广西专用高考数学一轮复习第十二章概率5离散型随机变量的均值与方差课件新人教A版理

这是一份广西专用高考数学一轮复习第十二章概率5离散型随机变量的均值与方差课件新人教A版理，共39页。PPT课件主要包含了-2-，知识梳理，双基自测，标准差，-3-，aEX+b，a2DX，-4-，p1-p，np1-p等内容，欢迎下载使用。

1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n.(1)均值:称E(X)=　　　　　　　　　　　　　　为随机变量X的均值或数学期望. 
x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn
2.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=　　　　　　; (2)E(ξ+η)=E(ξ)+E(η);(3)D(aX+b)=　　　　　　. 
3.两点分布与二项分布的均值与方差(1)若X服从两点分布,则E(X)=　　　　　　,D(X)=　　　　　. (2)若X~B(n,p),则E(X)=　　　　　,D(X)=　　　　　. 
问题思考随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的?
提示:随机变量的均值、方差是一个常数,样本均值、方差是一个随机变量,随观测次数的增加或样本容量的增加,样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差.
4.常用结论(1)如果X1,X2相互独立,那么E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).(2)均值与方差的关系:D(X)=E(X2)-E2(X).(3)超几何分布的均值:若X服从参数为N,M,n的超几何分布,则
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)均值是算术平均数概念的推广,与概率无关.(　　)(2)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.(　　)(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.(　　)(4)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的均值,σ是正态分布的标准差.(　　)
2.设随机变量X~B(n,p),且E(X)=1.6,D(X)=1.28,则(　　)A.n=5,p=0.32B.n=4,p=,p=0.2D.n=7,p=0.45
3.已知随机变量X的分布列为
4.从某班6名学生(其中男生4人,女生2人)中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女生人数为ξ,则数学期望E(ξ)=(　　)
5.(2020湖北武汉模拟)某地一条主干道上有46盏路灯,相邻两盏路灯之间间隔30米,有关部门想在所有相邻路灯间都新添一盏,假设工人每次在两盏路灯之间添新路灯是随机的,并且每次添新路灯相互独立.新添路灯与左右相邻路灯的间隔都不小于10米是符合要求的,记符合要求的新添路灯数量为ξ,则D(ξ)=(　　)A.30B.15C.10D.5
例1某大学对参加了“世博会”的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核,因该批志愿者表现良好,该大学决定考核只有合格和优秀两个等次,若某志愿者考核为合格,授予0.5个学分;考核为优秀,授予1个学分.假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为 他们考核所得的等次相互独立.(1)求在这次考核中,志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率;(2)记这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列和均值E(ξ).思考怎样求离散型随机变量X的均值与方差?
解 (1)记“甲考核为优秀”为事件A,“乙考核为优秀”为事件B,“丙考核为优秀”为事件C,“志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀”为事件E,
解题心得1.求离散型随机变量X的均值与方差的步骤(1)理解X的意义,写出X的全部可能取值.(2)求X取每个值的概率.(3)写出X的分布列.(4)由均值的定义求E(X).(5)由方差的定义求D(X).2.注意性质的应用:若随机变量X的均值为E(X),则对应随机变量aX+b的均值是aE(X)+b,方差为a2D(X).
对点训练1根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:
历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求:(1)工期延误天数Y的均值与方差;(2)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.
解：(1)由已知条件和概率的加法公式有:P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2,P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.所以Y的分布列为
于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3,D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.
(2)由概率的加法公式,得P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7,又P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6,由条件概率,得
例2随着节能减排意识深入人心以及共享单车的大范围推广,越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车.为了研究广大市民共享单车的使用情况,某公司在我市随机抽取了100名用户进行调查,得到如下数据:
每周骑行共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”,视频率为概率,在我市所有“骑行达人”中,随机抽取4名用户.
(1)求抽取的4名用户中,既有男“骑行达人”,又有女“骑行达人”的概率;(2)为了鼓励女性用户使用共享单车,对抽出的女“骑行达人”每人奖励500元,记奖励总金额为X,求X的分布列及数学期望.思考如何简便地求二项分布的均值与方差?
(2)记抽出的女“骑行达人”人数为Y,则X=500Y.
解题心得求随机变量X的均值与方差时,可首先分析X是否服从二项分布,如果X~B(n,p),那么用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,可大大减少计算量.
(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,求X≤3的概率;(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的均值较大?
由题意知事件M表示“A队得2分”,即A队三人之中有一人答错,其余两人答对,事件N表示“B队得1分”,即三人之中有两人答错,一人答对,
例3为回馈顾客,某商场拟通过模拟兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:①顾客所获的奖励额为60元的概率;②顾客所获的奖励额的分布列及均值;
(2)商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成或者标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.思考如何利用均值与方差对生活中相关问题进行决策?
(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元,即先寻找均值为60的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以均值不可能为60元.如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以均值也不可能为60元.因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.
以下是对两个方案的分析.对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1,则X1的分布列为
对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为X2,则X2的分布列为
由于两种方案的奖励额的均值都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2,即(20,20,40,40).
解题心得利用均值、方差进行决策的方法:均值能够反映随机变量取值的“平均水平”,因此,当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分晓,由此可对实际问题作出决策判断;若两个随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两个变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度,方差越小,则偏离均值的平均程度越小,进而进行决策.
对点训练3小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作,该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案:底薪100元,每派送一单奖励1元;乙方案:底薪140元,每日前55单没有奖励,超过55单的部分每单奖励12元.(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y(单位:元)与送货单数n的函数关系式;
(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录,发现派送员的日平均派送单数满足以下条件:在这100天中的派送量指标满足的直方图如图所示,其中当某天的派送量指标在 (n=1,2,3,4,5)时,日平均派送量为(50+2n)单.若将频率视为概率,回答下列问题:①根据以上数据,设每名派送员的日薪为X(单位:元),试分别求出甲、乙两种方案的日薪X的分布列、数学期望及方差;②结合①中的数据,根据统计学的思想,帮助小明分析,他选择哪种薪酬方案比较合适,并说明你的理由.(参考数据:0.62=0.36,1.42=1.96,2.62=6.76, 3.42=11.56,3.62=12.96,4.62=21.16, 15.62=243.36,20.42=416.16,44.42=1 971.36)
解：(1)甲方案中派送员日薪y(单位:元)与送货单数n的函数关系式为y=100+n,n∈N,乙方案中派送员日薪y(单位:元)与送货单数n的函数关系式为
(2)①由已知,在这100天中,该公司派送员日平均派送单数满足如下表格:
所以E(X甲)=152×0.2+154×0.3+156×0.2+158×0.2+160×0.1 =155.4, =0.2×(152-155.4)2+0.3×(154-155.4)2+0.2×(156-155.4)2+ 0.2×(158-155.4)2+0.1×(160-155.4)2=6.44.所以X乙的分布列为