河北省保定市竞秀区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份河北省保定市竞秀区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省保定市竞秀区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共16个小题；1-10小题每小题3分，11--16小题每小题3分，共42分，在每小题的四个选项中只有一个选项符合题意）
1．一元二次方程x（x﹣2）＝0的解是（　　）
A．x＝0 B．x＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝﹣2，x2＝2
2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角互补
3．已知2a＝3b（a≠0，b≠0），那么下列变形中错误的是（　　）
A． B． C． D．b：a＝2：3
4．把方程x2﹣4x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（　　）
A．2，3 B．2，5 C．﹣2，3 D．﹣2，5
5．如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB：BC＝1：2，DE＝3，则EF的长为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．9
6．为满足人们对防疫物资的需求，某口罩加工厂增加设备，努力提高口罩生产量．2020年10月份该工厂的口罩产量为600万个，12月份产量为720万个，若口罩产量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　）
A．600（1+2x）＝720 B．720（1﹣x）2＝600
C．600（1+x2）＝720 D．600（1+x）2＝720
7．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（　　）

A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数
C．袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外均相同，从中任取一球是黄球
D．洗匀后的1张红桃，2张黑桃牌，从中随机抽取一张牌是黑桃
8．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（　　）
A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
9．如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积为2，则四边形DBCE的面积是（　　）

A．6 B．8 C．4 D．2
10．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BEA为（　　）

A．15° B．30° C．45° D．55°
11．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（　　）

A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB
12．若关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0
13．在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：
甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．
乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（　　）

A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
14．关于x的方程m（x+h）2+k＝0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，则方程m（m+h﹣3）2+k＝0的解是（　　）
A．x1＝﹣6，x2＝﹣1 B．x1＝0，x2＝5
C．x1＝﹣3，x2＝5 D．x1＝﹣6，x2＝2
15．正方形ABCD边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG且边FG过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（　　）

A．保持不变 B．一直变小
C．先变小后变大 D．先变大后变小
16．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2＝PH•PC
其中正确的是（　　）

A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④
二、填空题（本大题共3个小题，共10分，17-18小题各3分19小题每空2分）
17．若，则值为 　 　．
18．已知一等腰三角形的底边长为5，腰长为方程x2﹣8x+12＝0的根，该等腰三角形的周长为 　 　．
19．已知三个边长分别为2，3，5的三个菱形如图排列，菱形的较小锐角为60°，则CF＝　 　，图中阴影部分的面积为 　 　．

三、解答题（本大题共7个小题，共68分）
20．解方程
（1）2x2﹣7x+3＝0
（2）（x﹣2）2＝2x﹣4．
21．在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．
（1）在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为 　 　．
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1；
（3）△OAB的内部一点M的坐标为（a，b），直接写出点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为 　 　．


22．随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为　 　；
（2）用列表法或画树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．
23．阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+2x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）问题：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝　 　，x3＝　 　；
（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．
（1）证明：四边形ADCE为菱形．
（2）BC＝6，AB＝10，求菱形ADCE的面积．

25．在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．
（1）若丝绸条带的面积为650cm2，求丝绸条带的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价为100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天把销售单价定为多少元时，当日所获利润为22500元．

26．如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤360°），直线BE，DF相交于点P．
（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置上，则线段BE与DF的位置关系是 　 　，数量关系是 　 　．
（2）若AD＝nAB（n≠1）将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由．
（3）若AB＝6，BC＝8，将△AEF旋转至AE⊥BE时，请直接写出DP的长．



参考答案
一、选择题（本大题共16个小题；1-10小题每小题3分，11--16小题每小题3分，共42分，在每小题的四个选项中只有一个选项符合题意）
1．一元二次方程x（x﹣2）＝0的解是（　　）
A．x＝0 B．x＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝﹣2，x2＝2
【分析】方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
解：x（x﹣2）＝0，
可得x＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝0，x2＝2．
故选：C．
【点评】本题考查因式分解解二元一次方程，掌握因式分解是解题关键．
2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角互补
【分析】根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对角线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案．
解：A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项符合要求；
B、矩形的对角线相等，而菱形的不具备这一性质；故本选项不符合要求；
C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；
D、菱形对角相等；但菱形不具备对角互补，故本选项不符合要求；
故选：A．
【点评】此题主要考查了学生对菱形及矩形的性质的理解及运用．菱形和矩形都具有平行四边形的性质，但是菱形的特性是：对角线互相垂直，四条边都相等．
3．已知2a＝3b（a≠0，b≠0），那么下列变形中错误的是（　　）
A． B． C． D．b：a＝2：3
【分析】把每一个选项的比例式转化为等积式，即可判断．
解：A、∵＝，
∴2a＝3b，
故A不符合题意；
B、∵＝，
∴2a＝3b，
故B不符合题意；
C、∵＝，
∴ab＝6，
故C符合题意；
D、∵b：a＝2：3，
∴2a＝3b，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
4．把方程x2﹣4x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（　　）
A．2，3 B．2，5 C．﹣2，3 D．﹣2，5
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
则x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
∴m＝﹣2，n＝5，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5．如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB：BC＝1：2，DE＝3，则EF的长为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．9
【分析】由平行线可得比例式，代入可求得EF．
解：∵a∥b∥c，AB：BC＝1：2，
∴，即，
解得EF＝6．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键．
6．为满足人们对防疫物资的需求，某口罩加工厂增加设备，努力提高口罩生产量．2020年10月份该工厂的口罩产量为600万个，12月份产量为720万个，若口罩产量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　）
A．600（1+2x）＝720 B．720（1﹣x）2＝600
C．600（1+x2）＝720 D．600（1+x）2＝720
【分析】利用12月份的产量＝10月份的产量×（1+平均每月增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：依题意得：600（1+x）2＝720，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（　　）

A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数
C．袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外均相同，从中任取一球是黄球
D．洗匀后的1张红桃，2张黑桃牌，从中随机抽取一张牌是黑桃
【分析】利用折线统计图可得出试验的频率在0.5左右，进而得出答案．
解：A、在“石关、剪刀、布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”概率为，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数的概率是＝0.5，符合这一结果，故此选项符合题意；
C、袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外均相同，从中任取一球是黄球的概率为：，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
D、洗匀后的1张红桃，2张黑桃牌，从中随机抽取一张牌是黑桃的概率为：，不符合这一结果，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，正确求出各试验的概率是解题关键．
8．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（　　）
A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
【分析】直接把x＝0代入进而方程，再结合a﹣1≠0，进而得出答案．
解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，
∴a2﹣1＝0，且a﹣1≠0，
则a的值为：a＝﹣1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零．
9．如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积为2，则四边形DBCE的面积是（　　）

A．6 B．8 C．4 D．2
【分析】由△ADE和△ABC的相似比是1：2及△ADE的面积是2，利用相似三角形的性质可得出S△ABC的值，再利用S四边形DBCE＝S△ABC﹣S△ADE，即可求出四边形DBCE的面积．
解：∵△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是2，
∴＝（）2＝，
∴S△ABC＝4S△ADE＝8，
∴S四边形DBCE＝S△ABC﹣S△ADE＝8﹣2＝6．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，牢记“相似三角形的面积的比等于相似比的平方”是解题的关键．
10．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BEA为（　　）

A．15° B．30° C．45° D．55°
【分析】根据等边三角形和正方形的性质可知AB＝AE，∠BAE＝150°，再利用三角形的内角和定理可得答案．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴AB＝AE，∠BAE＝150°，
∴∠BEA＝∠ABE＝（180°﹣150°）＝15°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握正方形和等边三角形的性质是解题的关键．
11．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（　　）

A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB
【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
解：A、当∠ACD＝∠B时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
B、当∠ADC＝∠ACB时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
C、当时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；
D、当AC2＝AD•AB时，即，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
12．若关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0
【分析】由于k的取值范围不能确定，故应分k＝0和k≠0两种情况进行解答．
解：（1）当k＝0时，﹣6x+9＝0，解得x＝；
（2）当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4k×9≥0，解得k≤1，
由（1）、（2）得，k的取值范围是k≤1．
故选：B．
【点评】本题考查的是根的判别式，解答此题时要注意分k＝0和k≠0两种情况进行讨论．
13．在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：
甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．
乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（　　）

A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断．
解：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，平移后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似，
∴甲说法正确；
乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边不平行，因此各角与原菱形角不相等，即新菱形与原矩形不相似．
∴乙说法不正确．
故选：C．
【点评】此题考查了菱形的判定与性质．此题难度不大，掌握相似多边形的判定方法是解题的关键．
14．关于x的方程m（x+h）2+k＝0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，则方程m（m+h﹣3）2+k＝0的解是（　　）
A．x1＝﹣6，x2＝﹣1 B．x1＝0，x2＝5
C．x1＝﹣3，x2＝5 D．x1＝﹣6，x2＝2
【分析】用字母表示出原方程的解和要求解方程的解，根据代数式关系求解即可．
解：解方程m（x+h）2+k＝0（m、h、k均为常数，m≠0）得，x＝﹣h±，
∵此方程解是x1＝﹣3，x2＝2，
∴﹣h﹣＝﹣3，﹣h+＝2，
∵方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是x＝3﹣h±，
∴x1＝3﹣3＝0，x2＝3+2＝5，
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解，根据原方程的解得出代数式的值是解题的关键．
15．正方形ABCD边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG且边FG过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（　　）

A．保持不变 B．一直变小
C．先变小后变大 D．先变大后变小
【分析】连接DE，△CDE的面积是矩形CFGE的一半，也是正方形ABCD的一半，则矩形与正方形面积相等．
解：连接DE，

∵＝，S四边形CEGF＝EC•GE，S正方形ABCD＝CD•AD，
∴＝，
∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质、矩形的性质，连接DE由面积关系进行转化是解题的关键．
16．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2＝PH•PC
其中正确的是（　　）

A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④
【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．
解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴BE＝2AE；故①正确；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠FDP＝∠PBD，
∵∠DFP＝∠BPC＝60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正确；
∵∠FDP＝∠PBD＝15°，∠ADB＝45°，
∴∠PDB＝30°，而∠DFP＝60°，
∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD与△PDB不相似；故③错误；
∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴，
∴DP2＝PH•PC，故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分，17-18小题各3分19小题每空2分）
17．若，则值为 　　．
【分析】根据已知，设x＝3k，y＝2k，所以＝＝．
解：∵，
∴设x＝3k，y＝2k，
∴
＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，用k表示出x、y是解题关键．
18．已知一等腰三角形的底边长为5，腰长为方程x2﹣8x+12＝0的根，该等腰三角形的周长为 　17　．
【分析】利用因式分解法求出方程的解确定出腰长，进而求出周长即可．
解：方程x2﹣8x+12＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x﹣6）＝0，
所以x﹣2＝0或x﹣6＝0，
解得：x＝2或x＝6，
当x＝2时，三边为2，2，5，2+2＜5，不能构成三角形，舍去；
当x＝6时，三边为6，6，5，5+6＞6，能构成三角形，其周长为6+6+5＝17，
综上，该等腰三角形的周长为17．
故答案为：17．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握因式分解法解方程以及各自的性质是解本题的关键．
19．已知三个边长分别为2，3，5的三个菱形如图排列，菱形的较小锐角为60°，则CF＝　　，图中阴影部分的面积为 　　．

【分析】由菱形的性质来证明△ABH∽△ADE，再利用相似三角形对应边成比例的性质来求得BH的长；同理，求出CF的长度；然后根据三角形的边角关系求出菱形BCGJ的高；最后求出菱形BCGJ的面积和梯形BHFC的面积，进而求得阴影部分的面积．
解：在△ADE和△ABH中，∠HAB＝∠EAD，
∵图中是三个菱形排列，
∴HB∥FC∥ED，
∴∠AHB＝∠AED，∠ABH＝∠ADE，
∴△ABH∽△ADE，
∴AB：AD＝BH：DE；
又∵AB＝2，AD＝2+3+5＝10，DE＝5，
∴BH＝1；
同理，求得CF＝；
∵菱形的较小锐角为60°，即∠HBC＝∠FCD＝60°，

∴梯形BHFC，即菱形JBCG的高JM＝3×sin60°＝，
∴S梯形BHFC＝×（1+）×＝，
S菱形JBCG＝3×＝，
∴S阴影＝S菱形JBCG﹣S梯形BHCF＝．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，梯形与菱形的面积以及三角形中的边角关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共68分）
20．解方程
（1）2x2﹣7x+3＝0
（2）（x﹣2）2＝2x﹣4．
【分析】（1）本题可以运用因式分解法解方程．因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解．
（2）通过移项，提公因式分解因数，使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解．
解：（1）2x2﹣7x+3＝0
原方程可变形为（2x﹣1）（x﹣3）＝0
∴2x﹣1＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝，x2＝3．
（2）（x﹣2）2＝2x﹣4．
原方程可变形为（x﹣2）2＝2（x﹣2），
移项得，（x﹣2）2﹣2（x﹣2）＝0，
提公因式得（x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝2，x2＝4．
【点评】本题考查了一元二次方程解方程﹣因数分解法，根据方程的特点，灵活选择解方程的方法，一般能用因式分解法的要用因式分解法，难以用因式分解法的再用公式法．
21．在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．
（1）在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为 　（﹣5，﹣1）　．
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1；
（3）△OAB的内部一点M的坐标为（a，b），直接写出点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为 　（2a，2b）　．


【分析】（1）分别延长A1A、B1B、O1O，它们的交点为P点，再写出P点坐标；
（2）把A、B点的横纵坐标都乘以2得到A2、B2点的坐标，然后描点即可；
（3）利用（2）中对应点的坐标变换规律求解．
解：（1）如图，点P为所作，P点坐标为（﹣5，﹣1）；

故答案为：（﹣5，﹣1）；
（2）如图，△OA2B2为所作；
（3）点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为（2a，2b）．
故答案为：（2a，2b）．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
22．随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为　　；
（2）用列表法或画树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，找出李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数，然后根据概率公式计算．
解：（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率＝；
故答案为：；
（2）画树状图为：

共有16种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4，
所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
23．阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+2x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）问题：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝　﹣2　，x3＝　1　；
（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解．
【分析】（1）通过因式分解把方程转化为x（x2+x﹣2）＝0，再用因式分解法求解x2+x﹣2＝0即可；
（2）方程两边平方，把无理方程先转化为整式方程，求解整式方程并检验．
解：（1）x3+x2﹣2x＝0，
x（x2+x﹣2）＝0，
∴x（x+2）（x﹣1）＝0．
∴x＝0或x+2＝0或x﹣1＝0．
∴x1＝0，x2＝﹣2，x3＝1．
故答案为：﹣2，1．
（2）方程＝x两边平方，得2x+3＝x2，
∴x2﹣2x﹣3＝0．
∴（x﹣3）（x+1）＝0．
∴x1＝3，x2＝﹣1．
经检验，x＝3是原方程的解．
所以原方程的解为：x＝3．
【点评】本题考查了高次方程、无理方程等知识点，掌握转化的思想和一元二次方程的解法是解决本题的关键．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．
（1）证明：四边形ADCE为菱形．
（2）BC＝6，AB＝10，求菱形ADCE的面积．

【分析】（1）先证明四边形ADCE是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD＝AB＝AD，即可得出四边形ADCE为菱形；
（2）利用菱形的性质、勾股定理求得菱形ADCE的对角线的长度，然后根据菱形的面积＝DE•AC解答即可．
【解答】证明：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝AB＝AD，
又∵AE∥CD，CE∥AB
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴平行四边形ADCE是菱形；

（2）在Rt△ABC中，AC＝＝＝8．
∵平行四边形ADCE是菱形，
∴CO＝OA，
又∵BD＝DA，
∴DO是△ABC的中位线，
∴BC＝2DO．
又∵DE＝2DO，
∴BC＝DE＝6，
∴S菱形ADCE＝＝＝24．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质，注意菱形与平行四边形间的联系与区别．
25．在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．
（1）若丝绸条带的面积为650cm2，求丝绸条带的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价为100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天把销售单价定为多少元时，当日所获利润为22500元．

【分析】（1）设出花边的宽，然后表示出花边的长，利用面积公式表示出其面积即可列出方程求解；
（2）设每件工艺品降价y元出售，则降价y元后可卖出的总件数为（200+20y），每件获得的利润为（100﹣y﹣40），此时根据获得的利润＝卖出的总件数×每件工艺品获得的利润﹣2000，列出次方程，求解即可．
解：（1）设条带的宽度为xcm，
根据题意，得（60﹣2x）（40﹣x）＝60×40﹣650．
整理，得x2﹣70x+325＝0，
解得x1＝5，x2＝65（舍去）．
答：丝绸条带的宽度为5cm．
（2）设每件工艺品降价y元出售，
由题意得：（100﹣y﹣40）（200+20y）﹣2000＝22500．
解得：y1＝y2＝25．
所以售价为100﹣25＝75（元）．
答：当售价定为75元时能达到利润22500元．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出一元二次方程模型，难度不大．
26．如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤360°），直线BE，DF相交于点P．
（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置上，则线段BE与DF的位置关系是 　BE＝DF　，数量关系是 　BE⊥DF　．
（2）若AD＝nAB（n≠1）将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由．
（3）若AB＝6，BC＝8，将△AEF旋转至AE⊥BE时，请直接写出DP的长．

【分析】（1）如图2中，结论：BE＝DF，BE⊥DF．证明△ABE≌△ADF（SAS），利用全等三角形的性质可得结论．
（2）结论：DF＝nBE，BE⊥DF，证明△ABE∽△ADF（SAS），利用相似三角形的性质可得结论．
（3）分两种情形画出图形，利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可．
解：（1）如图2中，结论：BE＝DF，BE⊥DF．

理由：∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，
AE＝AB，AF＝AD，
∴AE＝AF，
∵∠DAB＝∠EAF＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF，
∵∠ABE+∠AHB＝90°，∠AHB＝∠DHP，
∴∠ADF+∠PHD＝90°，
∴∠DPH＝90°，
∴BE⊥DF．
故答案为BE＝DF，BE⊥DF．

（2）如图3中，结论不成立．结论：DF＝nBE，BE⊥DF，

∵AE＝AB，AF＝AD，AD＝nAB，
∴AF＝nAE，
∴AF：AE＝AD：AB，
∴AF：AE＝AD：AB，
∵∠DAB＝∠EAF＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴△BAE∽△DAF，
∴DF：BE＝AF：AE＝n，∠ABE＝∠ADF，
∴DF＝nBE，
∵∠ABE+∠AHB＝90°，∠AHB＝∠DHP，
∴∠ADF+∠PHD＝90°，
∴∠DPH＝90°，
∴BE⊥DF．

（3）如图4﹣1中，当点P在BE的延长线上时，

在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝6，AE＝3，
∴BE＝＝3，
∵△ABE∽△ADF，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝4，
∵四边形AEPF是矩形，
∴AE＝PF＝3，
∴PD＝DF﹣PF＝4﹣3；

如图4﹣2中，当点P在线段BE上时，同法可得DF＝4，PF＝AE＝3，

∴PD＝DF+PF＝4+3，
综上所述，满足条件的PD的值为4﹣3或4+3．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．