湖北省黄冈市浠水县六神中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份湖北省黄冈市浠水县六神中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县六神中学九年级第一学期期中数学试卷
一、单选题（每题3分，共24分）
1．方程x2＝3x的解是（　　）
A．x＝0 B．x＝3 C．x＝0或x＝3 D．x＝±
2．已知关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p，则下列分析正确的是（　　）
A．当p＝0时，方程有两个相等的实数根
B．当p＞0时，方程有两个不相等的实数根
C．当p＜0时，方程没有实数根
D．方程的根的情况与p的值无关
3．若实数a，b，x满足a﹣b＝2，a2﹣b2＝﹣4x，则多项式a2+ab﹣b2的值可能为（　　）
A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8
4．下列抛物线中，在开口向下的抛物线中开口最大的是（　　）
A．y＝x2 B． C． D．y＝﹣3x2
5．对于二次函数y＝﹣（x+2）2，下列结论中，错误的是（　　）
A．对称轴是直线x＝﹣2
B．当x＞﹣2时，y随x的增大而增大
C．当x＝﹣2时，函数的最大值为0
D．开口向下
6．抛物线y＝2（x﹣1）2﹣1可由抛物线y＝﹣2x2平移得到，则平移的方式是（　　）
A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
7．已知二次函数y＝x2﹣4x﹣3，若﹣1≤x≤6，则y的取值范围为（　　）
A．y≥﹣3 B．﹣3≤y≤2 C．﹣7≤y≤9 D．﹣7≤y≤2
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；
②b＜a+c；
③4a+2b+c＞0；
④a+b＞m（am+b），（m≠1）；
⑤2c＜3b．
其中正确的结论有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每题3分，共24分）
9．方程x2+x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为 　 　．
10．关于x的一元二次方程x2﹣5x+k＝0没有实数根，则k的取值范围为 　 　．
11．设a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+ab+2a+b的值是 　 　．
12．科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，那么全组共有 　 　名学生．
13．在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 　 　米．
14．如图，抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝ax2+bx，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是8，则抛物线y＝ax2+bx的顶点坐标是 　 　．

15．已知点A（﹣3，y1），B（﹣5，y2），C（2，y3）在函数y＝﹣x2﹣2x+b的图象上，则y1，y2，y3由小到大排序为 　 　．
三、解答题（共66分）
17．解方程：
（1）x2﹣8x+12＝0；
（2）（x+2）（x+1）＝12；
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣4＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）选取一个合适的整数k，使方程的解为整数，并解出方程．
19．已知关于x的一元二次方程x2−2x+m−1＝0．
（1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实数根？
（2）若x＝1是这个方程的一个根，求m的值和另一根．
20．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求A点和点B的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论．

21．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
（2）求该二次函数的图象与x轴交点．
22．某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y＝﹣2x+80（20≤x≤40），设这种健身球每天的销售利润为w元
（1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 　 　个；
（2）求w与x之间的函数关系式；
（3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．
（1）几秒后，四边形APQC的面积等于16cm2？
（2）△PQB的面积能否等于9cm2？请说明理由．

24．如图所示，已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点
（1）直接写出抛物线和一次函数的解析式及关于x的不等式ax2＜kx+b的解集；
（2）当点P在直线AB上方时，求出△PAB面积最大时点P的坐标；
（3）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．



参考答案
一、单选题（每题3分，共24分）
1．方程x2＝3x的解是（　　）
A．x＝0 B．x＝3 C．x＝0或x＝3 D．x＝±
【分析】利用解一元一次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
解：x2＝3x，
x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x＝0或x﹣3＝0，
x1＝0，x2＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元一次方程﹣因式分解法是解题的关键．
2．已知关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p，则下列分析正确的是（　　）
A．当p＝0时，方程有两个相等的实数根
B．当p＞0时，方程有两个不相等的实数根
C．当p＜0时，方程没有实数根
D．方程的根的情况与p的值无关
【分析】先将该方程整理成一般式，再求得其根的判别式为4p+9，再判断各选项的正确与否即可．
解：方程（x﹣1）（x+2）＝p可整理为x2+x﹣2﹣p＝0，
∴Δ＝12﹣4×1×（﹣2﹣p）＝1+8+4p＝4p+9．
当p＝0时，Δ＝4p+9＝9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选项A不符合题意；
当p＞0时，Δ＝4p+9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选项B符合题意；
当p＜0时，Δ的正负无法确定，
∴无法判断该方程实数根的情况，
故选项C不符合题意；
∵方程的根的情况和p的值有关，
故选项D不符合题意．
故选B．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用能力，关键是能对该方程进行准确变形与计算．
3．若实数a，b，x满足a﹣b＝2，a2﹣b2＝﹣4x，则多项式a2+ab﹣b2的值可能为（　　）
A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8
【分析】将多项式a2+ab﹣b2进行变形，利用配方法可得（b+3）2﹣5，再根据偶次方的非负数性质解答即可．
解：∵a﹣b＝2，
∴a＝b+2，
∴a2+ab﹣b2
＝（b+2）2+b（a﹣b）
＝b2+4b+4+2b
＝b2+6b+4
＝（b+3）2﹣5，
∴a2+ab﹣b2的最小值是﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式是解答本题的关键．
4．下列抛物线中，在开口向下的抛物线中开口最大的是（　　）
A．y＝x2 B． C． D．y＝﹣3x2
【分析】根据二次函数的性质，开口向下，二次项系数小于0，二次项系数的绝对值越小，开口越大解答．
解：∵抛物线开口向下，
∴二次项系数小于0，
∵|﹣|＜|﹣3|，
∴y＝﹣x2的开口更大．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟记二次项系数与二次函数的开口方向和开口大小的关系是解题的关键．
5．对于二次函数y＝﹣（x+2）2，下列结论中，错误的是（　　）
A．对称轴是直线x＝﹣2
B．当x＞﹣2时，y随x的增大而增大
C．当x＝﹣2时，函数的最大值为0
D．开口向下
【分析】二次函数y＝﹣（x+2）2是顶点式，结合它的图象顶点，开口方向，图象位置等，逐一判断．
解：根据二次函数的性质，可得：
二次函数y＝﹣（x+2）2的图象顶点为（﹣2，0），对称轴为x＝﹣2，开口向下，
故当x＝﹣2时，函数的最大值为0，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，了解二次函数的性质是解决本题的关键．
6．抛物线y＝2（x﹣1）2﹣1可由抛物线y＝﹣2x2平移得到，则平移的方式是（　　）
A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（1，﹣1），由此确定平移的步骤．
解：∵y＝﹣2（x﹣1）2﹣1，
∴该抛物线的顶点坐标是（1，﹣1），
∵抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标是（0，0），
∴平移的方法可以是：将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向下平移1个单位．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．
7．已知二次函数y＝x2﹣4x﹣3，若﹣1≤x≤6，则y的取值范围为（　　）
A．y≥﹣3 B．﹣3≤y≤2 C．﹣7≤y≤9 D．﹣7≤y≤2
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及顶点坐标求解．
解：∵y＝x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2﹣7，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣7），
将x＝6代入y＝x2﹣4x﹣3得y＝36﹣24﹣3＝9，
∴﹣1≤x≤6时，﹣7≤y≤9，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；
②b＜a+c；
③4a+2b+c＞0；
④a+b＞m（am+b），（m≠1）；
⑤2c＜3b．
其中正确的结论有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】①函数对称轴在y轴右侧，则ab＜0，c＞0，即可求解；
②当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故b＞a+c，即可求解；
③x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，即可求解；
④a+b+c＞m（am+b）+c，即可求解；
⑤函数的对称轴为：x＝1，故b＝﹣2a，而由②知：b＞a+c，故2c＜3b即可求解．
解：①函数对称轴在y轴右侧，则ab＜0，c＞0，故①错误，不符合题意；
②当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故b＞a+c，故②错误，不符合题意；
③x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故正确，符合题意；
④a+b+c＞m（am+b）+c，故正确，符合题意；
⑤函数的对称轴为：x＝1，故b＝﹣2a，而由②知：b＞a+c，故2c＜3b正确，符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．方程x2+x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为 　﹣1　．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接可得答案．
解：∵方程x2+x﹣1＝0的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
10．关于x的一元二次方程x2﹣5x+k＝0没有实数根，则k的取值范围为 　k＞　．
【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣5x+k＝0没有实数根，得出Δ＝25﹣4k＜0，再进行计算即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣5x+k＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×k＝25﹣4k＜0，
∴k的取值范围为k＞．
故答案为：k＞．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
11．设a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+ab+2a+b的值是 　﹣1　．
【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出a2+a＝2021，a+b＝﹣1，ab＝﹣2021，再将其代入a2+ab+2a+b＝（a2+a）+ab+（a+b）中，即可求出结论．
解：∵a是方程x2+x﹣2021＝0的实数根，
∴a2+a﹣2021＝0，
∴a2+a＝2021．
∵a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2021，
∴a2+ab+2a+b＝（a2+a）+ab+（a+b）＝2021﹣2021﹣1＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出a2+a＝2021，a+b＝﹣1，ab＝﹣2021是解题的关键．
12．科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，那么全组共有 　12　名学生．
【分析】设全组共有x名学生，每一个人赠送x﹣1件，则全组共互赠了x（x﹣1）件，由题意：全组共互赠了132件，列出方程，求解即可．
解：设全组共有x名学生，
由题意得：x（x﹣1）＝132，
解得：x1＝﹣11（不合题意舍去），x2＝12，
即全组共有12名学生．
故答案为：12．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 　13　米．
【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．
解：当y＝0时，﹣x2+x+1＝0，
解得x1＝13，x2＝﹣1（舍去），
∴x＝13，
∴该生此次实心球训练的成绩为13米，
故答案为：13．
【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
14．如图，抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝ax2+bx，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是8，则抛物线y＝ax2+bx的顶点坐标是 　（2，﹣4）　．

【分析】确定出抛物线y＝ax2+bx的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：如图，设平移后所得新抛物线的对称轴和两抛物线相交于点A和点B，连接OA，OB，

则由抛物线平移的性质可知，a＝1，S阴影＝S△OAB，
∴y＝ax2+bx＝x2+bx＝（x+）2﹣，
∴点A的坐标为（﹣，﹣），点B的坐标为 （﹣，），
∴AB＝+＝，点O到AB的距离：﹣，
∴S△AOB＝（﹣）×＝8，解得：b＝﹣4．
∴点A的坐标为（2，﹣4），
故答案为：（2，﹣4）．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键．
15．已知点A（﹣3，y1），B（﹣5，y2），C（2，y3）在函数y＝﹣x2﹣2x+b的图象上，则y1，y2，y3由小到大排序为 　y2＜y3＜y1　．
【分析】先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数图象对称性和增减性，可以判断y1、y2、y3的大小，从而可以解答本题．
解：∵y＝﹣x2﹣2x+b，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∵C（2，y3）关于对称轴的对称点为（﹣4，y3），
∵﹣5＜﹣4＜﹣3＜﹣1，
∴y2＜y3＜y1，
故答案为：y2＜y3＜y1．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质，找出所求问题需要的条件．
三、解答题（共66分）
17．解方程：
（1）x2﹣8x+12＝0；
（2）（x+2）（x+1）＝12；
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
解：（1）x2﹣8x+12＝0，
（x﹣2）（x﹣6）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣6＝0，
∴x1＝2，x2＝6；
（2）（x+2）（x+1）＝12，
x2+3x﹣10＝0，
（x+5）（x﹣2）＝0，
∴x+5＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣5，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣4＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）选取一个合适的整数k，使方程的解为整数，并解出方程．
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得Δ＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4（k2﹣4）＞0，求出k的取值范围；
（2）由（1）中k的取值范围，可取一个符合条件的k的值，代入解方程即可．
解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4（k2﹣4）＝﹣4k+17＞0，
解得k＜；
故k的取值范围为k＜；
（2）∵k＜，
∴可取k＝2，则k2﹣4＝0，此时方程为x2﹣3x＝0，
解得x1＝0，x2＝3．
【点评】本题主要考查根的判别式，由根的情况得到判别式的符号是解题的关键．
19．已知关于x的一元二次方程x2−2x+m−1＝0．
（1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实数根？
（2）若x＝1是这个方程的一个根，求m的值和另一根．
【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，可得Δ＞0，从而可以求得m的取值范围；
（2）把x＝1代入已知方程，得到关于m的一元一次方程，通过解该方程来求m的值，则可得出答案．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝4﹣4m+4＞0，
即m＜2．
（2）当x＝1时，1﹣2+m﹣1＝0，
∴m＝2，
∴x2−2x+1＝0，
解得x1＝x2＝1．
即另一根是1．
【点评】本题考查根的判别式，解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，熟练运用根的判别式和方程的解的定义．
20．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求A点和点B的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论．

【分析】（1）利用x轴上的点y＝0，把y＝0代入抛物线解析式求出x的值即可；
（2）利用勾股定理可以求出AB，AC，BC的长，再利用勾股定理的逆定理即可证明．
解：（1）把y＝0代入，
∴，
解得：x1＝4或x2＝﹣1，
则点A的坐标（﹣1，0），点B的坐标（4，0）．
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
把x＝0代入，
∴y＝﹣2，
则点C的坐标为（0，﹣2），
∴A（﹣1，0），B（4，0）．
∴AB＝5，
AC＝，
BC＝4，
∵，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
答：△ABC是直角三角形．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，如何求与x轴，y轴的交点．
21．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
（2）求该二次函数的图象与x轴交点．
【分析】（1）化成顶点式，即可得出答案；
（2）把y＝0代入函数解析式求出x，即可求出答案；
解：（1）y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标是（﹣1，﹣4）；

（2）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x＝1或﹣3，
即函数图象与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣3，0）．
【点评】本题考查了二次函数与坐标轴的交点以及函数的图象和性质，能熟记二次函数的性质的内容是解此时的关键．
22．某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y＝﹣2x+80（20≤x≤40），设这种健身球每天的销售利润为w元
（1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 　30　个；
（2）求w与x之间的函数关系式；
（3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）在y＝﹣2x+80中，令x＝25可得y的值，即可得到答案；
（2）根据总利润＝每个健身球利润×销售量即可列出w与x之间的函数关系式；
（3）结合（2）的函数关系式，根据二次函数性质可得答案；
解：（1）在y＝﹣2x+80中，令x＝25得：
y＝﹣2×25+80＝30，
故答案为：30；
（2）根据题意得：w＝（x﹣20）（﹣2x+80）＝﹣2x2+120x﹣1600，
∴w与x之间的函数关系式为w＝﹣2x2+120x﹣1600；
（3）w＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w取最大值，最大值为200，
答：该种健身球销售单价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．
（1）几秒后，四边形APQC的面积等于16cm2？
（2）△PQB的面积能否等于9cm2？请说明理由．

【分析】利用时间＝路程÷速度，可分别求出点P，Q到达终点所需时间，当运动时间为ts时（0≤t≤4），AP＝tcm，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm．
（1）根据四边形APQC的面积等于16cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值，结合当t＝4时C，Q点重合，即可得出结论；
（2）△PQB的面积不能等于9cm2，根据△PQB的面积等于9cm2，即可得出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣11＜0，可得所列方程没有实数根，进而可得出△PQB的面积不能等于9cm2．
解：5÷1＝5（s），8÷2＝4（s）．
当运动时间为ts时（0≤t≤4），AP＝tcm，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm．
（1）根据题意得：×5×8﹣（5﹣t）×2t＝16，
整理得：t2﹣5t+4＝0，
解得：t1＝1，t2＝4，
当t＝4时，点C，Q重合，不符合题意，舍去．
答：1s后，四边形APQC的面积等于16cm2．
（2）△PQB的面积不能等于9cm2，理由如下：
根据题意得：（5﹣t）×2t＝9，
整理得：t2﹣5t+9＝0．
∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×9＝﹣11＜0，
∴所列方程没有实数根，
∴△PQB的面积不能等于9cm2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
24．如图所示，已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点
（1）直接写出抛物线和一次函数的解析式及关于x的不等式ax2＜kx+b的解集；
（2）当点P在直线AB上方时，求出△PAB面积最大时点P的坐标；
（3）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）用待定系数法求出解析式，再根据函数图象得出不等式的解集即可；
（2）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C，连接PC，根据三角形面积公式解答即可；
（3）根据平行四边形的性质和坐标特点解答即可．
解：（1）把A（﹣1，﹣1）代入抛物线y＝ax2（a≠0），
得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2，
把A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）两点代入一次函数y＝kx+b，
得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2，
由图象可得：关于x的不等式ax2＜kx+b的解集是x＜﹣1或x＞2；
（2）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C，连接PC，

∵A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），
∴C（﹣1，﹣4），AC＝BC＝3，
设P点的坐标为m，则点P的纵坐标为﹣m2，
过点P作PD⊥AC延长线于点D，作PE⊥BC于点E，

则D（﹣1，﹣m2），E（m，﹣4），
∴PD＝m+1，PE＝﹣m+4，
∴S△APB＝S△APC+S△BPC﹣S△ABC
＝AC•PD+BC•PE﹣AC•BC
＝×3（m+1）+×3（﹣m2+4）﹣
＝﹣m2+m+3，
∵﹣＜0，
∴当m＝﹣＝时，S△APB有最大值，
∴当m＝时，﹣m2＝﹣，
∴△PAB面积最大时点P的坐标为（，﹣）；
（3）存在，

当以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形时，
∵AP＝BQ，AQ＝BP，A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），
∴P点的横坐标为P''：﹣1﹣2＝﹣3或P'：2﹣（﹣1）＝3或P：﹣1+2＝1，
代入抛物线解析式得P''（﹣3，﹣9），P'（3，﹣9），P（1，﹣1），
故符合条件的P点坐标为：（﹣3，﹣9）或（3，﹣9）或（1，﹣1）．
【点评】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．