2022-2023学年福建省三明市将乐一中九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省三明市将乐一中九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  下列四组线段不能围成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

3.  一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定

4.  一元二次方程的解是(    )

A.  B.
C. ， D. ，

5.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图是反比例函数的图象，点是反比例函数图象上任意一点，过点作轴于点，连接，则的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于点，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

8.  设的小数部分是，的整数部分是，则的值是(    )

A.  B.  C.  D. 一个无理数

9.  如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知二次函数的图象过，两点若，则；若，则；若，，且，则；若，，且，则抛物线的顶点一定在第三象限上述四个判断正确的个数有(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  因式分解：          ．

12.  已知点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是        ．

13.  已知一个角的补角是它余角的倍，那么这个角等于______

14.  已知与相切，则的值是        ．

15.  如图，在中，为的中点，点为上一点，：：，、交于点，若，则的面积为______．

16.  在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”例如，都是“黎点”若抛物线、为常数上有且只有一个“黎点”，当时，求的取值范围        ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17.  解分式方程：．

四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
解方程：．

19.  本小题分
如图，在▱中，对角线，相交于点，是边上一点，延长交边于点．
求证：．

20.  本小题分
先化简，再求值：其中，，．

21.  本小题分
如图，已知，，分别是射线，上的点．
尺规作图：在的内部确定一点，使得且；保留作图痕迹，不写作法
在中，连接，用无刻度直尺在线段上确定一点，使得，并证明．

22.  本小题分
如图所示，在平面直角坐标系中，点、分别在函数、的图象上，点在第二象限内，轴于点，轴于点，连接、，已知点的纵坐标为．

求点的横坐标；
记四边形的面积为，若点的横坐标为，试用含的代数式表示．

23.  本小题分
某商场新进一批拼装玩具，进价为每个元，在销售过程中发现，日销售量个与销售单价元之间满足如图所示的一次函数关系．
求与的函数关系式不要求写出自变量的取值范围；
若该玩具某天的销售利润是元，则当天玩具的销售单价是多少元？
设该玩具日销售利润为元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？

24.  本小题分
如图，等腰三角形和等腰三角形，其中，．
如图，若，当、、共线时，的延长线交于点，则        ；
如图，连接、，延长交于点，若点是的中点，，证明：；
如图，延长到点，连接，使得，延长、交于点，连接，若，请写出、之间的数量关系，并写出证明过程．
 

25.  本小题分
如图，函数的图象经过点，两点，，分别是方程的两个实数根，且．
Ⅰ求，的值以及函数的解析式；
Ⅱ对于Ⅰ中所求的函数；
当时，求函数的最大值和最小值；
设函数在内的最大值为，最小值为若，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、与不是同项，不能合并，故不合题意；
B、，故不合题意；
C、，符合题意；
D、，故不合题意；
故选：．
A、根据合并同类项运算法则计算判断即可；、根据幂的乘方与积的乘方的运算法则计算判断即可；、根据合并同类项运算法则计算判断即可；、根据完全平方公式计算判断即可．
此题考查的是完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，合并同类项运算，掌握它们的运算法则是解决此题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故是直角三角形，故不符合题意；
B、，故是直角三角形，故不符合题意；
C、，故是直角三角形，故不符合题意；
D、，故不是直角三角形，故符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

3.【答案】 

【解析】解：方程化为一般式为，
，
方程有两个相等的实数根．
故选：．
先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

4.【答案】 

【解析】解：或，
所以，．
故选：．
利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．
 

5.【答案】 

【解析】解：原式
．
故选：．
直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质、完全平方公式、二次根式的混合运算分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质、完全平方公式、二次根式的混合运算法则，正确化简各数是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，，
为反比例函数图象上一点，
，
，
故选：．
由反比例函数的几何意义可知，，也就是的面积的倍是，求出的面积是．
考查反比例函数的几何意义，反比例函数的图象，反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握的绝对值，等于的面积的倍．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
垂直平分，
，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：的整数部分是，
的小数部分是，
即，
的整数部分是，
即，
，
故选：．
先确定出，的值，再通过计算求解此题．
此题考查了实数的估算与计算能力，关键是能准确理解并运用相关知识．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，如图所示：

在中，，
，

，
当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，
此时，，
是等边三角形，
，
在中，，，，
，
，
，
的最小值为，
故选：．
过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，在中，当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长．
本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．
 

10.【答案】 

【解析】解：若时，当时，，正确；
若时，即函数的对称轴是直线，也确定不了、的大小，故，错误；
若，，即：，，
解得：，而，即：，，错误；
若，，且，
即：，
把、的值代入上式得：，
则，，
则抛物线对称轴为轴左侧，开口向上，
，
故顶点一定在第三象限，正确；
故选：．
若时，当时，，此时，确定不了的值，，正确；
若时，即函数的对称轴是直线，分两种情况，，则，否则，故，故错误；
若，，即：，，而，即：，，正确；
若，，且，即：，把、的值代入上式得：，则，，代入顶点坐标即可求解，正确．
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，涉及到函数基本性质、解不等式等相关知识，难度较大．
 

11.【答案】 

【解析】

解：．
故答案为：．
【分析】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．  

12.【答案】 

【解析】解：点关于轴的对称点在第二象限，
点在第一象限，
，
解得：．
故答案为：．
直接利用关于轴对称点的性质得出关于的不等式组，进而得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确得出点位置是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设这个角为，则余角为，补角为，
由题意得，，
解得：，即这个角的度数为．
故答案为：．
设这个角为，则余角为，补角为，列出方程求解即可．
本题考查了余角和补角的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握：互补的两角之和为，互余的两角之和为．
 

14.【答案】 

【解析】解：由和得，
整理得，
直线与双曲线只有一个公共点，
关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得，
故答案为：．
由和得，则，当直线与双曲线相切时，则关于的一元二次方程有两个相等的实数根，由根据的判别式的值为得，解方程求出的值即可．
此题重点考查一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式等知识，根据直线与双曲线相切得到一元二次方程是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：点为的中点，
．
：：，
，
，
，解得．
故答案为：．
根据为的中点可知，，再由：：可知，，进而可得出结论．
本题考查的是三角形的面积，熟知三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分是解答此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：抛物线、为常数上有且只有一个“黎点”，
方程有且只有一个解，
即，，
，
，
，
．
故答案为：．
抛物线、为常数上有且只有一个“黎点”，推出方程有且只有一个解，即，，可得结论．
本题考查反比例函数图象上的点特征，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．
 

17.【答案】解：去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验是分式方程的解． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

18.【答案】解：，
，
，
，
或，
，． 

【解析】先移项，再提取公因式即可．
本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由“”可证≌，进而可以解决问题．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式

，
当，时，
原式


． 

【解析】原式去括号，合并同类项进行化简，然后代入求值．
本题考查整式的加减化简求值，掌握合并同类项系数相加，字母及其指数不变和去括号的运算法则括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号是解题关键．
 

21.【答案】解：如图，点即为所求．


如图，点即为所求．
理由：由得，，
，，
∽，
，
． 

【解析】过点作，在射线上截取，使得，作线段的垂直平分线即可解决问题．
连接，交于点，点即为所求．利用相似三角形的性质证明即可．
本题考查作图复杂作图，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：点在函数的图象上，点的纵坐标为，
，解得，
点的横坐标为；
点在函数的图象上，点的横坐标为，
，
，，
，
，，
，，
 

【解析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，表示出线段的长度是解题的关键．
把代入即可求得；
求得，即可得到，则，，然后根据即可得到结论．
 

23.【答案】解：设一次函数的关系式为，
由题图可知，函数图象过点和点．
把这两点的坐标代入一次函数，
得，
解得，
一次函数的关系式为；
根据题意，设当天玩具的销售单价是元，
由题意得，
，
解得：，，
当天玩具的销售单价是元或元；
根据题意，则，
整理得：；
，
当时，有最大值，最大值为；
当玩具的销售单价定为元时，日销售利润最大；最大利润是元． 

【解析】直接用待定系数法，求出一次函数的关系式；
根据题意，设当天玩具的销售单价是元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；
根据题意，列出与的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．
本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，一次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解掌握题意，正确的找出题目中的等量关系，列出方程或函数关系式，从而进行解题．
 

24.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：；
证明：延长至，使，连接，

，
，
，，
≌，
，，
为的中点，
，
又，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：．
证明：在上截取，连接，

，，
，
又，
≌，
，，，
，
，
，
又，
≌，
，
，，
，
，
，
，
，
．
由等腰三角形的性质得出，证出，由等腰直角三角形的性质可得出答案；
延长至，使，连接，证明≌，由全等三角形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，，证出，则可得出结论；
在上截取，连接，证明≌，得出，，，证明≌，由全等三角形的性质得出，证出，由等腰三角形的性质可得出结论．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：，分别是方程的两个实数根，且，
，
，，
，，
，，
把，代入得，，解得，
函数解析式为；
抛物线的对称轴为直线，顶点为，
在范围内，
当时，；当时，；
当函数在内的抛物线完全在对称轴的左侧，当时取得最小值，最大值，
令，即，解得．
当时，此时，，不合题意，舍去；
当函数在内的抛物线分别在对称轴的两侧，
此时，令，即解得：舍，舍；
或者，即不合题意，舍去，舍；
当时，此时，，不合题意，舍去；
当函数在内的抛物线完全在对称轴的右侧，当时取得最大值，最小值，
令，解得．
综上，或． 

【解析】首先解方程求得、两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
确定抛物线的对称轴是直线，根据增减性可知：时，有最大值，当时，有最小值；
分种情况：当函数在内的抛物线完全在对称轴的左侧；当时；当函数在内的抛物线分别在对称轴的两侧，因为两点的横坐标的距离为，所以距离大于的值要舍去；当时，函数在内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答．
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点公式，三角形相似的性质和判定，勾股定理的逆定理，最值问题等知识，注意运用分类讨论的思想解决问题．