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2023-2024学年辽宁省辽阳市高一上学期期中数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年辽宁省辽阳市高一上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，问答题，证明题，应用题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，若，则集合B可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据确定正确答案.
【详解】A选项，，A选项错误.
B选项，，B选项正确.
C选项，，C选项错误.
D选项，，D选项错误.
故选：B
2．命题“每一个四边形的对角线都互相垂直”的否定是（ ）
A．每一个四边形的对角线都不互相垂直
B．存在一个四边形，它的对角线不垂直
C．所有对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．存在一个四边形，它的对角线互相垂直
【答案】B
【分析】根据全称命题的否定分析判断即可.
【详解】因为“每一个四边形的对角线都互相垂直”是全称命题，
所以其否定为：存在一个四边形，它的对角线不垂直，故B正确，ACD错误.
故选：B.
3．函数的零点所在的区间为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接利用零点存在定理计算得到答案.
【详解】，易知函数单调递增，
，，,故函数在上有唯一零点.
故选：C.
【点睛】本题考查了零点存在定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
4．高一（8）班共有30名同学参加秋季运动会中的100米短跑、立定跳远两项比赛．已知参加100米短跑比赛的有15人，参加立定跳远比赛的有21人，则同时参加这两项比赛的有（ ）
A．3人B．2人C．6人D．4人
【答案】C
【分析】设同时参加这两项比赛的人数为，作出venn图，列出关系式，求解即可得出答案.
【详解】设同时参加这两项比赛的人数为，
由题意可作出venn图，
根据venn图可知，，解得.
故选：C.
5．函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断函数的奇偶性，由函数图象的对称性排除选项C，再由函数在的单调性或值域可得出正确答案.
【详解】由已知，，
则，
故是奇函数，图象关于原点对称，故C项错误；
当时，，则，
故AD项错误，应选B.
又设，且，
则，
故，则有，
即，故在上单调递减.
综上，函数图象的性质与选项B中图象表示函数的性质基本一致.
故选：B.
6．设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，且，则“的周长为16”是“其中一条边长为6”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分、必要条件等知识确定正确答案.
【详解】若“的周长为16”，则，解得，
所以“其中一条边长为6”.
若“其中一条边长为6”，如，
则，此时三角形的周长为，
即无法得出“的周长为16”，
所以“的周长为16”是“其中一条边长为6” 充分不必要条件.
故选：A
7．若关于x的不等式对恒成立，则a的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据含参一元不等式恒成立对分类讨论即可得a的取值集合.
【详解】当时，不等式化为对恒成立；
当，要使得不等式对恒成立，则，解得
综上，a的取值集合为.
故选：D.
8．定义域为的函数满足，且当时，恒成立，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的对称性、单调性确定正确答案.
【详解】依题意，定义域为的函数满足，
所以的图象关于直线对称，
而时，恒成立，
所以在区间上单调递增，
，
，，
，
所以，
所以.
故选：C
二、多选题
9．下列各选项中的两个函数是同一个函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】AC
【分析】由两函数的定义域与对应法则是否相同判断即可.
【详解】选项A，因为，且两函数定义域都是，
故两函数是同一个函数，所以A正确；
选项B，因为的定义域为，而的定义域为，
故两函数不是同一个函数，所以B错误；
选项C，，且定义域都为，
故两函数是同一个函数，所以C正确；
选项D，的定义域为，的定义域为，
故两函数不是同一个函数，所以D错误.
故选：AC.
10．若函数恰有三个零点，则a的值可能为（ ）
A．－1B．6C．1D．2
【答案】BCD
【分析】根据函数解析式，在上有两个零点，在上有一个零点，则有，可得a可能的值.
【详解】函数恰有三个零点，
时，，函数有两个零点0和6，
则时，有一个零点，所以，即，
BCD选项都符合.
故选：BCD
11．“集合只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】由集合A中只有2个元素，求的取值范围，再通过包含关系验证结论成立的充分不必要条件.
【详解】集合只有3个真子集，即集合A中只有2个元素，
因为，则有：
当时，；
当时，；
当时，；
则的取值范围为，
由，，，
可知选项ABD中的范围符合充分不必要条件；
又因为与之间没有包含关系，可知是的既不充分也不必要条件；
故选：ABD.
12．某商家为了提高一等品M的销售额，对一等品M进行分类销售．据统计，该商家有200件一等品M，产品单价为元．现计划将这200件一等品分为两类：精品和优品．其中优品x件（，），分类后精品的单价在原来的基础上增加2x%，优品的单价调整为元（），因市场需求旺盛，假设分类后精品与优品可以全部售完．若优品的单价不低于分类前一等品M的单价，且精品的总销售额不低于优品的总销售额，则n的值可能为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】BC
【分析】根据题意列出不等式组得到且在上恒成立，结合对勾函数性质求出n的取值范围．
【详解】依题意，则，
由知：，且，
由知：在上恒成立，
因为在上递增，所以，即，
综上，，.
故选： BC
三、填空题
13．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据的定义域即可求出的定义域.
【详解】由题意，
在函数中，定义域为，
∴在中，，
解得：，
故答案为：.
四、双空题
14．已知是定义在上的奇函数，则 ， ．
【答案】
【分析】由定义区间的对称性可解得，再由奇函数定义求解参数即可.
【详解】因为是定义在上的奇函数，
所以，解得，
又因为是奇函数，
则恒成立，
即恒成立，
化简得，因为该等式对恒成立，
所以.
故答案为：；.
五、填空题
15．设一元二次方程的两个实根为，（），则当时，a的取值集合是 ．
【答案】
【分析】利用韦达定理化简及根的判别式转化条件，再解分式不等式可得答案.
【详解】因为一元二次方程的两个实根为，（），
则或，
由韦达定理得，
而，解得，
综上，a的取值集合是
故答案为：
16．已知是定义在上的单调函数，且，，则 ．
【答案】14
【分析】由单调函数的性质，可得为定值，可以设，则，又由，可得的解析式求.
【详解】，，是定义在上的单调函数，
则为定值，设，则，
，解得，得，
所以.
故答案为：14.
六、问答题
17．已知全集，集合，．
(1)求，．
(2)设，若，求t的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）化简集合，由并集与补集运算可得；
（2）化简集合，由包含关系建立不等关系即可解得t的取值范围.
【详解】（1）因为，
，
所以，
.
（2）由题意得，又，
因为，则，所以，
解得，即的取值范围为.
七、证明题
18．（1）已知______，试比较M，N的大小．从下列两个条件中选择其中一个填入横线中，并解答问题．
①，，②，．
（2）若，证明：．
【答案】（1）选①：；选②：.
（2）证明见解析.
【分析】（1）利用作差法和求倒数的方法比较大小；（2）作差法证明不等式.
【详解】（1）
选①：，
所以；
选②：，，
由，得，所以.
（2）证明：
，
由，得，
所以.
19．已知函数．
(1)求的解析式；
(2)试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明．
【答案】(1)
(2)单调递增，证明详见解析
【分析】（1）利用凑配法求得的解析式.
（2）先求得的解析式并判断出单调性，然后利用单调性的定义进行证明.
【详解】（1），
所以.
（2），
在上单调递增，证明如下：
设，
，
其中，所以，
所以，所以在上单调递增.
八、应用题
20．已知某污水处理厂的月处理成本y（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系可近似地表示为．当月处理量为120万吨时，月处理成本为49万元．该厂处理1万吨污水所收费用为0.9万元．
(1)该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？
(2)请写出该厂每月获利（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值，
【答案】(1)当每月污水处理量为万吨时，每万吨的处理成本最低
(2)，最大值为万元
【分析】（1）先求得，利用基本不等式求得正确答案.
（2）先求得的解析式，然后根据二次函数的性质求得正确答案.
【详解】（1）依题意，，解得，
所以，
，
当且仅当时等号成立，
所以当每月污水处理量为万吨时，每万吨的处理成本最低.
（2）依题意，，
当万吨时，取得最大值为万元.
九、问答题
21．已知．
(1)求的最小值．
(2)试问是否有最值？若有，求出对应的最值；若没有，请说明理由．
【答案】(1)
(2)有最小值，无最大值，最小值为
【分析】（1）利用乘“1”法，将原式变形为，再将括号内的式子相乘展开，结合基本不等式即可求得最小值.
（2）先将原式变形，再结合乘“1”法求最值即可.
【详解】（1）因为，所以，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为.
（2），
而，
当且仅当时等号成立，
故有最小值，最小值为，无最大值.
十、证明题
22．已知定义在上的函数满足，，．
(1)试判断的奇偶性，并说明理由．
(2)证明：．
【答案】(1)偶函数，证明见详解
(2)证明详解
【分析】（1）令，可得，再令，结合偶函数的定义即可判定；
（2）令，可得，又，即可证明原不等式成立.
【详解】（1）为偶函数，理由如下：
令，
由，
得，又，
所以，
令，则，
所以，即，，
故为偶函数.
（2）令及，可得
，
所以，即，
又，
当时，等号成立，
故，
即，
故原不等式得证.
一、单选题
1．已知集合，若，则集合B可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据确定正确答案.
【详解】A选项，，A选项错误.
B选项，，B选项正确.
C选项，，C选项错误.
D选项，，D选项错误.
故选：B
2．命题“每一个四边形的对角线都互相垂直”的否定是（ ）
A．每一个四边形的对角线都不互相垂直
B．存在一个四边形，它的对角线不垂直
C．所有对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．存在一个四边形，它的对角线互相垂直
【答案】B
【分析】根据全称命题的否定分析判断即可.
【详解】因为“每一个四边形的对角线都互相垂直”是全称命题，
所以其否定为：存在一个四边形，它的对角线不垂直，故B正确，ACD错误.
故选：B.
3．函数的零点所在的区间为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接利用零点存在定理计算得到答案.
【详解】，易知函数单调递增，
，，,故函数在上有唯一零点.
故选：C.
【点睛】本题考查了零点存在定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
4．高一（8）班共有30名同学参加秋季运动会中的100米短跑、立定跳远两项比赛．已知参加100米短跑比赛的有15人，参加立定跳远比赛的有21人，则同时参加这两项比赛的有（ ）
A．3人B．2人C．6人D．4人
【答案】C
【分析】设同时参加这两项比赛的人数为，作出venn图，列出关系式，求解即可得出答案.
【详解】设同时参加这两项比赛的人数为，
由题意可作出venn图，
根据venn图可知，，解得.
故选：C.
5．函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断函数的奇偶性，由函数图象的对称性排除选项C，再由函数在的单调性或值域可得出正确答案.
【详解】由已知，，
则，
故是奇函数，图象关于原点对称，故C项错误；
当时，，则，
故AD项错误，应选B.
又设，且，
则，
故，则有，
即，故在上单调递减.
综上，函数图象的性质与选项B中图象表示函数的性质基本一致.
故选：B.
6．设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，且，则“的周长为16”是“其中一条边长为6”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分、必要条件等知识确定正确答案.
【详解】若“的周长为16”，则，解得，
所以“其中一条边长为6”.
若“其中一条边长为6”，如，
则，此时三角形的周长为，
即无法得出“的周长为16”，
所以“的周长为16”是“其中一条边长为6” 充分不必要条件.
故选：A
7．若关于x的不等式对恒成立，则a的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据含参一元不等式恒成立对分类讨论即可得a的取值集合.
【详解】当时，不等式化为对恒成立；
当，要使得不等式对恒成立，则，解得
综上，a的取值集合为.
故选：D.
8．定义域为的函数满足，且当时，恒成立，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的对称性、单调性确定正确答案.
【详解】依题意，定义域为的函数满足，
所以的图象关于直线对称，
而时，恒成立，
所以在区间上单调递增，
，
，，
，
所以，
所以.
故选：C
二、多选题
9．下列各选项中的两个函数是同一个函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】AC
【分析】由两函数的定义域与对应法则是否相同判断即可.
【详解】选项A，因为，且两函数定义域都是，
故两函数是同一个函数，所以A正确；
选项B，因为的定义域为，而的定义域为，
故两函数不是同一个函数，所以B错误；
选项C，，且定义域都为，
故两函数是同一个函数，所以C正确；
选项D，的定义域为，的定义域为，
故两函数不是同一个函数，所以D错误.
故选：AC.
10．若函数恰有三个零点，则a的值可能为（ ）
A．－1B．6C．1D．2
【答案】BCD
【分析】根据函数解析式，在上有两个零点，在上有一个零点，则有，可得a可能的值.
【详解】函数恰有三个零点，
时，，函数有两个零点0和6，
则时，有一个零点，所以，即，
BCD选项都符合.
故选：BCD
11．“集合只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】由集合A中只有2个元素，求的取值范围，再通过包含关系验证结论成立的充分不必要条件.
【详解】集合只有3个真子集，即集合A中只有2个元素，
因为，则有：
当时，；
当时，；
当时，；
则的取值范围为，
由，，，
可知选项ABD中的范围符合充分不必要条件；
又因为与之间没有包含关系，可知是的既不充分也不必要条件；
故选：ABD.
12．某商家为了提高一等品M的销售额，对一等品M进行分类销售．据统计，该商家有200件一等品M，产品单价为元．现计划将这200件一等品分为两类：精品和优品．其中优品x件（，），分类后精品的单价在原来的基础上增加2x%，优品的单价调整为元（），因市场需求旺盛，假设分类后精品与优品可以全部售完．若优品的单价不低于分类前一等品M的单价，且精品的总销售额不低于优品的总销售额，则n的值可能为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】BC
【分析】根据题意列出不等式组得到且在上恒成立，结合对勾函数性质求出n的取值范围．
【详解】依题意，则，
由知：，且，
由知：在上恒成立，
因为在上递增，所以，即，
综上，，.
故选： BC
三、填空题
13．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据的定义域即可求出的定义域.
【详解】由题意，
在函数中，定义域为，
∴在中，，
解得：，
故答案为：.
四、双空题
14．已知是定义在上的奇函数，则 ， ．
【答案】
【分析】由定义区间的对称性可解得，再由奇函数定义求解参数即可.
【详解】因为是定义在上的奇函数，
所以，解得，
又因为是奇函数，
则恒成立，
即恒成立，
化简得，因为该等式对恒成立，
所以.
故答案为：；.
五、填空题
15．设一元二次方程的两个实根为，（），则当时，a的取值集合是 ．
【答案】
【分析】利用韦达定理化简及根的判别式转化条件，再解分式不等式可得答案.
【详解】因为一元二次方程的两个实根为，（），
则或，
由韦达定理得，
而，解得，
综上，a的取值集合是
故答案为：
16．已知是定义在上的单调函数，且，，则 ．
【答案】14
【分析】由单调函数的性质，可得为定值，可以设，则，又由，可得的解析式求.
【详解】，，是定义在上的单调函数，
则为定值，设，则，
，解得，得，
所以.
故答案为：14.
六、问答题
17．已知全集，集合，．
(1)求，．
(2)设，若，求t的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）化简集合，由并集与补集运算可得；
（2）化简集合，由包含关系建立不等关系即可解得t的取值范围.
【详解】（1）因为，
，
所以，
.
（2）由题意得，又，
因为，则，所以，
解得，即的取值范围为.
七、证明题
18．（1）已知______，试比较M，N的大小．从下列两个条件中选择其中一个填入横线中，并解答问题．
①，，②，．
（2）若，证明：．
【答案】（1）选①：；选②：.
（2）证明见解析.
【分析】（1）利用作差法和求倒数的方法比较大小；（2）作差法证明不等式.
【详解】（1）
选①：，
所以；
选②：，，
由，得，所以.
（2）证明：
，
由，得，
所以.
19．已知函数．
(1)求的解析式；
(2)试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明．
【答案】(1)
(2)单调递增，证明详见解析
【分析】（1）利用凑配法求得的解析式.
（2）先求得的解析式并判断出单调性，然后利用单调性的定义进行证明.
【详解】（1），
所以.
（2），
在上单调递增，证明如下：
设，
，
其中，所以，
所以，所以在上单调递增.
八、应用题
20．已知某污水处理厂的月处理成本y（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系可近似地表示为．当月处理量为120万吨时，月处理成本为49万元．该厂处理1万吨污水所收费用为0.9万元．
(1)该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？
(2)请写出该厂每月获利（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值，
【答案】(1)当每月污水处理量为万吨时，每万吨的处理成本最低
(2)，最大值为万元
【分析】（1）先求得，利用基本不等式求得正确答案.
（2）先求得的解析式，然后根据二次函数的性质求得正确答案.
【详解】（1）依题意，，解得，
所以，
，
当且仅当时等号成立，
所以当每月污水处理量为万吨时，每万吨的处理成本最低.
（2）依题意，，
当万吨时，取得最大值为万元.
九、问答题
21．已知．
(1)求的最小值．
(2)试问是否有最值？若有，求出对应的最值；若没有，请说明理由．
【答案】(1)
(2)有最小值，无最大值，最小值为
【分析】（1）利用乘“1”法，将原式变形为，再将括号内的式子相乘展开，结合基本不等式即可求得最小值.
（2）先将原式变形，再结合乘“1”法求最值即可.
【详解】（1）因为，所以，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为.
（2），
而，
当且仅当时等号成立，
故有最小值，最小值为，无最大值.
十、证明题
22．已知定义在上的函数满足，，．
(1)试判断的奇偶性，并说明理由．
(2)证明：．
【答案】(1)偶函数，证明见详解
(2)证明详解
【分析】（1）令，可得，再令，结合偶函数的定义即可判定；
（2）令，可得，又，即可证明原不等式成立.
【详解】（1）为偶函数，理由如下：
令，
由，
得，又，
所以，
令，则，
所以，即，，
故为偶函数.
（2）令及，可得
，
所以，即，
又，
当时，等号成立，
故，
即，
故原不等式得证.
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