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2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县英才学校九年级（上）入学数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县英才学校九年级（上）入学数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县英才学校九年级第一学期入学数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．关于x的方程（m﹣3）x﹣x＝5是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．不存在
2．将一元二次方程3x2+1＝6x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，1 B．3，6 C．﹣3，6 D．3，﹣6
3．已知x＝2是一元二次方程x2﹣2mx+4＝0的一个解，则m的值为（ ）
A．2 B．0 C．0或2 D．0或﹣2
4．方程2x2＝3x的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝ C．x＝﹣ D．x1＝0，x2＝
5．对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则该方程根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根
6．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
7．把方程x2﹣10x﹣3＝0配方成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值分别为（ ）
A．﹣5、25 B．5、25 C．5、﹣28 D．﹣5、28
8．在解一元二次方程2x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是3，﹣2，则原来的方程是（ ）
A．2x2﹣4x﹣6＝0 B．2x2﹣2x﹣6＝0
C．2x2+4x﹣12＝0 D．2x2+2x﹣6＝0
9．已知4是关于x的方程x2﹣5mx+12m＝0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）
A．14 B．16 C．12或14 D．14或16
10．在直角坐标系xOy中，已知P（m，n），m、n满足（m2+1+n2）（m2+3+n2）＝8，则OP的长（ ）
A． B．1 C．5 D．或1
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．一元二次方程﹣x2+3x+1＝0的根的判别式的值是 ．
12．方程x2+5x+4c＝0有两个相等的实数根，则c＝ ．
13．已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则x12﹣x1+x2＝ ．
14．已知实数x、y满足（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝15，则x2+y2＝ ．
15．如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，篱笆长为24m，若围成的花圃面积为40m2时，平行于墙的BC边长为 m．
16．定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若关于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．解一元二次方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0；
（2）3x2﹣4x﹣15＝0．
18．已知x＝1是一元二次方程（m+1）x2﹣m2x﹣2m﹣1＝0的一个根．求m的值，并写出此时的一元二次方程的一般形式．
19．已知代数式x2﹣5x+7，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
20．新农村建设有效促进了乡村旅游业的发展，某镇2018年实现旅游收入1500万元，到2020年该项收入达到2160万元，且从2018年到2020年，每年旅游收入的年增长率相同．
（1）求旅游收入的年增长率；
（2）若该镇旅游收入的年增长率保持不变，预计2021年旅游收入达到多少万元？
21．关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实数根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．
22．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“好根方程”．例如，一元二次方程x2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣2，则方程x2+2x＝0是“好根方程”．
（1）通过计算，判断方程4x2﹣4x+1＝0是否是“好根方程”？
（2）已知关于x的方程x2﹣mx﹣m﹣1＝0（m是常数）是“好根方程”，求m的值．
23．小琴的父母承包了一块荒山地种植一批梨树，今年收获一批金溪蜜梨，小琴的父母打算以m元/斤的零售价销售5000斤蜜梨；剩余的5000（m+1）斤蜜犁以比零售价低1元的批发价批给外地客商，预计总共可赚得55000元的毛利润．
（1）小琴的父母今年共收获金溪蜜梨多少斤？
（2）若零售金溪蜜梨平均每天可售出200斤，每斤盈利2元．为了加快销售和获得较好的售价，采取了降价措施，发现销售单价每降低0.1元，平均每天可多售出40斤，应降价多少元使得每天销售利润为600元？
24．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，△PBQ的面积为8cm2？
（2）如果点P，Q分别从A，B同时出发，点P在AB边上沿A→B→A的路线以1cm/s的速度移动，点Q在BC边上沿B→C→B的路线以2cm/s的速度移动，且其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接CP，求经过几秒钟后，△PCQ的面积为8cm2？
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．关于x的方程（m﹣3）x﹣x＝5是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．不存在
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．据此即可得到m﹣3≠0，且m2﹣7＝0，即可求得m的值．
解：由题意得m2﹣7＝2，
∴m＝±3，
∵m﹣3≠0，
∴m＝﹣3时，原方程是一元二次方程．
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，注意考虑二次项系数不为0．
2．将一元二次方程3x2+1＝6x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，1 B．3，6 C．﹣3，6 D．3，﹣6
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可．
解：∵3x2+1＝6x，
∴3x2﹣6x+1＝0，
∴二次项系数和一次项系数分别是3和﹣6，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：找各项系数时，要带着前面的符号．
3．已知x＝2是一元二次方程x2﹣2mx+4＝0的一个解，则m的值为（ ）
A．2 B．0 C．0或2 D．0或﹣2
【分析】直接把x＝2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．
解：∵x＝2是一元二次方程x2﹣2mx+4＝0的一个解，
∴4﹣4m+4＝0，
∴m＝2．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．
4．方程2x2＝3x的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝ C．x＝﹣ D．x1＝0，x2＝
【分析】首先将原方程移项，再提取公因式x，得到两个一次式的积为0，进而得到两个一次方程；然后再解这两个一次方程，即可求出一元二次方程的解．
解：2x2＝3x，
2x2﹣3x＝0，
x（2x﹣3）＝0，
x1＝0，x2＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法是解题的关键．
5．对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则该方程根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，即可求出Δ＝﹣23＜0，进而可得出该方程没有实数根（若方程有实数根，再利用根与系数的关系去验证B，C两个选项）．
解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝4，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×4＝﹣23＜0，
∴一元二次方程2x2﹣3x+4＝0没有实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当Δ＜0时，方程没有实数根”是解题的关键．
6．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛110场，可列出方程．
解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝110．
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．
7．把方程x2﹣10x﹣3＝0配方成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值分别为（ ）
A．﹣5、25 B．5、25 C．5、﹣28 D．﹣5、28
【分析】先移项，再配方，变形后即可求出m、n的值．
解：x2﹣10x﹣3＝0，
移项，得x2﹣10x＝3，
配方，得x2﹣10x+25＝3+25，
即（x﹣5）2＝28，
所以m＝﹣5，n＝28，
故选：D．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
8．在解一元二次方程2x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是3，﹣2，则原来的方程是（ ）
A．2x2﹣4x﹣6＝0 B．2x2﹣2x﹣6＝0
C．2x2+4x﹣12＝0 D．2x2+2x﹣6＝0
【分析】先设这个方程的两根是α、β，根据两个根是﹣4，2和两个根是1，﹣3，α+β＝﹣＝﹣2，αβ＝＝﹣6，从而得出符合题意的方程．
解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β＝﹣＝﹣2，αβ＝＝﹣6，
则以α、β为根的一元二次方程是x2+4x﹣6＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
9．已知4是关于x的方程x2﹣5mx+12m＝0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）
A．14 B．16 C．12或14 D．14或16
【分析】先把x＝4代入方程x2﹣5mx+12m＝0得m＝2，则方程为x2﹣10x+24＝0，利用因式分解法解方程得到x1＝4，x2＝6，再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系确定三角形三边长，然后计算对应的三角形周长．
解：把x＝4代入方程x2﹣5mx+12m＝0得16﹣20m+12m＝0，解得m＝2，
则方程为x2﹣10x+24＝0，
（x﹣4）（x﹣6）＝0，
所以x1＝4，x2＝6，
因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，
所以这个等腰三角形三边分别为4、4、6；4、6、6，
所以△ABC的周长为14或16．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系．
10．在直角坐标系xOy中，已知P（m，n），m、n满足（m2+1+n2）（m2+3+n2）＝8，则OP的长（ ）
A． B．1 C．5 D．或1
【分析】OP＝m2+n2．设t＝m2+n2．则用t代替方程中的m2+n2，将原方程转化为关于t的新方程，通过解新方程求得t即m2+n2的值即可．
解：设t＝m2+n2．则由原方程，得
（1+t）（3+t）＝8，
整理，得
t2+4t﹣5＝0，即（t+5）（t﹣1）＝0，
解得 t＝﹣5（舍去）或t＝1．
∵P（m，n），
∴OP＝m2+n2＝1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．一元二次方程﹣x2+3x+1＝0的根的判别式的值是 13 ．
【分析】根据Δ＝b2﹣4ac计算可得答案．
解：在一元二次方程﹣x2+3x+1＝0中，a＝﹣1，b＝3，c＝1，
∴Δ＝32﹣4×（﹣1）×1＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了根的判别式，熟记一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式的公式为Δ＝b2﹣4ac．
12．方程x2+5x+4c＝0有两个相等的实数根，则c＝ ．
【分析】由方程有两个相等的实数根可得到其判别式等于0，解方程可求得c的值．
解：∵方程x2+5x+4c＝0有相等的两个实数根，
∴Δ＝0，
即52﹣4×1×4c＝0，
解得c＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
13．已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则x12﹣x1+x2＝ 3 ．
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到x12＝2x1+1，则原式可变形为x1+x2+1，再根据根与系数的关系得到x1+x2＝2，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵x1是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，
∴x12﹣2x1﹣1＝0，
∴x12＝2x1+1，
∴x12﹣x1+x2＝2x1+1﹣x1+x2＝x1+x2+1，
∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，
∴x1+x2＝2，
∴x12﹣x1+x2＝2+1＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
14．已知实数x、y满足（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝15，则x2+y2＝ 2 ．
【分析】根据换元法，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．
解：设x2+y2＝z，原方程化为（z+1）（z+3）＝15，即z2+4z﹣12＝0．
解得z＝2，z＝﹣6（不符合题意，舍），
所以x2+y2＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了换元法解一元一次方程，利用x2+y2＝z得出关于z的一元二次方程是解题关键，注意平方都是非负数．
15．如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，篱笆长为24m，若围成的花圃面积为40m2时，平行于墙的BC边长为 4 m．
【分析】由于篱笆总长为24m，设平行于墙的BC边长为xm，由此得到AB＝m，接着根据题意列出方程•x＝40，解方程即可求出BC的长．
解：（1）依题意可知：AB＝m，则：•x＝40．
解得：x1＝20，x2＝4．
∵墙可利用的最大长度为15m，
∴x1＝20舍去．
∴BC的长为4m．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，同时也利用了矩形的性质，解题时首先正确了解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题．
16．定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若关于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是 k≤且k≠0 ．
【分析】已知方程利用题中的新定义化简，根据方程有两个实数根确定出k的范围即可．
解：由题中的新定义化简得：k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，
整理得：kx2+（5﹣2k）x+k＝0，
∵方程有两个实数根，
∴k≠0，b2﹣4ac＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，
解得：k≤且k≠0．
故答案为：k≤且k≠0．
【点评】此题考查了实数的运算，根的判别式，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．
三、解答题（共8题，共72分）
17．解一元二次方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0；
（2）3x2﹣4x﹣15＝0．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
解：（1）x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3，
∴x﹣1＝或x﹣1＝﹣，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）3x2﹣4x﹣15＝0，
（3x+5）（x﹣3）＝0，
∴3x+5＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝﹣，x2＝3．
【点评】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法、配方法是解题的关键．
18．已知x＝1是一元二次方程（m+1）x2﹣m2x﹣2m﹣1＝0的一个根．求m的值，并写出此时的一元二次方程的一般形式．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
解：把x＝1代入原方程得：m+1﹣m2﹣2m﹣1＝0，
解得m＝0或﹣1，
又∵m+1≠0
∴m≠﹣1，
∴m＝0，
∴方程的一般形式是：x2﹣1＝0．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
19．已知代数式x2﹣5x+7，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
【分析】首先将原式变形为（x﹣）2+，根据非负数的意义就可以得出代数式的值总是整数，设代数式的值为M，就有M＝x2﹣5x+7，根据二次函数的意义化为顶点式就可以求出最值．
解：由题意，得x2﹣5x+7＝（x﹣）2+，
∵（x﹣）2≥0，
∴（x﹣）2+≥，
∴（x﹣）2+＞0
∴这个代数式的值总是正数．
设代数式的值为M，则有
M＝x2﹣5x+7，
∴M＝（x﹣）2+，
∴当x＝时，这个代数式的值最小为．
【点评】本题是一道有关代数式的值的题目，考查了在代数式中配方法的运用，式子的转化，抛物线的最值的运用．
20．新农村建设有效促进了乡村旅游业的发展，某镇2018年实现旅游收入1500万元，到2020年该项收入达到2160万元，且从2018年到2020年，每年旅游收入的年增长率相同．
（1）求旅游收入的年增长率；
（2）若该镇旅游收入的年增长率保持不变，预计2021年旅游收入达到多少万元？
【分析】（1）设旅游收入的年增长率为x，利用2020年旅游收入金额＝2018年旅游收入金额×（1+年增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出旅游收入的年增长率；
（2）利用预计2021年旅游收入金额＝2020年旅游收入金额×（1+年增长率），即可预计出2021年旅游收入金额．
解：（1）设旅游收入的年增长率为x，
依题意得：1500（1+x）2＝2160，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：旅游收入的年增长率为20%．
（2）2160×（1+20%）＝2592（万元）．
答：预计2021年旅游收入达到2592万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实数根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2+1）＞0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+1，则判断x1＜0，x2＜0，则由|x1|+|x2|＝x1•x2得到﹣（x1+x2）＝x1•x2，所以﹣（2k﹣1）＝k2+1，然后解关于k的方程即可得到满足条件的k的值．
解：（1）根据题意得Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2+1）＞0，
解得k＜﹣；
（2）x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+1，
∵k＜﹣，
∴x1+x2＝2k﹣1＜0，
而x1x2＝k2+1＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∵|x1|+|x2|＝x1•x2，
∴﹣（x1+x2）＝x1•x2，即﹣（2k﹣1）＝k2+1，
整理得k2+2k＝0，解得k1＝0，k2＝﹣2，
而k＜﹣，
∴k＝﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了判别式的值．
22．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“好根方程”．例如，一元二次方程x2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣2，则方程x2+2x＝0是“好根方程”．
（1）通过计算，判断方程4x2﹣4x+1＝0是否是“好根方程”？
（2）已知关于x的方程x2﹣mx﹣m﹣1＝0（m是常数）是“好根方程”，求m的值．
【分析】（1）利用求根公式解方程得到x1＝，x2＝，然后利用新定义进行判断；
（2）利用因式分解法得到x1＝m+1，x2＝﹣1，根据“好根方程”的定义得到m+1﹣（﹣1）＝2或﹣1﹣（m+1）＝2，然后解关于m的方程即可．
解：（1）∵△＝（﹣4）2﹣4×4＝64＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝，
∵x1﹣x2＝2，
∴方程4x2﹣4x+1＝0是“好根方程”；
（2）∵[（x﹣（m+1）]（x+1）＝0，
x﹣（m+1）＝0或x+1＝0，
∴x1＝m+1，x2＝﹣1，
∵方程x2﹣mx﹣m﹣1＝0（m是常数）是“好根方程，
∴m+1﹣（﹣1）＝2或﹣1﹣（m+1）＝2，
∴m＝0或m＝﹣4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
23．小琴的父母承包了一块荒山地种植一批梨树，今年收获一批金溪蜜梨，小琴的父母打算以m元/斤的零售价销售5000斤蜜梨；剩余的5000（m+1）斤蜜犁以比零售价低1元的批发价批给外地客商，预计总共可赚得55000元的毛利润．
（1）小琴的父母今年共收获金溪蜜梨多少斤？
（2）若零售金溪蜜梨平均每天可售出200斤，每斤盈利2元．为了加快销售和获得较好的售价，采取了降价措施，发现销售单价每降低0.1元，平均每天可多售出40斤，应降价多少元使得每天销售利润为600元？
【分析】（1）根据销售毛利润与单价、数量之间的关系可列方程，求出m的值，进而求出总产量．
（2）由于降价，日销售量增加，用含有x的代数式表示每斤的销售利润，和日销售量，根据日销售利润可列方程求解即可，注意结果的合理性．
解：（1）由题意得，
5000m+5000（m+1）（m﹣1）＝55000，
解得：m1＝3，m2＝﹣4（舍去）
当m＝3时，5000+5000（m+1）＝25000斤，
答：小琴的父母今年共收获金溪蜜梨25000斤．
（2）设应降价x元，使每天的利润达到600元，由题意得，
（2﹣x）（200+40×）＝600，
解得，x1＝0.5，x2＝1，
∵加快销售，获得较好售价，x＝1不合题意舍去，
∴x＝0.5，
答：应降价0.5元使得每天销售利润为600元．
【点评】考查一元二次方程及其应用，列出合理的方程是解决问题的关键，分析数量关系则显得尤为重要，降价使日销售量和每斤的销售利润发生变化，尤为注意．
24．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，△PBQ的面积为8cm2？
（2）如果点P，Q分别从A，B同时出发，点P在AB边上沿A→B→A的路线以1cm/s的速度移动，点Q在BC边上沿B→C→B的路线以2cm/s的速度移动，且其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接CP，求经过几秒钟后，△PCQ的面积为8cm2？
【分析】（1）设经过x秒后，根据△PBQ的面积等于8cm2．得出方程×（6﹣x）×2x＝8，求出方程的解即可；
（2）分三种情况：①当0＜x≤4时，AP＝x，BQ＝2x，则PB＝6﹣x，CQ＝8﹣2x，由题意得出方程，解方程即可；
②当4＜x≤6时，AP＝x，BC+CQ＝2x，则PB＝6﹣x，CQ＝2x﹣8，由题意得出方程，解方程即可；
③当6＜x≤8时，AB+PB＝x，BC+CQ＝2x，则PB＝x﹣6，CQ＝2x﹣8，由题意得出方程，解方程即可．
解：（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8cm2．
由题意得：×（6﹣x）×2x＝8，
解得：x1＝2，x2＝4，
答：经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．
（2）设经过x秒后，△PCQ的面积等于8cm2．分三种情况：
①当0＜x≤4时，
AP＝x，BQ＝2x，则PB＝6﹣x，CQ＝8﹣2x，
由题意得：×（8﹣2x）×（6﹣x）＝8，
解得：x＝2，或x＝8（不合题意舍去），
∴x＝2；
②当4＜x≤6时，
AP＝x，BC+CQ＝2x，则PB＝6﹣x，CQ＝2x﹣8，
由题意得：×（2x﹣8）×（6﹣x）＝8，
整理得：x2﹣10x+32＝0，此方程无解；
③当6＜x≤8时，AB+PB＝x，BC+CQ＝2x，
则PB＝x﹣6，CQ＝2x﹣8，
由题意得：×（2x﹣8）×（x﹣6）＝8，
解得：x＝2（不合题意舍去），或x＝8，
∴x＝8；
综上所述，经过2秒或8秒钟后，△PCQ的面积等于8cm2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、三角形面积以及分类讨论；通过分类讨论得出方程是解题的关键．
2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县英才学校九年级第一学期入学数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．关于x的方程（m﹣3）x﹣x＝5是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．不存在
2．将一元二次方程3x2+1＝6x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，1 B．3，6 C．﹣3，6 D．3，﹣6
3．已知x＝2是一元二次方程x2﹣2mx+4＝0的一个解，则m的值为（ ）
A．2 B．0 C．0或2 D．0或﹣2
4．方程2x2＝3x的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝ C．x＝﹣ D．x1＝0，x2＝
5．对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则该方程根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根
6．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
7．把方程x2﹣10x﹣3＝0配方成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值分别为（ ）
A．﹣5、25 B．5、25 C．5、﹣28 D．﹣5、28
8．在解一元二次方程2x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是3，﹣2，则原来的方程是（ ）
A．2x2﹣4x﹣6＝0 B．2x2﹣2x﹣6＝0
C．2x2+4x﹣12＝0 D．2x2+2x﹣6＝0
9．已知4是关于x的方程x2﹣5mx+12m＝0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）
A．14 B．16 C．12或14 D．14或16
10．在直角坐标系xOy中，已知P（m，n），m、n满足（m2+1+n2）（m2+3+n2）＝8，则OP的长（ ）
A． B．1 C．5 D．或1
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．一元二次方程﹣x2+3x+1＝0的根的判别式的值是 ．
12．方程x2+5x+4c＝0有两个相等的实数根，则c＝ ．
13．已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则x12﹣x1+x2＝ ．
14．已知实数x、y满足（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝15，则x2+y2＝ ．
15．如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，篱笆长为24m，若围成的花圃面积为40m2时，平行于墙的BC边长为 m．
16．定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若关于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．解一元二次方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0；
（2）3x2﹣4x﹣15＝0．
18．已知x＝1是一元二次方程（m+1）x2﹣m2x﹣2m﹣1＝0的一个根．求m的值，并写出此时的一元二次方程的一般形式．
19．已知代数式x2﹣5x+7，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
20．新农村建设有效促进了乡村旅游业的发展，某镇2018年实现旅游收入1500万元，到2020年该项收入达到2160万元，且从2018年到2020年，每年旅游收入的年增长率相同．
（1）求旅游收入的年增长率；
（2）若该镇旅游收入的年增长率保持不变，预计2021年旅游收入达到多少万元？
21．关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实数根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．
22．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“好根方程”．例如，一元二次方程x2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣2，则方程x2+2x＝0是“好根方程”．
（1）通过计算，判断方程4x2﹣4x+1＝0是否是“好根方程”？
（2）已知关于x的方程x2﹣mx﹣m﹣1＝0（m是常数）是“好根方程”，求m的值．
23．小琴的父母承包了一块荒山地种植一批梨树，今年收获一批金溪蜜梨，小琴的父母打算以m元/斤的零售价销售5000斤蜜梨；剩余的5000（m+1）斤蜜犁以比零售价低1元的批发价批给外地客商，预计总共可赚得55000元的毛利润．
（1）小琴的父母今年共收获金溪蜜梨多少斤？
（2）若零售金溪蜜梨平均每天可售出200斤，每斤盈利2元．为了加快销售和获得较好的售价，采取了降价措施，发现销售单价每降低0.1元，平均每天可多售出40斤，应降价多少元使得每天销售利润为600元？
24．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，△PBQ的面积为8cm2？
（2）如果点P，Q分别从A，B同时出发，点P在AB边上沿A→B→A的路线以1cm/s的速度移动，点Q在BC边上沿B→C→B的路线以2cm/s的速度移动，且其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接CP，求经过几秒钟后，△PCQ的面积为8cm2？
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．关于x的方程（m﹣3）x﹣x＝5是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．不存在
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．据此即可得到m﹣3≠0，且m2﹣7＝0，即可求得m的值．
解：由题意得m2﹣7＝2，
∴m＝±3，
∵m﹣3≠0，
∴m＝﹣3时，原方程是一元二次方程．
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，注意考虑二次项系数不为0．
2．将一元二次方程3x2+1＝6x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，1 B．3，6 C．﹣3，6 D．3，﹣6
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可．
解：∵3x2+1＝6x，
∴3x2﹣6x+1＝0，
∴二次项系数和一次项系数分别是3和﹣6，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：找各项系数时，要带着前面的符号．
3．已知x＝2是一元二次方程x2﹣2mx+4＝0的一个解，则m的值为（ ）
A．2 B．0 C．0或2 D．0或﹣2
【分析】直接把x＝2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．
解：∵x＝2是一元二次方程x2﹣2mx+4＝0的一个解，
∴4﹣4m+4＝0，
∴m＝2．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．
4．方程2x2＝3x的解为（ ）
A．x＝0 B．x＝ C．x＝﹣ D．x1＝0，x2＝
【分析】首先将原方程移项，再提取公因式x，得到两个一次式的积为0，进而得到两个一次方程；然后再解这两个一次方程，即可求出一元二次方程的解．
解：2x2＝3x，
2x2﹣3x＝0，
x（2x﹣3）＝0，
x1＝0，x2＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法是解题的关键．
5．对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则该方程根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，即可求出Δ＝﹣23＜0，进而可得出该方程没有实数根（若方程有实数根，再利用根与系数的关系去验证B，C两个选项）．
解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝4，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×4＝﹣23＜0，
∴一元二次方程2x2﹣3x+4＝0没有实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当Δ＜0时，方程没有实数根”是解题的关键．
6．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛110场，可列出方程．
解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝110．
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．
7．把方程x2﹣10x﹣3＝0配方成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值分别为（ ）
A．﹣5、25 B．5、25 C．5、﹣28 D．﹣5、28
【分析】先移项，再配方，变形后即可求出m、n的值．
解：x2﹣10x﹣3＝0，
移项，得x2﹣10x＝3，
配方，得x2﹣10x+25＝3+25，
即（x﹣5）2＝28，
所以m＝﹣5，n＝28，
故选：D．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
8．在解一元二次方程2x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是3，﹣2，则原来的方程是（ ）
A．2x2﹣4x﹣6＝0 B．2x2﹣2x﹣6＝0
C．2x2+4x﹣12＝0 D．2x2+2x﹣6＝0
【分析】先设这个方程的两根是α、β，根据两个根是﹣4，2和两个根是1，﹣3，α+β＝﹣＝﹣2，αβ＝＝﹣6，从而得出符合题意的方程．
解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β＝﹣＝﹣2，αβ＝＝﹣6，
则以α、β为根的一元二次方程是x2+4x﹣6＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
9．已知4是关于x的方程x2﹣5mx+12m＝0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）
A．14 B．16 C．12或14 D．14或16
【分析】先把x＝4代入方程x2﹣5mx+12m＝0得m＝2，则方程为x2﹣10x+24＝0，利用因式分解法解方程得到x1＝4，x2＝6，再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系确定三角形三边长，然后计算对应的三角形周长．
解：把x＝4代入方程x2﹣5mx+12m＝0得16﹣20m+12m＝0，解得m＝2，
则方程为x2﹣10x+24＝0，
（x﹣4）（x﹣6）＝0，
所以x1＝4，x2＝6，
因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，
所以这个等腰三角形三边分别为4、4、6；4、6、6，
所以△ABC的周长为14或16．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系．
10．在直角坐标系xOy中，已知P（m，n），m、n满足（m2+1+n2）（m2+3+n2）＝8，则OP的长（ ）
A． B．1 C．5 D．或1
【分析】OP＝m2+n2．设t＝m2+n2．则用t代替方程中的m2+n2，将原方程转化为关于t的新方程，通过解新方程求得t即m2+n2的值即可．
解：设t＝m2+n2．则由原方程，得
（1+t）（3+t）＝8，
整理，得
t2+4t﹣5＝0，即（t+5）（t﹣1）＝0，
解得 t＝﹣5（舍去）或t＝1．
∵P（m，n），
∴OP＝m2+n2＝1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．一元二次方程﹣x2+3x+1＝0的根的判别式的值是 13 ．
【分析】根据Δ＝b2﹣4ac计算可得答案．
解：在一元二次方程﹣x2+3x+1＝0中，a＝﹣1，b＝3，c＝1，
∴Δ＝32﹣4×（﹣1）×1＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了根的判别式，熟记一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式的公式为Δ＝b2﹣4ac．
12．方程x2+5x+4c＝0有两个相等的实数根，则c＝ ．
【分析】由方程有两个相等的实数根可得到其判别式等于0，解方程可求得c的值．
解：∵方程x2+5x+4c＝0有相等的两个实数根，
∴Δ＝0，
即52﹣4×1×4c＝0，
解得c＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
13．已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则x12﹣x1+x2＝ 3 ．
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到x12＝2x1+1，则原式可变形为x1+x2+1，再根据根与系数的关系得到x1+x2＝2，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵x1是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，
∴x12﹣2x1﹣1＝0，
∴x12＝2x1+1，
∴x12﹣x1+x2＝2x1+1﹣x1+x2＝x1+x2+1，
∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，
∴x1+x2＝2，
∴x12﹣x1+x2＝2+1＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
14．已知实数x、y满足（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝15，则x2+y2＝ 2 ．
【分析】根据换元法，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．
解：设x2+y2＝z，原方程化为（z+1）（z+3）＝15，即z2+4z﹣12＝0．
解得z＝2，z＝﹣6（不符合题意，舍），
所以x2+y2＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了换元法解一元一次方程，利用x2+y2＝z得出关于z的一元二次方程是解题关键，注意平方都是非负数．
15．如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，篱笆长为24m，若围成的花圃面积为40m2时，平行于墙的BC边长为 4 m．
【分析】由于篱笆总长为24m，设平行于墙的BC边长为xm，由此得到AB＝m，接着根据题意列出方程•x＝40，解方程即可求出BC的长．
解：（1）依题意可知：AB＝m，则：•x＝40．
解得：x1＝20，x2＝4．
∵墙可利用的最大长度为15m，
∴x1＝20舍去．
∴BC的长为4m．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，同时也利用了矩形的性质，解题时首先正确了解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题．
16．定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若关于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是 k≤且k≠0 ．
【分析】已知方程利用题中的新定义化简，根据方程有两个实数根确定出k的范围即可．
解：由题中的新定义化简得：k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，
整理得：kx2+（5﹣2k）x+k＝0，
∵方程有两个实数根，
∴k≠0，b2﹣4ac＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，
解得：k≤且k≠0．
故答案为：k≤且k≠0．
【点评】此题考查了实数的运算，根的判别式，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．
三、解答题（共8题，共72分）
17．解一元二次方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0；
（2）3x2﹣4x﹣15＝0．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
解：（1）x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3，
∴x﹣1＝或x﹣1＝﹣，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）3x2﹣4x﹣15＝0，
（3x+5）（x﹣3）＝0，
∴3x+5＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝﹣，x2＝3．
【点评】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法、配方法是解题的关键．
18．已知x＝1是一元二次方程（m+1）x2﹣m2x﹣2m﹣1＝0的一个根．求m的值，并写出此时的一元二次方程的一般形式．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
解：把x＝1代入原方程得：m+1﹣m2﹣2m﹣1＝0，
解得m＝0或﹣1，
又∵m+1≠0
∴m≠﹣1，
∴m＝0，
∴方程的一般形式是：x2﹣1＝0．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
19．已知代数式x2﹣5x+7，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
【分析】首先将原式变形为（x﹣）2+，根据非负数的意义就可以得出代数式的值总是整数，设代数式的值为M，就有M＝x2﹣5x+7，根据二次函数的意义化为顶点式就可以求出最值．
解：由题意，得x2﹣5x+7＝（x﹣）2+，
∵（x﹣）2≥0，
∴（x﹣）2+≥，
∴（x﹣）2+＞0
∴这个代数式的值总是正数．
设代数式的值为M，则有
M＝x2﹣5x+7，
∴M＝（x﹣）2+，
∴当x＝时，这个代数式的值最小为．
【点评】本题是一道有关代数式的值的题目，考查了在代数式中配方法的运用，式子的转化，抛物线的最值的运用．
20．新农村建设有效促进了乡村旅游业的发展，某镇2018年实现旅游收入1500万元，到2020年该项收入达到2160万元，且从2018年到2020年，每年旅游收入的年增长率相同．
（1）求旅游收入的年增长率；
（2）若该镇旅游收入的年增长率保持不变，预计2021年旅游收入达到多少万元？
【分析】（1）设旅游收入的年增长率为x，利用2020年旅游收入金额＝2018年旅游收入金额×（1+年增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出旅游收入的年增长率；
（2）利用预计2021年旅游收入金额＝2020年旅游收入金额×（1+年增长率），即可预计出2021年旅游收入金额．
解：（1）设旅游收入的年增长率为x，
依题意得：1500（1+x）2＝2160，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：旅游收入的年增长率为20%．
（2）2160×（1+20%）＝2592（万元）．
答：预计2021年旅游收入达到2592万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实数根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2+1）＞0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+1，则判断x1＜0，x2＜0，则由|x1|+|x2|＝x1•x2得到﹣（x1+x2）＝x1•x2，所以﹣（2k﹣1）＝k2+1，然后解关于k的方程即可得到满足条件的k的值．
解：（1）根据题意得Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2+1）＞0，
解得k＜﹣；
（2）x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+1，
∵k＜﹣，
∴x1+x2＝2k﹣1＜0，
而x1x2＝k2+1＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∵|x1|+|x2|＝x1•x2，
∴﹣（x1+x2）＝x1•x2，即﹣（2k﹣1）＝k2+1，
整理得k2+2k＝0，解得k1＝0，k2＝﹣2，
而k＜﹣，
∴k＝﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了判别式的值．
22．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“好根方程”．例如，一元二次方程x2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣2，则方程x2+2x＝0是“好根方程”．
（1）通过计算，判断方程4x2﹣4x+1＝0是否是“好根方程”？
（2）已知关于x的方程x2﹣mx﹣m﹣1＝0（m是常数）是“好根方程”，求m的值．
【分析】（1）利用求根公式解方程得到x1＝，x2＝，然后利用新定义进行判断；
（2）利用因式分解法得到x1＝m+1，x2＝﹣1，根据“好根方程”的定义得到m+1﹣（﹣1）＝2或﹣1﹣（m+1）＝2，然后解关于m的方程即可．
解：（1）∵△＝（﹣4）2﹣4×4＝64＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝，
∵x1﹣x2＝2，
∴方程4x2﹣4x+1＝0是“好根方程”；
（2）∵[（x﹣（m+1）]（x+1）＝0，
x﹣（m+1）＝0或x+1＝0，
∴x1＝m+1，x2＝﹣1，
∵方程x2﹣mx﹣m﹣1＝0（m是常数）是“好根方程，
∴m+1﹣（﹣1）＝2或﹣1﹣（m+1）＝2，
∴m＝0或m＝﹣4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
23．小琴的父母承包了一块荒山地种植一批梨树，今年收获一批金溪蜜梨，小琴的父母打算以m元/斤的零售价销售5000斤蜜梨；剩余的5000（m+1）斤蜜犁以比零售价低1元的批发价批给外地客商，预计总共可赚得55000元的毛利润．
（1）小琴的父母今年共收获金溪蜜梨多少斤？
（2）若零售金溪蜜梨平均每天可售出200斤，每斤盈利2元．为了加快销售和获得较好的售价，采取了降价措施，发现销售单价每降低0.1元，平均每天可多售出40斤，应降价多少元使得每天销售利润为600元？
【分析】（1）根据销售毛利润与单价、数量之间的关系可列方程，求出m的值，进而求出总产量．
（2）由于降价，日销售量增加，用含有x的代数式表示每斤的销售利润，和日销售量，根据日销售利润可列方程求解即可，注意结果的合理性．
解：（1）由题意得，
5000m+5000（m+1）（m﹣1）＝55000，
解得：m1＝3，m2＝﹣4（舍去）
当m＝3时，5000+5000（m+1）＝25000斤，
答：小琴的父母今年共收获金溪蜜梨25000斤．
（2）设应降价x元，使每天的利润达到600元，由题意得，
（2﹣x）（200+40×）＝600，
解得，x1＝0.5，x2＝1，
∵加快销售，获得较好售价，x＝1不合题意舍去，
∴x＝0.5，
答：应降价0.5元使得每天销售利润为600元．
【点评】考查一元二次方程及其应用，列出合理的方程是解决问题的关键，分析数量关系则显得尤为重要，降价使日销售量和每斤的销售利润发生变化，尤为注意．
24．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，△PBQ的面积为8cm2？
（2）如果点P，Q分别从A，B同时出发，点P在AB边上沿A→B→A的路线以1cm/s的速度移动，点Q在BC边上沿B→C→B的路线以2cm/s的速度移动，且其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接CP，求经过几秒钟后，△PCQ的面积为8cm2？
【分析】（1）设经过x秒后，根据△PBQ的面积等于8cm2．得出方程×（6﹣x）×2x＝8，求出方程的解即可；
（2）分三种情况：①当0＜x≤4时，AP＝x，BQ＝2x，则PB＝6﹣x，CQ＝8﹣2x，由题意得出方程，解方程即可；
②当4＜x≤6时，AP＝x，BC+CQ＝2x，则PB＝6﹣x，CQ＝2x﹣8，由题意得出方程，解方程即可；
③当6＜x≤8时，AB+PB＝x，BC+CQ＝2x，则PB＝x﹣6，CQ＝2x﹣8，由题意得出方程，解方程即可．
解：（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8cm2．
由题意得：×（6﹣x）×2x＝8，
解得：x1＝2，x2＝4，
答：经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．
（2）设经过x秒后，△PCQ的面积等于8cm2．分三种情况：
①当0＜x≤4时，
AP＝x，BQ＝2x，则PB＝6﹣x，CQ＝8﹣2x，
由题意得：×（8﹣2x）×（6﹣x）＝8，
解得：x＝2，或x＝8（不合题意舍去），
∴x＝2；
②当4＜x≤6时，
AP＝x，BC+CQ＝2x，则PB＝6﹣x，CQ＝2x﹣8，
由题意得：×（2x﹣8）×（6﹣x）＝8，
整理得：x2﹣10x+32＝0，此方程无解；
③当6＜x≤8时，AB+PB＝x，BC+CQ＝2x，
则PB＝x﹣6，CQ＝2x﹣8，
由题意得：×（2x﹣8）×（x﹣6）＝8，
解得：x＝2（不合题意舍去），或x＝8，
∴x＝8；
综上所述，经过2秒或8秒钟后，△PCQ的面积等于8cm2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、三角形面积以及分类讨论；通过分类讨论得出方程是解题的关键．
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