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第7章 锐角三角函数 苏科版数学九年级下册单元测试卷(含答案)
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这是一份第7章 锐角三角函数 苏科版数学九年级下册单元测试卷(含答案)，共23页。
第7章 锐角三角函数单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．用计算器求sin24°37'的值，以下按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，点A在半径为6的⊙O内，OA＝2，P为⊙O上一动点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于（ ）
A．3 B．2 C． D．2
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（ ）
A．tanB＝ B．cotB＝ C．sinB＝ D．cosB＝
4．在Rt△ABC中，∠B＝90°，cosA＝，则sinA＝（ ）
A． B． C． D．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanB＝（ ）
A． B． C． D．
6．若锐角α满足tanα＝，则角α＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．如图，小羽利用仪器测量一电线杆AB的拉线AC的长度，测得拉线AC与水平地面BC的夹角为70°，并测得C点到电线杆的距离BC为5米，则拉线AC的长度为（ ）
A．米 B．米 C．5sin70°米 D．5cos70°米
8．如图，某中学初三数学兴趣小组的学生测量教学楼AB的高度，已知测量人员与教学楼的水平距离BC为18m，在C处观测楼顶A的仰角为a，測量人员的眼睛与地面的距离CD为1.5m．则教学楼的高度是（ ）
A．18•tanαm B．（18•tanα+1.5）m
C．18•sinαm D．（18•cosα+1.5）m
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为AB上一点且AE＝4EB，EF⊥AC于F，连结FB，则tan∠CFB＝（ ）
A． B． C． D．
10．如图，小明在数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，他和同学在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点P和点B，使BP⊥AP．利用工具测得PB＝50米，∠PBA＝α，根据测量数据可计算得到小河宽度PA为（ ）
A．50sinα米 B．50cosα米 C．50tanα米 D．米
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．一山坡的的坡比为3：4，一人沿山坡向上走了25米，那么这人垂直高度上升了 米．
12．若cosθ＝，则锐角θ的度数是 ．
13．如图是北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔，此设计体现了环保低碳理念，它的主体形状呈正六边形，若点A，B，C是正六边形的三个顶点，则cos∠ABC＝ ．
14．请从下列两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一个计分．
A．用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的内个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1．用n个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为 ．
B．用科学计算器计： +3tan56°≈ （结果精确到0.01）．
15．若α是锐角，且sinα＝1﹣3m，则m的取值范围是 ；将cos21°，cos37°，sin41°，cos46°的值，按由小到大的顺序排列是 ．
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝，则tanB＝ ．
17．在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝3，BC＝1，则cosA的值为 ．
18．如图，广州塔与木棉树间的水平距离BD为600m，从塔尖A点测得树顶C点的俯角α为44°，测得树底D点俯角β为45°，则木棉树的高度CD是 ．（精确到个位，参考数据：sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.96）
19．如图，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为R海里的圆形海域内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上，且A，P之间的距离为36海里，若轮船自A处开始调整为沿南偏东60°的方向航行，恰好能安全通过这一海域，则R＝ ．
20．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝2，cosC＝．BC的垂直平分线交AB于点E，那么BE：AE的值是 ．
三．解答题（共6小题，满分90分）
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin∠A＝，求BC的长和tan∠B的值．
22．（1）如图甲，已知：在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝4，求AB；
（2）如图乙，已知：在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝15°，AC＝1，求AB．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D的直线EF交AC于点F，交AB的延长线于点E，且∠BAC＝2∠BDE．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）当CF＝2，∠E＝30°时，求图中阴影部分的面积．
24．某商场准备改善原有自动楼梯的安全性能，把倾斜角由原来的37°减至30°（如图所示），已知原楼梯AB的长为7.5米，调整后的楼梯会多占一段地面BD，求BD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
25．在△ABC中，
（1）若∠的值；
（2）若∠A＝35°，∠B＝65°，试比较cosA与sinB大小，说明理由．
26．如图一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时剥得灯塔在北偏东30°方向上．
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．用计算器求sin24°37'的值，以下按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：先输入正弦函数，再输入度数，按＝号即可，
故选：A．
2．如图，点A在半径为6的⊙O内，OA＝2，P为⊙O上一动点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于（ ）
A．3 B．2 C． D．2
解：方法1：作OH⊥PA于H，如图，
∵sin∠OPA＝，
∵OP＝6，
∴当OH最大时，即OH＝OA＝2时，∠OPA最大，
此时PA＝＝＝2，
方法2：如图，
点A的轨迹是以点O为圆心，2为半径的圆（图中小圆O），
当PA与小圆O相切时，∠OPA最大，
此时PA＝＝＝2，
故选：B．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（ ）
A．tanB＝ B．cotB＝ C．sinB＝ D．cosB＝
解：如图，根据勾股定理得：BC＝＝＝3，
tanB＝＝，
cotB＝＝，
sinB＝＝，
cosB＝＝，
故选：C．
4．在Rt△ABC中，∠B＝90°，cosA＝，则sinA＝（ ）
A． B． C． D．
解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，cosA＝，
∴设AB＝12k，AC＝13k，
∴BC＝＝＝5k，
∴sinA＝＝＝，
故选：A．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanB＝（ ）
A． B． C． D．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，
∴＝，
设AC＝4a，AB＝5a，
∴BC＝＝＝3a，
∴tanB＝＝＝，
故选：B．
6．若锐角α满足tanα＝，则角α＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
解：若锐角α满足tanα＝，则角α＝60°，
故选：C．
7．如图，小羽利用仪器测量一电线杆AB的拉线AC的长度，测得拉线AC与水平地面BC的夹角为70°，并测得C点到电线杆的距离BC为5米，则拉线AC的长度为（ ）
A．米 B．米 C．5sin70°米 D．5cos70°米
解：在Rt△ABC中，cosC＝，
则AC＝＝（米），
故选：B．
8．如图，某中学初三数学兴趣小组的学生测量教学楼AB的高度，已知测量人员与教学楼的水平距离BC为18m，在C处观测楼顶A的仰角为a，測量人员的眼睛与地面的距离CD为1.5m．则教学楼的高度是（ ）
A．18•tanαm B．（18•tanα+1.5）m
C．18•sinαm D．（18•cosα+1.5）m
解：如图，过D作DE⊥AB，
∵在D处测得教学楼的顶部A的仰角为α，
∴∠ADE＝α，
∵BC＝DE＝18m，
∴AE＝DE•tanα＝18•tanαm，
∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝（18•tanα+1.5）m，
则教学楼的高度是（18•tanα+1.5）m，
故选：B．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为AB上一点且AE＝4EB，EF⊥AC于F，连结FB，则tan∠CFB＝（ ）
A． B． C． D．
解：∵EF⊥AC，
∴∠AFE＝90°＝∠C，
∴EF∥BC，
∴，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
设AB＝2x，则CB＝x，
∴AC＝，
∴CF＝AC＝，
∴tan∠CFB＝＝．
故选：D．
10．如图，小明在数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，他和同学在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点P和点B，使BP⊥AP．利用工具测得PB＝50米，∠PBA＝α，根据测量数据可计算得到小河宽度PA为（ ）
A．50sinα米 B．50cosα米 C．50tanα米 D．米
解：∵BP⊥AP，
∴∠APB＝90°，
在Rt△ABP中，PB＝50米，∠PBA＝α，
∴AP＝PB•tanα＝50tanα（米），
∴小河宽度PA为50tanα米，
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．一山坡的的坡比为3：4，一人沿山坡向上走了25米，那么这人垂直高度上升了 15 米．
解：如图：AB＝25米，tanB＝3：4，
设AC＝3x，BC＝4x，
由勾股定理得：AB＝5x＝25，
解得：x＝5，
则AC＝3x＝15（米）．
故答案为：15．
12．若cosθ＝，则锐角θ的度数是 60° ．
解：∵cosθ＝，
∴θ＝60°．
故答案为：60°．
13．如图是北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔，此设计体现了环保低碳理念，它的主体形状呈正六边形，若点A，B，C是正六边形的三个顶点，则cos∠ABC＝ ．
解：连接AB、AC、BC．
∵主体形状呈正六边形，
∴△ABC是等边三角形．
∴∠ABC＝60°．
∴cos∠ABC＝cos60°＝．
故答案为：．
14．请从下列两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一个计分．
A．用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的内个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1．用n个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为 6 ．
B．用科学计算器计： +3tan56°≈ 6.18 （结果精确到0.01）．
解：A、由题意可知：正六边形的外角的2倍等于围成一圈后中间形成一个正多边形的内角，
由于正六边形的每一个外角为60°，
∴围成一圈后中间形成一个正多边形的每一个内角为120°，
∴该正多边形的边数为6；
B、原式≈1.732+3×1.482 6≈6.18；
故答案为：A、6；B、6.18
15．若α是锐角，且sinα＝1﹣3m，则m的取值范围是 0＜m＜ ；将cos21°，cos37°，sin41°，cos46°的值，按由小到大的顺序排列是 sin41°、cos46°、cos37°、cos21° ．
解：α是锐角，且sinα＝1﹣3m，
则有0＜1﹣3m＜1，
解得0＜m＜；
∵sin41°＝cos49°，
根据余弦函数随角增大而减小，
故有sin41°＜cos46°＜cos37°＜cos21°．
∴按由小到大的顺序排列是sin41°、cos46°、cos37°、cos21°．
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝，则tanB＝ ．
解：∵∠C＝90°，cosA＝，
∴sinB＝cosA＝，
∴cosB＝＝＝，
∴tanB＝＝＝．
故答案为：．
17．在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝3，BC＝1，则cosA的值为 ．
解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，
∴AC＝＝＝2，
∴cosA＝＝，
故答案为：．
18．如图，广州塔与木棉树间的水平距离BD为600m，从塔尖A点测得树顶C点的俯角α为44°，测得树底D点俯角β为45°，则木棉树的高度CD是 24米 ．（精确到个位，参考数据：sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.96）
解：如图：延长DC，交过点A的水平线于点E，
则BD＝AE＝600米，
在Rt△AED中，∠EAD＝45°，
∴DE＝AE•tan45°＝600×1＝600（米），
在Rt△AEC中，∠EAC＝44°，
∴EC＝AE•tan44°≈600×0.96＝576（米），
∴CD＝DE﹣CE＝600﹣576＝24（米），
∴木棉树的高度CD是24米，
故答案为：24米．
19．如图，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为R海里的圆形海域内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上，且A，P之间的距离为36海里，若轮船自A处开始调整为沿南偏东60°的方向航行，恰好能安全通过这一海域，则R＝ 54海里 ．
解：如图，由题意得，∠PAN＝60°，∠SAQ＝60°，AP＝36海里，
在Rt△APM中，∠PAM＝180°﹣60°﹣60°＝60°，AP＝36海里，
∴PM＝AP＝54（海里），
即R＝54海里，
故答案为：54海里．
20．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝2，cosC＝．BC的垂直平分线交AB于点E，那么BE：AE的值是 7 ．
解：过点A作AH⊥BC于H，作BC的垂直平分线交AB于点E、交BC于F，
在Rt△AHC中，cosC＝，AC＝2，
则＝，
解得：CH＝，
由勾股定理得：AH＝＝，
在Rt△ABH中，∠B＝45°，
则BH＝AH＝，
∴BC＝BH+CH＝，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BF＝，
∴FH＝BH﹣BF＝，
∵EF⊥BC，AH⊥BC，
∴EF∥AH，
∴＝＝7，
故答案为：7．
三．解答题（共6小题，满分90分）
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin∠A＝，求BC的长和tan∠B的值．
解：∵sin∠A＝，
∴＝，
∵AB＝15，
∴BC＝9；
∴AC＝＝12，
∴tan∠B＝＝＝．
22．（1）如图甲，已知：在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝4，求AB；
（2）如图乙，已知：在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝15°，AC＝1，求AB．
解：（1）如图甲，过C点作CD⊥AB于点D．
在Rt△ACD中，AC＝4，∠A＝30°，
∴CD＝AC＝2，AD＝CD＝2，
在Rt△BCD中，∠B＝45°，
∴BD＝CD＝2，
∴AB＝AD+BD＝2+2；
（2）如图乙，过C点作CD⊥AB于点D，在BD上取点E，使CE＝BE，
∴∠BCE＝∠B＝15°，
∴∠CED＝∠BCE+∠B＝30°．
在Rt△ACD中，∠A＝45°，AC＝1，
∴AD＝CD＝AC＝，
在Rt△CDE中，∠CED＝30°，
∴DE＝CD＝，CE＝2CD＝，
∴BE＝CE＝，
∴．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D的直线EF交AC于点F，交AB的延长线于点E，且∠BAC＝2∠BDE．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）当CF＝2，∠E＝30°时，求图中阴影部分的面积．
（1）证明：连接AD，OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ODA+∠ODB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵∠BAC＝2∠BDE，
∴∠BAD＝∠BDE，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠BDE，
∴∠BDE+∠ODB＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：过点D作DM⊥AB，垂足为M，
∵∠ODE＝90°，∠E＝30°，
∴∠DOE＝90°﹣∠E＝60°，
∵OD＝OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，OD＝BD＝OB，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∵OA＝OB，
∴OD是△BAC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠AFE＝∠ODE＝90°，
∴∠CFD＝180°﹣∠AFE＝90°，
∴CD＝＝＝4，
∴BD＝CD＝4，
∴OD＝BD＝OB＝4，
∴DM＝OD•sin60°＝4×＝2，
∴阴影部分的面积＝扇形DOB的面积﹣△ODB的面积
＝﹣OB•DM
＝π﹣×4×2
＝π﹣4，
∴阴影部分的面积为π﹣4．
24．某商场准备改善原有自动楼梯的安全性能，把倾斜角由原来的37°减至30°（如图所示），已知原楼梯AB的长为7.5米，调整后的楼梯会多占一段地面BD，求BD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
解：在Rt△ABC中，AB＝7.5米，∠ABC＝37°，
则AC＝AB•sin∠ABC≈7.5×0.60＝4.5（米），
BC＝AB•cos∠ABC≈7.5×0.80＝6（米），
在Rt△ADC中，∠ADC＝30°，
则CD＝＝4.5×≈4.5×1.73≈7.79（米），
∴BD＝CD﹣BC＝7.79﹣6≈1.8（米），
答：BD的长约为1.8米．
25．在△ABC中，
（1）若∠的值；
（2）若∠A＝35°，∠B＝65°，试比较cosA与sinB大小，说明理由．
解：（1）∵在直角△ABC中，∠A+∠B＝90°，
∴sinB＝cosA＝；
（2）∵cosA＝cos35°＝sin55°＜sin65°，
∴cosA＜sinB．
26．如图一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时剥得灯塔在北偏东30°方向上．
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？
解：（1）作PH⊥AB于H．
则AC∥PH∥BD，
∴∠APH＝∠CAP＝60°，∠BPH＝∠DBP＝30°，
∴∠APB＝∠APH﹣∠BPH＝30°；
（2）∵∠BAP＝∠BPA＝30°，
∴BA＝BP＝50海里，
在Rt△PBH中，∠PBH＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴PH＝PB•sin60°＝50×＝25（海里），
∵25＞25，
∴轮船继续向正东方向航行是安全的．
第7章 锐角三角函数单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．用计算器求sin24°37'的值，以下按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，点A在半径为6的⊙O内，OA＝2，P为⊙O上一动点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于（ ）
A．3 B．2 C． D．2
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（ ）
A．tanB＝ B．cotB＝ C．sinB＝ D．cosB＝
4．在Rt△ABC中，∠B＝90°，cosA＝，则sinA＝（ ）
A． B． C． D．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanB＝（ ）
A． B． C． D．
6．若锐角α满足tanα＝，则角α＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．如图，小羽利用仪器测量一电线杆AB的拉线AC的长度，测得拉线AC与水平地面BC的夹角为70°，并测得C点到电线杆的距离BC为5米，则拉线AC的长度为（ ）
A．米 B．米 C．5sin70°米 D．5cos70°米
8．如图，某中学初三数学兴趣小组的学生测量教学楼AB的高度，已知测量人员与教学楼的水平距离BC为18m，在C处观测楼顶A的仰角为a，測量人员的眼睛与地面的距离CD为1.5m．则教学楼的高度是（ ）
A．18•tanαm B．（18•tanα+1.5）m
C．18•sinαm D．（18•cosα+1.5）m
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为AB上一点且AE＝4EB，EF⊥AC于F，连结FB，则tan∠CFB＝（ ）
A． B． C． D．
10．如图，小明在数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，他和同学在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点P和点B，使BP⊥AP．利用工具测得PB＝50米，∠PBA＝α，根据测量数据可计算得到小河宽度PA为（ ）
A．50sinα米 B．50cosα米 C．50tanα米 D．米
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．一山坡的的坡比为3：4，一人沿山坡向上走了25米，那么这人垂直高度上升了 米．
12．若cosθ＝，则锐角θ的度数是 ．
13．如图是北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔，此设计体现了环保低碳理念，它的主体形状呈正六边形，若点A，B，C是正六边形的三个顶点，则cos∠ABC＝ ．
14．请从下列两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一个计分．
A．用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的内个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1．用n个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为 ．
B．用科学计算器计： +3tan56°≈ （结果精确到0.01）．
15．若α是锐角，且sinα＝1﹣3m，则m的取值范围是 ；将cos21°，cos37°，sin41°，cos46°的值，按由小到大的顺序排列是 ．
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝，则tanB＝ ．
17．在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝3，BC＝1，则cosA的值为 ．
18．如图，广州塔与木棉树间的水平距离BD为600m，从塔尖A点测得树顶C点的俯角α为44°，测得树底D点俯角β为45°，则木棉树的高度CD是 ．（精确到个位，参考数据：sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.96）
19．如图，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为R海里的圆形海域内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上，且A，P之间的距离为36海里，若轮船自A处开始调整为沿南偏东60°的方向航行，恰好能安全通过这一海域，则R＝ ．
20．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝2，cosC＝．BC的垂直平分线交AB于点E，那么BE：AE的值是 ．
三．解答题（共6小题，满分90分）
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin∠A＝，求BC的长和tan∠B的值．
22．（1）如图甲，已知：在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝4，求AB；
（2）如图乙，已知：在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝15°，AC＝1，求AB．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D的直线EF交AC于点F，交AB的延长线于点E，且∠BAC＝2∠BDE．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）当CF＝2，∠E＝30°时，求图中阴影部分的面积．
24．某商场准备改善原有自动楼梯的安全性能，把倾斜角由原来的37°减至30°（如图所示），已知原楼梯AB的长为7.5米，调整后的楼梯会多占一段地面BD，求BD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
25．在△ABC中，
（1）若∠的值；
（2）若∠A＝35°，∠B＝65°，试比较cosA与sinB大小，说明理由．
26．如图一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时剥得灯塔在北偏东30°方向上．
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．用计算器求sin24°37'的值，以下按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：先输入正弦函数，再输入度数，按＝号即可，
故选：A．
2．如图，点A在半径为6的⊙O内，OA＝2，P为⊙O上一动点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于（ ）
A．3 B．2 C． D．2
解：方法1：作OH⊥PA于H，如图，
∵sin∠OPA＝，
∵OP＝6，
∴当OH最大时，即OH＝OA＝2时，∠OPA最大，
此时PA＝＝＝2，
方法2：如图，
点A的轨迹是以点O为圆心，2为半径的圆（图中小圆O），
当PA与小圆O相切时，∠OPA最大，
此时PA＝＝＝2，
故选：B．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（ ）
A．tanB＝ B．cotB＝ C．sinB＝ D．cosB＝
解：如图，根据勾股定理得：BC＝＝＝3，
tanB＝＝，
cotB＝＝，
sinB＝＝，
cosB＝＝，
故选：C．
4．在Rt△ABC中，∠B＝90°，cosA＝，则sinA＝（ ）
A． B． C． D．
解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，cosA＝，
∴设AB＝12k，AC＝13k，
∴BC＝＝＝5k，
∴sinA＝＝＝，
故选：A．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanB＝（ ）
A． B． C． D．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，
∴＝，
设AC＝4a，AB＝5a，
∴BC＝＝＝3a，
∴tanB＝＝＝，
故选：B．
6．若锐角α满足tanα＝，则角α＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
解：若锐角α满足tanα＝，则角α＝60°，
故选：C．
7．如图，小羽利用仪器测量一电线杆AB的拉线AC的长度，测得拉线AC与水平地面BC的夹角为70°，并测得C点到电线杆的距离BC为5米，则拉线AC的长度为（ ）
A．米 B．米 C．5sin70°米 D．5cos70°米
解：在Rt△ABC中，cosC＝，
则AC＝＝（米），
故选：B．
8．如图，某中学初三数学兴趣小组的学生测量教学楼AB的高度，已知测量人员与教学楼的水平距离BC为18m，在C处观测楼顶A的仰角为a，測量人员的眼睛与地面的距离CD为1.5m．则教学楼的高度是（ ）
A．18•tanαm B．（18•tanα+1.5）m
C．18•sinαm D．（18•cosα+1.5）m
解：如图，过D作DE⊥AB，
∵在D处测得教学楼的顶部A的仰角为α，
∴∠ADE＝α，
∵BC＝DE＝18m，
∴AE＝DE•tanα＝18•tanαm，
∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝（18•tanα+1.5）m，
则教学楼的高度是（18•tanα+1.5）m，
故选：B．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为AB上一点且AE＝4EB，EF⊥AC于F，连结FB，则tan∠CFB＝（ ）
A． B． C． D．
解：∵EF⊥AC，
∴∠AFE＝90°＝∠C，
∴EF∥BC，
∴，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
设AB＝2x，则CB＝x，
∴AC＝，
∴CF＝AC＝，
∴tan∠CFB＝＝．
故选：D．
10．如图，小明在数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，他和同学在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点P和点B，使BP⊥AP．利用工具测得PB＝50米，∠PBA＝α，根据测量数据可计算得到小河宽度PA为（ ）
A．50sinα米 B．50cosα米 C．50tanα米 D．米
解：∵BP⊥AP，
∴∠APB＝90°，
在Rt△ABP中，PB＝50米，∠PBA＝α，
∴AP＝PB•tanα＝50tanα（米），
∴小河宽度PA为50tanα米，
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．一山坡的的坡比为3：4，一人沿山坡向上走了25米，那么这人垂直高度上升了 15 米．
解：如图：AB＝25米，tanB＝3：4，
设AC＝3x，BC＝4x，
由勾股定理得：AB＝5x＝25，
解得：x＝5，
则AC＝3x＝15（米）．
故答案为：15．
12．若cosθ＝，则锐角θ的度数是 60° ．
解：∵cosθ＝，
∴θ＝60°．
故答案为：60°．
13．如图是北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔，此设计体现了环保低碳理念，它的主体形状呈正六边形，若点A，B，C是正六边形的三个顶点，则cos∠ABC＝ ．
解：连接AB、AC、BC．
∵主体形状呈正六边形，
∴△ABC是等边三角形．
∴∠ABC＝60°．
∴cos∠ABC＝cos60°＝．
故答案为：．
14．请从下列两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一个计分．
A．用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的内个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1．用n个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为 6 ．
B．用科学计算器计： +3tan56°≈ 6.18 （结果精确到0.01）．
解：A、由题意可知：正六边形的外角的2倍等于围成一圈后中间形成一个正多边形的内角，
由于正六边形的每一个外角为60°，
∴围成一圈后中间形成一个正多边形的每一个内角为120°，
∴该正多边形的边数为6；
B、原式≈1.732+3×1.482 6≈6.18；
故答案为：A、6；B、6.18
15．若α是锐角，且sinα＝1﹣3m，则m的取值范围是 0＜m＜ ；将cos21°，cos37°，sin41°，cos46°的值，按由小到大的顺序排列是 sin41°、cos46°、cos37°、cos21° ．
解：α是锐角，且sinα＝1﹣3m，
则有0＜1﹣3m＜1，
解得0＜m＜；
∵sin41°＝cos49°，
根据余弦函数随角增大而减小，
故有sin41°＜cos46°＜cos37°＜cos21°．
∴按由小到大的顺序排列是sin41°、cos46°、cos37°、cos21°．
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝，则tanB＝ ．
解：∵∠C＝90°，cosA＝，
∴sinB＝cosA＝，
∴cosB＝＝＝，
∴tanB＝＝＝．
故答案为：．
17．在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝3，BC＝1，则cosA的值为 ．
解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，
∴AC＝＝＝2，
∴cosA＝＝，
故答案为：．
18．如图，广州塔与木棉树间的水平距离BD为600m，从塔尖A点测得树顶C点的俯角α为44°，测得树底D点俯角β为45°，则木棉树的高度CD是 24米 ．（精确到个位，参考数据：sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.96）
解：如图：延长DC，交过点A的水平线于点E，
则BD＝AE＝600米，
在Rt△AED中，∠EAD＝45°，
∴DE＝AE•tan45°＝600×1＝600（米），
在Rt△AEC中，∠EAC＝44°，
∴EC＝AE•tan44°≈600×0.96＝576（米），
∴CD＝DE﹣CE＝600﹣576＝24（米），
∴木棉树的高度CD是24米，
故答案为：24米．
19．如图，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为R海里的圆形海域内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上，且A，P之间的距离为36海里，若轮船自A处开始调整为沿南偏东60°的方向航行，恰好能安全通过这一海域，则R＝ 54海里 ．
解：如图，由题意得，∠PAN＝60°，∠SAQ＝60°，AP＝36海里，
在Rt△APM中，∠PAM＝180°﹣60°﹣60°＝60°，AP＝36海里，
∴PM＝AP＝54（海里），
即R＝54海里，
故答案为：54海里．
20．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝2，cosC＝．BC的垂直平分线交AB于点E，那么BE：AE的值是 7 ．
解：过点A作AH⊥BC于H，作BC的垂直平分线交AB于点E、交BC于F，
在Rt△AHC中，cosC＝，AC＝2，
则＝，
解得：CH＝，
由勾股定理得：AH＝＝，
在Rt△ABH中，∠B＝45°，
则BH＝AH＝，
∴BC＝BH+CH＝，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BF＝，
∴FH＝BH﹣BF＝，
∵EF⊥BC，AH⊥BC，
∴EF∥AH，
∴＝＝7，
故答案为：7．
三．解答题（共6小题，满分90分）
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin∠A＝，求BC的长和tan∠B的值．
解：∵sin∠A＝，
∴＝，
∵AB＝15，
∴BC＝9；
∴AC＝＝12，
∴tan∠B＝＝＝．
22．（1）如图甲，已知：在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝4，求AB；
（2）如图乙，已知：在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝15°，AC＝1，求AB．
解：（1）如图甲，过C点作CD⊥AB于点D．
在Rt△ACD中，AC＝4，∠A＝30°，
∴CD＝AC＝2，AD＝CD＝2，
在Rt△BCD中，∠B＝45°，
∴BD＝CD＝2，
∴AB＝AD+BD＝2+2；
（2）如图乙，过C点作CD⊥AB于点D，在BD上取点E，使CE＝BE，
∴∠BCE＝∠B＝15°，
∴∠CED＝∠BCE+∠B＝30°．
在Rt△ACD中，∠A＝45°，AC＝1，
∴AD＝CD＝AC＝，
在Rt△CDE中，∠CED＝30°，
∴DE＝CD＝，CE＝2CD＝，
∴BE＝CE＝，
∴．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D的直线EF交AC于点F，交AB的延长线于点E，且∠BAC＝2∠BDE．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）当CF＝2，∠E＝30°时，求图中阴影部分的面积．
（1）证明：连接AD，OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ODA+∠ODB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵∠BAC＝2∠BDE，
∴∠BAD＝∠BDE，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠BDE，
∴∠BDE+∠ODB＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：过点D作DM⊥AB，垂足为M，
∵∠ODE＝90°，∠E＝30°，
∴∠DOE＝90°﹣∠E＝60°，
∵OD＝OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，OD＝BD＝OB，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∵OA＝OB，
∴OD是△BAC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠AFE＝∠ODE＝90°，
∴∠CFD＝180°﹣∠AFE＝90°，
∴CD＝＝＝4，
∴BD＝CD＝4，
∴OD＝BD＝OB＝4，
∴DM＝OD•sin60°＝4×＝2，
∴阴影部分的面积＝扇形DOB的面积﹣△ODB的面积
＝﹣OB•DM
＝π﹣×4×2
＝π﹣4，
∴阴影部分的面积为π﹣4．
24．某商场准备改善原有自动楼梯的安全性能，把倾斜角由原来的37°减至30°（如图所示），已知原楼梯AB的长为7.5米，调整后的楼梯会多占一段地面BD，求BD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
解：在Rt△ABC中，AB＝7.5米，∠ABC＝37°，
则AC＝AB•sin∠ABC≈7.5×0.60＝4.5（米），
BC＝AB•cos∠ABC≈7.5×0.80＝6（米），
在Rt△ADC中，∠ADC＝30°，
则CD＝＝4.5×≈4.5×1.73≈7.79（米），
∴BD＝CD﹣BC＝7.79﹣6≈1.8（米），
答：BD的长约为1.8米．
25．在△ABC中，
（1）若∠的值；
（2）若∠A＝35°，∠B＝65°，试比较cosA与sinB大小，说明理由．
解：（1）∵在直角△ABC中，∠A+∠B＝90°，
∴sinB＝cosA＝；
（2）∵cosA＝cos35°＝sin55°＜sin65°，
∴cosA＜sinB．
26．如图一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时剥得灯塔在北偏东30°方向上．
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？
解：（1）作PH⊥AB于H．
则AC∥PH∥BD，
∴∠APH＝∠CAP＝60°，∠BPH＝∠DBP＝30°，
∴∠APB＝∠APH﹣∠BPH＝30°；
（2）∵∠BAP＝∠BPA＝30°，
∴BA＝BP＝50海里，
在Rt△PBH中，∠PBH＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴PH＝PB•sin60°＝50×＝25（海里），
∵25＞25，
∴轮船继续向正东方向航行是安全的．
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