，平面为线段上的一点.

(1)求证：；

(2)若为线段上的中点，求直线与平面所成角大小.

【答案】(1)证明见解析，

(2)

【分析】（1）由题意可得两两垂直，所以以为原点，分别以所在的直线为建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可，

（2）先求出平面的法向量，然后利用空间向量的夹角公式求解即可.

【详解】（1）证明：因为平面，平面，

所以，

因为，所以两两垂直，

所以以为原点，分别以所在的直线为建立空间直角坐标系，如图所示，

则,

设，

所以，

所以，

所以，

所以

（2）因为为线段上的中点，所以，

所以，,

设平面的法向量为，则

，令，则，

设直线与平面所成角为，则

，

因为，所以，

所以直线与平面所成角的大小为.

17．已知函数.

(1)求的值；

(2)求的最小正周期及对称轴方程；

(3)求在区间上的单调递增区间.

【答案】(1)1；

(2)最小正周期为，对称轴方程为；

(3)和.

【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，从而求得的值；

（2）利用正弦函数的周期性及对称性即得；

（3）利用正弦函数的单调性结合条件即得；

【详解】（1）因为 ，

所以；

（2）因为，

所以的最小正周期为，

由，可得，

所以函数的对称轴方程为；

（3）由，可得 ，

即函数的单调递增区间为，

又，

所以在上的单调递增区间有和.

18．开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程.某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：

假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立.

(1)从样本中抽1人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率；

(2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望；

(3)在（2）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小.（直接写结果）

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

(3)

【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算即可求解；

（2）根据题意可得的可能取值为，求出所对应的概率，即可列出分布列，利用随机变量的期望公式即可求解；

（3）根据已知条件得出，再利用方差的性质即可求解.

【详解】（1）依题意支持方案二的学生中，男生有人、女生人，所以抽到的是女生的概率.

（2）记从方案一中抽取到女生为事件，从方案二中抽取到女生为事件，

则，，

则的可能取值为、、，

所以，

，   

所以的分布列为：                                     

所以.

（3）依题意可得，所以，

即.

19．在平面直角坐标系中，设锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点.记.

(1)求函数的值域；

(2)设的角，，所对的边分别为，，，若，，求面积的最大值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由任意角三角函数的定义，利用辅助角公式，根据正弦函数的性质，可得答案；

（2）由题意，求得角的值，利用余弦定理以及基本不等式，结合三角形面积公式，可得答案.

【详解】（1）由题意，得，所以，

因为，所以，故.

（2）因为，，所以，

在中，由余弦定理得，

即，即，当且仅当a=b时取等号，

所以.

20．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数的单调区间；

(3)当时，如果曲线恒在轴上方，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)见解析

(3)

【分析】（1）由导数的几何意义求解，

（2）由导数与单调性的关系求解，

（3）由题意得不等式在上恒成立，参变分离后转化为最值问题求解，

【详解】（1）时，，

故，

故切线方程是：，即；

（2），

①当时，由于，故，∴，

∴的单调递增区间为，无单调减区间；

②当时，令，得，

在区间上，；在区间上，；

∴的单调递增区间为，单调递减区间为；

综上，当时，的单调递增区间为，无单调减区间；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

（3）由题意知在上恒成立，即在上恒成立，

令，

则，

令，解得：；令，解得：；

故在递增，在递减，

而，

∴在上，

故，即a的范围为

21．已知椭圆的离心率为，且椭圆C经过点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程;

（Ⅱ）已知过点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，与直线交于点Q，设，，求证：为定值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析

【解析】（Ⅰ）由离心率得，由椭圆过一点．得，两者结合可解得，得椭圆方程；

（Ⅱ）设直线方程为，设，直线方程代入椭圆方程后可得，由，，把用表示，然后计算并代入即可得证．

【详解】（Ⅰ）由题意，解得，

∴椭圆方程为；

（Ⅱ）易知直线斜率存在，设其方程为，设，

由，消元整理得，

∴，，

把代入得，即，

由，得，，

由，得，，

∴，

∴为定值．

【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设直线方程为，设，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理求得，把它代入题中需求的量化简可得结论．