北师大版四年级数学上册第4单元 运算律 知识点单元讲义+经典例题（含解析）

这是一份北师大版四年级数学上册第4单元 运算律 知识点单元讲义+经典例题（含解析），共26页。


一、知识梳理
知识点一：买文具-四则混合运算顺序
（1）四则混合运算顺序
在没有括号的算式里，当只有加、减运算或乘、除运算时，按从左到右的顺序进行计算，既有加、减运算，又有乘、除运算时，要先算乘、除，再算加、减。
（2）含有中括号的四则混合运算
在一个算式里，如果既有小括号又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。
知识点二：运算律及其应用
加法交换律用字母表示为 a＋b＝b＋a；
加法结合律用字母表示为（a+b）+c=a+(b+c)
乘法交换律用字母表示为 a×b＝b×a
乘法结合律用字母表示为 (a×b) ×c=a×(b×c)
乘法分配律用字母表示为 (a+b) ×c=a×c+b×c
1.在连加计算中，运用加法的交换律和结合律可以让一些加法计算简便。
2.乘法结合律只适用于连乘运算，不可以在乘加或乘减运算中运用。
3.乘法分配律可以正用，也可以逆用。如果a×c和b×c计算简便时，可以先算a×c和b×c，再把两个积相加；如果a＋b的和正好是整十、整百、整千数时，可以用(a＋b)×c来计算。
4.运用乘法分配律进行计算时，两个加数要分别与括号外的数相乘，然后再把两个积相加。
二、精讲精练
四则混合运算顺序
【例1】算一算，填一填．
54÷（15﹣9）
＝　54　〇　6　
＝　9　
（11﹣3）×7
＝　8　〇　7　
＝　56　
（80﹣48）÷8
＝　32　〇　8　
＝　4　
我知道：算式里有括号的，要先算　括号里面的　．
【思路分析】（1）先算小括号里面的减法，再算除法；
（2）先算小括号里面的减法，再算乘法；
（3）先算小括号里面的减法，再算除法；
根据四则混合运算的顺序可知：算式里有括号的，要先算括号里面的．
【规范解答】解：（1）54÷（15﹣9）
＝54÷6
＝9
（2）（11﹣3）×7
＝8×7
＝56
（3）（80﹣48）÷8
＝32÷8
＝4
我知道：算式里有括号的，要先算括号里面的．
故答案为：54，÷，6，9；8，×，7，56；32，÷，8，4；括号里面的．
【名师点评】本题考查了简单的四则混合运算，关键是理清楚运算的顺序，然后根据运算顺序逐步求解即可．
1．把下面每组算式合并成一个综合算式．
（1）45﹣9＝36
36÷6＝6
　（45﹣9）÷6　
（2）4+5＝9
63÷9＝7
　63÷（4+5）　
【思路分析】（1）先用45减去9求出差，再用求出的差除以6即可；
（2）先用4加上5求出和，再用63除以求出的和即可．
【规范解答】解：（1）45﹣9＝36
36÷6＝6
（45﹣9）÷6；
（2）4+5＝9
63÷9＝7
63÷（4+5）
故答案为：（45﹣9）÷6，63÷（4+5）．
【名师点评】解决这类题目，要分清楚先算什么，再算什么，根据运算顺序列出综合算式，注意合理利用小括号．
2．（2019秋•邛崃市期末）650减去132与37的和，正确的列式是　650﹣（132+37）　．
【思路分析】先用132加上37求出和，再用650减去求出的和即可．
【规范解答】解：650减去132与37的和，正确的列式是：
650﹣（132+37）．
故答案为：650﹣（132+37）．
【名师点评】这类型的题目要分清楚数量之间的关系，先求什么再求什么，找清列式的顺序，列出算式求解．
3．（2020春•丰城市月考）计算98+15×（34﹣19），应该先算　减　法，再算　乘　法，最后算　加　法．
【思路分析】计算四则混合运算时，要按照运算顺序，先算乘除，后算加减，同一级运算，按从左到右的运算顺序计算，有括号的先算括号里面的，再算括号外面的，如果既含有小括号又含有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的．据此解答即可．
【规范解答】解：计算98+15×（34﹣19），应该先算减法，再算乘法，最后算加法．
故答案为：减；乘；加．
【名师点评】解答本题关键是掌握四则混合运算的运算顺序．
运算律及其应用
【例2】根据乘法结合律，在横线里填上适当的数．
9×25×4＝9×（　25　×　4　）
25×48×　4　＝48×（4×　25　）
（80×25）×　8　＝80×（　25　×8）
125×（8×　14　）＝（125×　8　）×14
25×8×4×125＝（　4　×25）×（125×　8　）
【思路分析】根据乘法结合律的意义，（ab）c＝a（bc），据此解答即可．
【规范解答】解：9×25×4＝9×（25×4）
25×48×4＝48×（4×25）
（80×25）×8＝80×（25×8）
125×（8×14）＝（125×8）×14
25×8×4×125＝（4×25）×（125×8）
故答案为：25，4；4，25；8，25；14，8；4，8．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握乘法结合律的意义，并且能够灵活运用乘法结合律进行简便计算．
1．25+18＝18+　25　
298+73＝　73　+　298　
【思路分析】根据加法交换律的意义，a+b＝b+a，据此解答即可．
【规范解答】解：25+18＝18+25
298+73＝73+298
故答案为：25；73，298．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握加法交换律的意义及应用．
2．（2020春•洪泽区校级期中）仔细观察，你能发现其中的秘密吗？请利用你的发现写一写．
（1）28×21＝28×20+28＝560+28＝588
35×21＝　35　×20+　35　＝　700　+　35　＝　735　
（2）28×29＝28×30﹣28＝840﹣28＝812
35×29＝　35　×30﹣　35　＝　1050　﹣　35　＝　1015　
【思路分析】（1）28×21，转化为：28×（20+1），运用乘法分配律简算；
35×21，转化为：35×（20+1），运用乘法分配律简算；
（2）28×29，转化为：28×（30﹣1），运用乘法分配律简算；
35×29，转化为：35×（30﹣1），运用乘法分配律简算；
【规范解答】解：（1）（1）28×21＝28×20+28＝560+28＝588
35×21＝35×20+35＝700+35＝735；
（2）（2）28×29＝28×30﹣28＝840﹣28＝812
35×29＝35×30﹣35＝1050﹣35＝1015
故答案为：35、35、700、35、735；35、35、1050、35、1015．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握乘法分配律的意义，并且能够灵活运用乘法分配律进行简便计算．
3．（2020春•英山县期末）　55　+45＝55+　45　，这里运用了　加法交换律　，用字母表示是　a+b＝b+a　．
【思路分析】根据加法交换律的定义，两个加数相加交换加数的位置，和不变．
【规范解答】解：55+45＝55+45；
加法结合律用字母表示是：a+b＝b+a；
故答案为：55，45，加法交换律，a+b＝b+a．
【名师点评】考查了加法交换律的应用．
三、巩固提升
1．（2020春•济南期末）要使□×29+35×29能够简便计算，□里可填（　　）
A．29 B．30 C．71 D．65
【思路分析】此算式算式是乘加乘并且有公共因数29，适用于乘法分配律，若能简便运算，只要使另两个因数的和为整百数即可．
【规范解答】解：根据乘法分配律，结合四个选项，要使□×29+35×29能够简便计算，□里可填65．
故选：D．
【名师点评】此题考查乘法的分配律的应用，只要是乘加乘或乘减乘且有相同因数的算式都可以用乘法分配律进行简算．
2．（2020春•路北区期末）49×25×4＝49×（25×4）这是根据（　　）
A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．乘法结合律
【思路分析】在计算49×25×4时，因为25×4＝100，因此可运用乘法结合律简算．
【规范解答】解：49×25×4
＝49×（25×4）
＝49×100
＝4900
这是根据乘法结合律．
故选：C．
【名师点评】此题主要考查学生对运算定律的掌握与运用．
3．（2020春•阜平县期末）986﹣297的简便算法是（　　）
A．986﹣300﹣3 B．986﹣300+3 C．986﹣200﹣97
【思路分析】根据减法的速算方法，当减数接近整十、整百、整千…，把减数看作与它接近的整十、整百、整千数来减，多减去几，就再加上几．
【规范解答】解：986﹣297，
＝986﹣300+3，
＝686+3，
＝689；
故选：B．
【名师点评】此题主要考查减法的速算方法：多减去几，就再加上几．
4．（2020春•嵩县期末）101×87的简便算法是（　　）
A．100×87+1 B．100×87+100 C．100×87+87
【思路分析】把101化成100+1，再运用乘法的分配律进行简算即可．
【规范解答】解：101×87，
＝（100+1）×87，
＝100×87+1×87，
＝8700+87，
＝8787；
故选：C．
【名师点评】考查了整数乘法的分配律的运用．
5．（2020春•定陶区校级期中）101×76的简便算法是（　　）
A．100×76+1 B．100×76+100
C．100×76+1×76
【思路分析】根据乘法分配律的意义，（a+b）×c＝a×c+b×c，把101拆分为100+1，运用乘法分配律简便．
【规范解答】解：101×76
＝（100+1）×76
＝100×76+1×76
＝7600+76
＝7676
故选：C．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握乘法分配律的意义及应用．
6．（2020春•济南期末）与63×101的计算结果不相等的算式是（　　）
A．63×（100+1） B．63×100+1
C．63×100+63 D．63×1+63×100
【思路分析】根据乘法分配律的意义：两个数相加再乘另一个数，等于把这个数分别同两个加数相乘，再把两个积相加，得数不变解答．
【规范解答】解：63×101
＝63×（100+1）
＝63×100+63×1
＝63×100+63
所以与63×101的计算结果不相等的算式是63×100+1；
故选：B．
【名师点评】此题主要考查乘法分配律，熟记定律的内容是解决此题的关键．
7．（2019秋•西安期末）与63×99计算结果相等的是（　　）
A．63×99+1 B．63×100﹣1 C．63×99+63 D．63×100﹣63
【思路分析】简算63×99时，先把99分解成（100﹣1），再根据乘法分配律简算，由此求解．
【规范解答】解：63×99
＝63×（100﹣1）
＝63×100﹣63×1
＝63×100﹣63（与选项D相同）
＝6300﹣63
＝6237
故选：D．
【名师点评】乘法分配律是最常用的简便运算的方法，要熟练掌握，灵活运用．
8．（2020春•浑源县期末）下面三幅图中，（　　）不表示加法交换律．
A．
B．
C．
【思路分析】加法交换律：交换两个加数的位置，和不变，由此进行判断．
【规范解答】解：A：表示交换两段线段的位置，它们的长度和不变，符合加法交换律；
B：根据长方形的面积公式：（a+b）×c＝a×c+b×c，表示的是乘法的交换律，所以不符合加法的交换律；
C：表示交换两段线段的位置，它们的长度和不变，符合加法交换律；
故选：B．
【名师点评】本题考查了加法交换律的意义：交换两个加数的位置，和不变．
9．（2020春•鄄城县期末）55+45＝45+55，这里运用了加法　交换　律，用字母表示是　a+b＝b+a　．
【思路分析】根据加法交换律的定义，两个加数相加交换加数的位置，和不变．
【规范解答】解：根据加法的交换律有：55+45＝55+45；
用字母表示是：a+b＝b+a；
故答案为：交换，a+b＝b+a．
【名师点评】本题主要考查了加法交换律的意义．
10．用字母a、b表示加法交换律和乘法交换律．
加法交换律：　a+b＝b+a　．
乘法交换律：　ab＝ba　．
【思路分析】根据加法交换律的意义，a+b＝b+a，据此解答．
根据乘法交换律的意义，ab＝ba，据此解答．
【规范解答】解：加法交换律：a+b＝b+a．
乘法交换律：ab＝ba．
故答案为：a+b＝b+a；ab＝ba．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握加法交换律、乘法交换律的意义，并会用字母表示．
11．（2019春•沙雅县期末）118×（3+7）＝118×3+118×7运用了　乘法分配律　．
【思路分析】依据乘法分配律的意义：两个数相加再乘另一个数，等于把这个数分别同两个加数相乘，再把两个积相加，得数不变解答．
【规范解答】解：118×（3+7）
＝118×3+118×7
＝118×10
＝1180
运用了 乘法分配律．
故答案为：乘法分配律．
【名师点评】本题主要考查学生对于乘法分配律的理解和掌握．
12．（2019秋•临漳县期中）在计算26×4×25时，可以先把　4　和　25　相乘，得到　100　，再与　26　相乘．
【思路分析】根据乘法结合律的意义，（a×b）×c＝a×（b×c），据此解答即可．
【规范解答】解：26×4×25
＝26×（4×25）
＝26×100
＝2600
故答案为：4、25、100、26．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握乘法结合律的意义及应用．
13．（2019春•环江县期中）　79　×b＝　b　×79．
【思路分析】两个数相乘，交换它们的位置，积不变，据此解答．
【规范解答】解：79×b＝b×79
故答案为：79，b．
【名师点评】本题考查了乘法交换律的灵活运用．
14．（2018秋•双桥区期末）16+16+16+16﹣27还可以写成　16×4﹣27　．
【思路分析】根据整数乘法的意义，把16+16+16+16写出16×4，再减去27即可．
【规范解答】解：16+16+16+16﹣27
＝16×4﹣27
＝64﹣27
＝37
故答案为：16×4﹣27．
【名师点评】此题考查了求几个相同加数和的简便运算，用乘法解答．
15．（2019秋•新泰市校级期中）125×9×8＝125×8×9运用了什么运算律　乘法交换律　．
【思路分析】125×9×8变成125×8×9交换9和8的位置，运用了乘法交换律．
【规范解答】解：125×9×8＝125×8×9
这是运用了乘法交换律．
故答案为：乘法交换律．
【名师点评】本题考查了乘法运算定律的灵活运用．
16．（2019秋•通榆县期末）在括号里填上合适的数．
189+188+187+186+185+184+183＝　186　×　7　
【思路分析】因为这组数据是连续自然数，相邻的两个数相差1，由此可以用这组数据的平均数乘数据的个数，据此解答．
【规范解答】解：189+188+187+186+185+184+183
＝186×7
＝1302
故答案为：186、7．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握平均数的意义及应用．
17．24×32+76×32
＝（24+76）×32
＝100×32
＝3200．　√　（判断对错）改正　无需修改　．
【思路分析】24×32+76×32加号的左右两边的乘法算式都有相同的乘数32，可以逆用乘法分配律进行简算，由此进行判断．
【规范解答】解：24×32+76×32
＝（24+76）×32
＝100×32
＝3200
原题计算正确．
故答案为：√，无需修改．
【名师点评】乘法分配律是最常用的简便运算的方法，要熟练掌握，灵活运用．
18．（2020春•嵩县期末）整数加法的交换律，结合律对分数加法同样适用．　√　（判断对错）
【思路分析】整数加法的交换律、结合律对分数、小数加法的推广，整数加法的交换律，结合律对分数加法同样适用．据此判断．
【规范解答】解：整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用；
故答案为：√．
【名师点评】此题考查的目的是明确整数加法的交换律和结合律对分数、小数加法同样适用．
19．（2020春•田东县期末）101×58＝100×58+58．　√　 （判断对错）
【思路分析】把101化成100+1，再运用乘法的分配律进行解答即可．
【规范解答】解：101×58
＝（100+1）×58
＝100×58+58×1
＝100×58+58；
故答案为：√．
【名师点评】此题考查了整数乘法分配律的理解及运用．
20．（2019春•庆云县期中）102×95＝100×95+2×95运用了乘法分配律．　√　（判断对错）
【思路分析】简算102×95先把102分解成100+2，再根据乘法分配律简算．
【规范解答】解：102×95
＝（100+2）×95
＝100×95+2×95
这是运用了乘法分配律简算．
故答案为：√．
【名师点评】乘法分配律是最常用的简便运算的方法，要熟练掌握，灵活运用．
21．（2020春•微山县期中）358﹣175+25＝358﹣（175+25）．　×　（判断对错）
【思路分析】358﹣175+25，先算减法，再算加法．据此判断．
【规范解答】解：358﹣175+25
＝183+25
＝208
358﹣175+25
＝358﹣（175+25）
＝358﹣200
＝158
208≠158
故答案为：×．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握减法的运算性质及应用，即a﹣b﹣c＝a﹣（b+c）．
22．（2019春•成武县期中）用简便方法计算．
355+260+140+245
968﹣52﹣48
37×56+63×56
48×125
【思路分析】（1）根据加法交换律、加法结合律简算即可．
（2）根据减法的性质简算即可．
（3）根据乘法分配律简算即可．
（4）首先把48分成6×8，然后根据乘法结合律简算即可．
【规范解答】解：（1）355+260+140+245
＝（355+245）+（260+140）
＝600+400
＝1000
（2）968﹣52﹣48
＝968﹣（52+48）
＝968﹣100
＝868
（3）37×56+63×56
＝（37+63）×56
＝100×56
＝5600
（4）48×125
＝6×8×125
＝6×（8×125）
＝6×1000
＝6000
【名师点评】此题主要考查了运算定律与简便运算，要熟练掌握，注意加法运算定律、乘法运算定律和减法的性质的应用．
23．（2019秋•全州县期中）根据运算定律，在方框里填上合适的数．
63+□＝45+□
32×4×5＝32×（□×□）
5×7×16＝（5×□）×□
37+48+23+52＝（□+□）+（□+□）
【思路分析】（1）等号左边其中的一个加数是63，等号右边其中的一个加数是45，所以等号左边另一个加数是45，等号右边另一个加数是63．
（2）根据乘法结合律简算即可．
（3）根据乘法交换律、乘法结合律简算即可．
（4）根据加法交换律、加法结合律简算即可．
【规范解答】解：（1）63+45＝45+63
（2）32×4×5＝32×（4×5）
（3）5×7×16＝（5×16）×7
（4）37+48+23+52＝（37+23）+（48+52）
故答案为：45、63；4、5；16、7；37、23、48、52．
【名师点评】此题主要考查了运算定律与简便运算，要熟练掌握，注意加法运算定律、乘法运算定律的应用．
24．（2019•郴州模拟）脱式计算．（能简算的要简算）
402×43
29×56+29×44
47×98+94
224÷[（2+6）×2]
125×32×25
180÷（36÷12+6）
【思路分析】①402＝400+2，根据乘法分配律展开，400×43+2×43；
②根据乘法分配律，提取29；
③94＝47×2，然后根据乘法分配律，提取47；
④根据四则混合运算的运算顺序计算即可；
⑤32＝8×4，根据乘法结合律，125×8结合，25和4结合；
⑥根据四则混合运算的运算顺序计算即可．
【规范解答】解：①402×43
＝400×43+2×43
＝17200+86
＝17286
②29×56+29×44
＝29×（56+44）
＝29×100
＝2900
③47×98+94
＝47×98+47×2
＝47×（98+2）
＝47×100
＝4700
④224÷[（2+6）×2]
＝224÷（8×2）
＝224÷16
＝14
⑤125×32×25
＝125×（8×4）×25
＝（125×8）×（4×25）
＝1000×100
＝100000
⑥180÷（36÷12+6）
＝180÷（3+6）
＝180÷9
＝20
【名师点评】完成本题要注意分析式中数据，运用合适的简便方法计算．
25．（2018春•英山县期末）根据运算定律填一填．
（40+3）×25＝　40　〇　25　+　3　〇　25　
724﹣（524+170）＝　724　〇　524　〇　170　
【思路分析】（1）根据乘法分配律的意义，（a+b）×c＝a×c+b×c，据此解答．
（2）根据减法的运算性质，a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c，据此解答．
【规范解答】解：（1）（40+3）×25
＝40×25+3×25
＝1000+75
＝1075
（2）724﹣（524+170）
＝724﹣524﹣170
＝200﹣170
＝30
故答案为：40、×、25、3、×、25；724、﹣、524、170．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握乘法分配律的意义、减法的运算性质，并且能够灵活运用这些运算定律和余数性质进行简便计算．
26．（2015春•东胜区期中）简便计算下面各题．
720﹣256﹣44
243×104﹣243×4
125×56
158+36+42+264．
【思路分析】①根据减法的简便方法，减去256和44的和即可；
②根据乘法分配律，提取243即可；
③56＝8×7展开，然后125和8结合，得到1000，然后再乘7即可；
④根据加法交换律和加法结合律，158+42＝200，36+264＝300，即可得解．
【规范解答】解：①720﹣256﹣44
＝720﹣（256+44）
＝720﹣300
＝420
②243×104﹣243×4
＝243×（104﹣4）
＝243×100
＝24300
③125×56
＝125×8×7
＝1000×7
＝7000
④158+36+42+264
＝（158+42）+（36+264）
＝200+300
＝500
【名师点评】完成本题要注意分析式中数据，运用合适的简便方法计算．
27．要使计算简便，横线里可以填什么数？先填一个数，再算一算．
25×45×125×　32　
【思路分析】根据乘法交换律、乘法结合律的意义，ab＝ba，（ab）c＝a（bc）据此可以填32，把32 拆分为4×8，25和4结合，125和8结合．据此解答．
【规范解答】解：25×45×125×32
＝25×45×125×4×8
＝45×（25×4）×（125×8）
＝45×100×1000
＝4500000
故答案为：32．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握乘法交换律、乘法结合律的意义及应用．
28．在□里填上合适的数，在横线里填上运算符号．
4×43+16×43＝（4+□）×□
（18+25）×2＝18×□+25×□
8×（15+□）＝8×□+□　×　7
72×39+39＝（□+□）　×　□
【思路分析】（1）根据乘法分配律的意义，（a+b）×c＝a×c+b×c，据此解答．
（2）根据乘法分配律的意义，（a+b）×c＝a×c+b×c，据此解答．
（3）根据乘法分配律的意义，（a+b）×c＝a×c+b×c，据此解答．
（4）根据乘法分配律的意义，（a+b）×c＝a×c+b×c，据此解答．
【规范解答】解：（1）4×43+16×43
＝（4+16）×43
＝20×43
＝860
（2）（18+25）×2
＝18×2+25×2
＝36+50
＝86
（3）8×（15+7）
＝8×7+15×8
＝56+120
＝176
（4）72×39+39
＝（72+1）×39
＝73×39
＝2847
故答案为：（1）16，43；（2）2，2；（3）15，8，8，×；（4）72，1，×，39．
【名师点评】此题考查的目的理解掌握乘法分配律的意义及应用．
29．（2017秋•重庆期末）数学医院．（对的在括号里画“√”，错误的画“×”，并改正）
①568﹣178+22＝568﹣（178+22）
＝568﹣200
＝368　×　改：　568﹣178+22
＝390+22
＝412　
②610﹣197
＝610﹣200﹣3
＝410﹣3
＝407　×　改：　610﹣197
＝610﹣200+3
＝410+3
＝413　
【思路分析】①568﹣178+22，后面一步的计算符号是加法，不是减法，不能根据减法的性质计算，要按照从左到右的顺序计算；
②先把197看成200，多减去了3，需要再加上3；
由此进行判断、修改即可．
【规范解答】解：①568﹣178+22＝568﹣（178+22）
＝568﹣200
＝368×
改：
568﹣178+22
＝390+22
＝412；
②610﹣197
＝610﹣200﹣3
＝410﹣3
＝407×
改：
610﹣197
＝610﹣200+3
＝410+3
＝413．
故答案为：×，568﹣178+22＝390+22＝412；×，610﹣197＝610﹣200+3＝410+3＝413．
【名师点评】本题考查了学生对加减法简算方法的掌握情况，注意分析数据和运算符号，正确的进行计算．