广西专用高考数学一轮复习考点规范练63离散型随机变量及其分布列含解析新人教A版理

考点规范练63　离散型随机变量及其分布列

基础巩固

1.(2020陕西宝鸡模拟)设随机变量ξ的分布列为P=ak(k=1,2,3,4),则P等于(　　)

A B C D

答案:D

解析:∵随机变量ξ的分布列为Pξ==ak(k=1,2,3,4),

∴a+2a+3a+4a=1,解得a=0.1,

∴P<ξ<=Pξ=+Pξ==2×0.1+3×0.1=故选D.

2.设某项试验的成功率为失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)的值为(　　)

A.1 B C D

答案:C

解析:设X的分布列为

即“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成功,失败的概率为p,成功的概率为2p.由p+2p=1,得p=

3.从装有除颜色外其他完全相同的3个白球、4个红球的箱子中,随机取出了3个球,恰好是2个白球、1个红球的概率是(　　)

A B C D

答案:C

解析:这是一个超几何分布问题,所求概率为P=

4.从装有除颜色外没有区别的3个黄球、3个红球、3个蓝球的袋中摸3个球,设摸出的3个球的颜色种数为随机变量X,则P(X=2)=(　　)

A B C D

答案:D

解析:X=2,即摸出的3个球有2种颜色,其中一种颜色的球有2个,另一种颜色的球有1个,故P(X=2)=,故选D.

5.一个袋子中装5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取出3只,以ξ表示取出的3只球中的最小号码,则随机变量ξ的分布列为(　　)

A.

B.

C.

D.

答案:C

解析:随机变量ξ的可能取值为1,2,3.

当ξ=1时,即取出的3只球中最小号码为1,则其他2只球只能在编号为2,3,4,5的4只球中任取2只,故P(ξ=1)=;

当ξ=2时,即取出的3只球中最小号码为2,则其他2只球只能在编号为3,4,5的3只球中任取2只,故P(ξ=2)=;

当ξ=3时,即取出的3只球中最小号码为3,则其他2只球只能在编号为4,5的2只球中取,故P(ξ=3)=故选C.

6.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数,则P(ξ≤1)等于(　　)

A B C D

答案:D

解析:P(ξ≤1)=1-P(ξ=2)=1-

7.离散型随机变量X的分布列中的部分数据丢失,丢失数据以x,y(x,y∈N)代替,分布列如下:

则P等于(　　)

A.0.25 B.0.35 C.0.45 D.0.55

答案:B

解析:根据分布列的性质知,随机变量X的所有取值的概率和为1,

因此0.1x+0.05+0.1+0.01y=0.4,

即10x+y=25,由x,y是0~9间的自然数,可解得x=2,y=5,

故P=P(X=2)+P(X=3)=0.35.

8.已知随机变量X的分布列为:

若Y=2X-3,则P(1<Y≤5)=　　　　　. 

答案:0.6

解析:由随机变量X的分布列及Y=2X-3,可知P(1<Y≤5)=P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4)=0.4+0.2=0.6.

9.一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.

(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;

(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与均值.

(注:若三个数a,b,c满足a≤b≤c,则称b为这三个数的中位数)

解:(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为

(2)X的所有可能值为1,2,3,且

P(X=1)=,

P(X=2)=,

P(X=3)=,

故X的分布列为

从而E(X)=1+2+3

10.某航空公司进行空乘人员的招聘,记录了前来应聘的6名男生和9名女生的身高,数据用茎叶图表示如图所示(单位:cm).应聘者获知:男性身高在区间[174,182],女性身高在区间[164,172]的才能进入招聘的下一环节.

(1)求6名男生的平均身高和9名女生身高的中位数;

(2)现从能进入下一环节的应聘者中抽取2人,记X为抽取到的男生人数,求X的分布列及期望E(X).

解:(1)6名男生的平均身高是=181(cm),9名女生身高的中位数为168cm.

(2)能进入下一环节的男生有3人,女生有4人.

故X的所有可能取值是0,1,2,

则P(X=0)=,

P(X=1)=,

P(X=2)=

所以X的分布列为

故E(X)=0+1+2

能力提升

11.若随机变量X的分布列如表所示,则a2+b2的最小值为　　　　. 

答案:

解析:由随机变量X的分布列,知+a+b=1,

且0≤a≤1,0≤b≤1,∴a+b=,

∴(a+b)2=a2+b2+2ab=

∵2ab≤2=2,

∴a2+b2=-2ab,

∴a2+b2的最小值为

12.某单位组织职工开展构建绿色家园活动,在今年3月份参加义务植树活动的职工中,随机抽取M名职工为样本,得到这些职工植树的株数,根据此数据作出频数与频率统计表和频率分布直方图,如图所示.

(1)求出表中m,n,M,p及图中a的值;

(2)单位决定对参加植树的职工进行表彰,对植树株数在区间[25,30)的职工发放价值800元的奖品,对植树株数在区间[20,25)的职工发放价值600元的奖品,对植树株数在区间[15,20)的职工发放价值400元的奖品,对植树株数在区间[10,15)的职工发放价值200元的奖品,在所取样本中,任意取出2人,并设X为此2人所获得奖品价值之差的绝对值,求X的分布列.

解:(1)由题可知=0.25,=n,=p,

又5+12+m+1=M,解得M=20,n=0.6,m=2,p=0.1,

则[15,20)的频率与组距之比a为0.12.

(2)2人所获得奖品价值之差的绝对值可能为0元、200元、400元、600元,则

P(X=0)=,

P(X=200)=,

P(X=400)=,

P(X=600)=

所以X的分布列为

高考预测

13.(2020山东泰安模拟)某水果批发商经销某种水果(以下简称A水果),购入价为300元/袋,并以360元/袋的价格售出,若前8小时内所购进的A水果没有售完,则批发商将没售完的A水果以220元/袋的价格低价处理完毕(根据经验,2小时内完全能够把A水果低价处理完,且当天不再购进).该水果批发商根据往年的销量,统计了100天A水果在每天的前8小时内的销售量,制成频数分布条形图如图所示.

现以记录的100天的A水果在每天的前8小时内的销售量的频率作为A水果在一天的前8小时内的销售量的概率,记X表示A水果一天前8小时内的销售量,n表示水果批发商一天批发A水果的袋数.

(1)求X的分布列;

(2)以日利润的期望值为决策依据,在n=15与n=16中选其一,应选用哪个?

解:(1)由题意知A水果在每天的前8小时内的销售量为14,15,16,17的频率分别是0.2,0.3,0.4和0.1,

故X的分布列为

(2)当n=15时,设Y为水果批发商的日利润,则Y的可能取值为14×(360-300)-(300-220)×1=760,(360-300)×15=900,又P(Y=760)=0.2,P(Y=900)=0.8,故E(Y)=760×0.2+900×0.8=872.

当n=16时,设Z为水果批发商的日利润,同理Z的可能取值为680,820,960,

又P(Z=680)=0.2,P(Z=820)=0.3,P(Z=960)=0.5,故E(Z)=680×0.2+820×0.3+960×0.5=862.

综上可知,当n=15时的日利润期望值大于n=16时的日利润期望值,故选n=15.