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（期末押题卷）第八单元数学广角-数与形填空题（试题）六年级上册期末高频考点数学试卷（人教版）
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这是一份（期末押题卷）第八单元数学广角-数与形填空题（试题）六年级上册期末高频考点数学试卷（人教版），共27页。试卷主要包含了用小棒摆正六边形，观察下图，想一想，填一填，探索规律，用小棒按照如图方式摆图形，摆一摆，找规律等内容，欢迎下载使用。
（期末押题卷）第八单元数学广角-数与形填空题
六年级上册期末高频考点数学试卷（人教版）
学校:___________姓名：___________班级：___________
1．用小棒摆正六边形（如下图）。
(1)摆5个正六边形需要( )根小棒；用101根小棒能摆( )个正六边形。
(2)摆个正六边形需要( )根小棒。
2．观察下图，想一想，填一填。
……
第9幅图有( )个棋子，第n幅图有( )个棋子。
3．探索规律：摆78个正方体时，正方形的个数是( )个。
形状：……
正方体个数：1，2，3，4…
正方形个数：6，10，14，18…
4．用小棒按照如图方式摆图形：
摆n个八边形需要( )根小棒，用2024根小棒可摆( )个八边形。
5．照下图排列，请你写出第6幅图有( )个点。
6．摆一摆，找规律。
(1)摆第7个图形需要( )根小棒。
(2)摆第n个图形需要( )根小棒。
7．如图，用边长为1cm的等边三角形拼图（如图），第一组有一个边长为1cm等边三角形，第二组有4个边长为1cm等边三角形，第三组有9个边长为1cm等边三角形，第n组图形有______边长为1cm等边三角形拼成。
8．观察下图规律，如果一幅图中涂色正方形是6个，那么空白正方形有( )个。
9．如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n条“金鱼”需要火柴( )根。
10．探索规律：请把下表补充完整。
点数
……
10个点
线段总数
0条
1条
3条
6条
( )条
……
( )条
11．如图所示，摆一个正方形需要4根小棒，摆两个正方形，需要（4＋3）根小棒，摆三个正方形需要（4＋3＋3）根小棒，如果摆n个正方形需要( )根小棒。
12．用圆片摆成这样的图形：。如果继续摆下去，第8个图形共有( )个圆片。
13．摆1个三角形要3根小棒，摆2个三角形要5根小棒（如图），摆n个三角形要( )根小棒，现在有49根小棒，可以摆( )个这样的三角形。
14．观察下列图形的变化规律，请你想一想：第7幅图中有________个三角形。
15．如下图，用方桌按照下面的方法拼成长方形大桌安排座位，照这样的规律，5个方桌拼成的大桌一共可以安排( )个座位。n个方桌可以安排( )个座位。
16．用黑白两种颜色的正六边形地砖，按如图所示的规律拼成若干图案。
按这样的规律，第5个图案中共有( )块白色地砖；第( )个图案中共有42个白色地砖。
17．＋＋＋＋＋1＋2＋4＋8＝( )。
18．按规律填数：1，3，4，5，9，7，_____，_____。
19．一个从1开始的自然数表如下，表中下一行数的个数是上一行数个数的2倍。那么第六行的最后一个数是( )。
第一行
1
第二行
2
3
第三行
4
5
6
7
……
……
20．下图是王叔叔用黑、白两种颜色的正六边形地砖密铺成的图案。按照这样的规律，第4个图案中有白色地砖( )块，第n个图案中共有白色地砖( )块。
……
21．找规律，填一填。
(1)如图，用同样的小棒摆正方形，摆10个同样的正方形需要小棒( )根；现在有46根小棒可以摆( )个正方形。
(2)，，……在算式中，写出m＝( )，n＝( )。
22．如图是一组有规律的图案，第1个图案中有8个小正方形，第2个图案中有12个小正方形，第3个图案中有16个小正方形，……，依此规律，第14个图中有( )个小正方形，若第n个图案中有240个小正方形，则n的值为( )。
23．观察下面的图形，想一想：后面的第15个方框里面有( )个点，第n个方框里面有( )个点，第( )个方框里面有201个点。
24．如图，笑笑用小棒搭三角形，照这样的摆放方式，搭第5个图形需要( )根小棒，搭第n个这样的图形需要( )根小棒。
25．古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，根据它的规律，则第10个三角形数是( )。
26．如下图，1张桌子坐6人，2张桌子坐10人，那么，4张桌子坐( )人，n张桌子坐( )人。
27．找规律，画出图④。
28．如下图，1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，按这样拼下去，n张餐桌拼在一起可坐( )人。
29．将一些圆形卡片如下图摆放，第6幅图中有( )个圆形卡片。
30．观察表，寻找规律。
表2、表3分别是从表1中截取的一部分，其中a的值为( )，b的值为( )。
31．数形结合是学习数学的重要方法之一。仔细看图，照这样排列下去，第6个图中有________个三角形。
32．探索规律。
涂色正方形个数
1
2
3
……
a
空白正方形个数
8
13
18
……
请你观察图形规律，当涂色正方形的个数是6时，空白正方形的个数是( )；若涂色正方形的个数是a，空白正方形的个数是( )（用含有字母的式子表示）。
33．观察下列各图形中正方形个数与直角三角形个数的关系，将下表填写完整。
正方形个数
1
2
3
4
5
…
直角三角形个数
0
4
8
( )
( )
…
34．如下图所示，摆1个正方形需要4根小棒，摆2个正方形需要7根小棒……照这样摆下去，摆10个正方形，需要( )根小棒；46根小棒可以摆( )个这样的正方形。
35．按规律填空。
……
图形
……
小棒根数
3
5
7
9
…
照这样摆下去，第10幅图需要( )根小棒。第n幅图需要( )根小棒。
36．( )。
37．中国是一个多民族国家，其中我国苗族的千人长桌宴席的最高形式与隆重礼仪已有几千年的历史。如上图所示，长桌像这样拼下去，5张桌子拼在一起可以坐( )人，n张桌子拼在一起可以坐( )人。
38．下面图形由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成，依规律填表。
第1个图形
第2个图形
第3个图形
…
第7个图形
…
涂色正方形个数
1
2
3
…
7
…
未涂色正方形个数
8
13
18
…
( )
…
39．( )。
40．如图的每个图形都是由△、□、〇中的两个组成的，观察各个图形，根据规律，画出表示“57”的图形是( )，表示“76”的图形的是( )。
41．观察下面图形的排列规律，第5个图形中白色正方形的个数为( ) 个。
42．观察如图，找规律。第7幅图中有( )个○，有( )个△。
43．小华用一样长的小棒摆出了以下三幅图。如果按这样的规律继续摆下去，第5幅图需要( )根小棒；第n幅图需要( )根小棒。
44．按如下规律摆放三角形，第( )堆三角形的个数是53个。
……
① ② ③
45．如下图是用黑棋子摆成的“T”字形。摆成第1个“T”字形需要5枚黑棋子，摆成第2个“T”字形需要8枚黑棋子，摆成第3个“T”字形需要11枚黑棋子，……，照这样摆下去，摆成第6个“T”字形需要( )枚黑棋子，摆成第( )个“T”字形需要50枚黑棋子。
46．根据下面图形的变化规律完成填空。
……
(1)第( )幅图中有28个●；
(2)第n幅图中有( )个●。
47．根据如图的变化规律，把表格填完整。
三角形个数
1
2
3
4
……
8
……
n
小棒根数
3
5
7
9
……
( )
……
( )
48．从下图中，点的排列规律可以看出，第5个图共有( )个点，第n个图共有( )个点。
49．乐乐用黑、白两种方块照下图拼，图10中黑方块有( )个，图n中黑方块有( )个。豆豆拼成的一个图中有47个白方块，他拼的是图( )。
50．唐唐在桌面上用小正方体按下图方式摆放。摆1个小正方体有5个面露在外面，摆2个小正方体有8个面露在外面……摆n个小正方体有( )个面露在外面。
参考答案：
1．(1) 26 20
(2)
【分析】（1）观察可知：摆一个正六边形要5×1＋1＝6根小棒；摆2个正六边形要5×2＋1＝11根；摆3个正六边形要5×3＋1＝16根；摆5个正六边形要5×5＋1＝26根；101根小棒可以摆（101－1）÷5＝20个。
（2）摆n个正六边形要5n＋1根小棒。
（1）
摆5个正六边形需要（26）根小棒；用101根小棒能摆（20）个正六边形。
（2）
摆个正六边形需要（5n＋1）根小棒。
【点睛】本题考查了观察能力了推理归纳能力。从图形的摆放中发现规律，利用规律是解答本题的关键。
2． 81 n2
【分析】通过观察图形可知，第1幅图有1个棋子，第2幅图有（2×2）个棋子，第3幅图有（3×3）个棋子，第4幅图有（4×4）个棋子……所以第n幅图有（n×n）个棋子。据此解答。
【详解】9×9＝81（个）
n×n＝n2（个）
所以第9幅图有81个棋子，第n幅图有n2个棋子。
【点睛】本题主要考查图形的规律，关键是明确第n幅图的棋子数是（n×n）个。
3．314
【分析】通过分析可知：每增加一个正方体，正方形的个数增加4个，10＝6＋4，14＝6＋2×4，18＝6＋3×4，所以N个正方体的正方形的个数是6＋（N－1）×4，据此解答即可。
【详解】摆78个正方体时，正方形的个数是
6＋（78－1）×4
＝6＋77×4
＝6＋308
＝314（个）
【点睛】本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。
4． （7n＋1） 289
【分析】摆1个八边形需要的小棒数为8根，即7×1＋1；
摆2个八边形需要的小棒数为15根，即7×2＋1；
摆3个八边形需要的小棒数为22根，即7×3＋1；
……
摆n个八边形需要的小棒数为：7n＋1。
【详解】由已知图形可得需要小棒根数依次是8、15、22，即相邻的两个数后面的比前面的多7，则摆n个八边形需要小棒：8＋（n－1）×7＝7n＋1
7n＋1＝2024
7n＝2023
n＝289
即用2024根小棒可摆289个八边形。
【点睛】根据图形规律找出第n个图形小棒根数的表达式是解答本题的关键。
5．51
【分析】观察第一幅图有1个黑点，第一幅图有5个黑点，第三幅图有12个黑点，第四幅图有22个黑点，相邻两幅图黑点之间的差是5－1＝4，12－5＝7，22－12＝10，它们的差都是3，据此求出第6幅图黑点的个数即可。
【详解】第5幅图黑点的个数是：10＋3＋22＝35（个）
第6幅图黑点的个数是：
10＋3＋3＋35
＝16＋35
＝51（个）
【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
6．(1)15
(2)2n＋1
【分析】当n＝1时，小棒的根数是3根；当n＝2时，小棒的根数：5＝2×2＋1根；当n＝3时，小棒的根数：7＝3×2＋1根；由此摆第n个图形需要小棒的根数：2n＋1。
（1）
7×2＋1＝15
（2）
由分析可得：摆第n个图形需要2n＋1根小棒
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
7．n²个
【分析】第一组有1个，第二组有4个，第三组有9个，…规律为：边长为1cm等边三角形的个数＝图形组数×图形组数，根据规律第n组图形有n²个边长为1cm等边三角形拼成。
【详解】由分析得，根据规律可知，第n组图形有n²个边长为1cm等边三角形拼成。
【点睛】此题考查的是数形结合，解答此题关键是找出规律并用规律解决问题。
8．33
【分析】每幅图中空白正方形的个数＝一共正方形的个数−涂色正方形的个数；第1幅图中涂色正方形有1个，第2幅图中涂色正方形有2个，第3幅图中涂色正方形有3个。由此找到规律：第n幅图中涂色正方形有n个。第1幅图中一共有正方形3×3个，第2幅图中一共有正方形3×5个，第3幅图中一共有正方形3×7个。由此找到规律：第n幅图中一共有正方形3（2n＋1）个。
【详解】一幅图中涂色正方形有6个，说明是第6幅图。
第6幅图中一共正方形的个数：3×（2×6＋1）
＝3×（12＋1）
＝3×13
＝39（个）
第6幅图中空白正方形的个数：39－6＝33（个）
【点睛】在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。
9．6n＋2
【分析】观察图形发现：搭1条金鱼需要火柴8根，搭2条金鱼需要14根，即发现了每多搭1条金鱼，需要多用6根火柴，则搭n条“金鱼”需要火柴8＋6（n－1）＝6n＋2，据此即可解答问题。
【详解】根据分析得，每多搭一条金鱼，需要多用6根火柴。
8＋6×（n－1）
＝8＋6n－6
＝6n＋2
所以搭n条金鱼需要火柴（6n＋2）根。
【点睛】此类题找规律的时候一定要注意结合图形进行发现规律。
10． 10 45
【分析】通过观察可知，两个点之间一条线段，在3个点中，每一个点和其它两点各有一条，共3×2＝6（条），每条线段重复一次，所以实际有6÷2＝3（条），4个点则有4×3÷2＝6（条），5个点则有5×4÷2＝10（条），10个点则有10×9÷2＝45（条）……以此类推。
【详解】
点数
……
10个点
线段总数
0条
1条
3条
6条
10条
……
45条
【点睛】本题主要考查了学生观察能力和比较分析能力。
11．3n＋1
【分析】观察图形，摆一个正方形需要4根小棒，摆两个正方形需要（4＋3）根小棒，摆三个正方形需要（4＋3×2）根小棒，摆四个正方形需要（4＋3×3）根小棒，即当前图形所需要的小棒数量比前一个图形所需要的小棒数量多3个，所以依次类推，如果摆n个正方形需要根小棒。
【详解】根据分析得，
＝
＝
摆n个正方形需要根小棒。
【点睛】此题的解题关键是利用数与形的结合，通过观察图形，把图形中变化的规律转化成数字，多多练习，培养数感。
12．64
【分析】第1个图形有1个圆片；第2个图形有（2×2）个圆片；第3个图形有（3×3）个圆片；第4个图形有（4×4）个圆片……第n个图形有n×n＝n2个圆片；据此解答。
【详解】分析可知，第8个图形共有82＝64个圆片。
【点睛】分析题意找出图形变化的规律是解答题目的关键。
13． 2n＋1 24
【分析】搭一个三角形需3根火柴，搭2个三角形中间少用1根，需要5根火柴棒，搭3个三角形中间少用2根……搭n个三角形中间少用（n－1）根，需要[3n－（n－1）]＝2n＋1根火柴棒，进而求出有49根火柴，可以摆几个这样的三角形。
【详解】搭一个三角形需3根火柴；
搭2个三角形中间少用1根，需要5根火柴棒；
搭3个三角形中间少用2根，需要7根火柴棒；
所以要连摆n个三角形，要用（2n＋1）根火柴棒。
（49－1）÷2
＝48÷2
＝24
【点睛】注意结合图形，发现蕴含的规律，找出解决问题的途径，也可以只分析数字3，5，7，9，11…，得出结论。
14．36
【分析】第1幅图中有0个三角形，第2幅图中有1个三角形，第3幅图中有4个三角形，第4幅图中有9个三角形……，由此可以发现第1幅图中三角形的个数是（1－1）2，第2幅图中三角形的个数是（2－1）2，第3幅图中三角形的个数是（3－1）2，第4幅图中三角形的个数是（4－1）2……，第n幅图中三角形的个数是（n－1）2。据此解答。
【详解】第1幅图中三角形的个数是（1－1）2，第2幅图中三角形的个数是（2－1）2，第3幅图中三角形的个数是（3－1）2，第4幅图中三角形的个数是（4－1）2……，第n幅图中三角形的个数是（n－1）2。
当n＝7时，（n－1）2＝（7－1）2＝36（个）
【点睛】根据图中的数据，发现规律，利用规律解题是关键。
15． 12 2n＋2
【分析】根据题图可知，一个桌子可以安排4个座位，至此以后，每增加一个桌子就增加2个座位，据此可知当有n个桌子时，可以安排4＋2（n－1）＝2n＋2个座位，据此解答即可。
【详解】当有n个桌子时，可以安排（2n＋2）个座位；
当n＝5时；
2n＋2
＝2×5＋2
＝12
5个方桌拼成的大桌一共可以安排12个座位。
【点睛】解答本题的关键是根据题图找到规律，再根据这一规律解决实际问题。
16． 22 10
【分析】观察图形，第一个图案共有6块白色地砖，第二个图案共有（6＋4）块白色地砖，第三个图案共有（6＋4×2）块白色地砖，依次类推，算出第五个图案共有多少块白色地砖。第个图案共有块白色地砖，把地砖的数量42代入，算出是第几个图案。
【详解】6＋4×（5－1）
＝6＋4×4
＝6＋16
＝22
第5个图案中共有22块白色地砖。
＝6＋4n－4
＝（4n＋2）块
第n个图案共有（4n＋2）块白色地砖。
4n＋2＝42
解：4n＝42－2
4n＝40
n＝40÷4
n＝10
第10个图案中共有42个白色地砖。
【点睛】此题的解题关键是利用数与形的结合，通过观察图形，把图形中变化的规律转化成数字，多多练习，培养数感。
17．
【分析】根据规律： 的和等于1减去最后一个分数，来计算；再计算1＋2＋4＋8；最后把两次计算的和加起来。
【详解】＝＝
1＋2＋4＋8＝15
＝
所以原式＝
【点睛】在分数和整数混合的加法算式中，可采用“同形结合法”，即整数和整数相加，分数和分数相加。
18． 16 9
【分析】观察算式，1、4、9为奇数项，3、5、7为偶数项，找出规律：奇数项是连续的平方数，偶数项依次加2。据此解答。
【详解】12＝1
22＝4
32＝9
42＝16
3＋2＝5
5＋2＝7
7＋2＝9
所以按规律填数：1，3，4，5，9，7，16，9。
【点睛】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
19．63
【分析】通过观察分析可知，表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍，所以第n行的数字的个数为个，又每一行中最后一个数为前边从第一行到这一行中所有字的个数，如第三行中最后一个数为7，则一至三行中共有7个数字，由此可知，到第n行中最后一个数字为1＋2＋4＋…＋。
【详解】＝＝＝2×2×2×2×2＝32
1＋2＋4＋8＋16＋32＝63
【点睛】寻找数字排列中的规律，平时要注重多积累，培养数感。
20． 18 4n＋2
【分析】观察图形可知，第一个图案6块白色地砖，可写成：4×1＋2；第二个图案10块白色地砖，可写成：4×2＋2；第三个图案14个白色地砖，可写成：4×3＋2；由此可知，第n个图案白色地砖个数可写成：4n＋2；据此解答。
【详解】根据分析可知，
第一个图案白色地砖个数：4×1＋2＝6（块）
第二个图案白色地砖个数：4×2＋2＝10（块）
第三个图案白色地砖个数：4×3＋2＝14（块）
第四个图案白色地砖个数：4×4＋2
＝16＋2
＝18（块）
第n图案白色地砖个数：（4n＋2）块
【点睛】根据题干中已知的图形的排列特点以及数量关系，推理得出一般的结论进行解答，是此类问题的关键。
21．(1) 31 15
(2) 6 30
【分析】（1）观察可知，小棒根数＝正方形数量×3＋1，正方形个数＝（小棒根数－1）÷3，据此列式计算；
（2）观察可知，几分之一的分数可以拆成两个分数相加的形式，第一个加数的分母比这个分数的分母多1，第二个加数的分母是前两个分母的乘积，据此确定m和n的值。
（1）
10×3＋1
＝30＋1
＝31（根）
（46－1）÷3
＝45÷3
＝15（个）
（2）
5＋1＝6，5×6＝30，m＝6，n＝30
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
22． 60 59
【分析】观察图形：第1个图案中有4×2＝8个小正方形，第2个图案中有4×3＝12个小正方形，第3个图案中有4×4＝16个小正方形，……所以第n个图案中有4（n＋1）个小正方形。
【详解】根据分析得到的规律可知第14个图中有小正方形：
4×（14＋1）
＝4×15
＝60（个）
第n个图案中有240个小正方形，可得：
4（n＋1）＝240
4n＋4＝240
4n＝236
n＝59
【点睛】此题考查图形的变化规律，解决本题的关键是找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题。
23． 57 4n－3 51
【分析】分析图形可知，第1个图形里面有1个点，第2个图形里面有（1＋4）个点，第3个图形里面有（1＋4×2）个点，第4个图形里面有（1＋4×3）个点……每次增加4个点，那么第n个图形有[1＋4×（n－1）]个点，化简含有字母的式子并求出n＝15时式子的值，再求出式子的值为201时n的值，据此解答。
【详解】分析可知，第n个方框里面点的个数为：1＋4×（n－1）
＝1＋（4n－4）
＝1＋4n－4
＝（4n－3）个
当n＝15时。
4n－3
＝4×15－3
＝60－3
＝57（个）
4n－3＝201
解：4n＝201＋3
4n＝204
n＝204÷4
n＝51
所以，后面的第15个方框里面有57个点，第n个方框里面有（4n－3）个点，第51个方框里面有201个点。
【点睛】本题主要考查数与形，找出点的个数与方框个数的变化规律是解答题目的关键。
24． 11 2n＋1
【分析】看图，第一个三角形需要2×1＋1＝3（根）小棒，第二个三角形需要2×2＋1＝5（根）小棒，第三个三角形需要2×3＋1＝7（根）小棒，合理推测，第五个三角形需要2×5＋1＝11（根）小棒，第n个三角形需要（2×n＋1）根小棒。
【详解】2×5＋1
＝10＋1
＝11（根）
2×n＋1＝2n＋1
所以，搭第5个图形需要11根小棒，搭第n个这样的图形需要（2n＋1）根小棒。
【点睛】本题考查了数与形，有一定观察和归纳总结能力是解题的关键。
25．55
【分析】观察数列可知，第1个三角形数是1，第2个三角形数是1＋2＝3，第3个三角形数是1＋2＋3＝6，第4个三角形数是1＋2＋3＋4＝10，第5个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＝15，根据所给的数据发现：第n个三角形数是1＋2＋3＋…＋n，据此解答即可。
【详解】第10个三角形数是：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10
＝10×5＋5
＝50＋5
＝55
【点睛】此题考查了规律型：数字的变化．要能够发现：第n个数对应的数的规律为：第n个三角形数是1＋2＋3＋…＋n。
26． 18
【分析】观察图形可知，把桌子左右两边的2人单独看，则每张桌子对应4个人，4张桌子能坐2＋4×4＝2＋16＝18人，n张桌子坐4n＋2人，据此解答即可。
【详解】4张桌子坐：2＋4×4
＝2＋16
＝18（人）
n张桌子坐：
4×n＋2＝4n＋2（人）
【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键是找到题中的规律。
27．
【分析】由图可知，图①有1个三角形；图②有（1＋2）个三角形，将图①的三角形逆时针旋转90°，后面一列增加2个三角形；图③有（1＋2＋3）个三角形，将图②逆时针旋转90°，后面一行增加3个三角形；以此类推，图④有（1＋2＋3＋4）个三角形，将图③逆时针旋转90°，后面一列增加4个三角形，据此解答。
【详解】
【点睛】分析图形找出三角形的方向和个数变化的规律是解答题目的关键。
28．2n＋2
【分析】观察三个图形得到一张正方形桌子可坐4人，两张正方形桌子可坐（4＋2×1）人，则每增加一个桌子就可多坐两个人，于是得到n张正方形桌子可坐[4＋2（n－1）]人。
【详解】4＋2（n－1）
＝4＋2n－2
＝2n＋2
所以，n张餐桌拼在一起可坐（2n＋2）人。
【点睛】本题考查了数与形，主要培养学生的观察能力和总结能力。
29．42
【分析】从第一个图形开始分析小圆圈的个数：第一个图形中有1×2＝2（个）圆形卡片，第二个图形中有2×3＝6（个）圆形卡片，第三个图形中有3×4＝12（个）圆形卡片，第四个图形中有4×5＝20（个）圆形卡片，…第n个图形有n（n＋1）个圆形卡片，利用规律解决问题。
【详解】观察图形可知：
第一个图形中有1×2＝2（个）
第二个图形中有2×3＝6（个）
第三个图形中有3×4＝12（个）
第四个图形中有4×5＝20（个）
…
所以第六幅图形有6×7＝42（个）
【点睛】此题主要考查了图形的规律，通过归纳与总结结合图形得出图形个数之间的规律是解决问题的关键。
30． 30 28
【分析】由表1可以看出，第一行的每一个数字与第一列的每一个数字乘积得到其它行列的数，据此解题。
【详解】4×5＝20
4×6＝24
5×5＝25
可以判断出a在第五行、第六列，即a＝5×6＝30
3×6＝18
4×8＝32
可以判断出b在第四列、第七行，即b＝4×7＝28
【点睛】此题考查了数表中的规律，认真观察表一，得出普遍规律，在表2、表3中代入数值依次推出a、b所在行和列是解决此题的关键。
31．21
【分析】观察图形，可以推断出第6个图中有6层三角形，从上到下分别有1、2、3、4、5、6个三角形，相加即可求出总个数。
【详解】
（个）
照这样排列下去，第6个图中有21个三角形。
【点睛】此题的关键是明确三角形的排列方式，然后再进一步解答。
32． 33 5a＋3
【分析】涂色正方形依次是1、2、3、4、…、a时，空白正方形的个数依次是8，8＋5×（2－1），8＋5×（3－1），8＋5×（4－1），…，8＋5×（a－1）。
【详解】8＋5×（6－1）
＝8＋25
＝33
8＋5×（a－1）
＝8＋5a－5
＝5a＋3
【点睛】本题主要考查了学生观察、比较、归纳的能力。
33． 12 16
【分析】经观察发现，每多1个正方形就多4个直角三角形，据此解答。
【详解】8＋4＝12（个）
12＋4＝16（个）
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多1个正方形就多4个直角三角形是解本题的关键。
34． 31 15
【分析】由题意可知，摆1个正方形需要4根小棒，每增加一个正方形增加3根小棒，那么摆n个正方形需要[4＋（n－1）×3]根小棒，求出当n＝10时式子的值，即可求出摆10个正方形需要小棒的数量，最后求出式子的值为46时n的值，据此解答。
【详解】摆n个正方形需要小棒的数量：4＋（n－1）×3
＝4＋3n－3
＝（3n＋1）根
当n＝10时，3n＋1＝3×10＋1＝30＋1＝31（根）。
3n＋1＝46
解：3n＝46－1
3n＝45
n＝45÷3
n＝15
所以，摆10个正方形，需要31根小棒，46根小棒可以摆15个这样的正方形。
【点睛】找出正方形个数和小棒根数的变化规律是解答题目的关键。
35． 21 （1＋2n）
【分析】通过观察可知，三角形个数每次增加1个，所需小棒数每次增加2根，据此解答。
【详解】第1图小棒数：3＝3
第2图小棒数：5＝3＋1×2
第3图小棒数：7＝3＋2×2
第4图小棒数：9＝3＋3×2
……
第10图小棒数：21＝3＋9×2
第n图小棒数：1＋2n＝3＋（n－1）×2
【点睛】本题考查运用数形结合方法，探索数学规律。
36．
【分析】通过观察，分数中的分母部分都是两个自然数的乘积，并且相差3，因此把提出来，每个分数可拆分为两个分数相减的形式，通过加减互相抵消的方法，求得结果。
【详解】
＝
＝
＝
＝
【点睛】根据已知算式找到规律是解答本题的关键，再根据规律解决实际问题。
37． 22 4n＋2
【分析】第1张桌子拼在一起可以坐（4＋2）人，第2张桌子拼在一起可以坐（4×2＋2）人，第3张桌子拼在一起可以坐（4×3＋2）人，依次类推，第n张桌子拼在一起可以坐（4×n＋2）人，再把n＝5代入，即可求出5张桌子拼在一起可以坐多少人。
【详解】根据分析得，4×n＋2＝（4n＋2）人
即第n张桌子拼在一起可以坐（4n＋2）人。
当n＝5时，4×5＋2＝20＋2＝22（人）。
【点睛】此题的解题关键是运用数形结合的方法得出规律，并应用规律解决问题。
38．38
【分析】由图可知，第1个图形有1个涂色正方形，8个未涂色正方形；第2个图形有2个涂色正方形，13个未涂色正方形；第3个图形有3个涂色正方形，18个未涂色正方形。由此可知：第几个图形，对应的就有几个涂色正方形，而未涂色正方形的个数比上一个图形增加5个，据此得出规律。
【详解】第1个图形有8个未涂色正方形；
第2个图形有13个未涂色正方形，可以表示成（8＋5×1）；
第3个图形有18个未涂色正方形，可以表示成（8＋5×2）；
以此类推，第4个图形未涂色正方形的个数可以表示成（8＋5×3）；
……
第7个图形未涂色正方形的个数为：
8＋5×（7－1）
＝8＋5×6
＝38（个）
【点睛】解答本题的关键是要通过图形的变化特点，先得出规律，再计算。
39．10000
【分析】从1开始连续奇数的和等于奇数个数的平方，括号里面一共有10个连续奇数，先求出括号里面式子的和，再求出和的平方，据此解答。
【详解】分析可知，，则＝＝10000。
【点睛】从1开始n个连续奇数相加的和等于n2，注意题目需要求的是括号的平方，要计算两次平方。
40． △○ ○□
【分析】通过观察可知：三角表示5，圆表示7，正方形表示6，按照数字所在的数位排列即可。
【详解】△代表5，○代表7，□代表6，表示57的图形是△○，表示76的图形是○□。
【点睛】本题考查了数形结合的意识，及用符号表示数的意识。
41．28
【分析】第1个图有白色正方形8个，8＝5×1＋3；
第2个图有白色正方形13个，13＝5×2＋3；
第3个图有白色正方形18个，18＝5×3＋3；
……
第n个图有白色正方形（5n＋3）个；
据此规律求解。
【详解】第5个图形中白色正方形的个数为：
5×5＋3
＝25＋3
＝28（个）
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
42． 13 36
【分析】观察图形可知，○的个数位：序号数减1的差乘2，然后再加上1即可；
△的个数位：序号数减1的差的平方。据此填空即可。
【详解】第7幅图中○的个数有：
（7－1）×2＋1
＝6×2＋1
＝12＋1
＝13（个）
第7幅图中△的个数有：
（7－1）2＝62＝36（个）
【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
43． 42 8n＋2
【分析】第1幅图需要的小棒数为10根，即：8×1＋2；
第2幅图需要的小棒数为18根，即：8×2＋2；
第3幅图需要的小棒数为26根，即：8×3＋2；
……
第n幅图需要的小棒数为： 8n＋2。
【详解】根据分析可得：
8×5＋2
＝40＋2
＝42（根）
所以，第5幅图需要42根小棒；第n幅图需要（8n＋2）根小棒。
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多1个幅图就多8根小棒是解本题的关键。
44．17
【分析】第一堆有5个三角形，第二堆有5＋3＝8（个）三角形，第三堆有5＋3＋3＝11（个）三角形，以此类推，第n堆有5＋3（n－1）＝（3n＋2）个三角形；可假设第x堆三角形的个数是53个，列方程3x＋2＝53，解这个方程即可。
【详解】①：5个
②：5＋3＝8（个）
③：5＋3＋3＝11（个）
第n堆：
5＋3（n－1）
＝5＋3n－3
＝3n＋2（个）
解：设第x堆三角形的个数是53个。
3x＋2＝53
3x＝53－2
3x＝51
x＝51÷3
x＝17
【点睛】善于从图形中挖掘隐含的规律，并应用到实际问题中，是解题关键。
45． 20 16
【分析】结合图示可知：
第1个“T”字形有5枚黑棋子；
第2个“T”字形有5＋3＝8（枚）黑棋子；
第3个“T”字形有5＋3×2＝5＋6＝11（枚）黑棋子；
以此类推，
第4个“T”字形有5＋3×（4－1）＝5＋3×3＝5＋9＝14（枚）黑棋子；
第n个“T”字形有5＋3（n－1）＝5＋3n－3＝3n＋2（枚）黑棋子；
则第6个“T”字形有3×6＋2＝18＋2＝20（枚）黑棋子；
要求得第几个“T”字形需要50枚黑棋子，可假设为第x个，可得方程3x＋2＝50，解这个方程即可。
【详解】由分析可得：
①第n个“T”字形有5＋3（n－1）＝5＋3n－3＝3n＋2（枚）黑棋子；
则第6个“T”字形有3×6＋2＝18＋2＝20（枚）黑棋子；
②解：设第x个“T”字形需要50枚黑棋子，
3x＋2＝50
3x＝50－2
3x＝48
x＝48÷3
x＝16
即第16个“T”字形需要50枚黑棋子。
【点睛】能够结合图示发现总结其内在的规律，并把这个规律应用到实际问题当中，是解题关键。
46．(1)9
(2)3n＋1
【分析】观察图形可知，第一幅图有4个小黑点，第二幅图有7个小黑点，第三幅图有10个小黑点，由此可知，第n幅图有3n＋1个黑点。
（1）
3n＋1＝28
解：3n＝27
n＝9
第9幅图中有28个●。
（2）
第n幅图中有3n＋1个●。
【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
47． 17 2n＋1
【分析】摆1个三角形用的小棒数为3根，即2×1＋1；
摆2个三角形用的小棒数为5根，即2×2＋1；
摆3个三角形用的小棒数为7根，即2×3＋1；
摆4个三角形用的小棒数为9根，即2×4＋1；
……
摆n个三角形用的小棒数为2n＋1。
【详解】2×8＋1
＝16＋1
＝17（根）
三角形个数
1
2
3
4
……
8
……
n
小棒根数
3
5
7
9
……
17
……
（2n＋1）
【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
48． 16 3n＋1
【分析】观察可知，点的数量＝第几个图形就用几×3＋1，据此分析。
【详解】5×3＋1
＝15＋1
＝16（个）
n×3＋1＝3n＋1（个）
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
49． 22 2n＋2 15
【分析】图1中黑方块的个数4个，可以写作：2×（1＋1）个，图2中黑方块个数有6个，可以写作：2×（2＋1）个；图3中黑方块个数有8个，可以写作：2×（3＋1）个，……，图n中有黑方块个数为2×（n＋1）＝2n＋2个；由此求出图10中，黑方块的个数；
图1中白方块的个数5个，可写作：5＋3×（1－1）个，图2中白方块的个数8个，可写作：5＋3×（2－1）个；图3中有白方块个数11个，可写作：5＋3×（3－1）个，……，图n中有白方块个数为5＋3×（n－1）个，计算出白方块是47个是图几。
【详解】根据分析可知，图10中有黑方块个数：
2×（10＋1）
＝2×11
＝22（个）
图n中有黑方块个数：
2×（n＋1）
＝（2n＋1）个
（47－5）÷3＋1
＝42÷3＋1
＝14＋1
＝15
乐乐用黑、白两种方块照下图拼，图10中黑方块有22个，图n中黑方块有（2n＋2）个。豆豆拼成的一个图中有47个白方块，他拼的是图15。
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
50．
【分析】一个正方体有（2＋3）个面露在外面，摆2个小正方体有（2＋2×3）个面露在外面，摆3个小正方体说明有（2＋3×3）说明每增加1个小正方体就多3个面露在外面，据此解答即可。
【详解】摆n个小正方体有（3n＋2）个面露在外面。
【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键是找到规律。
（期末押题卷）第八单元数学广角-数与形填空题
六年级上册期末高频考点数学试卷（人教版）
学校:___________姓名：___________班级：___________
1．用小棒摆正六边形（如下图）。
(1)摆5个正六边形需要( )根小棒；用101根小棒能摆( )个正六边形。
(2)摆个正六边形需要( )根小棒。
2．观察下图，想一想，填一填。
……
第9幅图有( )个棋子，第n幅图有( )个棋子。
3．探索规律：摆78个正方体时，正方形的个数是( )个。
形状：……
正方体个数：1，2，3，4…
正方形个数：6，10，14，18…
4．用小棒按照如图方式摆图形：
摆n个八边形需要( )根小棒，用2024根小棒可摆( )个八边形。
5．照下图排列，请你写出第6幅图有( )个点。
6．摆一摆，找规律。
(1)摆第7个图形需要( )根小棒。
(2)摆第n个图形需要( )根小棒。
7．如图，用边长为1cm的等边三角形拼图（如图），第一组有一个边长为1cm等边三角形，第二组有4个边长为1cm等边三角形，第三组有9个边长为1cm等边三角形，第n组图形有______边长为1cm等边三角形拼成。
8．观察下图规律，如果一幅图中涂色正方形是6个，那么空白正方形有( )个。
9．如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n条“金鱼”需要火柴( )根。
10．探索规律：请把下表补充完整。
点数
……
10个点
线段总数
0条
1条
3条
6条
( )条
……
( )条
11．如图所示，摆一个正方形需要4根小棒，摆两个正方形，需要（4＋3）根小棒，摆三个正方形需要（4＋3＋3）根小棒，如果摆n个正方形需要( )根小棒。
12．用圆片摆成这样的图形：。如果继续摆下去，第8个图形共有( )个圆片。
13．摆1个三角形要3根小棒，摆2个三角形要5根小棒（如图），摆n个三角形要( )根小棒，现在有49根小棒，可以摆( )个这样的三角形。
14．观察下列图形的变化规律，请你想一想：第7幅图中有________个三角形。
15．如下图，用方桌按照下面的方法拼成长方形大桌安排座位，照这样的规律，5个方桌拼成的大桌一共可以安排( )个座位。n个方桌可以安排( )个座位。
16．用黑白两种颜色的正六边形地砖，按如图所示的规律拼成若干图案。
按这样的规律，第5个图案中共有( )块白色地砖；第( )个图案中共有42个白色地砖。
17．＋＋＋＋＋1＋2＋4＋8＝( )。
18．按规律填数：1，3，4，5，9，7，_____，_____。
19．一个从1开始的自然数表如下，表中下一行数的个数是上一行数个数的2倍。那么第六行的最后一个数是( )。
第一行
1
第二行
2
3
第三行
4
5
6
7
……
……
20．下图是王叔叔用黑、白两种颜色的正六边形地砖密铺成的图案。按照这样的规律，第4个图案中有白色地砖( )块，第n个图案中共有白色地砖( )块。
……
21．找规律，填一填。
(1)如图，用同样的小棒摆正方形，摆10个同样的正方形需要小棒( )根；现在有46根小棒可以摆( )个正方形。
(2)，，……在算式中，写出m＝( )，n＝( )。
22．如图是一组有规律的图案，第1个图案中有8个小正方形，第2个图案中有12个小正方形，第3个图案中有16个小正方形，……，依此规律，第14个图中有( )个小正方形，若第n个图案中有240个小正方形，则n的值为( )。
23．观察下面的图形，想一想：后面的第15个方框里面有( )个点，第n个方框里面有( )个点，第( )个方框里面有201个点。
24．如图，笑笑用小棒搭三角形，照这样的摆放方式，搭第5个图形需要( )根小棒，搭第n个这样的图形需要( )根小棒。
25．古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，根据它的规律，则第10个三角形数是( )。
26．如下图，1张桌子坐6人，2张桌子坐10人，那么，4张桌子坐( )人，n张桌子坐( )人。
27．找规律，画出图④。
28．如下图，1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，按这样拼下去，n张餐桌拼在一起可坐( )人。
29．将一些圆形卡片如下图摆放，第6幅图中有( )个圆形卡片。
30．观察表，寻找规律。
表2、表3分别是从表1中截取的一部分，其中a的值为( )，b的值为( )。
31．数形结合是学习数学的重要方法之一。仔细看图，照这样排列下去，第6个图中有________个三角形。
32．探索规律。
涂色正方形个数
1
2
3
……
a
空白正方形个数
8
13
18
……
请你观察图形规律，当涂色正方形的个数是6时，空白正方形的个数是( )；若涂色正方形的个数是a，空白正方形的个数是( )（用含有字母的式子表示）。
33．观察下列各图形中正方形个数与直角三角形个数的关系，将下表填写完整。
正方形个数
1
2
3
4
5
…
直角三角形个数
0
4
8
( )
( )
…
34．如下图所示，摆1个正方形需要4根小棒，摆2个正方形需要7根小棒……照这样摆下去，摆10个正方形，需要( )根小棒；46根小棒可以摆( )个这样的正方形。
35．按规律填空。
……
图形
……
小棒根数
3
5
7
9
…
照这样摆下去，第10幅图需要( )根小棒。第n幅图需要( )根小棒。
36．( )。
37．中国是一个多民族国家，其中我国苗族的千人长桌宴席的最高形式与隆重礼仪已有几千年的历史。如上图所示，长桌像这样拼下去，5张桌子拼在一起可以坐( )人，n张桌子拼在一起可以坐( )人。
38．下面图形由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成，依规律填表。
第1个图形
第2个图形
第3个图形
…
第7个图形
…
涂色正方形个数
1
2
3
…
7
…
未涂色正方形个数
8
13
18
…
( )
…
39．( )。
40．如图的每个图形都是由△、□、〇中的两个组成的，观察各个图形，根据规律，画出表示“57”的图形是( )，表示“76”的图形的是( )。
41．观察下面图形的排列规律，第5个图形中白色正方形的个数为( ) 个。
42．观察如图，找规律。第7幅图中有( )个○，有( )个△。
43．小华用一样长的小棒摆出了以下三幅图。如果按这样的规律继续摆下去，第5幅图需要( )根小棒；第n幅图需要( )根小棒。
44．按如下规律摆放三角形，第( )堆三角形的个数是53个。
……
① ② ③
45．如下图是用黑棋子摆成的“T”字形。摆成第1个“T”字形需要5枚黑棋子，摆成第2个“T”字形需要8枚黑棋子，摆成第3个“T”字形需要11枚黑棋子，……，照这样摆下去，摆成第6个“T”字形需要( )枚黑棋子，摆成第( )个“T”字形需要50枚黑棋子。
46．根据下面图形的变化规律完成填空。
……
(1)第( )幅图中有28个●；
(2)第n幅图中有( )个●。
47．根据如图的变化规律，把表格填完整。
三角形个数
1
2
3
4
……
8
……
n
小棒根数
3
5
7
9
……
( )
……
( )
48．从下图中，点的排列规律可以看出，第5个图共有( )个点，第n个图共有( )个点。
49．乐乐用黑、白两种方块照下图拼，图10中黑方块有( )个，图n中黑方块有( )个。豆豆拼成的一个图中有47个白方块，他拼的是图( )。
50．唐唐在桌面上用小正方体按下图方式摆放。摆1个小正方体有5个面露在外面，摆2个小正方体有8个面露在外面……摆n个小正方体有( )个面露在外面。
参考答案：
1．(1) 26 20
(2)
【分析】（1）观察可知：摆一个正六边形要5×1＋1＝6根小棒；摆2个正六边形要5×2＋1＝11根；摆3个正六边形要5×3＋1＝16根；摆5个正六边形要5×5＋1＝26根；101根小棒可以摆（101－1）÷5＝20个。
（2）摆n个正六边形要5n＋1根小棒。
（1）
摆5个正六边形需要（26）根小棒；用101根小棒能摆（20）个正六边形。
（2）
摆个正六边形需要（5n＋1）根小棒。
【点睛】本题考查了观察能力了推理归纳能力。从图形的摆放中发现规律，利用规律是解答本题的关键。
2． 81 n2
【分析】通过观察图形可知，第1幅图有1个棋子，第2幅图有（2×2）个棋子，第3幅图有（3×3）个棋子，第4幅图有（4×4）个棋子……所以第n幅图有（n×n）个棋子。据此解答。
【详解】9×9＝81（个）
n×n＝n2（个）
所以第9幅图有81个棋子，第n幅图有n2个棋子。
【点睛】本题主要考查图形的规律，关键是明确第n幅图的棋子数是（n×n）个。
3．314
【分析】通过分析可知：每增加一个正方体，正方形的个数增加4个，10＝6＋4，14＝6＋2×4，18＝6＋3×4，所以N个正方体的正方形的个数是6＋（N－1）×4，据此解答即可。
【详解】摆78个正方体时，正方形的个数是
6＋（78－1）×4
＝6＋77×4
＝6＋308
＝314（个）
【点睛】本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。
4． （7n＋1） 289
【分析】摆1个八边形需要的小棒数为8根，即7×1＋1；
摆2个八边形需要的小棒数为15根，即7×2＋1；
摆3个八边形需要的小棒数为22根，即7×3＋1；
……
摆n个八边形需要的小棒数为：7n＋1。
【详解】由已知图形可得需要小棒根数依次是8、15、22，即相邻的两个数后面的比前面的多7，则摆n个八边形需要小棒：8＋（n－1）×7＝7n＋1
7n＋1＝2024
7n＝2023
n＝289
即用2024根小棒可摆289个八边形。
【点睛】根据图形规律找出第n个图形小棒根数的表达式是解答本题的关键。
5．51
【分析】观察第一幅图有1个黑点，第一幅图有5个黑点，第三幅图有12个黑点，第四幅图有22个黑点，相邻两幅图黑点之间的差是5－1＝4，12－5＝7，22－12＝10，它们的差都是3，据此求出第6幅图黑点的个数即可。
【详解】第5幅图黑点的个数是：10＋3＋22＝35（个）
第6幅图黑点的个数是：
10＋3＋3＋35
＝16＋35
＝51（个）
【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
6．(1)15
(2)2n＋1
【分析】当n＝1时，小棒的根数是3根；当n＝2时，小棒的根数：5＝2×2＋1根；当n＝3时，小棒的根数：7＝3×2＋1根；由此摆第n个图形需要小棒的根数：2n＋1。
（1）
7×2＋1＝15
（2）
由分析可得：摆第n个图形需要2n＋1根小棒
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
7．n²个
【分析】第一组有1个，第二组有4个，第三组有9个，…规律为：边长为1cm等边三角形的个数＝图形组数×图形组数，根据规律第n组图形有n²个边长为1cm等边三角形拼成。
【详解】由分析得，根据规律可知，第n组图形有n²个边长为1cm等边三角形拼成。
【点睛】此题考查的是数形结合，解答此题关键是找出规律并用规律解决问题。
8．33
【分析】每幅图中空白正方形的个数＝一共正方形的个数−涂色正方形的个数；第1幅图中涂色正方形有1个，第2幅图中涂色正方形有2个，第3幅图中涂色正方形有3个。由此找到规律：第n幅图中涂色正方形有n个。第1幅图中一共有正方形3×3个，第2幅图中一共有正方形3×5个，第3幅图中一共有正方形3×7个。由此找到规律：第n幅图中一共有正方形3（2n＋1）个。
【详解】一幅图中涂色正方形有6个，说明是第6幅图。
第6幅图中一共正方形的个数：3×（2×6＋1）
＝3×（12＋1）
＝3×13
＝39（个）
第6幅图中空白正方形的个数：39－6＝33（个）
【点睛】在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。
9．6n＋2
【分析】观察图形发现：搭1条金鱼需要火柴8根，搭2条金鱼需要14根，即发现了每多搭1条金鱼，需要多用6根火柴，则搭n条“金鱼”需要火柴8＋6（n－1）＝6n＋2，据此即可解答问题。
【详解】根据分析得，每多搭一条金鱼，需要多用6根火柴。
8＋6×（n－1）
＝8＋6n－6
＝6n＋2
所以搭n条金鱼需要火柴（6n＋2）根。
【点睛】此类题找规律的时候一定要注意结合图形进行发现规律。
10． 10 45
【分析】通过观察可知，两个点之间一条线段，在3个点中，每一个点和其它两点各有一条，共3×2＝6（条），每条线段重复一次，所以实际有6÷2＝3（条），4个点则有4×3÷2＝6（条），5个点则有5×4÷2＝10（条），10个点则有10×9÷2＝45（条）……以此类推。
【详解】
点数
……
10个点
线段总数
0条
1条
3条
6条
10条
……
45条
【点睛】本题主要考查了学生观察能力和比较分析能力。
11．3n＋1
【分析】观察图形，摆一个正方形需要4根小棒，摆两个正方形需要（4＋3）根小棒，摆三个正方形需要（4＋3×2）根小棒，摆四个正方形需要（4＋3×3）根小棒，即当前图形所需要的小棒数量比前一个图形所需要的小棒数量多3个，所以依次类推，如果摆n个正方形需要根小棒。
【详解】根据分析得，
＝
＝
摆n个正方形需要根小棒。
【点睛】此题的解题关键是利用数与形的结合，通过观察图形，把图形中变化的规律转化成数字，多多练习，培养数感。
12．64
【分析】第1个图形有1个圆片；第2个图形有（2×2）个圆片；第3个图形有（3×3）个圆片；第4个图形有（4×4）个圆片……第n个图形有n×n＝n2个圆片；据此解答。
【详解】分析可知，第8个图形共有82＝64个圆片。
【点睛】分析题意找出图形变化的规律是解答题目的关键。
13． 2n＋1 24
【分析】搭一个三角形需3根火柴，搭2个三角形中间少用1根，需要5根火柴棒，搭3个三角形中间少用2根……搭n个三角形中间少用（n－1）根，需要[3n－（n－1）]＝2n＋1根火柴棒，进而求出有49根火柴，可以摆几个这样的三角形。
【详解】搭一个三角形需3根火柴；
搭2个三角形中间少用1根，需要5根火柴棒；
搭3个三角形中间少用2根，需要7根火柴棒；
所以要连摆n个三角形，要用（2n＋1）根火柴棒。
（49－1）÷2
＝48÷2
＝24
【点睛】注意结合图形，发现蕴含的规律，找出解决问题的途径，也可以只分析数字3，5，7，9，11…，得出结论。
14．36
【分析】第1幅图中有0个三角形，第2幅图中有1个三角形，第3幅图中有4个三角形，第4幅图中有9个三角形……，由此可以发现第1幅图中三角形的个数是（1－1）2，第2幅图中三角形的个数是（2－1）2，第3幅图中三角形的个数是（3－1）2，第4幅图中三角形的个数是（4－1）2……，第n幅图中三角形的个数是（n－1）2。据此解答。
【详解】第1幅图中三角形的个数是（1－1）2，第2幅图中三角形的个数是（2－1）2，第3幅图中三角形的个数是（3－1）2，第4幅图中三角形的个数是（4－1）2……，第n幅图中三角形的个数是（n－1）2。
当n＝7时，（n－1）2＝（7－1）2＝36（个）
【点睛】根据图中的数据，发现规律，利用规律解题是关键。
15． 12 2n＋2
【分析】根据题图可知，一个桌子可以安排4个座位，至此以后，每增加一个桌子就增加2个座位，据此可知当有n个桌子时，可以安排4＋2（n－1）＝2n＋2个座位，据此解答即可。
【详解】当有n个桌子时，可以安排（2n＋2）个座位；
当n＝5时；
2n＋2
＝2×5＋2
＝12
5个方桌拼成的大桌一共可以安排12个座位。
【点睛】解答本题的关键是根据题图找到规律，再根据这一规律解决实际问题。
16． 22 10
【分析】观察图形，第一个图案共有6块白色地砖，第二个图案共有（6＋4）块白色地砖，第三个图案共有（6＋4×2）块白色地砖，依次类推，算出第五个图案共有多少块白色地砖。第个图案共有块白色地砖，把地砖的数量42代入，算出是第几个图案。
【详解】6＋4×（5－1）
＝6＋4×4
＝6＋16
＝22
第5个图案中共有22块白色地砖。
＝6＋4n－4
＝（4n＋2）块
第n个图案共有（4n＋2）块白色地砖。
4n＋2＝42
解：4n＝42－2
4n＝40
n＝40÷4
n＝10
第10个图案中共有42个白色地砖。
【点睛】此题的解题关键是利用数与形的结合，通过观察图形，把图形中变化的规律转化成数字，多多练习，培养数感。
17．
【分析】根据规律： 的和等于1减去最后一个分数，来计算；再计算1＋2＋4＋8；最后把两次计算的和加起来。
【详解】＝＝
1＋2＋4＋8＝15
＝
所以原式＝
【点睛】在分数和整数混合的加法算式中，可采用“同形结合法”，即整数和整数相加，分数和分数相加。
18． 16 9
【分析】观察算式，1、4、9为奇数项，3、5、7为偶数项，找出规律：奇数项是连续的平方数，偶数项依次加2。据此解答。
【详解】12＝1
22＝4
32＝9
42＝16
3＋2＝5
5＋2＝7
7＋2＝9
所以按规律填数：1，3，4，5，9，7，16，9。
【点睛】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
19．63
【分析】通过观察分析可知，表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍，所以第n行的数字的个数为个，又每一行中最后一个数为前边从第一行到这一行中所有字的个数，如第三行中最后一个数为7，则一至三行中共有7个数字，由此可知，到第n行中最后一个数字为1＋2＋4＋…＋。
【详解】＝＝＝2×2×2×2×2＝32
1＋2＋4＋8＋16＋32＝63
【点睛】寻找数字排列中的规律，平时要注重多积累，培养数感。
20． 18 4n＋2
【分析】观察图形可知，第一个图案6块白色地砖，可写成：4×1＋2；第二个图案10块白色地砖，可写成：4×2＋2；第三个图案14个白色地砖，可写成：4×3＋2；由此可知，第n个图案白色地砖个数可写成：4n＋2；据此解答。
【详解】根据分析可知，
第一个图案白色地砖个数：4×1＋2＝6（块）
第二个图案白色地砖个数：4×2＋2＝10（块）
第三个图案白色地砖个数：4×3＋2＝14（块）
第四个图案白色地砖个数：4×4＋2
＝16＋2
＝18（块）
第n图案白色地砖个数：（4n＋2）块
【点睛】根据题干中已知的图形的排列特点以及数量关系，推理得出一般的结论进行解答，是此类问题的关键。
21．(1) 31 15
(2) 6 30
【分析】（1）观察可知，小棒根数＝正方形数量×3＋1，正方形个数＝（小棒根数－1）÷3，据此列式计算；
（2）观察可知，几分之一的分数可以拆成两个分数相加的形式，第一个加数的分母比这个分数的分母多1，第二个加数的分母是前两个分母的乘积，据此确定m和n的值。
（1）
10×3＋1
＝30＋1
＝31（根）
（46－1）÷3
＝45÷3
＝15（个）
（2）
5＋1＝6，5×6＝30，m＝6，n＝30
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
22． 60 59
【分析】观察图形：第1个图案中有4×2＝8个小正方形，第2个图案中有4×3＝12个小正方形，第3个图案中有4×4＝16个小正方形，……所以第n个图案中有4（n＋1）个小正方形。
【详解】根据分析得到的规律可知第14个图中有小正方形：
4×（14＋1）
＝4×15
＝60（个）
第n个图案中有240个小正方形，可得：
4（n＋1）＝240
4n＋4＝240
4n＝236
n＝59
【点睛】此题考查图形的变化规律，解决本题的关键是找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题。
23． 57 4n－3 51
【分析】分析图形可知，第1个图形里面有1个点，第2个图形里面有（1＋4）个点，第3个图形里面有（1＋4×2）个点，第4个图形里面有（1＋4×3）个点……每次增加4个点，那么第n个图形有[1＋4×（n－1）]个点，化简含有字母的式子并求出n＝15时式子的值，再求出式子的值为201时n的值，据此解答。
【详解】分析可知，第n个方框里面点的个数为：1＋4×（n－1）
＝1＋（4n－4）
＝1＋4n－4
＝（4n－3）个
当n＝15时。
4n－3
＝4×15－3
＝60－3
＝57（个）
4n－3＝201
解：4n＝201＋3
4n＝204
n＝204÷4
n＝51
所以，后面的第15个方框里面有57个点，第n个方框里面有（4n－3）个点，第51个方框里面有201个点。
【点睛】本题主要考查数与形，找出点的个数与方框个数的变化规律是解答题目的关键。
24． 11 2n＋1
【分析】看图，第一个三角形需要2×1＋1＝3（根）小棒，第二个三角形需要2×2＋1＝5（根）小棒，第三个三角形需要2×3＋1＝7（根）小棒，合理推测，第五个三角形需要2×5＋1＝11（根）小棒，第n个三角形需要（2×n＋1）根小棒。
【详解】2×5＋1
＝10＋1
＝11（根）
2×n＋1＝2n＋1
所以，搭第5个图形需要11根小棒，搭第n个这样的图形需要（2n＋1）根小棒。
【点睛】本题考查了数与形，有一定观察和归纳总结能力是解题的关键。
25．55
【分析】观察数列可知，第1个三角形数是1，第2个三角形数是1＋2＝3，第3个三角形数是1＋2＋3＝6，第4个三角形数是1＋2＋3＋4＝10，第5个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＝15，根据所给的数据发现：第n个三角形数是1＋2＋3＋…＋n，据此解答即可。
【详解】第10个三角形数是：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10
＝10×5＋5
＝50＋5
＝55
【点睛】此题考查了规律型：数字的变化．要能够发现：第n个数对应的数的规律为：第n个三角形数是1＋2＋3＋…＋n。
26． 18
【分析】观察图形可知，把桌子左右两边的2人单独看，则每张桌子对应4个人，4张桌子能坐2＋4×4＝2＋16＝18人，n张桌子坐4n＋2人，据此解答即可。
【详解】4张桌子坐：2＋4×4
＝2＋16
＝18（人）
n张桌子坐：
4×n＋2＝4n＋2（人）
【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键是找到题中的规律。
27．
【分析】由图可知，图①有1个三角形；图②有（1＋2）个三角形，将图①的三角形逆时针旋转90°，后面一列增加2个三角形；图③有（1＋2＋3）个三角形，将图②逆时针旋转90°，后面一行增加3个三角形；以此类推，图④有（1＋2＋3＋4）个三角形，将图③逆时针旋转90°，后面一列增加4个三角形，据此解答。
【详解】
【点睛】分析图形找出三角形的方向和个数变化的规律是解答题目的关键。
28．2n＋2
【分析】观察三个图形得到一张正方形桌子可坐4人，两张正方形桌子可坐（4＋2×1）人，则每增加一个桌子就可多坐两个人，于是得到n张正方形桌子可坐[4＋2（n－1）]人。
【详解】4＋2（n－1）
＝4＋2n－2
＝2n＋2
所以，n张餐桌拼在一起可坐（2n＋2）人。
【点睛】本题考查了数与形，主要培养学生的观察能力和总结能力。
29．42
【分析】从第一个图形开始分析小圆圈的个数：第一个图形中有1×2＝2（个）圆形卡片，第二个图形中有2×3＝6（个）圆形卡片，第三个图形中有3×4＝12（个）圆形卡片，第四个图形中有4×5＝20（个）圆形卡片，…第n个图形有n（n＋1）个圆形卡片，利用规律解决问题。
【详解】观察图形可知：
第一个图形中有1×2＝2（个）
第二个图形中有2×3＝6（个）
第三个图形中有3×4＝12（个）
第四个图形中有4×5＝20（个）
…
所以第六幅图形有6×7＝42（个）
【点睛】此题主要考查了图形的规律，通过归纳与总结结合图形得出图形个数之间的规律是解决问题的关键。
30． 30 28
【分析】由表1可以看出，第一行的每一个数字与第一列的每一个数字乘积得到其它行列的数，据此解题。
【详解】4×5＝20
4×6＝24
5×5＝25
可以判断出a在第五行、第六列，即a＝5×6＝30
3×6＝18
4×8＝32
可以判断出b在第四列、第七行，即b＝4×7＝28
【点睛】此题考查了数表中的规律，认真观察表一，得出普遍规律，在表2、表3中代入数值依次推出a、b所在行和列是解决此题的关键。
31．21
【分析】观察图形，可以推断出第6个图中有6层三角形，从上到下分别有1、2、3、4、5、6个三角形，相加即可求出总个数。
【详解】
（个）
照这样排列下去，第6个图中有21个三角形。
【点睛】此题的关键是明确三角形的排列方式，然后再进一步解答。
32． 33 5a＋3
【分析】涂色正方形依次是1、2、3、4、…、a时，空白正方形的个数依次是8，8＋5×（2－1），8＋5×（3－1），8＋5×（4－1），…，8＋5×（a－1）。
【详解】8＋5×（6－1）
＝8＋25
＝33
8＋5×（a－1）
＝8＋5a－5
＝5a＋3
【点睛】本题主要考查了学生观察、比较、归纳的能力。
33． 12 16
【分析】经观察发现，每多1个正方形就多4个直角三角形，据此解答。
【详解】8＋4＝12（个）
12＋4＝16（个）
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多1个正方形就多4个直角三角形是解本题的关键。
34． 31 15
【分析】由题意可知，摆1个正方形需要4根小棒，每增加一个正方形增加3根小棒，那么摆n个正方形需要[4＋（n－1）×3]根小棒，求出当n＝10时式子的值，即可求出摆10个正方形需要小棒的数量，最后求出式子的值为46时n的值，据此解答。
【详解】摆n个正方形需要小棒的数量：4＋（n－1）×3
＝4＋3n－3
＝（3n＋1）根
当n＝10时，3n＋1＝3×10＋1＝30＋1＝31（根）。
3n＋1＝46
解：3n＝46－1
3n＝45
n＝45÷3
n＝15
所以，摆10个正方形，需要31根小棒，46根小棒可以摆15个这样的正方形。
【点睛】找出正方形个数和小棒根数的变化规律是解答题目的关键。
35． 21 （1＋2n）
【分析】通过观察可知，三角形个数每次增加1个，所需小棒数每次增加2根，据此解答。
【详解】第1图小棒数：3＝3
第2图小棒数：5＝3＋1×2
第3图小棒数：7＝3＋2×2
第4图小棒数：9＝3＋3×2
……
第10图小棒数：21＝3＋9×2
第n图小棒数：1＋2n＝3＋（n－1）×2
【点睛】本题考查运用数形结合方法，探索数学规律。
36．
【分析】通过观察，分数中的分母部分都是两个自然数的乘积，并且相差3，因此把提出来，每个分数可拆分为两个分数相减的形式，通过加减互相抵消的方法，求得结果。
【详解】
＝
＝
＝
＝
【点睛】根据已知算式找到规律是解答本题的关键，再根据规律解决实际问题。
37． 22 4n＋2
【分析】第1张桌子拼在一起可以坐（4＋2）人，第2张桌子拼在一起可以坐（4×2＋2）人，第3张桌子拼在一起可以坐（4×3＋2）人，依次类推，第n张桌子拼在一起可以坐（4×n＋2）人，再把n＝5代入，即可求出5张桌子拼在一起可以坐多少人。
【详解】根据分析得，4×n＋2＝（4n＋2）人
即第n张桌子拼在一起可以坐（4n＋2）人。
当n＝5时，4×5＋2＝20＋2＝22（人）。
【点睛】此题的解题关键是运用数形结合的方法得出规律，并应用规律解决问题。
38．38
【分析】由图可知，第1个图形有1个涂色正方形，8个未涂色正方形；第2个图形有2个涂色正方形，13个未涂色正方形；第3个图形有3个涂色正方形，18个未涂色正方形。由此可知：第几个图形，对应的就有几个涂色正方形，而未涂色正方形的个数比上一个图形增加5个，据此得出规律。
【详解】第1个图形有8个未涂色正方形；
第2个图形有13个未涂色正方形，可以表示成（8＋5×1）；
第3个图形有18个未涂色正方形，可以表示成（8＋5×2）；
以此类推，第4个图形未涂色正方形的个数可以表示成（8＋5×3）；
……
第7个图形未涂色正方形的个数为：
8＋5×（7－1）
＝8＋5×6
＝38（个）
【点睛】解答本题的关键是要通过图形的变化特点，先得出规律，再计算。
39．10000
【分析】从1开始连续奇数的和等于奇数个数的平方，括号里面一共有10个连续奇数，先求出括号里面式子的和，再求出和的平方，据此解答。
【详解】分析可知，，则＝＝10000。
【点睛】从1开始n个连续奇数相加的和等于n2，注意题目需要求的是括号的平方，要计算两次平方。
40． △○ ○□
【分析】通过观察可知：三角表示5，圆表示7，正方形表示6，按照数字所在的数位排列即可。
【详解】△代表5，○代表7，□代表6，表示57的图形是△○，表示76的图形是○□。
【点睛】本题考查了数形结合的意识，及用符号表示数的意识。
41．28
【分析】第1个图有白色正方形8个，8＝5×1＋3；
第2个图有白色正方形13个，13＝5×2＋3；
第3个图有白色正方形18个，18＝5×3＋3；
……
第n个图有白色正方形（5n＋3）个；
据此规律求解。
【详解】第5个图形中白色正方形的个数为：
5×5＋3
＝25＋3
＝28（个）
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
42． 13 36
【分析】观察图形可知，○的个数位：序号数减1的差乘2，然后再加上1即可；
△的个数位：序号数减1的差的平方。据此填空即可。
【详解】第7幅图中○的个数有：
（7－1）×2＋1
＝6×2＋1
＝12＋1
＝13（个）
第7幅图中△的个数有：
（7－1）2＝62＝36（个）
【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
43． 42 8n＋2
【分析】第1幅图需要的小棒数为10根，即：8×1＋2；
第2幅图需要的小棒数为18根，即：8×2＋2；
第3幅图需要的小棒数为26根，即：8×3＋2；
……
第n幅图需要的小棒数为： 8n＋2。
【详解】根据分析可得：
8×5＋2
＝40＋2
＝42（根）
所以，第5幅图需要42根小棒；第n幅图需要（8n＋2）根小棒。
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多1个幅图就多8根小棒是解本题的关键。
44．17
【分析】第一堆有5个三角形，第二堆有5＋3＝8（个）三角形，第三堆有5＋3＋3＝11（个）三角形，以此类推，第n堆有5＋3（n－1）＝（3n＋2）个三角形；可假设第x堆三角形的个数是53个，列方程3x＋2＝53，解这个方程即可。
【详解】①：5个
②：5＋3＝8（个）
③：5＋3＋3＝11（个）
第n堆：
5＋3（n－1）
＝5＋3n－3
＝3n＋2（个）
解：设第x堆三角形的个数是53个。
3x＋2＝53
3x＝53－2
3x＝51
x＝51÷3
x＝17
【点睛】善于从图形中挖掘隐含的规律，并应用到实际问题中，是解题关键。
45． 20 16
【分析】结合图示可知：
第1个“T”字形有5枚黑棋子；
第2个“T”字形有5＋3＝8（枚）黑棋子；
第3个“T”字形有5＋3×2＝5＋6＝11（枚）黑棋子；
以此类推，
第4个“T”字形有5＋3×（4－1）＝5＋3×3＝5＋9＝14（枚）黑棋子；
第n个“T”字形有5＋3（n－1）＝5＋3n－3＝3n＋2（枚）黑棋子；
则第6个“T”字形有3×6＋2＝18＋2＝20（枚）黑棋子；
要求得第几个“T”字形需要50枚黑棋子，可假设为第x个，可得方程3x＋2＝50，解这个方程即可。
【详解】由分析可得：
①第n个“T”字形有5＋3（n－1）＝5＋3n－3＝3n＋2（枚）黑棋子；
则第6个“T”字形有3×6＋2＝18＋2＝20（枚）黑棋子；
②解：设第x个“T”字形需要50枚黑棋子，
3x＋2＝50
3x＝50－2
3x＝48
x＝48÷3
x＝16
即第16个“T”字形需要50枚黑棋子。
【点睛】能够结合图示发现总结其内在的规律，并把这个规律应用到实际问题当中，是解题关键。
46．(1)9
(2)3n＋1
【分析】观察图形可知，第一幅图有4个小黑点，第二幅图有7个小黑点，第三幅图有10个小黑点，由此可知，第n幅图有3n＋1个黑点。
（1）
3n＋1＝28
解：3n＝27
n＝9
第9幅图中有28个●。
（2）
第n幅图中有3n＋1个●。
【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
47． 17 2n＋1
【分析】摆1个三角形用的小棒数为3根，即2×1＋1；
摆2个三角形用的小棒数为5根，即2×2＋1；
摆3个三角形用的小棒数为7根，即2×3＋1；
摆4个三角形用的小棒数为9根，即2×4＋1；
……
摆n个三角形用的小棒数为2n＋1。
【详解】2×8＋1
＝16＋1
＝17（根）
三角形个数
1
2
3
4
……
8
……
n
小棒根数
3
5
7
9
……
17
……
（2n＋1）
【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
48． 16 3n＋1
【分析】观察可知，点的数量＝第几个图形就用几×3＋1，据此分析。
【详解】5×3＋1
＝15＋1
＝16（个）
n×3＋1＝3n＋1（个）
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
49． 22 2n＋2 15
【分析】图1中黑方块的个数4个，可以写作：2×（1＋1）个，图2中黑方块个数有6个，可以写作：2×（2＋1）个；图3中黑方块个数有8个，可以写作：2×（3＋1）个，……，图n中有黑方块个数为2×（n＋1）＝2n＋2个；由此求出图10中，黑方块的个数；
图1中白方块的个数5个，可写作：5＋3×（1－1）个，图2中白方块的个数8个，可写作：5＋3×（2－1）个；图3中有白方块个数11个，可写作：5＋3×（3－1）个，……，图n中有白方块个数为5＋3×（n－1）个，计算出白方块是47个是图几。
【详解】根据分析可知，图10中有黑方块个数：
2×（10＋1）
＝2×11
＝22（个）
图n中有黑方块个数：
2×（n＋1）
＝（2n＋1）个
（47－5）÷3＋1
＝42÷3＋1
＝14＋1
＝15
乐乐用黑、白两种方块照下图拼，图10中黑方块有22个，图n中黑方块有（2n＋2）个。豆豆拼成的一个图中有47个白方块，他拼的是图15。
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
50．
【分析】一个正方体有（2＋3）个面露在外面，摆2个小正方体有（2＋2×3）个面露在外面，摆3个小正方体说明有（2＋3×3）说明每增加1个小正方体就多3个面露在外面，据此解答即可。
【详解】摆n个小正方体有（3n＋2）个面露在外面。
【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键是找到规律。
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