2022-2023学年浙江省杭州市淳安县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市淳安县九年级（上）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
下列关系式中，属于二次函数的是( )
A. y=-2x2B. y=x2-1C. y=3x-1D. y=1x
县气象站天气预报称，明天千岛湖镇的降水概率为90%，下列理解正确的是( )
A. 明天千岛湖镇下雨的可能性较大
B. 明天千岛湖镇有90%的地方会下雨
C. 明天千岛湖镇全天有90%的时间会下雨
D. 明天千岛湖镇一定会下雨
如图，△ABC绕点A按逆时针方向旋转56°后与△AB1C1重合，则∠AB1B=( )
A. 58°B. 56°C. 62°D. 68°
在一个不透明的袋中装有6个只有颜色不同的球，其中3个红球、2个黄球和1个白球.从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为( )
A. 16B. 13C. 12D. 23
如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则边心距OM的长为( )
A. 3
B. 32
C. 12
D. 23
已知二次函数y=x2-2x-3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3.当-13时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是( )
A. y1如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是( )
A. 80°
B. 100°
C. 140°
D. 160°
如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系大致满足二次函数y=-110x2+35x+85，则小朱本次投掷实心球的成绩为( )
A. 7mB. 7.5mC. 8mD. 8.5m
已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a>0)的图象经过点(-2,0)和(2,3)，该函数图象的对称轴为直线x=m，则下列说法正确的是( )
A. 00D. -2≤m<0
如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点(不与A，C重合)，下列结论：①∠ADB=∠BDC；②DA=DC；③当DB最长时，DB=2DC；④DA+DC=DB，其中一定正确的结论有( )
A. ①④
B. ①②③
C. ①③
D. ①③④
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
一个扇形的半径为10，圆心角是120°，该扇形的弧长是______ ．
在一个箱子里放有3个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同．从箱子里任意摸出一个球，记下颜色后放回箱子摇匀，再任意摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是______．
一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆心角的度数是______．
某商场经营一种文具，进价为20元/件，当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．那么该文具定价为______元时每天的最大销售利润最大．
如图，AB是半圆O的直径，AB=4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，BD=2CD，点P是OC上的一个动点，则BP+DP的最小值为______．
已知，点A(1,m)和点B(3,n)在二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)的图象上，若点C(x0,y0)是该二次函数图象上任意一点，且满足y0≥m，mn的最大值为______．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(本小题6.0分)
如图，用一段长为32米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边AB的长为x米，苗圃园的面积为y平方米．
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)当x为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？
(本小题8.0分)
一个不透明的袋中装有18个红球和若干个白球，它们除颜色外其他均相同．已知将袋中球摇匀后，从中任意摸出一个球是红球的概率是35．
(1)求袋中总共有多少个球？
(2)从袋中取走25个球(其中15个红球，10个白球)并将袋中球摇匀后，从剩余的球中任意摸出两个球，求摸出的球是一红一白的概率．
(本小题8.0分)
如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB=∠DBA，连结BC，CD．
(1)求证：CD//AB．
(2)若AB=4，∠ACD=30°，求阴影部分的面积．
(本小题10.0分)
已知抛物线y=ax2-2ax-3a(a>0)与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧．
(1)请求出抛物线对称轴和点A、B的坐标；
(2)若点A(n,yA)点B(3,yB)在此抛物线上，且yA>yB，求n的取值范围．
(本小题10.0分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD平分∠BAC，交BC于点F，交⊙O于点D，BE平分∠ABC，交AD于点E，连接BD．
(1)求证：∠BED=∠EBD；
(2)若点A是弧DAC的中点，求证DE=CF．
(本小题12.0分)
在直角坐标系中，设函数y1=ax2+bx-a(a,b是常数，a≠0)．
(1)已知函数y1的图象经过点(1,2)和(-2,-1)，求函数y1的表达式．
(2)若函数y1图象的顶点在函数y2=2ax的图象上，求证：b=2a．
(3)若b=a+3，当x>-1时，函数y1随x的增大而增大，求a的取值范围．
(本小题12.0分)
在半径为1的⊙O中，A、B、C、D中是圆上的四个点．
(1)如图1，若AB的度数为66°，BC的度数114°，求∠B的度数．
(2)如图2，若AB的度数为m°，CD的度数为n°，当m+n=180时，试求AB2+CD2的值．
(3)在(2)的条件下，若AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，试求四边形ABCD的面积．(用含a，b，c，d的代数式表示)
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、是二次函数，故本选项符合题意；
B、等式的右边不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、等式的右边不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据二次函数的定义逐个判断即可．
本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义的内容是解此题的关键，注意：形如y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)的函数叫二次函数．
2.【答案】A
【解析】解：千岛湖镇明天下雨概率是90%，表示千岛湖镇明天下雨的可能性很大，但是不是将有90%的地方下雨，不是90%的时间下雨，也不是明天肯定下雨，
故选：A．
下雨的概率指的是下雨的可能性，根据概率的意义即可作出判断．
本题主要考查了概率的意义，掌握概率是反映出现的可能性大小的量是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转56°后与△AB1C1重合，
∴AB=AB1，∠BAB1=56°，
∴∠AB1B=∠ABB1=180°-56°2=62°，
故选：C．
由旋转的性质可得AB=AB1，∠BAB1=56°，由等腰三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵袋子中共有6个小球，其中白球有1个，
∴摸出一个球是白球的概率是16．
故选A．
用白球的数量除以所有球的数量即可求得白球的概率．
本题主要考查概率公式．
5.【答案】B
【解析】解：连接OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，
∴∠BOM=360°6×2=30°，
∴OM=OB⋅cs∠BOM=1×32=32；
故选：B．
根据正六边形的性质求出∠BOM，利用余弦的定义计算即可．
本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式、熟记余弦的概念是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=x2-2x-3=(x-1)2-4，
∴对称轴x=1，顶点坐标为(1,-4)，
当y=0时，(x-1)2-4=0，
解得x=-1或x=3，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：(-1,0)，(3,0)，
∴当-13时，y2故选：D．
首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题．
本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，属于中考常考题型．
7.【答案】B
【解析】解：∵∠AOC=160°，
∴∠ADC=12∠AOC=80°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-80°=100°，
故选：B．
先根据圆周角定理求得∠D的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出∠ABC的度数即可．
此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：在y=-110x2+35x+85中，令y=0得：
-110x2+35x+85=0，
解得x=-2(舍去)或x=8，
∴小朱本次投掷实心球的成绩为8米，
故选：C．
根据实心球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．
本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：设点(-2,0)关于直线x=m的对称点为(x2,0)，
∵二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a>0)开口向上，对称轴为直线x=m，
∴当x>m，y随x的增大而增大，
∵0<3，
∴x2<2，
∴-2+x22<0，即m<0，
故选：B．
设点(-2,0)关于直线x=m的对称点为(x2,0)，根据二次函数的性质得到x2<2，即可得到-2+x22<0，即m<0．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∵AB=AB，BC=BC，
∴∠ADB=∠ACB=60°，∠BDC=∠BAC=60°，
∴∠ADB=∠BDC，故①正确；
∵点D是弧AC上一动点，
∴AD与CD不一定相等，
∴DA与DC不一定相等，故②错误；
当DB最长时，DB为⊙O直径，
∴∠BCD=90°，
∵∠BDC=60°，
∴∠DBC=30°，
∴DB=2DC，故③正确；
在DB上取一点E，使DE=AD，如图：

∵∠ADB=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠CAD，
∵AB=AC，
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
∴BE=CD，
∴BD=BE+DE=CD+AD，故④正确；
∴正确的有①③④，
故选：D．
由△ABC是等边三角形，及同弧所对圆周角相等可得∠ADB=∠BDC，即可判断①正确；由点D是弧AC上一动点，可判断②错误；根据DB最长时，DB为⊙O直径，可判定③正确；在DB上取一点E，使DE=AD，可得△ADE是等边三角形，从而△ABE≌△ACD(SAS)，有BE=CD，可判断④正确．
本题考查等边三角形及外接圆，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造三角形全等解决问题．
11.【答案】20π3
【解析】解：扇形的弧长=120π⋅10180=20π3，
故答案为：20π3．
直接利用弧长公式计算即可．
本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练记忆弧长的计算公式．
12.【答案】925
【解析】解：画树状图如下：

共有25种等可能的结果，其中两次都摸到白球的结果有9种，
∴两次都摸到白球的概率为925，
故答案为：925．
画树状图，共有25种等可能的结果，其中两次都摸到白球的结果有9种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】60°
【解析】解：∵一条弦把圆分成1：5两部分，
∴这条弦所对的圆心角的度数为360°×11+5=60°．
故答案为：60°．
先根据弦把圆分成1：5的两部分，求出所对圆心角的度数即可．
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，通过关键性描述语“一条弦把圆分成1：5两部分”列出代数式是解题的突破口．
14.【答案】35
【解析】解：设该文具定价为x元，每天的利润为y元，
根据题意得：y=(x-20)[250-10(x-25)]
=(x-20)(-10x+500)
=-10x2+700x-10000
=-10(x-35)2+2250，
∵-10<0，
∴当x=35时，y最大，最大值为2250，
故答案为：35．
设该文具定价为x元，每天的利润为y元，根据每天利润=单件利润×销售量列出函数解析式，用函数的性质求最值．
本题考查二次函数的实际应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
15.【答案】23
【解析】
【分析】
本题考查圆周角定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系，三角形三边关系等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
如图，连接AD，PA，BD，OD，首先证明PA=PB，利用圆心角，弧，弦之间的关系，求出△OBD是等边三角形，在Rt△ADB中，利用勾股定理求出AD，再根据PD+PB=PD+PA≥AD，求出AD即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接AD，PA，BD，OD．
∵OC⊥AB，OA=OB，
∴PA=PB，∠COB=90°，
∵BD=2CD，
∴∠DOB=23×90°=60°，
∵OD=OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=30°，
∴BD=12AB=2，
∴AD=AB2-BD2=23，
∵PB+PD=PA+PD≥AD，
∴PD+PB≥23，
∴PD+PB的最小值为23，
故答案为：23．
16.【答案】43
【解析】解：∵点C(x0,y0)是二次函数图象上的任意一点，且满足y0≥m，
∴二次函数图像开口向上，即a>0，顶点坐标为(1,m)，
∴对称轴为x=-b2a=1，即b=-2a，
∵mn=(a+b+1)(9a+3b+1)=(-a+1)(3a+1)=-3(a-13)2+43，
∵-3<0，
∴mn的最大值为43．
故答案为：43．
根据题意得出抛物线的对称轴为直线x=1，利用对称轴公式得出a，b的关系，再用含a代数式表示mn，然后配方求解．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意是解题的关键．
17.【答案】解：(1)根据题意得：y=x(32-2x)=-2x2+32x，
∴y关于x的函数表达式为y=-2x2+32x；
(2)由题意得：0<32-2x≤18，
解得7≤x<16，
由(1)知，y=-2x2+32x=-2(x-8)2+128，
∵-2<0，7≤x<16，
∴当x=8时，y有最大值，最大值为128，
答：当x=8时，苗圃的面积最大，最大值为128平方米．
【解析】(1)根据矩形的面积公式列出函数解析式即可；
(2)由函数的性质求函数的最值．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意列出函数解析式．
18.【答案】解：(1)设袋中共有x个球，
∵袋中装有18个红球，从中任意摸出一个球是红球的概率是35，
∴18x=35，
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解，
答：袋中总共有30个球．
(2)袋子中白球的个数为：30-18=12(个)，
取走取走25个球(其中15个红球，10个白球)，
则袋子中球的总个数为30-25=5(个)，红球的个数为：18-15=3(个)，白球的个数为：12-10=2(个)，
画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中摸出的球是一红一白的结果有12种，
∴摸出的球是一红一白的概率为1220=35．
【解析】(1)根据概率公式求出球的总个数即可；
(2)画树状图，共有20种等可能的结果，其中摸出的球是一红一白的结果有12种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】(1)证明：∵AD=AD，
∴∠ACD=∠DBA，
又∵∠CAB=∠DBA，
∴∠CAB=∠ACD，
∴CD//AB．
(2)如图，连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
∵∠ACD=30°，
∴∠ACD=∠CAB=30°，
∴∠AOD=∠COB=60°，
∴∠COD=180°-∠AOD-∠COB=60°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=120°，
∴S扇形BOD=nπr2360=60×π×22360=23π．
在Rt△ODE中，
∵DE=cs30°OD=32×2=3，
∴S△BOD=12OB⋅DE=12×2×3=3，
∴S阴影=S扇形BOD-S△BOD，=23π-3．
∴S阴影=23π-3．
【解析】(1)根据圆周角定理可得，∠ACD=∠DBA，由已知条件可得∠CAB=∠ACD，再根据平行线的判定方法即可得出答案；
(2)连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E.由∠ACD=30°，可得∠ACD=∠CAB=30°，根据圆周角定理可得∠AOD=∠COB=60°，即可得出∠COD=180°-∠AOD-∠COB=60°，∠BOD=180°-∠AOD=120°，即可算出S扇形BOD=nπr2360的面积，在Rt△ODE中，根据三角函数可算出DE=cs30°OD的长度，即可算出S△BOD=12OB⋅DE的面积，根据S阴影=S扇形BOD-S△BOD代入计算即可得出答案．
本题主要考查了扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
20.【答案】解：(1)∵y=ax2-2ax-3a，
∴抛物线对称轴为直线x=--2a2a=1，
∵y=ax2-2ax-3a=a(x-3)(x+1)，
∴抛物线与x轴交点为A(-1,0)，B(3,0)．
(2)∵a>0，
∴抛物线开口向上，
点B关于抛物线对称轴的对称点坐标为B'(-1,yB)，
∴n<-1或n>3时，yA>yB．
【解析】(1)由x=-b2a可得抛物线对称轴，将二次函数解析式化为交点式可得点A，B坐标．
(2)由抛物线对称轴求出点B关于对称轴的对称点坐标，进而求解．
本题考查二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21.【答案】证明：(1)∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，
∵CD=CD，
∴∠CAD=∠CBD，
∵∠BED=∠BAD+∠ABE，∠EBD=∠CBD+∠CBE，
∴∠BED=∠EBD；
(2)∵点A是DAC的中点，
∴AC=AD，
∴AC=AD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAF=∠DAB，
∵AB=AB，
∴∠ACF=∠ADB，
∴△ACF≌△ADB(ASA)，
∴CF=BD，
由(1)知：∠BED=∠EBD，
∴DE=BD，
∴DE=CF．
【解析】(1)由角平分线定义可得：∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，由圆周角定理可得出∠CAD=∠CBD，再利用三角形外角性质即可证得结论；
(2)由点A是DAC的中点，可得AC=AD，由角平分线定义和圆周角定理可得出：∠CAF=∠DAB，∠ACF=∠ADB，即可证得△ACF≌△ADB(ASA)，进而证得结论．
本题考查了三角形的外接圆，角平分线定义，三角形外角性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
22.【答案】解：(1)函数y1的图象经过点(1,2)和(-2,-1)，
∴2=a+b-a-1=4a-2b-a．
∴a=1，b=2．
∴y1=x2+2x-1．
(2)y1=ax2+bx-a=a(x+b2a)2-b2+4a24a．
∴顶点坐标为(-b2a,-b2+4a24a).
∵抛物线的顶点在y2=2ax的图象上，
∴-b2+4a24a=-2a×b2a，
∴b2+4a2=4ab．
∴(b-2a)2=0．
∴b=2a．
(3)∵b=a+3，
∴-b2a=-a+32a
∵当x>-1时，函数y随x的增大而增大
∴图象开口向上，对称轴在直线x=-1的左侧，
即a>0，-a+32a≤-1
∴a的取值范围是0【解析】(1)将已知点代入函数表达式即可．
(2)先不是函数顶点坐标，代入y2表达式即可．
(3)根据二次函数性质求解．
本题考查二次函数的综合应用，理解点在函数图象上的含义是求解本题的关键．
23.【答案】解：(1)∵AB的度数为66°，BC的度数为114°，
∴ABC的度数为：66°+114°=180°，
∴∠D的度数是12ABC度数的一半，
∴∠D=90°，
∵四边形ABCD是⊙的内接四边形，
∴∠B=180°-∠D=90°；
(2)如图1，

连接AC，BD，作直径DE，连接CE，
∵∠ACB的度数=12AB的度数=12m，
同理可得：∠DBC=12n°，
∵m+n=180，
∴∠ACB+∠DBC=90°，
∵CD=CD，
∴∠E=∠DBC，
∴∠E+∠ACB=90°，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DCE=90°，
∴∠EDC+∠E=90°，
∴∠EDC=∠ACB，
∴CE=AB，
∴CE=AB，
在Rt△DCE中，由勾股定理得，
CE2+CD2=DE2=22=4，
∴AB2+CD2=4；
(3)如图2，

连接AC，BD，作∠CBE=∠ABD，交AC于E，
∵AB=AB，
∴∠ADB=∠ACB，
∴△CBE∽△DBA，
∴BCBD=CEAD，
∴AD⋅BC=BD⋅CE①，
∵∠CBE=∠ABC，
∴∠CBE+∠BDE=∠ABC+∠BDE，
∴∠ABE=∠DBC，
∵BC=BC，
∴∠BAC=∠BDC，
∴△ABE∽△DBC，
∴ABBD=AECD，
∴AB⋅CD=AE⋅BD②，
∴①+②得，
AB⋅CD+AD⋅BC=BD⋅(CE+AE)=BD⋅AC，
∴BD⋅AC=ac+bd，
∴S四边形ABCD=12AC⋅BD12ac+12bd．
【解析】(1)可推出ABC的度数是180°，从而求得∠D的度数，进而求得结果；
(2)连接AC，BD，作直径DE，连接CE，可推出BD⊥AC，进而推出∠ACB=∠CDE，进一步得出CE=AB，进而得出结果；
(3)连接AC，BD，作∠CBE=∠ABD，交AC于E，可证得△CBE∽△DBA，从而得出AD⋅BC=BD⋅CE①，可推出△ABE∽△DBC，从而得出AB⋅CD=AE⋅BD②，①+②得出AB⋅CD+AD⋅BC=BD⋅AC，进一步得出结果．
本题考查了圆周角定理，圆中弧、弦、圆周角之间的关系，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．