2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县英才学校九年级(上)入学数学试卷(含解析)
展开2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县英才学校九年级第一学期入学数学试卷
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.关于x的方程(m﹣3)x﹣x=5是一元二次方程,则m的值为( )
A.3 B.﹣3 C.±3 D.不存在
2.将一元二次方程3x2+1=6x化成一般形式后,二次项系数和一次项系数分别是( )
A.3,1 B.3,6 C.﹣3,6 D.3,﹣6
3.已知x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解,则m的值为( )
A.2 B.0 C.0或2 D.0或﹣2
4.方程2x2=3x的解为( )
A.x=0 B.x= C.x=﹣ D.x1=0,x2=
5.对于一元二次方程2x2﹣3x+4=0,则该方程根的情况为( )
A.没有实数根 B.两根之和是3
C.两根之积是﹣2 D.有两个不相等的实数根
6.参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛,共要比赛110场,设参加比赛的球队有x支,根据题意,下面列出的方程正确的是( )
A.x(x+1)=110 B.x(x﹣1)=110
C.x(x+1)=110 D.x(x﹣1)=110
7.把方程x2﹣10x﹣3=0配方成(x+m)2=n的形式,则m、n的值分别为( )
A.﹣5、25 B.5、25 C.5、﹣28 D.﹣5、28
8.在解一元二次方程2x2+px+q=0时,小红看错了常数项q,得到方程的两个根是﹣3,1.小明看错了一次项系数p,得到方程的两个根是3,﹣2,则原来的方程是( )
A.2x2﹣4x﹣6=0 B.2x2﹣2x﹣6=0
C.2x2+4x﹣12=0 D.2x2+2x﹣6=0
9.已知4是关于x的方程x2﹣5mx+12m=0的一个根,且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则△ABC的周长为( )
A.14 B.16 C.12或14 D.14或16
10.在直角坐标系xOy中,已知P(m,n),m、n满足(m2+1+n2)(m2+3+n2)=8,则OP的长( )
A. B.1 C.5 D.或1
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11.一元二次方程﹣x2+3x+1=0的根的判别式的值是 .
12.方程x2+5x+4c=0有两个相等的实数根,则c= .
13.已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根,则x12﹣x1+x2= .
14.已知实数x、y满足(x2+y2+1)(x2+y2+3)=15,则x2+y2= .
15.如图,用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD,墙可利用的最大长度为15m,一面利用旧墙,其余三面用篱笆围,篱笆长为24m,若围成的花圃面积为40m2时,平行于墙的BC边长为 m.
16.定义新运算“※”:对于实数m,n,p,q.有[m,p]※[q,n]=mn+pq,其中等式右边是通常的加法和乘法运算,例如:[2,3]※[4,5]=2×5+3×4=22.若关于x的方程[x2+1,x]※[5﹣2k,k]=0有两个实数根,则k的取值范围是 .
三、解答题(共8题,共72分)
17.解一元二次方程:
(1)x2﹣2x﹣2=0;
(2)3x2﹣4x﹣15=0.
18.已知x=1是一元二次方程(m+1)x2﹣m2x﹣2m﹣1=0的一个根.求m的值,并写出此时的一元二次方程的一般形式.
19.已知代数式x2﹣5x+7,先用配方法说明,不论x取何值,这个代数式的值总是正数;再求出当x取何值时,这个代数式的值最小,最小值是多少?
20.新农村建设有效促进了乡村旅游业的发展,某镇2018年实现旅游收入1500万元,到2020年该项收入达到2160万元,且从2018年到2020年,每年旅游收入的年增长率相同.
(1)求旅游收入的年增长率;
(2)若该镇旅游收入的年增长率保持不变,预计2021年旅游收入达到多少万元?
21.关于x的一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若方程的两实数根x1,x2满足|x1|+|x2|=x1•x2,求k的值.
22.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,且其中一个根比另一个根大2,那么称这样的方程为“好根方程”.例如,一元二次方程x2+2x=0的两个根是x1=0,x2=﹣2,则方程x2+2x=0是“好根方程”.
(1)通过计算,判断方程4x2﹣4x+1=0是否是“好根方程”?
(2)已知关于x的方程x2﹣mx﹣m﹣1=0(m是常数)是“好根方程”,求m的值.
23.小琴的父母承包了一块荒山地种植一批梨树,今年收获一批金溪蜜梨,小琴的父母打算以m元/斤的零售价销售5000斤蜜梨;剩余的5000(m+1)斤蜜犁以比零售价低1元的批发价批给外地客商,预计总共可赚得55000元的毛利润.
(1)小琴的父母今年共收获金溪蜜梨多少斤?
(2)若零售金溪蜜梨平均每天可售出200斤,每斤盈利2元.为了加快销售和获得较好的售价,采取了降价措施,发现销售单价每降低0.1元,平均每天可多售出40斤,应降价多少元使得每天销售利润为600元?
24.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm.
(1)点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果点P,Q分别从A,B同时出发,经过几秒钟后,△PBQ的面积为8cm2?
(2)如果点P,Q分别从A,B同时出发,点P在AB边上沿A→B→A的路线以1cm/s的速度移动,点Q在BC边上沿B→C→B的路线以2cm/s的速度移动,且其中一点到达终点时,另一点随之停止移动,连接CP,求经过几秒钟后,△PCQ的面积为8cm2?
参考答案
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.关于x的方程(m﹣3)x﹣x=5是一元二次方程,则m的值为( )
A.3 B.﹣3 C.±3 D.不存在
【分析】一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.据此即可得到m﹣3≠0,且m2﹣7=0,即可求得m的值.
解:由题意得m2﹣7=2,
∴m=±3,
∵m﹣3≠0,
∴m=﹣3时,原方程是一元二次方程.
故选:B.
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义:只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程,注意考虑二次项系数不为0.
2.将一元二次方程3x2+1=6x化成一般形式后,二次项系数和一次项系数分别是( )
A.3,1 B.3,6 C.﹣3,6 D.3,﹣6
【分析】先化成一元二次方程的一般形式,再找出二次项系数和一次项系数即可.
解:∵3x2+1=6x,
∴3x2﹣6x+1=0,
∴二次项系数和一次项系数分别是3和﹣6,
故选:D.
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式,能化成一元二次方程的一般形式是解此题的关键,注意:找各项系数时,要带着前面的符号.
3.已知x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解,则m的值为( )
A.2 B.0 C.0或2 D.0或﹣2
【分析】直接把x=2代入已知方程就得到关于m的方程,再解此方程即可.
解:∵x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解,
∴4﹣4m+4=0,
∴m=2.
故选:A.
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.把求未知系数的问题转化为方程求解的问题.
4.方程2x2=3x的解为( )
A.x=0 B.x= C.x=﹣ D.x1=0,x2=
【分析】首先将原方程移项,再提取公因式x,得到两个一次式的积为0,进而得到两个一次方程;然后再解这两个一次方程,即可求出一元二次方程的解.
解:2x2=3x,
2x2﹣3x=0,
x(2x﹣3)=0,
x1=0,x2=.
故选:D.
【点评】本题主要考查的是利用因式分解法解一元二次方程,熟练掌握解一元二次方程的一般方法是解题的关键.
5.对于一元二次方程2x2﹣3x+4=0,则该方程根的情况为( )
A.没有实数根 B.两根之和是3
C.两根之积是﹣2 D.有两个不相等的实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2﹣4ac,即可求出Δ=﹣23<0,进而可得出该方程没有实数根(若方程有实数根,再利用根与系数的关系去验证B,C两个选项).
解:∵a=2,b=﹣3,c=4,
∴Δ=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×2×4=﹣23<0,
∴一元二次方程2x2﹣3x+4=0没有实数根.
故选:A.
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系,牢记“当Δ<0时,方程没有实数根”是解题的关键.
6.参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛,共要比赛110场,设参加比赛的球队有x支,根据题意,下面列出的方程正确的是( )
A.x(x+1)=110 B.x(x﹣1)=110
C.x(x+1)=110 D.x(x﹣1)=110
【分析】设有x个队参赛,根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场比赛,共要比赛110场,可列出方程.
解:设有x个队参赛,则
x(x﹣1)=110.
故选:D.
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程,关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解.
7.把方程x2﹣10x﹣3=0配方成(x+m)2=n的形式,则m、n的值分别为( )
A.﹣5、25 B.5、25 C.5、﹣28 D.﹣5、28
【分析】先移项,再配方,变形后即可求出m、n的值.
解:x2﹣10x﹣3=0,
移项,得x2﹣10x=3,
配方,得x2﹣10x+25=3+25,
即(x﹣5)2=28,
所以m=﹣5,n=28,
故选:D.
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程,能正确配方是解此题的关键.
8.在解一元二次方程2x2+px+q=0时,小红看错了常数项q,得到方程的两个根是﹣3,1.小明看错了一次项系数p,得到方程的两个根是3,﹣2,则原来的方程是( )
A.2x2﹣4x﹣6=0 B.2x2﹣2x﹣6=0
C.2x2+4x﹣12=0 D.2x2+2x﹣6=0
【分析】先设这个方程的两根是α、β,根据两个根是﹣4,2和两个根是1,﹣3,α+β=﹣=﹣2,αβ==﹣6,从而得出符合题意的方程.
解:设此方程的两个根是α、β,根据题意得:α+β=﹣=﹣2,αβ==﹣6,
则以α、β为根的一元二次方程是x2+4x﹣6=0.
故选:A.
【点评】本题考查了根与系数的关系:x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=﹣,x1•x2=.
9.已知4是关于x的方程x2﹣5mx+12m=0的一个根,且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则△ABC的周长为( )
A.14 B.16 C.12或14 D.14或16
【分析】先把x=4代入方程x2﹣5mx+12m=0得m=2,则方程为x2﹣10x+24=0,利用因式分解法解方程得到x1=4,x2=6,再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系确定三角形三边长,然后计算对应的三角形周长.
解:把x=4代入方程x2﹣5mx+12m=0得16﹣20m+12m=0,解得m=2,
则方程为x2﹣10x+24=0,
(x﹣4)(x﹣6)=0,
所以x1=4,x2=6,
因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,
所以这个等腰三角形三边分别为4、4、6;4、6、6,
所以△ABC的周长为14或16.
故选:D.
【点评】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.也考查了三角形三边的关系.
10.在直角坐标系xOy中,已知P(m,n),m、n满足(m2+1+n2)(m2+3+n2)=8,则OP的长( )
A. B.1 C.5 D.或1
【分析】OP=m2+n2.设t=m2+n2.则用t代替方程中的m2+n2,将原方程转化为关于t的新方程,通过解新方程求得t即m2+n2的值即可.
解:设t=m2+n2.则由原方程,得
(1+t)(3+t)=8,
整理,得
t2+4t﹣5=0,即(t+5)(t﹣1)=0,
解得 t=﹣5(舍去)或t=1.
∵P(m,n),
∴OP=m2+n2=1.
故选:B.
【点评】本题主要考查了换元法,即把某个式子看作一个整体,用一个字母去代替它,实行等量替换.
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11.一元二次方程﹣x2+3x+1=0的根的判别式的值是 13 .
【分析】根据Δ=b2﹣4ac计算可得答案.
解:在一元二次方程﹣x2+3x+1=0中,a=﹣1,b=3,c=1,
∴Δ=32﹣4×(﹣1)×1=13,
故答案为:13.
【点评】本题考查了根的判别式,熟记一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式的公式为Δ=b2﹣4ac.
12.方程x2+5x+4c=0有两个相等的实数根,则c= .
【分析】由方程有两个相等的实数根可得到其判别式等于0,解方程可求得c的值.
解:∵方程x2+5x+4c=0有相等的两个实数根,
∴Δ=0,
即52﹣4×1×4c=0,
解得c=,
故答案为:.
【点评】本题主要考查根的判别式,掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键.
13.已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根,则x12﹣x1+x2= 3 .
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到x12=2x1+1,则原式可变形为x1+x2+1,再根据根与系数的关系得到x1+x2=2,然后利用整体代入的方法计算.
解:∵x1是方程x2﹣2x﹣1=0的根,
∴x12﹣2x1﹣1=0,
∴x12=2x1+1,
∴x12﹣x1+x2=2x1+1﹣x1+x2=x1+x2+1,
∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根,
∴x1+x2=2,
∴x12﹣x1+x2=2+1=3.
故答案为3.
【点评】本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,x1+x2=﹣,x1x2=.
14.已知实数x、y满足(x2+y2+1)(x2+y2+3)=15,则x2+y2= 2 .
【分析】根据换元法,可得一元二次方程,根据解一元二次方程,可得答案.
解:设x2+y2=z,原方程化为(z+1)(z+3)=15,即z2+4z﹣12=0.
解得z=2,z=﹣6(不符合题意,舍),
所以x2+y2=2,
故答案为:2.
【点评】本题考查了换元法解一元一次方程,利用x2+y2=z得出关于z的一元二次方程是解题关键,注意平方都是非负数.
15.如图,用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD,墙可利用的最大长度为15m,一面利用旧墙,其余三面用篱笆围,篱笆长为24m,若围成的花圃面积为40m2时,平行于墙的BC边长为 4 m.
【分析】由于篱笆总长为24m,设平行于墙的BC边长为xm,由此得到AB=m,接着根据题意列出方程•x=40,解方程即可求出BC的长.
解:(1)依题意可知:AB=m,则:•x=40.
解得:x1=20,x2=4.
∵墙可利用的最大长度为15m,
∴x1=20舍去.
∴BC的长为4m.
故答案为:4.
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用,同时也利用了矩形的性质,解题时首先正确了解题意,然后根据题意列出方程即可解决问题.
16.定义新运算“※”:对于实数m,n,p,q.有[m,p]※[q,n]=mn+pq,其中等式右边是通常的加法和乘法运算,例如:[2,3]※[4,5]=2×5+3×4=22.若关于x的方程[x2+1,x]※[5﹣2k,k]=0有两个实数根,则k的取值范围是 k≤且k≠0 .
【分析】已知方程利用题中的新定义化简,根据方程有两个实数根确定出k的范围即可.
解:由题中的新定义化简得:k(x2+1)+(5﹣2k)x=0,
整理得:kx2+(5﹣2k)x+k=0,
∵方程有两个实数根,
∴k≠0,b2﹣4ac=(5﹣2k)2﹣4k2≥0,
解得:k≤且k≠0.
故答案为:k≤且k≠0.
【点评】此题考查了实数的运算,根的判别式,以及一元二次方程的定义,弄清题中的新定义是解本题的关键.
三、解答题(共8题,共72分)
17.解一元二次方程:
(1)x2﹣2x﹣2=0;
(2)3x2﹣4x﹣15=0.
【分析】(1)利用配方法求解即可;
(2)利用因式分解法求解即可.
解:(1)x2﹣2x﹣2=0,
x2﹣2x=2,
x2﹣2x+1=2+1,即(x﹣1)2=3,
∴x﹣1=或x﹣1=﹣,
∴x1=1+,x2=1﹣;
(2)3x2﹣4x﹣15=0,
(3x+5)(x﹣3)=0,
∴3x+5=0或x﹣3=0,
∴x1=﹣,x2=3.
【点评】本题考查解一元二次方程,掌握因式分解法、配方法是解题的关键.
18.已知x=1是一元二次方程(m+1)x2﹣m2x﹣2m﹣1=0的一个根.求m的值,并写出此时的一元二次方程的一般形式.
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值,即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.
解:把x=1代入原方程得:m+1﹣m2﹣2m﹣1=0,
解得m=0或﹣1,
又∵m+1≠0
∴m≠﹣1,
∴m=0,
∴方程的一般形式是:x2﹣1=0.
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.
19.已知代数式x2﹣5x+7,先用配方法说明,不论x取何值,这个代数式的值总是正数;再求出当x取何值时,这个代数式的值最小,最小值是多少?
【分析】首先将原式变形为(x﹣)2+,根据非负数的意义就可以得出代数式的值总是整数,设代数式的值为M,就有M=x2﹣5x+7,根据二次函数的意义化为顶点式就可以求出最值.
解:由题意,得x2﹣5x+7=(x﹣)2+,
∵(x﹣)2≥0,
∴(x﹣)2+≥,
∴(x﹣)2+>0
∴这个代数式的值总是正数.
设代数式的值为M,则有
M=x2﹣5x+7,
∴M=(x﹣)2+,
∴当x=时,这个代数式的值最小为.
【点评】本题是一道有关代数式的值的题目,考查了在代数式中配方法的运用,式子的转化,抛物线的最值的运用.
20.新农村建设有效促进了乡村旅游业的发展,某镇2018年实现旅游收入1500万元,到2020年该项收入达到2160万元,且从2018年到2020年,每年旅游收入的年增长率相同.
(1)求旅游收入的年增长率;
(2)若该镇旅游收入的年增长率保持不变,预计2021年旅游收入达到多少万元?
【分析】(1)设旅游收入的年增长率为x,利用2020年旅游收入金额=2018年旅游收入金额×(1+年增长率)2,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出旅游收入的年增长率;
(2)利用预计2021年旅游收入金额=2020年旅游收入金额×(1+年增长率),即可预计出2021年旅游收入金额.
解:(1)设旅游收入的年增长率为x,
依题意得:1500(1+x)2=2160,
解得:x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意,舍去).
答:旅游收入的年增长率为20%.
(2)2160×(1+20%)=2592(万元).
答:预计2021年旅游收入达到2592万元.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
21.关于x的一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若方程的两实数根x1,x2满足|x1|+|x2|=x1•x2,求k的值.
【分析】(1)利用判别式的意义得到Δ=(2k﹣1)2﹣4(k2+1)>0,然后解不等式即可;
(2)根据根与系数的关系得到x1+x2=2k﹣1,x1x2=k2+1,则判断x1<0,x2<0,则由|x1|+|x2|=x1•x2得到﹣(x1+x2)=x1•x2,所以﹣(2k﹣1)=k2+1,然后解关于k的方程即可得到满足条件的k的值.
解:(1)根据题意得Δ=(2k﹣1)2﹣4(k2+1)>0,
解得k<﹣;
(2)x1+x2=2k﹣1,x1x2=k2+1,
∵k<﹣,
∴x1+x2=2k﹣1<0,
而x1x2=k2+1>0,
∴x1<0,x2<0,
∵|x1|+|x2|=x1•x2,
∴﹣(x1+x2)=x1•x2,即﹣(2k﹣1)=k2+1,
整理得k2+2k=0,解得k1=0,k2=﹣2,
而k<﹣,
∴k=﹣2.
【点评】本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=﹣,x1x2=.也考查了判别式的值.
22.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,且其中一个根比另一个根大2,那么称这样的方程为“好根方程”.例如,一元二次方程x2+2x=0的两个根是x1=0,x2=﹣2,则方程x2+2x=0是“好根方程”.
(1)通过计算,判断方程4x2﹣4x+1=0是否是“好根方程”?
(2)已知关于x的方程x2﹣mx﹣m﹣1=0(m是常数)是“好根方程”,求m的值.
【分析】(1)利用求根公式解方程得到x1=,x2=,然后利用新定义进行判断;
(2)利用因式分解法得到x1=m+1,x2=﹣1,根据“好根方程”的定义得到m+1﹣(﹣1)=2或﹣1﹣(m+1)=2,然后解关于m的方程即可.
解:(1)∵△=(﹣4)2﹣4×4=64>0,
∴x==,
∴x1=,x2=,
∵x1﹣x2=2,
∴方程4x2﹣4x+1=0是“好根方程”;
(2)∵[(x﹣(m+1)](x+1)=0,
x﹣(m+1)=0或x+1=0,
∴x1=m+1,x2=﹣1,
∵方程x2﹣mx﹣m﹣1=0(m是常数)是“好根方程,
∴m+1﹣(﹣1)=2或﹣1﹣(m+1)=2,
∴m=0或m=﹣4.
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法.
23.小琴的父母承包了一块荒山地种植一批梨树,今年收获一批金溪蜜梨,小琴的父母打算以m元/斤的零售价销售5000斤蜜梨;剩余的5000(m+1)斤蜜犁以比零售价低1元的批发价批给外地客商,预计总共可赚得55000元的毛利润.
(1)小琴的父母今年共收获金溪蜜梨多少斤?
(2)若零售金溪蜜梨平均每天可售出200斤,每斤盈利2元.为了加快销售和获得较好的售价,采取了降价措施,发现销售单价每降低0.1元,平均每天可多售出40斤,应降价多少元使得每天销售利润为600元?
【分析】(1)根据销售毛利润与单价、数量之间的关系可列方程,求出m的值,进而求出总产量.
(2)由于降价,日销售量增加,用含有x的代数式表示每斤的销售利润,和日销售量,根据日销售利润可列方程求解即可,注意结果的合理性.
解:(1)由题意得,
5000m+5000(m+1)(m﹣1)=55000,
解得:m1=3,m2=﹣4(舍去)
当m=3时,5000+5000(m+1)=25000斤,
答:小琴的父母今年共收获金溪蜜梨25000斤.
(2)设应降价x元,使每天的利润达到600元,由题意得,
(2﹣x)(200+40×)=600,
解得,x1=0.5,x2=1,
∵加快销售,获得较好售价,x=1不合题意舍去,
∴x=0.5,
答:应降价0.5元使得每天销售利润为600元.
【点评】考查一元二次方程及其应用,列出合理的方程是解决问题的关键,分析数量关系则显得尤为重要,降价使日销售量和每斤的销售利润发生变化,尤为注意.
24.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm.
(1)点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果点P,Q分别从A,B同时出发,经过几秒钟后,△PBQ的面积为8cm2?
(2)如果点P,Q分别从A,B同时出发,点P在AB边上沿A→B→A的路线以1cm/s的速度移动,点Q在BC边上沿B→C→B的路线以2cm/s的速度移动,且其中一点到达终点时,另一点随之停止移动,连接CP,求经过几秒钟后,△PCQ的面积为8cm2?
【分析】(1)设经过x秒后,根据△PBQ的面积等于8cm2.得出方程×(6﹣x)×2x=8,求出方程的解即可;
(2)分三种情况:①当0<x≤4时,AP=x,BQ=2x,则PB=6﹣x,CQ=8﹣2x,由题意得出方程,解方程即可;
②当4<x≤6时,AP=x,BC+CQ=2x,则PB=6﹣x,CQ=2x﹣8,由题意得出方程,解方程即可;
③当6<x≤8时,AB+PB=x,BC+CQ=2x,则PB=x﹣6,CQ=2x﹣8,由题意得出方程,解方程即可.
解:(1)设经过x秒后,△PBQ的面积等于8cm2.
由题意得:×(6﹣x)×2x=8,
解得:x1=2,x2=4,
答:经过2秒或4秒后,△PBQ的面积等于8cm2.
(2)设经过x秒后,△PCQ的面积等于8cm2.分三种情况:
①当0<x≤4时,
AP=x,BQ=2x,则PB=6﹣x,CQ=8﹣2x,
由题意得:×(8﹣2x)×(6﹣x)=8,
解得:x=2,或x=8(不合题意舍去),
∴x=2;
②当4<x≤6时,
AP=x,BC+CQ=2x,则PB=6﹣x,CQ=2x﹣8,
由题意得:×(2x﹣8)×(6﹣x)=8,
整理得:x2﹣10x+32=0,此方程无解;
③当6<x≤8时,AB+PB=x,BC+CQ=2x,
则PB=x﹣6,CQ=2x﹣8,
由题意得:×(2x﹣8)×(x﹣6)=8,
解得:x=2(不合题意舍去),或x=8,
∴x=8;
综上所述,经过2秒或8秒钟后,△PCQ的面积等于8cm2.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、三角形面积以及分类讨论;通过分类讨论得出方程是解题的关键.
2023年湖北省黄冈市浠水县英才学校中考数学二模试卷(含解析): 这是一份2023年湖北省黄冈市浠水县英才学校中考数学二模试卷(含解析),共24页。试卷主要包含了选择题,填空题,计算题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县方铺中学九年级(上)期中数学试卷(含解析): 这是一份2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县方铺中学九年级(上)期中数学试卷(含解析),共19页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县兰溪中学八年级(上)期中数学试卷(含解析): 这是一份2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县兰溪中学八年级(上)期中数学试卷(含解析),共19页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。