高考数学一轮复习考点规范练20三角函数的图象与性质含解析新人教A版理

考点规范练20　三角函数的图象与性质

基础巩固

1.函数y=|2sin x|的最小正周期为(　　)

A.π B.2π C D

答案:A

解析:由图象(图象略)知T=π.

2.已知直线y=m(0<m<2)与函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象相邻的三个交点依次为A(1,m),B(5,m),C(7,m),则ω=(　　)

A B C D

答案:A

解析:由题意,得函数f(x)的相邻的两条对称轴分别为x==3,x==6,故函数的周期为2×(6-3)=,得ω=,故选A.

3.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)对任意x都有f=f,则f等于(　　)

A.2或0 B.-2或2 C.0 D.-2或0

答案:B

解析:由f=f知,函数图象关于x=对称,f是函数f(x)的最大值或最小值.故选B.

4.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则函数f(x)的图象(　　)

A.关于直线x=对称 B.关于直线x=对称

C.关于点对称 D.关于点对称

答案:B

解析:∵函数f(x)的最小正周期为π,=π.

∴ω=2.∴f(x)=sin

∴函数f(x)图象的对称轴为2x+=kπ+,k∈Z,

即x=,k∈Z.

故函数f(x)的图象关于直线x=对称,故选B.

5.y=cos(x+1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是(　　)

A B.π C.2 D

答案:A

解析:因为y=cos(x+1)的周期是2π,最大值为1,最小值为-1,所以y=cos(x+1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是,故选A.

6.已知曲线f(x)=sin 2x+cos 2x关于点(x0,0)成中心对称,若x0,则x0=(　　)

A B C D

答案:C

解析:由题意可知f(x)=2sin,其对称中心为(x0,0),

故2x0+=kπ(k∈Z),

即x0=-(k∈Z).

又x0,故k=1,x0=,故选C.

7.已知函数f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1的定义域为[a,b],值域为,则b-a的值不可能是(　　)

A B C D.π

答案:D

解析:∵f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1

=2sinxcosx-2cos2x+1

=sin,

又a≤x≤b,∴2a-2x-2b-

∵-sin,

即-1≤sin,

,

故b-a,故b-a的值不可能是π,故选D.

8.已知函数f(x)=sin(2x+φ)的图象的一个对称中心为,则函数f(x)的单调递减区间是(　　)

A(k∈Z)

B(k∈Z)

C(k∈Z)

D(k∈Z)

答案:D

解析:由题意知,sin=0,

又0<φ<,所以φ=

所以f(x)=sin

由+2kπ≤2x++2kπ(k∈Z),得f(x)的单调递减区间是(k∈Z).

9.关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:

①f(x)是偶函数　

②f(x)在区间内单调递增

③f(x)在[-π,π]有4个零点　

④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是(　　)

A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③

答案:C

解析:因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx|=f(x),所以f(x)为偶函数,故①正确;

当<x<π时,f(x)=2sinx,它在区间内单调递减,故②错误;

当0≤x≤π时,f(x)=2sinx,它有两个零点0和π;当-π≤x≤0时,f(x)=sin(-x)-sinx=-2sinx,它有两个零点-π和0;故f(x)在区间[-π,π]上有3个零点-π,0和π,故③错误;

当x∈[2kπ,2kπ+π](k∈N*)时,f(x)=2sinx;当x∈(2kπ+π,2kπ+2π](k∈N*)时,f(x)=sinx-sinx=0.又f(x)为偶函数,所以f(x)的最大值为2,故④正确;

综上可知①④正确,故选C.

10.已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为的交点,则φ的值是　　　　　. 

答案:

解析:由题意cos=sin,

即sin,

+φ=2kπ+(k∈Z)或+φ=2kπ+(k∈Z).

因为0≤φ<π,所以φ=

11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为4π,且f=1,则f(x)图象的对称中心是　　　　　. 

答案:(k∈Z)

解析:由题意得=4π,解得ω=,

故f(x)=sin,

由f=1可得+φ=2kπ+,k∈Z,由|φ|<可得φ=,

故f(x)=sin,

由x+=kπ可得x=2kπ-,k∈Z.

∴f(x)的对称中心为,k∈Z.

12.已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2,则ω=　　　　　. 

答案:

解析:如图所示,在同一平面直角坐标系中,作出函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象.A,B为符合条件的两个交点.

则A,B

由|AB|=2,

得=2,

解得=2,即ω=

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13.已知函数f(x)=cos,则下列结论成立的是(　　)

A.f(x)的递增区间是,k∈Z

B.函数f是奇函数

C.函数f是偶函数

D.f(x)=sin

答案:D

解析:∵f(x)=cos=sin=sin,故D正确.

令2kπ-π≤2x-2kπ,k∈Z,求得kπ-x≤kπ+,k∈Z,故A错误.

由f=cos

=cos,

可知f是非奇非偶函数,故B错误.

由f=cos

=cos=sin2x是奇函数,故C错误.故选D.

14.若函数f(x)=cos(2x+φ)的图象的一条对称轴方程为x=,且-<φ<,则函数y=f为(　　)

A.奇函数,且在区间内单调递增

B.偶函数,且在区间内单调递增

C.偶函数,且在区间内单调递减

D.奇函数,且在区间内单调递减

答案:D

解析:因为函数f(x)=cos(2x+φ)的图象的一条对称轴方程为x=,所以+φ=kπ,k∈Z,

即φ=kπ-,k∈Z.

又-<φ<,则φ=-,则y=f=cos=cos=-sin2x,所以该函数为奇函数,且在区间内单调递减,故选D.

15.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在区间内单调,则ω的最大值为(　　)

A.11 B.9 C.7 D.5

答案:B

解析:由题意得

解得φ=+,ω=2(k2-k1)+1,k1,k2∈Z.

∵|φ|,∴φ=或φ=-

∵f(x)在区间内单调,

,T,即,ω≤12.

∵ω>0,∴0<ω≤12.

若φ=,则k1+k2=0,ω=4k2+1,ω=1,5,9.

若ω=9,则f(x)=sin在区间内单调递减,符合题意.

若φ=-,则k1+k2=-1,ω=4k2+3,ω=3,7,11.

若ω=11,则f(x)=sin在区间内单调递增,在区间内单调递减,不符合题意.

综上,ω的最大值为9.

16.已知函数f(x)=3sin(ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的图象的对称中心完全相同,若x,则f(x)的取值范围是　　　　　　. 

答案:

解析:由两个三角函数的图象的对称中心完全相同,可知它们的周期相同,则ω=2,即f(x)=3sin

当x时,-2x-,

解得-sin1,

故f(x)

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17.已知函数f(x)=sin,其中x当a=时,f(x)的值域是　　　　　　　;若f(x)的值域是,则a的取值范围是　　　　　　　　　　. 

答案:

解析:若-x,则-2x+,此时-sin1,即f(x)的值域是

若-x≤a,

则-2x+2a+

因为当2x+=-或2x+时,sin=-,

所以要使f(x)的值域是,则2a+,

即2a≤π,

所以a,即a的取值范围是