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湖北省襄阳市襄州区2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)
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这是一份湖北省襄阳市襄州区2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省襄阳市襄州区八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．垃圾分类是将垃圾分门别类地投放，并通过分类清运和回收，使之重新变成资源，下面四个图形分别是可回收垃圾、不可回收垃圾、易腐垃圾和有害垃圾标志，在这四个图形中，轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．以下长度的线段能和长度为2，6的线段组成三角形的是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
3．如果等腰三角形两边长是9cm和4cm，那么它的周长是（ ）
A．17cm B．22cm C．17或22cm D．无法确定
4．已知点P1（﹣4，3）和P2（﹣4，﹣3），则P1和P2（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．不存在对称关系
5．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD
6．上午8时，一条船从海岛A出发，以15nmile/h（海里/时，1nmile＝1852m）的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°．则从海岛B到灯塔C的距离为（ ）
A．45n mile B．30n mile C．20n mile D．15n mile
7．政府为更好地服务农民，将在村庄A、B、C之间的空地上新建一座仓库P．已知A、B、C恰好在三条公路的交点处，要求仓库P到村庄A、B、C的距离相等，则仓库P应选在（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高所在直线的交点
8．如图，小范将几块六边形纸片分别剪掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形．若新多边形的内角和是其外角和的2倍，则对应的是下列哪个图形（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列结论错误的是（ ）
A．∠BAF＝∠CAF B．BF＝CF
C．∠B+∠BAD＝90° D．S△ABC＝2S△ABF
10．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝AC，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①AE＝CF；②△DEF是等腰直角三角形；③BE+CF＝EF；④S四边形AEDF＝S△ABC，其中正确结论是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．我们用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一条摇晃的凳子的数学原理是利用三角形的 ．
12．在镜子中看到时钟显示的时间，则实际时间是 ．
13．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1＝ 度．
14．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝320°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是 ．
15．等腰三角形一腰上的高线与另一腰夹角为50°，则该三角形的顶角为 ．
16．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为 cm．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．如图，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABD的高，∠ABC＝40°，∠C＝80°，BE＝4．求AB的长．
18．在测量一个小口圆柱形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，AD＝BC，只需测得AB＝a，EF＝b，就可以知道圆柱形容器的壁厚了．
（1）请你利用所学习的数学知识说明AB＝CD；
（2）求出圆柱形容器的壁厚．（用含有a，b的代数式表示）
19．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点如图所示：
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C′（其中A'，B'，C'分别是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）直接写出A'，B'，C′三点的坐标：A'（ ， ），B'（ ， ），C′（ ， ），S△ABC＝ ；
（3）在x轴上找出点P，使得点P到点A、点B的距离之和最短（保留作图痕迹）．
20．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，求证：∠A＝2∠P．
21．如图，点B、F、C、E在一条直线上，△ABC≌△DEF，连结AD交BE于O．
（1）求证：AC∥FD，AB∥ED；
（2）若BF＝5，FC＝4，求EO的长．
22．如图所示，已知AD是△ABC的高，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∠CAB＝90°．
（1）用直尺和圆规作BC边上的中线AE；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）求△ABE的面积．
23．已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．
24．等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D在AB上运动，点E在AC的延长线上运动，且BD＝CE．
（1）求证：DF＝FE；
（2）作DK⊥BC于K，求证：KF＝BC．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．垃圾分类是将垃圾分门别类地投放，并通过分类清运和回收，使之重新变成资源，下面四个图形分别是可回收垃圾、不可回收垃圾、易腐垃圾和有害垃圾标志，在这四个图形中，轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．以下长度的线段能和长度为2，6的线段组成三角形的是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
【分析】利用三角形三边关系判断即可，两边之和＞第三边＞两边之差．
解：∵两边的长度为2，6，
∴4＜第三边＜8，
∴能与3，5能组成三角形的是，6，
故选：C．
【点评】考查了三角形三边关系，利用三边关系判断时，常用两个较小边的和与较大的边比较大小．两个较小边的和＞较大的边，则能组成三角形，否则，不可以．
3．如果等腰三角形两边长是9cm和4cm，那么它的周长是（ ）
A．17cm B．22cm C．17或22cm D．无法确定
【分析】分腰为9cm和4cm两种情况讨论，再根据三角形的三边关系进行验证，再求其周长即可．
解：
当腰长为9cm时，则三角形的三边分别为9cm、9cm、4cm，满足三角形的三边关系，此时周长为22cm，
当腰长为4cm时，则三角形的三边分别为4cm、4cm、9cm，而4+4＜9，不满足三角形的三边关系，不符合题意；
所以该三角形的周长为22cm，
故选：B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，分两种情况进行讨论且利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键．
4．已知点P1（﹣4，3）和P2（﹣4，﹣3），则P1和P2（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．不存在对称关系
【分析】根据两点的坐标关系，结合对称点的坐标规律进行分析，比较两点横纵坐标的符号即可得出相关答案．
解：因为两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．
故选：A．
【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD
【分析】根据题目所给条件∠ABC＝∠DCB，再加上公共边BC＝BC，然后再结合判定定理分别进行分析即可．
解：A、添加∠A＝∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B、添加AB＝DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、添加∠ACB＝∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
D、添加AC＝BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．上午8时，一条船从海岛A出发，以15nmile/h（海里/时，1nmile＝1852m）的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°．则从海岛B到灯塔C的距离为（ ）
A．45n mile B．30n mile C．20n mile D．15n mile
【分析】根据三角形外角的性质，求证∠C＝∠NAC，然后即可证明BC＝AB，从而求得B到C的距离．
解：∵∠NBC＝84°，∠NAC＝42°，
∴∠C＝84°﹣42°＝42°．
∴∠C＝∠NAC，
∴BC＝AB，
∵上午8时，一条船从海岛A出发，以150n mile/h的速度向正北航行．10时到达海岛B处，
∴BC＝AB＝15×2＝30n mile．
故选：B．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定和性质，灵活运用等腰三角形性质是解题的关键．
7．政府为更好地服务农民，将在村庄A、B、C之间的空地上新建一座仓库P．已知A、B、C恰好在三条公路的交点处，要求仓库P到村庄A、B、C的距离相等，则仓库P应选在（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高所在直线的交点
【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可．
解：∵仓库P到村庄A、B的距离相等，
∴点P在AB的垂直平分线上，
∵仓库P到村庄A、C的距离相等，
∴点P在AC的垂直平分线上，
∴仓库P应选在三边的垂直平分线的交点，
故选：B．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
8．如图，小范将几块六边形纸片分别剪掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形．若新多边形的内角和是其外角和的2倍，则对应的是下列哪个图形（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据新多边形的内角和为720°，n边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，由此列方程求n．
解：设这个新多边形的边数是n，
则（n﹣2）•180°＝720°，
解得：n＝6，
故选：B．
【点评】本题考查了多边形外角与内角．此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解．
9．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列结论错误的是（ ）
A．∠BAF＝∠CAF B．BF＝CF
C．∠B+∠BAD＝90° D．S△ABC＝2S△ABF
【分析】根据三角形的高、角平分线和中线的定义逐一分析即可．
解：∵AE为角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴A选项结论错误，符合题目要求；
∵AF是中线，
∴BF＝CF，
∴B选项结论正确，不符合题目要求；
∵AD是高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∴C选项结论正确，不符合题目要求；
∵AF是中线，
∴S△ABC＝2S△ABF，
∴D选项结论正确，不符合题目要求；
故选：A．
【点评】本题考查三角形的高、角平分线和中线，能够理解三角形的高、角平分线和中线的含义是解答本题的关键．
10．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝AC，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①AE＝CF；②△DEF是等腰直角三角形；③BE+CF＝EF；④S四边形AEDF＝S△ABC，其中正确结论是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD＝∠B＝45°，根据同角的余角相等求出∠ADF＝∠BDE，然后利用“角边角”证明△BDE和△ADF全等，判断出④正确；根据全等三角形对应边相等可得DE＝DF、BE＝AF，从而得到△DEF是等腰直角三角形，判断出②正确；再求出AE＝CF，判断出①正确；根据BE+CF＝AF+AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE+CF＞EF，判断出③错误．
解：∵∠B＝45°，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点D为BC中点，
∴AD＝CD＝BD，AD⊥BC，∠CAD＝45°，S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，
∴∠CAD＝∠B，
∵∠MDN是直角，
∴∠ADF+∠ADE＝90°，
∵∠BDE+∠ADE＝∠ADB＝90°，
∴∠ADF＝∠BDE，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴S四边形AEDF＝S△AED+S△ADF＝＝S△AED+S△BDE＝S△ABD，
∴S四边形AEDF＝S△ABC，
故④正确；
∴DE＝DF，BE＝AF，
∴△DEF是等腰直角三角形，故②正确；
∵AE＝AB﹣BE，CF＝AC﹣AF，
∴AE＝CF，故①正确；
∵BE+CF＝AF+AE，
∴BE+CF＞EF，
故③错误；
∴正确的有①②④，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．我们用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一条摇晃的凳子的数学原理是利用三角形的 稳定性 ．
【分析】当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性回答即可．
解：用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一条摇晃的凳子的数学原理是利用三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是了解三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．
12．在镜子中看到时钟显示的时间，则实际时间是 21：05 ．
【分析】把20：15写在透明纸上，从反面看到即可．
解：实际时间为21：05．
故答案为21：05．
【点评】本题考查了镜面对称：关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果．
13．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1＝ 54 度．
【分析】根据全等三角形的对应角相等解答．
解：∵两个三角形全等，
∴∠1＝54°，
故答案为：54．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
14．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝320°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是 70° ．
【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E＝320°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．
解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝320°，
∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣320°＝220°，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点P，
∴∠PDC+∠PCD＝（∠BCD+∠CDE）＝110°，
∴∠P＝180°﹣110°＝70°．
故答案为：70°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．
15．等腰三角形一腰上的高线与另一腰夹角为50°，则该三角形的顶角为 40°或140° ．
【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解：如图1，三角形是锐角三角时，∵∠ACD＝50°，
∴顶角∠A＝90°﹣50°＝40°；
如图2，三角形是钝角时，∵∠ACD＝50°，
∴顶角∠BAC＝50°+90°＝140°，
综上所述，顶角等于40°或140°．
故答案为：40°或140°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
16．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为 8 cm．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8cm．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．如图，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABD的高，∠ABC＝40°，∠C＝80°，BE＝4．求AB的长．
【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数，根据角平分线的定义可得∠BAE＝30°，再根据含30°角的直角三角形的性质可得AB的长．
解：∵∠ABC＝40°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣80°﹣40°＝60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝30°，
∵BE是△ABD的高，BE＝4，
∴AB＝2BE＝8．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握这些知识是解题的关键．
18．在测量一个小口圆柱形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，AD＝BC，只需测得AB＝a，EF＝b，就可以知道圆柱形容器的壁厚了．
（1）请你利用所学习的数学知识说明AB＝CD；
（2）求出圆柱形容器的壁厚．（用含有a，b的代数式表示）
【分析】（1）连接AB，只要证明△AOB≌△DOC，可得AB＝CD，即可解决问题；
（2）利用（1）中所求即可得出圆柱形容器的壁厚．
解：（1）连接AB．
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB＝CD；
（2）∵EF＝b，AB＝CD＝a，
∴圆柱形容器的壁厚是（b﹣a）．
【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题．属于中考常考题型．
19．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点如图所示：
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C′（其中A'，B'，C'分别是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）直接写出A'，B'，C′三点的坐标：A'（ 2 ， 3 ），B'（ 3 ， 1 ），C′（ 1 ， ﹣2 ），S△ABC＝ 8 ；
（3）在x轴上找出点P，使得点P到点A、点B的距离之和最短（保留作图痕迹）．
【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B、C关于y轴的对称点即可；
（2）利用（1）所画图形写出A'，B'，C′三点的坐标，然后用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；
（3）先作B点关于x轴的对称点B″，然后连接AB″交x轴于P点，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件．
解：（1）如图，△A'B'C′为所作；
（2）如图，A′（2，3），B′（3，1），C′（﹣1，﹣2）．
所以S△ABC＝5×5﹣×2×2﹣×3×5﹣×5×3＝8；
故答案为：2，3；3，1；﹣1，﹣2；8；
（3）如图，点P为所作．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了最短路线问题．
20．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，求证：∠A＝2∠P．
【分析】由角平分线的定义可得∠PBC＝∠ABC，∠PCM＝∠ACM，再由三角形的外角性质可得∠PCM＝∠P+∠PBC，∠ACM＝∠A+∠ABC，从而可求证．
【解答】证明：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCM＝∠ACM，
∵∠ACM是△ABC的外角，∠PCM是△PBC的外角，
∴∠PCM＝∠P+∠PBC，∠ACM＝∠A+∠ABC，
∴∠ACM＝∠P+∠ABC，
∴（∠A+∠ABC）＝∠P+∠ABC，
∠A+∠ABC＝∠P+∠ABC，
∠A＝∠P，
∴∠A＝2∠P．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
21．如图，点B、F、C、E在一条直线上，△ABC≌△DEF，连结AD交BE于O．
（1）求证：AC∥FD，AB∥ED；
（2）若BF＝5，FC＝4，求EO的长．
【分析】（1）由全等三角形的性质可得∠B＝∠E，∠ACB＝∠EFD，可得结论；
（2）由“SAS”可证△ACO≌△DFO，由全等三角形的性质可得CO＝FO，BC＝EF，可得BO＝EO＝7．
【解答】（1）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠EFD，
∴AB∥DE，AC∥DF；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠EFD，AC＝DF，
在△ACO和△DFO中
，
∴△ACO≌△DFO（AAS），
∴CO＝FO，
∵CF＝4，
∴CO＝FO＝2，
∴BO＝7，
∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BO＝EO＝7．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．如图所示，已知AD是△ABC的高，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∠CAB＝90°．
（1）用直尺和圆规作BC边上的中线AE；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）求△ABE的面积．
【分析】（1）作BC的垂直平分线得到BC的中点E，然后连接AE即可；
（2）先根据三角形面积公式计算出△ABC的面积，然后利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分求解．
解：（1）如图，AE为所作；
（2）∵∠CAB＝90°，
∴S△ABC＝×AB×AC＝×6×8＝24，
∵AE为BC边的中线，
∴S△ABE＝S△ABC＝12．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的面积公式．
23．已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DOC＝90°，根据等腰三角形的三线合一证明即可．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠ODC+∠OCD＝90°，
∴∠DOC＝90°，
∴∠DOC＝∠BOC，
又∵CO＝CO，∠DCO＝∠BCO，
∴△DCO≌△BCO（ASA）
∴CB＝CD，
∴OB＝OD，
∴CE是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，又∠DOC＝90°，
∴EC平分∠BED，
∴点O到EB与ED的距离相等．
【点评】本题考查的是平行线的性质、角平分线的性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D在AB上运动，点E在AC的延长线上运动，且BD＝CE．
（1）求证：DF＝FE；
（2）作DK⊥BC于K，求证：KF＝BC．
【分析】（1）过点D作DG∥AC交BC于点G，由“AAS”可证△DFG≌△ECF，可得DF＝FE；
（2）根据DK⊥BC，DB＝DG，可得BK＝KG＝BG，由△DFG≌△EFC，可得GF＝CF＝GC，进而根据线段的和差即可解决问题．
【解答】证明：（1）如图，过点D作DG∥AE，交BC于点G，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵DG∥AC，
∴∠ACB＝∠DGB，∠DGC＝∠BCE，
∴∠ACB＝∠DGB＝∠B，
∴DG＝DB，
在△DFG和△EFC中，
，
∴△DFG≌△EFC（AAS），
∴DF＝FE；
（2）∵DK⊥BC，DB＝DG，
∴BK＝KG＝BG，
∵△DFG≌△EFC，
∴GF＝CF＝GC，
∴KF＝KG+GF＝BG+GC＝（BG+GC）＝BC．
∴KF＝BC．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
2022-2023学年湖北省襄阳市襄州区八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．垃圾分类是将垃圾分门别类地投放，并通过分类清运和回收，使之重新变成资源，下面四个图形分别是可回收垃圾、不可回收垃圾、易腐垃圾和有害垃圾标志，在这四个图形中，轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．以下长度的线段能和长度为2，6的线段组成三角形的是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
3．如果等腰三角形两边长是9cm和4cm，那么它的周长是（ ）
A．17cm B．22cm C．17或22cm D．无法确定
4．已知点P1（﹣4，3）和P2（﹣4，﹣3），则P1和P2（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．不存在对称关系
5．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD
6．上午8时，一条船从海岛A出发，以15nmile/h（海里/时，1nmile＝1852m）的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°．则从海岛B到灯塔C的距离为（ ）
A．45n mile B．30n mile C．20n mile D．15n mile
7．政府为更好地服务农民，将在村庄A、B、C之间的空地上新建一座仓库P．已知A、B、C恰好在三条公路的交点处，要求仓库P到村庄A、B、C的距离相等，则仓库P应选在（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高所在直线的交点
8．如图，小范将几块六边形纸片分别剪掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形．若新多边形的内角和是其外角和的2倍，则对应的是下列哪个图形（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列结论错误的是（ ）
A．∠BAF＝∠CAF B．BF＝CF
C．∠B+∠BAD＝90° D．S△ABC＝2S△ABF
10．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝AC，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①AE＝CF；②△DEF是等腰直角三角形；③BE+CF＝EF；④S四边形AEDF＝S△ABC，其中正确结论是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．我们用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一条摇晃的凳子的数学原理是利用三角形的 ．
12．在镜子中看到时钟显示的时间，则实际时间是 ．
13．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1＝ 度．
14．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝320°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是 ．
15．等腰三角形一腰上的高线与另一腰夹角为50°，则该三角形的顶角为 ．
16．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为 cm．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．如图，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABD的高，∠ABC＝40°，∠C＝80°，BE＝4．求AB的长．
18．在测量一个小口圆柱形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，AD＝BC，只需测得AB＝a，EF＝b，就可以知道圆柱形容器的壁厚了．
（1）请你利用所学习的数学知识说明AB＝CD；
（2）求出圆柱形容器的壁厚．（用含有a，b的代数式表示）
19．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点如图所示：
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C′（其中A'，B'，C'分别是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）直接写出A'，B'，C′三点的坐标：A'（ ， ），B'（ ， ），C′（ ， ），S△ABC＝ ；
（3）在x轴上找出点P，使得点P到点A、点B的距离之和最短（保留作图痕迹）．
20．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，求证：∠A＝2∠P．
21．如图，点B、F、C、E在一条直线上，△ABC≌△DEF，连结AD交BE于O．
（1）求证：AC∥FD，AB∥ED；
（2）若BF＝5，FC＝4，求EO的长．
22．如图所示，已知AD是△ABC的高，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∠CAB＝90°．
（1）用直尺和圆规作BC边上的中线AE；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）求△ABE的面积．
23．已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．
24．等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D在AB上运动，点E在AC的延长线上运动，且BD＝CE．
（1）求证：DF＝FE；
（2）作DK⊥BC于K，求证：KF＝BC．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．垃圾分类是将垃圾分门别类地投放，并通过分类清运和回收，使之重新变成资源，下面四个图形分别是可回收垃圾、不可回收垃圾、易腐垃圾和有害垃圾标志，在这四个图形中，轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．以下长度的线段能和长度为2，6的线段组成三角形的是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
【分析】利用三角形三边关系判断即可，两边之和＞第三边＞两边之差．
解：∵两边的长度为2，6，
∴4＜第三边＜8，
∴能与3，5能组成三角形的是，6，
故选：C．
【点评】考查了三角形三边关系，利用三边关系判断时，常用两个较小边的和与较大的边比较大小．两个较小边的和＞较大的边，则能组成三角形，否则，不可以．
3．如果等腰三角形两边长是9cm和4cm，那么它的周长是（ ）
A．17cm B．22cm C．17或22cm D．无法确定
【分析】分腰为9cm和4cm两种情况讨论，再根据三角形的三边关系进行验证，再求其周长即可．
解：
当腰长为9cm时，则三角形的三边分别为9cm、9cm、4cm，满足三角形的三边关系，此时周长为22cm，
当腰长为4cm时，则三角形的三边分别为4cm、4cm、9cm，而4+4＜9，不满足三角形的三边关系，不符合题意；
所以该三角形的周长为22cm，
故选：B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，分两种情况进行讨论且利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键．
4．已知点P1（﹣4，3）和P2（﹣4，﹣3），则P1和P2（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．不存在对称关系
【分析】根据两点的坐标关系，结合对称点的坐标规律进行分析，比较两点横纵坐标的符号即可得出相关答案．
解：因为两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．
故选：A．
【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD
【分析】根据题目所给条件∠ABC＝∠DCB，再加上公共边BC＝BC，然后再结合判定定理分别进行分析即可．
解：A、添加∠A＝∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B、添加AB＝DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、添加∠ACB＝∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
D、添加AC＝BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．上午8时，一条船从海岛A出发，以15nmile/h（海里/时，1nmile＝1852m）的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°．则从海岛B到灯塔C的距离为（ ）
A．45n mile B．30n mile C．20n mile D．15n mile
【分析】根据三角形外角的性质，求证∠C＝∠NAC，然后即可证明BC＝AB，从而求得B到C的距离．
解：∵∠NBC＝84°，∠NAC＝42°，
∴∠C＝84°﹣42°＝42°．
∴∠C＝∠NAC，
∴BC＝AB，
∵上午8时，一条船从海岛A出发，以150n mile/h的速度向正北航行．10时到达海岛B处，
∴BC＝AB＝15×2＝30n mile．
故选：B．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定和性质，灵活运用等腰三角形性质是解题的关键．
7．政府为更好地服务农民，将在村庄A、B、C之间的空地上新建一座仓库P．已知A、B、C恰好在三条公路的交点处，要求仓库P到村庄A、B、C的距离相等，则仓库P应选在（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高所在直线的交点
【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可．
解：∵仓库P到村庄A、B的距离相等，
∴点P在AB的垂直平分线上，
∵仓库P到村庄A、C的距离相等，
∴点P在AC的垂直平分线上，
∴仓库P应选在三边的垂直平分线的交点，
故选：B．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
8．如图，小范将几块六边形纸片分别剪掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形．若新多边形的内角和是其外角和的2倍，则对应的是下列哪个图形（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据新多边形的内角和为720°，n边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，由此列方程求n．
解：设这个新多边形的边数是n，
则（n﹣2）•180°＝720°，
解得：n＝6，
故选：B．
【点评】本题考查了多边形外角与内角．此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解．
9．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列结论错误的是（ ）
A．∠BAF＝∠CAF B．BF＝CF
C．∠B+∠BAD＝90° D．S△ABC＝2S△ABF
【分析】根据三角形的高、角平分线和中线的定义逐一分析即可．
解：∵AE为角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴A选项结论错误，符合题目要求；
∵AF是中线，
∴BF＝CF，
∴B选项结论正确，不符合题目要求；
∵AD是高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∴C选项结论正确，不符合题目要求；
∵AF是中线，
∴S△ABC＝2S△ABF，
∴D选项结论正确，不符合题目要求；
故选：A．
【点评】本题考查三角形的高、角平分线和中线，能够理解三角形的高、角平分线和中线的含义是解答本题的关键．
10．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝AC，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①AE＝CF；②△DEF是等腰直角三角形；③BE+CF＝EF；④S四边形AEDF＝S△ABC，其中正确结论是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD＝∠B＝45°，根据同角的余角相等求出∠ADF＝∠BDE，然后利用“角边角”证明△BDE和△ADF全等，判断出④正确；根据全等三角形对应边相等可得DE＝DF、BE＝AF，从而得到△DEF是等腰直角三角形，判断出②正确；再求出AE＝CF，判断出①正确；根据BE+CF＝AF+AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE+CF＞EF，判断出③错误．
解：∵∠B＝45°，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点D为BC中点，
∴AD＝CD＝BD，AD⊥BC，∠CAD＝45°，S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，
∴∠CAD＝∠B，
∵∠MDN是直角，
∴∠ADF+∠ADE＝90°，
∵∠BDE+∠ADE＝∠ADB＝90°，
∴∠ADF＝∠BDE，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴S四边形AEDF＝S△AED+S△ADF＝＝S△AED+S△BDE＝S△ABD，
∴S四边形AEDF＝S△ABC，
故④正确；
∴DE＝DF，BE＝AF，
∴△DEF是等腰直角三角形，故②正确；
∵AE＝AB﹣BE，CF＝AC﹣AF，
∴AE＝CF，故①正确；
∵BE+CF＝AF+AE，
∴BE+CF＞EF，
故③错误；
∴正确的有①②④，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．我们用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一条摇晃的凳子的数学原理是利用三角形的 稳定性 ．
【分析】当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性回答即可．
解：用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一条摇晃的凳子的数学原理是利用三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是了解三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．
12．在镜子中看到时钟显示的时间，则实际时间是 21：05 ．
【分析】把20：15写在透明纸上，从反面看到即可．
解：实际时间为21：05．
故答案为21：05．
【点评】本题考查了镜面对称：关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果．
13．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1＝ 54 度．
【分析】根据全等三角形的对应角相等解答．
解：∵两个三角形全等，
∴∠1＝54°，
故答案为：54．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
14．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝320°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是 70° ．
【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E＝320°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．
解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝320°，
∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣320°＝220°，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点P，
∴∠PDC+∠PCD＝（∠BCD+∠CDE）＝110°，
∴∠P＝180°﹣110°＝70°．
故答案为：70°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．
15．等腰三角形一腰上的高线与另一腰夹角为50°，则该三角形的顶角为 40°或140° ．
【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解：如图1，三角形是锐角三角时，∵∠ACD＝50°，
∴顶角∠A＝90°﹣50°＝40°；
如图2，三角形是钝角时，∵∠ACD＝50°，
∴顶角∠BAC＝50°+90°＝140°，
综上所述，顶角等于40°或140°．
故答案为：40°或140°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
16．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为 8 cm．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8cm．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．如图，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABD的高，∠ABC＝40°，∠C＝80°，BE＝4．求AB的长．
【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数，根据角平分线的定义可得∠BAE＝30°，再根据含30°角的直角三角形的性质可得AB的长．
解：∵∠ABC＝40°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣80°﹣40°＝60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝30°，
∵BE是△ABD的高，BE＝4，
∴AB＝2BE＝8．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握这些知识是解题的关键．
18．在测量一个小口圆柱形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，AD＝BC，只需测得AB＝a，EF＝b，就可以知道圆柱形容器的壁厚了．
（1）请你利用所学习的数学知识说明AB＝CD；
（2）求出圆柱形容器的壁厚．（用含有a，b的代数式表示）
【分析】（1）连接AB，只要证明△AOB≌△DOC，可得AB＝CD，即可解决问题；
（2）利用（1）中所求即可得出圆柱形容器的壁厚．
解：（1）连接AB．
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB＝CD；
（2）∵EF＝b，AB＝CD＝a，
∴圆柱形容器的壁厚是（b﹣a）．
【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题．属于中考常考题型．
19．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点如图所示：
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C′（其中A'，B'，C'分别是A，B，C的对应点，不写画法）；
（2）直接写出A'，B'，C′三点的坐标：A'（ 2 ， 3 ），B'（ 3 ， 1 ），C′（ 1 ， ﹣2 ），S△ABC＝ 8 ；
（3）在x轴上找出点P，使得点P到点A、点B的距离之和最短（保留作图痕迹）．
【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B、C关于y轴的对称点即可；
（2）利用（1）所画图形写出A'，B'，C′三点的坐标，然后用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；
（3）先作B点关于x轴的对称点B″，然后连接AB″交x轴于P点，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件．
解：（1）如图，△A'B'C′为所作；
（2）如图，A′（2，3），B′（3，1），C′（﹣1，﹣2）．
所以S△ABC＝5×5﹣×2×2﹣×3×5﹣×5×3＝8；
故答案为：2，3；3，1；﹣1，﹣2；8；
（3）如图，点P为所作．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了最短路线问题．
20．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，求证：∠A＝2∠P．
【分析】由角平分线的定义可得∠PBC＝∠ABC，∠PCM＝∠ACM，再由三角形的外角性质可得∠PCM＝∠P+∠PBC，∠ACM＝∠A+∠ABC，从而可求证．
【解答】证明：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCM＝∠ACM，
∵∠ACM是△ABC的外角，∠PCM是△PBC的外角，
∴∠PCM＝∠P+∠PBC，∠ACM＝∠A+∠ABC，
∴∠ACM＝∠P+∠ABC，
∴（∠A+∠ABC）＝∠P+∠ABC，
∠A+∠ABC＝∠P+∠ABC，
∠A＝∠P，
∴∠A＝2∠P．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
21．如图，点B、F、C、E在一条直线上，△ABC≌△DEF，连结AD交BE于O．
（1）求证：AC∥FD，AB∥ED；
（2）若BF＝5，FC＝4，求EO的长．
【分析】（1）由全等三角形的性质可得∠B＝∠E，∠ACB＝∠EFD，可得结论；
（2）由“SAS”可证△ACO≌△DFO，由全等三角形的性质可得CO＝FO，BC＝EF，可得BO＝EO＝7．
【解答】（1）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠EFD，
∴AB∥DE，AC∥DF；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠EFD，AC＝DF，
在△ACO和△DFO中
，
∴△ACO≌△DFO（AAS），
∴CO＝FO，
∵CF＝4，
∴CO＝FO＝2，
∴BO＝7，
∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BO＝EO＝7．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．如图所示，已知AD是△ABC的高，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∠CAB＝90°．
（1）用直尺和圆规作BC边上的中线AE；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）求△ABE的面积．
【分析】（1）作BC的垂直平分线得到BC的中点E，然后连接AE即可；
（2）先根据三角形面积公式计算出△ABC的面积，然后利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分求解．
解：（1）如图，AE为所作；
（2）∵∠CAB＝90°，
∴S△ABC＝×AB×AC＝×6×8＝24，
∵AE为BC边的中线，
∴S△ABE＝S△ABC＝12．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的面积公式．
23．已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DOC＝90°，根据等腰三角形的三线合一证明即可．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠ODC+∠OCD＝90°，
∴∠DOC＝90°，
∴∠DOC＝∠BOC，
又∵CO＝CO，∠DCO＝∠BCO，
∴△DCO≌△BCO（ASA）
∴CB＝CD，
∴OB＝OD，
∴CE是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，又∠DOC＝90°，
∴EC平分∠BED，
∴点O到EB与ED的距离相等．
【点评】本题考查的是平行线的性质、角平分线的性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D在AB上运动，点E在AC的延长线上运动，且BD＝CE．
（1）求证：DF＝FE；
（2）作DK⊥BC于K，求证：KF＝BC．
【分析】（1）过点D作DG∥AC交BC于点G，由“AAS”可证△DFG≌△ECF，可得DF＝FE；
（2）根据DK⊥BC，DB＝DG，可得BK＝KG＝BG，由△DFG≌△EFC，可得GF＝CF＝GC，进而根据线段的和差即可解决问题．
【解答】证明：（1）如图，过点D作DG∥AE，交BC于点G，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵DG∥AC，
∴∠ACB＝∠DGB，∠DGC＝∠BCE，
∴∠ACB＝∠DGB＝∠B，
∴DG＝DB，
在△DFG和△EFC中，
，
∴△DFG≌△EFC（AAS），
∴DF＝FE；
（2）∵DK⊥BC，DB＝DG，
∴BK＝KG＝BG，
∵△DFG≌△EFC，
∴GF＝CF＝GC，
∴KF＝KG+GF＝BG+GC＝（BG+GC）＝BC．
∴KF＝BC．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
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