2022-2023学年上海市向明中学高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年上海市向明中学高二下学期期中数学试题

一、填空题

1．过，的直线的斜率为______．

【答案】1

【分析】根据斜率公式运算求解.

【详解】由题意可得：.

故答案为：1.

2．椭圆的长轴长为______．

【答案】8

【分析】根据椭圆方程分析运算.

【详解】由题意可得：，

所以长轴长.

故答案为：8.

3．抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程是______．

【答案】

【分析】根据题意求，进而可得结果.

【详解】由题意可得：，则，

所以抛物线的标准方程是.

故答案为：.

4．函数的导函数为______．

【答案】

【分析】根据复合函数的导函数运算求解.

【详解】由题意可知：，

所以.

故答案为：.

5．函数的零点为____________.

【答案】

【分析】令，根据余弦函数的性质，即可求得答案

【详解】令，解得.

故答案为：

6．双曲线经过两点，，则双曲线的标准方程是______．

【答案】

【分析】设双曲线的方程为，根据题意列式求解即可.

【详解】设双曲线的方程为，

由题意可得：，解得，

所以双曲线的标准方程是.

故答案为：.

7．已知直线与直线平行，则___________.

【答案】

【分析】由两直线平行，可得，即可求解.

【详解】由得，，则，

故答案为：

8．已知，则曲线在处的切线方程为______．

【答案】

【分析】运用导数几何意义求切线斜率，再结合直线点斜式方程可得结果.

【详解】因为，

所以，

又因为，

所以切线方程为，即：.

故答案为：.

9．方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为______．

【答案】

【分析】根据椭圆方程分析运算.

【详解】由题意可得且，

若表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，

所以实数k的取值范围为.

故答案为：.

10．已知双曲线，过双曲线C上任意一点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，则的最小值为______.

【答案】/

【分析】先由双曲线的标准方程求得其渐近线方程，再利用点线距离公式及双曲线的几何性质求得的范围，从而得解.

【详解】因为双曲线，所以双曲线的渐近线方程为，

设是双曲线上任意一点，则，

所以，则，

由点线距离公式得，

两边平方得

，

所以，即的最小值为.

故答案为：.

11．若P，Q分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为________．

【答案】/

【分析】设点，圆心，的最小值即为的最小值减去圆的半径，求出的最小值即可得解．

【详解】依题可设，圆心，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知，

的最小值即为的最小值减去半径．

因为，，

设，

，由于恒成立，

所以函数在上递减，在上递增，即，

所以，即的最小值为．

故答案为：．

12．设函数有两个不同的极值点，，且对不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【详解】试题分析：因为,故得不等式,即,

由于,令得方程,因 , 故，代入前面不等式,并化简得,解不等式得或，因此, 当或时, 不等式成立,故答案为.

【解析】1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.

【思路点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值点、韦达定理及高次不等式的解法，属于难题.要解答本题首先利用求导法则求出函数的到函数，令考虑判别式大于零，根据韦达定理求出的值，代入不等式，得到关于的高次不等式，再利用“穿针引线”即可求得实数的取值范围.

二、单选题

13．经过点，且方向向量为的直线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由直线方向向量可得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果.

【详解】直线的方向向量为，直线的斜率，

直线的方程为，即.

故选：A.

14．圆上到直线距离为的点有（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个

【答案】B

【分析】求出圆心到直线的距离，再结合图象分析可得结果.

【详解】因为化为标准方程为，

所以圆心，圆的半径，

又因为圆心C到直线的距离为，

所以，

所以过圆心平行于直线的直线与圆有2个交点，另一条与直线的距离为的平行线与圆相切，只有1个交点，如图所示，

所以圆C上到直线的距离为的点共有3个.

故选：B.

15．定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（    ）

A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减

C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值

【答案】C

【分析】根据函数的单调性和函数的导数的值的正负的关系，可判断A,B的结论;根据函数的极值点和函数的导数的关系可判断、的结论．

【详解】函数在上，故函数在上单调递增，故正确；

根据函数的导数图象，函数在时，，

故函数在区间上单调递减，故正确；

由A的分析可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故错误；

根据函数的单调性，在区间上单调递减，在上单调递增，

故函数在处取得极小值，故正确，

故选：

16．考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆：上，且其中恰有两个顶点为的顶点．这样的等腰三角形的个数为（    ）

A．8 B．12 C．16 D．20

【答案】D

【分析】对椭圆顶点连线是等腰三角形的腰还是底，进行讨论即可求出结果.

【详解】因为椭圆的方程为，所以，

①

如图1连接，当为等腰三角形的底时，

作的垂直平分线交椭圆于两点，

连接，

则此时为等腰三角形，满足题意；

同理当为等腰三角形的底时，

也可以各作出2个满足题意的等腰三角形；

②

如图2连接，当为等腰三角形的腰时，

以为圆心，为半径作圆，

则圆的方程为，

联立，解得或或，

即圆与椭圆交于，连接，

则此时为等腰三角形，满足题意；

同理当为等腰三角形的腰时，

也可以各作出2个满足题意的等腰三角形；

③

如图③，以为圆心，为半径作圆，

同理可以证明圆与椭圆交于，

连接，

则此时为等腰三角形，满足题意；

④

如图④，以为圆心，为半径作圆，

同理可以作出2个等腰三角形；

⑤因为由于椭圆性质知为椭圆最长弦，所以它不能为等腰三角形的腰；

综上所述满足题意的等腰三角形的个数有20个.

故选：D.

【点睛】多种情况的题目需要对情况进行详细讨论，做到不重不漏.

三、解答题

17．若圆C经过点和，且圆心C在直线上，求圆C的方程.

【答案】

【详解】因为,AB中点为(0，－4)，所以AB中垂线方程为y+4=－2x，即2x+y+4=0，解方程组得

所以圆心C为(－1，－2).根据两点间的距离公式，得半径r=,

因此，所求的圆C的方程为.

18．设抛物线的焦点为F，过F作直线l与 C交于A、B两点．

(1)若弦长，求直线l的方程；

(2)求证：当直线轴时，的面积最小．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）联立直线与抛物线方程，运用韦达定理及抛物线的焦点弦公式可求得结果.

（2）由韦达定理及三角形面积公式可得，转化为求此函数的最小值即可.

【详解】（1）如图所示，

设，,

因为直线l过焦点，

所以直线l的方程为，

联立，

所以，，

所以，

由抛物线的定义知，，

又因为，

所以，解得：，

所以直线l的方程为：.

（2）如图所示，

证明：由（1）知，，，

所以，

所以当时，△的面积取得最小值2，此时直线轴.

19．设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，

（1）若的周长为16，求；

（2）若，求椭圆的离心率.

【答案】（1）；（2）.

【详解】试题分析：（1）由题意可以求得，而的周长为，再由椭圆定义可得.故.（2）设出，则且.根据椭圆定义以及余弦定理可以表示出的关系，从而，，则，故，为等腰直角三角形.从而，所以椭圆的离心率.

（1）由，得.因为的周长为，所以由椭圆定义可得.故.

（2）设，则且.由椭圆定义可得.

在中，由余弦定理可得，即，化简可得，而，故.于是有.因此，可得，故为等腰直角三角形.从而，所以椭圆的离心率.

【解析】1.椭圆的定义；2.椭圆的离心率求解.

20．已知函数和．

(1)当时，求证：是方程的唯一实根；

(2)若对任意，函数的图像总在函数图像的上方，求实数m的取值范围．

【答案】(1)详见解析；

(2)

【分析】（1）先利用导数求得有唯一零点，进而证得是方程的唯一实根；

（2）先将题给条件转化为在上恒成立，按m分类讨论并利用导数求得的单调性和极值，进而求得实数m的取值范围．

【详解】（1）令，

则，

则在上为减函数，又，

则有唯一零点，则当时，

是方程的唯一实根.

（2）对任意，函数的图像总在函数图像的上方，

则在上恒成立，

令，

则，

若时，在上恒成立，

则在上单调递减，又，

则恒成立，这与在上恒成立矛盾，不符合题意；

若时，方程的判别式

当即时，在上恒成立，

则在上恒成立，

则在上单调递增，又，

则在上恒成立，即对任意，

函数的图像总在函数图像的上方；

当即时，方程有两个不相等的实根，

设两根为，且，则，

则方程有两个不相等的正实根，且

则当时，，

则在上单调递减，又，

则在上，这与在上恒成立矛盾，不符合题意.

综上，实数m的取值范围为．

21．如图，在平面直角坐标系中，分别为双曲线Г：的左､右焦点，点D为线段的中点，直线MN过点且与双曲线右支交于两点，延长MD､ND，分别与双曲线Г交于P､Q两点.

(1)已知点，求点D到直线MN的距离；

(2)求证：；

(3)若直线MN､PQ的斜率都存在，且依次设为k1､k2.试判断是否为定值，如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)是定值.

【分析】（1）求得点坐标和直线的方程，由此求得到直线的距离.

（2）对的斜率是否存在进行分类讨论，由此证得结论成立.

（3）设出直线的方程并代入双曲线方程，求得的坐标，由此计算是定值.

【详解】（1），

所以，则，

直线的方程为，即，

所以到直线的距离为.

（2）直线的斜率不存在时，，

直线的斜率存在时，，，整理得.

综上所述，成立.

（3）依题意可知直线的斜率存在且不为，

设直线的方程为，代入双曲线并化简得：

①，

由于，则代入①并化简得：

，

设，则，代入，

得，即，

所以

，

所以是定值.