2022-2023学年湖北省十堰市竹山县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省十堰市竹山县九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 要使方程是关于的一元二次方程，则(    )

A.  B.
C. 且 D. 且且

3. 如果将抛物线向下平移个单位，那么所得新抛物线的表达式是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 若方程的两根为和，且，则下列结论中正确的是(    )

A. 是的算术平方根 B. 是的平方根
C. 是的算术平方根 D. 是的平方根

5. 若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

6. 抛物线的图象过原点，则为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 当，，时，下列图象有可能是抛物线的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 如图，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，当点恰好落在边上时，连接，若，则的度数是(    )
    

A.  B.  C.  D.

9. 下面对于二次三项式的值的判断正确的是(    )

A. 恒大于 B. 恒小于 C. 不小于 D. 可能为

10. 两个少年在绿茵场上游戏．小红从点出发沿线段运动到点，小兰从点出发，以相同的速度沿逆时针运动一周回到点，两人的运动路线如图所示，其中两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点的距离与时间单位：秒的对应关系如图所示．则下列说法正确的是(    )
    
     

A. 小红的运动路程比小兰的长
B. 两人分别在秒和秒的时刻相遇
C. 当小红运动到点的时候，小兰已经经过了点
D. 在秒时，两人的距离正好等于的半径

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 方程的根为______．
12. 若二次函数的图象上有两个点、，则与的大小关系是 ______填不等号．
13. 一种药品原价每盒元，两次降价后每盒元．设两次降价的百分率都为，可列方程          ．
14. 如图，含有的直角三角板，，，将绕着点逆时针旋转，得到，使得点落在边上的点处，过点的直线，则______．

15. 如图，抛物线与直线相交于点， ，则关于的方程的解为______．
     
16. 如图，是等边三角形，以为边向外作，使，且，，连接，则的长为______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17. 解下列一元二次方程：
    ；   
    ．

四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    如图所示，把一个直角三角尺绕着角的顶点顺时针旋转，使得点与的延长线上的点重合．
    三角尺旋转了多少度？
    连接，试判断的形状．
    求的度数．

19. 本小题分
    元旦了，九班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共件，求九班有多少个同学？
20. 本小题分
    如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，、的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系
    点的坐标为______，点的坐标为______．
    以原点为中心，将逆时针旋转，得到请在网格内画出，并写出点和的坐标______，______．

21. 本小题分
    已知抛物线的顶点为，并且经过点，试确定此抛物线的解析式．并写出对称轴方程．
22. 本小题分
    关于的一元二次方程．
    求证：方程总有两个实数根；
    若方程的两个实数根都是正整数，求的最小值．
23. 本小题分
    某超市销售一种牛奶，进价为每箱元，规定售价不低于进价，现在的售价为每箱元，每月可销售箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价元，则每月的销量将增加箱，设每箱牛奶降价元为非负整数，每月的销量为箱．
    写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
    超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？
    超市计划每月销售这种牛奶的利润不低于元，该如何定价？
24. 本小题分
    如图，在中，，以点为中心，把逆时针旋转，得到；再以点为中心，把顺时针旋转，得到，连接，则与的位置关系为______；
    如图，当是锐角三角形，时，将按照中的方式旋转，连接，探究与的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；
    如图，在图的基础上，连接，若，的面积为，则的面积为______．
     
25. 本小题分
    如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．
    求抛物线的解析式及顶点的坐标；
    判断的形状，证明你的结论；
    点是轴上的一个动点，当的值最小时，求的值．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为得，，．
故选：．
利用一元二次方程定义可得，再解不等式即可．
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的图象与几何变换，属于基础题．
根据二次函数的图象与几何变换的规律，即可得到答案．
【解答】
解：抛物线向下平移个单位，
抛物线的解析式为，即．
故选C．  

4.【答案】 

【解析】解：方程的两根为和，
和是的两个平方根，且互为相反数，
，
是的算术平方根，
故选：．
结合平方根和算术平方根的定义可做选择．
本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，熟记定义是解答此题的关键．一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根记为．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，方程无实数根，



一次函数中，一次项的系数小于，常数项也小于，其图象不经过第一象限．
故选：．
若一元二次方程无实数根，则，求得的取值范围，确定函数图象的情况．
根据判别式确定的取值范围，根据一次函数图象的特点确定所经过的象限．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
所以．
故选：．
把原点坐标代入抛物线，即可求出．
此题考查了点与函数的关系，点在图象上，将点代入函数解析式即可求得．
 

7.【答案】 

【解析】解：，抛物线开口向上；
，对称轴为，抛物线的对称轴位于轴右侧；
，与轴的交点为在轴的正半轴上．
故选：．
根据二次函数的图象与系数的关系可知．
本题考查二次函数的图象与系数的关系．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．旋转前、后的图形全等．
由旋转性质知≌，据此得、，继而可得答案．
【解答】
解：由题意知≌，
则，，
，
故选D．  

9.【答案】 

【解析】解：，
原式恒小于．
故选：．
根据式子中含有和还有一个常数，因此我们易想到凑成完全平方公式，因此我们先提一个负号，凑成，这时候我们就容易观察到中括号里面恒大于零，因此总体上就恒小于零．
这道题比较灵活，需要分解常数来凑完全平方公式再去判断大小，同时我们需要在分解常数时候需要注意到前面的负号．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查动点问题函数图象、解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
利用图象信息一一判断即可解决问题．
【解答】
解：、小红的运动路程比小兰的短，故本选项不符合题意；
B、两人分别在秒和秒的时刻与点距离相等，故本选项不符合题意；
C、当小红运动到点的时候，小兰还没有经过了点，故本选项不符合题意；
D、当小红运动到点的时候，两人的距离正好等于的半径，此时，故本选项正确；
故选：．  

11.【答案】， 

【解析】解：原方程因式分解得：
           ，
      则或，
解得：，．
故答案为：，．
利用因式分解法求解即可得答案．
本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
 

12.【答案】 

【解析】解：二次函数数的对称轴是直线，开口向上，
点距离对称轴较近，距离对称轴较远，
．
故答案为：．
先根据已知条件求出二次函数的对称轴，再根据点、距离对称轴的远近即可判断．
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由两次降价的百分率都为结合原价及两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：设两次降价的百分率都为，
根据题意，得：．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：中，，，
，
绕着点逆时针旋转，得到，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：
首先根据直角的性质求出，利用旋转的性质求出是等边三角形，进而求出，再利用平行线的性质得到，结合，即可求出的度数．
本题主要考查了旋转的性质的知识，解答本题的关键是求出，利用平行线的性质即可解题，此题难度不大．
 

15.【答案】， 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题，二次函数与一元二次方程的有关知识．
关于的方程的解为抛物线与直线交点的横坐标．
【解答】

解：抛物线与直线相交于点， ，
方程的解就是抛物线与直线交点的横坐标，
关于的方程的解为，．
故答案为：，．

16.【答案】 

【解析】解：如图，
作，且，连接、，
因为，
所以，，
所以是等边三角形，
所以，，
因为，，，
所以≌，
而，，
所以．
故答案为：．
如图，作，且，连接、；然后根据三角形全等的判定方法，判断出≌，所以；最后在直角三角形中，根据勾股定理，求出的长度，即可求出的长为多少．
此题主要考查了全等三角形的判断方法和性质，以及等边三角形的特征、勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：≌，进而判断出的长等于的长．
 

17.【答案】解：，
，
，
，
所以，；
，
，，，
，
，
所以，． 

【解析】本题考查了根据配方法和公式法解一元二次方程．
利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
利用公式法解方程．
 

18.【答案】解：旋转后与重合，，
，
三角尺旋转了．

由旋转而成，
≌，
，是等腰三角形．

≌，
，
，
是等腰三角形，
．
故答案为：；等腰；． 

【解析】根据两角互补的性质求出的度数即可；
根据图形旋转不变性的性质得出≌，故可得出，由此即可得出结论；
根据图形选旋转不变性的性质求出的度数，再由等腰三角形的性质即可得出的度数．
本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：设九班有个同学，则每个同学交换出件小礼物，
根据题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：九班有个同学． 

【解析】设九班有个同学，则每个同学交换出件小礼物，根据全班交换小礼物共件，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

20.【答案】       

【解析】解：如图所示，点坐标为：，点坐标为：；
故答案为：，；

如图所示，即为所求，和的坐标分别为，．
故答案为：，．
直接根据图形即可写出点和的坐标；
直接依据旋转中心，旋转方向以及旋转角度，即可得到．
本题考查了旋转变换作图，解题关键是根据变换要求找出变换后的对应点．旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
 

21.【答案】解：抛物线的顶点为，
可设抛物线解析式为，
将点代入，得：，
解得：，
则此抛物线的解析式为，
其对称轴方程为． 

【解析】根据题意可以设出该抛物线的顶点式，然后根据该抛物线过点，即可求得的值，本题得以解决．
本题考查待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，设出相应的函数解析式．
 

22.【答案】证明：依题意，得

．
，
．
方程总有两个实数根．

解：解方程，得，，
方程的两个实数根都是正整数，
．
．
的最小值为． 

【解析】先根据方程总有两个实数根列出关于的代数式，判断即可；
根据题意得到和是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求的最小值．
本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解，在解答时得到方程的两个根是解题的关键．
 

23.【答案】解：根据题意，得：，
由得，
，且为整数，
与之间的函数关系式为，自变量的取值范围为，且为非负整数；
设所获利润为元，
则

，
，
函数开口向下，有最大值，
当时，取得最大值，最大值为，
答：超市定价为元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是元；
当时，则，
解得，，
根据中解析式可知抛物线开口向下，
超市计划每月销售这种牛奶的利润不低于元，
，
又，
，
，
每箱牛奶的定价在元和元之间的整数值包括和． 

【解析】根据价格每降低元，平均每月多销售箱，由每箱降价元，多卖，据此可以列出函数关系式；
由利润售价成本销售量列出函数关系式，求出最大值；
令，解方程，再根据问题的实际意义对方程的解作出取舍，则定价也可求得．
本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系正确列式，是解题的关键．
 

24.【答案】平行；
；
证明：过作，交于，则，
由旋转的性质知，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
． 

【解析】

解：由旋转的性质可知，，，，
，
，
，又，
四边形是平行四边形，
，
故答案为：平行；
见答案；
，
，
由得，，
的面积：的面积，
的面积为，
的面积为，
故答案为：．
【分析】
根据旋转变换的性质、平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质证明；
过作，交于，证明四边形是平行四边形即可；
根据两平行线间的距离相等求出的面积与的面积之比，计算即可．
本题考查的是旋转变换的性质、三角形的性质、平行四边形的判定和性质，掌握两平行线间的距离相等、旋转变换的性质是解题的关键．  

25.【答案】解：点在抛物线上，
，解得
抛物线的解析式为．

，
顶点的坐标为

当时，，．
当时，，，，
，，．
，，，
是直角三角形．

作出点关于轴的对称点，则，，
连接交轴于点，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，的值最小．

解法一：设抛物线的对称轴交轴于点．
轴，，
∽．

，
．

解法二：设直线的解析式为，
则，
解得：．
．
当时，，．
． 

【解析】把点的坐标代入抛物线解析式，求的值，即可得出抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出顶点坐标；
根据直角三角形的性质，推出，，即，即可确定是直角三角形；
作出点关于轴的对称点，则，连接交轴于点，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，的值最小．
解法一：设抛物线的对称轴交轴于点∽，然后根据三角形相似的有关性质定理，求的值；
解法二：待定系数法求出直线的解析式，令进而可解．
本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、勾股定理的逆定理、轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，作出辅助线，找对相似三角形．