2022-2023学年浙江省杭州市下城区启正中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市下城区启正中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    当函数是二次函数时，的取值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.    已知点到圆心的距离为，若点在圆内，则的半径可能为(    )

A.  B.  C.  D.

3.    下列说法中错误的是(    )

A. 不可能事件发生的概率为 B. 概率很小的事不可能发生
C. 必然事件发生的概率是 D. 随机事件发生的概率大于、小于

4.    已知，下列变形正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    二次函数图象平移后经过点，则下列可行的平移方法是(    )

A. 向右平移个单位，向上平移个单位 B. 向右平移个单位，向下平移个单位
C. 向左平移个单位，向上平移个单位 D. 向左平移个单位，向下平移个单位

6.    如图，已知是的外接圆，是的直径，是的弦，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

7.    一次函数与二次函数的图象如图所示，那么二次函数的图象可能为(    )

A.
B.
C.
D.

8.    如图，正六边形，中，点是边上的点，记图中各三角形的面积依次为，，，，，则下列判断正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

9.    已知的直径，与的弦垂直，垂足为，且，则直径上的点包含端点与点的距离为整数的点有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

10. 已知抛物线是常数，下列四个结论：
    若抛物线经过点，则；
    抛物线与轴一定有交点；
    若，则方程一定有根；
    点，在抛物线上，若，则当时，．
    其中正确的有(    )

A.  个 B.  个 C.  个 D.  个

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 现有分别标有汉字“我”“爱”“启”“正”的四张卡片，它们除汉字外完全相同，若把四张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上，然后任意抽取一张卡片，抽中卡片“爱”的概率是______．
12. 函数图象的对称轴是______．
13. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为______ ．

14. 飞机着陆后滑行的距离单位：米与滑行的时间单位：秒之间的函数关系式是，飞机着陆后滑行______秒才能停下来．
15. 如图，图是由若干个相同的图组成的图案，在图中，已知半径，，则图的周长为______结果保留．

16. 如图，边长为的正方形内接于，点是上的一动点不与，重合，点是上的一点，连接，，分别与，交于点，，且，有以下终论：
    ；
    周长的最小值为；
    随着点位置的变化，四边形的面积始终为．
    其中正确的是______填序号

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    如图，电路图上有三个开关、、，开关闭合记“”，开关断开记“”．
    若只闭合其中一个开关，则小灯泡发光即电流通过的概率是______；
    用树状图或列表格的方法表示三个开关、、闭合或断开的所有情况，并求小灯泡发光即电流通过的概率．

18. 本小题分
    如图，在边长为的正方形网格中，的顶点均在格点上．
    画出绕点顺时针旋转得到的，直接写出的坐标为______；
    在的旋转过程中，求扫过图形的面积．

19. 本小题分
    如图，二次函数图象的顶点为，且与反比例函数的图象交于点
    判断原点是否在二次函数的图象上，并说明理由；
    根据图象，直接写出关于的不等式的解．

20. 本小题分
    如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接、．
    判断的形状，并说明理由；
    若，，求的长．

21. 本小题分
    已知二次函数是实数．
    小明说：当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？
    已知点，都在该二次函数图象上，求证：．
22. 本小题分
    如图，一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题：
    求抛物线的表达式：
    在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为，树高为，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由；
    求小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度．

23. 本小题分
    如图，点是等边三角形中边上的动点，作的外接圆交于点点是圆上一点，且，连接交于点．
    求证：；
    当点运动变化时，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数．
    探究线段、、之间的数量关系，并证明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据二次函数定义可得，再解即可．
此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．
 

2.【答案】 

【解析】解：点在圆内，且，
，
故选：．
根据点与圆的位置关系判断得出即可．
此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外，点在圆上，点在圆内．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了概率的意义，解题的关键是了解不可能事件发生的概率为，必然事件发生的概率为，难度不大．
根据概率的意义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】
解：、不可能事件发生的概率为，正确，不符合题意；
B、概率很小的事也可能发生，故错误，符合题意；
C、必然事件发生的概率为，正确，不符合题意；
D、随机事件发生的概率大于，小于，正确，不符合题意，
故选B．  

4.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据比例的性质进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
A、平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意；
B、平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意；
C、平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意；
D、平移后的解析式为，当时，，函数图象经过，本选项符合题意；
故选：．
求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可．
本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的特征，解题的关键是熟练掌握平移的规律．
 

6.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
．
故选：．
先根据圆周角定理由是的直径得到，再根据互余得到，然后根据圆周角定理求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直
 

7.【答案】 

【解析】解：由二次函数的图象知：开口向上，，一次函数图象可知，
二次函数的图象开口向上，对称轴在轴的右侧，交轴的负半轴，
选项正确，
故选：．
由二次函数的图象知：开口向上，，一次函数图象可知，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象，熟记二次函数的性质和一次函数的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：正六边形中，点是边上的点，记图中各三角形的面积依次为，，，，，
则有，，
，
故选：．
正六边形中，点是边上的点，记图中各三角形的面积依次为，，，，，则有，，由此即可判断．
本题考查正多边形与圆，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

9.【答案】 

【解析】解：是直径，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
点到线段的最小距离为，最大距离为，则点到线段的整数距离有，，
点到线段的最小距离为，最大距离为，则点到线段的整数距离有，，，，
直径上的点包含端点与点的距离为整数的点有个，
故选：．
利用勾股定理得出线段和的长，根据垂线段的性质结合图形判断即可．
本题考查了勾股定理、圆周角定理、二次根式的性质、垂线段的性质等知识；掌握相关性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
抛物线经过，正确；
若抛物线经过，则抛物线对称轴为直线，
，即，正确；
若，则抛物线的对称轴为直线，
，，
，
抛物线经过，
由抛物线对称性可得抛物线经过，
方程一定有根，正确；
，，
，
，
，即，
时，随增大而减小，
时，正确．
故选：．
由可得抛物线经过，由抛物线的对称性可判断；由及可得与的关系，从而可得抛物线对称轴，进而判断；由，可得抛物线对称轴的位置，从而判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：由概率公式可得，把四张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上，然后任意抽取一张卡片，抽中卡片“爱”的概率是．
故答案为：．
直接由概率公式求解即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

12.【答案】直线 

【解析】解：，
抛物线与轴的交点为，，
函数图象的对称轴是直线，
故答案为：直线．
把解析式化成交点式，利用二次函数的对称性即可求得对称轴．
本题考查了二次函数的解析式与对称轴的关系，利用二次函数的性质解答．
 

13.【答案】 

【解析】解：为的黄金分割点，
，
故答案为：．
根据黄金分割的定义得到，即可得出答案．
此题考查了黄金分割：点把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意，
，

，
即当秒时，飞机才能停下来．
故答案是：．
飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出最大时对应的值．
本题考查了二次函数的应用．解题时，利用配方法求得时，取最大值．
 

15.【答案】 

【解析】解：由图得：的长的长的长，
半径，，
则图的周长为：，
故答案为：．
先根据图确定：图的周长个的长，根据弧长公式可得结论．
本题考查了弧长公式的计算，根据图形特点确定各弧之间的关系是本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接，，
，，
，
四边形是正方形，点是它的中心，
，
在与中，
，
≌，
，
因此正确；
由中≌，可得，
，
周长为，而，
当最小时，、最小，
所以当，时，周长的最小，
如图，过点作于，于，
则，
，
周长的最小值为，
故正确；
，，
≌，
四边形的面积始终等于正方形的面积，
而正方形的面积，总等于正方形面积的四分之一，
因此正确；
综上所述，正确的结论有：，
故答案为：．
根据正方形的性质和判断，全等三角形的判定和性质以及垂径定理逐项进行判断即可．
本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及垂径定理，掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及垂径定理是正确判断的前提．
 

17.【答案】 

【解析】解：共个开关，只有闭合时，电流才能通过，
小灯泡发光即电流通过的概率是，
故答案为；

共种情况，电流能通过的情况数有种，
所以所求的概率为．
让电流通过的情况数除以总情况数即为所求的概率；
列举出所有情况，看电流通过的情况数占总情况数的多少即可．
考查概率的求法；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．注意闭合或者同时闭合，，小灯泡都发光．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，为所作，点的坐标为；

故答案为：；
因为，
所以扫过图形的面积
利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点即可；
先计算出的长，然后根据扇形的面积公式计算．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

19.【答案】解：设二次函数为，
经过点
，
，
二次函数的解析式为，
把代入，得，
原点在二次函数的图象上；
由图象可知，关于的不等式的解集是或． 

【解析】设二次函数为，把点的坐标代入，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，把代入即可求得的的值即可判断；
由两函数的图象直接写出的取值范围即可．
本题是一道函数的综合试题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
 

20.【答案】解：是等腰直角三角形，
理由：平分，平分，
，，
，
，
，，
，
，
是的直径，
，
是等腰直角三角形；
连接，连接交于点，

，，，
，
，
，
是的垂直平分线，
，，
 在中，，
，
，
，
的长为． 

【解析】根据角平分线的定义可得，，再根据同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，然后利用角的和差关系，以及三角形外角的性质可得，从而利用等角对等边可得，最后再根据直径所对的圆周角是直角可得，即可解答；
利用的结论，以及同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，再根据可得是的垂直平分线，从而可得，，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】解：小明说法正确，理由如下：
是实数，
顶点坐标为，
二次函数图象的顶点始终在直线上运动，
故小明说法正确；
证明：点，都在该二次函数图象上，
对称轴为直线，
，
，
，
，
． 

【解析】求得抛物线的顶点坐标为，即可得到顶点在直线上，即可判断小明说法正确；
由点，的纵坐标相同，即可求得对称轴为直线，即可得出，求得，得到，代入解析式即可得到，根据二次函数的性质即可证得结论
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：设该抛物线的表达式为，
点在该函数图象上，
，
解得，
抛物线的表达式为：
小球能否飞过这棵树，
理由：将代入，得：，
将代入，得：，
，
小球能否飞过这棵树；
设小球在飞行的过程中离斜坡的高度为，
则，
当时，取得最大值，
答：小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度是． 

【解析】根据题意和题目中的数据，可以设抛物线的顶点式，然后将代入计算即可；
将代入中的抛物线表达式和直线，求出相应的的值，然后作差与比较即可；
设小球在飞行的过程中离斜坡的为，然后即可得到关于的二次函数关系式，再化为顶点式，即可得到的最大值．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
 

23.【答案】证明：如图，连接，

，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
≌，
；
解：连接，

，
，
，
，
，
；
理由如下：
延长到点，使得，连接、、、，

，
为等边三角形，
，，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
． 

【解析】连接，证明≌，便可得；
连接，根据在同圆中同弧或等弧所对的圆周角相等，得，，再根据三角形的外角定理便可求得的度数；
延长到点，使得，连接、、、，先证明为等边三角形，再证明≌，得，再证明≌，进而得，再证明≌，得，便可得出结论．
本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，关键是作辅助线构造全等三角形．