人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布教案及反思

第七章随机变量及其分布

7.4　二项分布与超几何分布

课后篇巩固提升

基础达标练

1.甲、乙两人进行羽毛球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局比赛都结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为,则甲以3∶1的比分获胜的概率为(　　)

A. B. C. D.

解析当甲以3∶1的比分获胜时,说明甲乙两人在前三场比赛中,甲只赢了两局,乙赢了一局,第四局甲赢,所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P=21-×=3×,故选A.

答案A

2.已知X~B(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6,则n与p的值分别为(　　)

A.100和0.08 B.20和0.4

C.10和0.2 D.10和0.8

解析因为X~B(n,p),所以

解得n=10,p=0.8.

答案D

3.已知随机变量X~B(100,0.2),则D(4X+3)的值为 (　　)

A.64 B.256 C.259 D.320

解析∵X~B(100,0.2),

∴D(X)=100×0.2×0.8=16.

D(4X+3)=16D(X)=16×16=256.

答案B

4.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,每次有放回地摸取一个球,定义数列{an},an=

如果Sn为数列{an}的前n项和,那么S7=3的概率为 (　　)

A. B.

C. D.

解析由S7=3知,在7次摸球中有2次摸取红球,5次摸取白球,而每次摸取红球的概率为,摸取白球的概率为,则S7=3的概率为,故选B.

答案B

5.(2020河北高二月考)在10个排球中有6个正品,4个次品.从中抽取4个,则正品数比次品数少的概率为(　　)

A. B. C. D.

解析正品数比次品数少,有两种情况:0个正品、4个次品或1个正品、3个次品,

由超几何分布的概率可知,当0个正品、4个次品时,概率为.

当1个正品、3个次品时,概率为.

所以正品数比次品数少的概率为.

答案A

6.(2019江苏高二期末)10件产品中有2件次品,从中随机抽取3件,则恰有1件次品的概率是　　　　. 

解析设事件A为“从中随机抽取3件,则恰有1件次品”,则P(A)=.

答案

7.在4次独立重复试验中,事件A发生的概率相同,若事件A至少发生1次的概率为,则在1次试验中事件A发生的概率为　　　　　. 

解析设在一次试验中,事件A发生的概率为p,

由题意知,1-(1-p)4=,

所以(1-p)4=,故p=.

答案

8.某市公租房的房源位于A,B,C三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的.该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为　　　　　. 

解析每位申请人申请房源为一次试验,这是4次独立重复试验,设申请A片区房源为A,则P(A)=,

所以恰有2人申请A片区的概率为.

答案

9.网上购物逐步走进大学生活,某大学学生宿舍4人积极参加网购,大家约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物,掷出点数为5或6的人去A网购物,掷出点数小于5的人去B网购物,且参加者必须从A网和B网选择一家购物.

(1)求这4个人中恰有1人去A网购物的概率;

(2)用ξ,η分别表示这4个人中去A网和B网购物的人数,令X=ξη,求随机变量X的分布列.

解依题意,得这4个人中,每个人去A网购物的概率为,去B网购物的概率为.设“这4个人中恰有i人去A网购物”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),

则P(Ai)=i4-i(i=0,1,2,3,4).

(1)这4个人中恰有1人去A网购物的概率为3=.

(2)X的所有可能取值为0,3,4,

则P(X=0)=P(A0)+P(A4)

=0×4+4×0

=,

P(X=3)=P(A1)+P(A3)

=1×3+3×1

=,

P(X=4)=P(A2)=22=.

所以随机变量X的分布列为

能力提升练

1.种植某种树苗,成活率为0.9.若种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率约为(　　)

A.0.33 B.0.66 C.0.5 D.0.45

解析根据n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率公式得到种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率为·0.94(1-0.9)≈0.33,故选A.

答案A

2.在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是(　　)

A.[0.4,1] B.(0,0.4] 

C.(0,0.6] D.[0.6,1)

解析由题意得,·p(1-p)3≤p2(1-p)2,

∴4(1-p)≤6p.

∵0<p≤1,∴0.4≤p≤1.

答案A

3.一次测量中出现正误差和负误差的概率都是,在5次测量中恰好2次出现正误差的概率是(　　)

A. B. C. D.

解析由独立重复试验的定义知,在5次测量中恰好2次出现正误差的概率P=.

答案A

4.设随机变量X~B(2,p),随机变量Y~B(3,p),若P(X≥1)=,则P(Y≥1)=　　　　. 

解析∵X~B(2,p),∴P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2=,

解得p=.又Y~B(3,p),∴P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-(1-p)3=.

答案

5.(2020潍坊高三月考)有8件产品,其中3件是次品,从中任取3件,若X表示取得次品的件数,则P(X≤1)=　　　　　. 

解析根据题意,P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)

=.

答案

6.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是　　　　　　　. 

解析由于质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,移动五次后位于点(2,3),所以质点P必须向右移动两次,向上移动三次,故其概率为3·2=5=5=.

答案

7.(2020广西高三模拟)甲、乙两人参加某种选拔测试,在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙能答对其中的8道题,规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试,只有选中的4个题目均答对才能入选.

(1)求甲恰有2个题目答对的概率;

(2)求乙答对的题目数X的分布列;

(3)试比较甲、乙两人平均答对的题目数的大小,并说明理由.

解(1)∵甲在备选的10道题中,答对其中每道题的概率都是,

∴选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率

P=.

(2)由题意知乙答对的题目数X的可能取值为2,3,4,则P(X=2)=,

P(X=3)=,

P(X=4)=,

故X的分布列为

(3)乙平均答对的题目数E(X)=2×+3×+4×.

∵甲答对题目数Y~B4,,

∴甲平均答对的题目数E(Y)=4×.

∵E(X)=E(Y),

∴甲平均答对的题目数等于乙平均答对的题目数.

8.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.

(1)求甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率.

(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率.

(3)假设每人连续2次未击中目标,则终止其射击.问:乙恰好射击5次后,被终止射击的概率是多少?

解(1)记“甲连续射击4次,至少有1次未击中目标”为事件A1,则事件A1的对立事件为“甲连续射击4次,全部击中目标”.由题意知,射击4次相当于做4次独立重复试验.故P()=4=.

所以P(A1)=1-P()=1-.

所以甲连续射击4次,至少有1次未击中目标的概率为.

(2)记“甲射击4次,恰好有2次击中目标”为事件A2,“乙射击4次,恰好有3次击中目标”为事件B2,

则P(A2)=×2×1-2=,

P(B2)=×3×1-1=.

由于甲、乙射击相互独立,

故P(A2B2)=P(A2)P(B2)=.

所以两人各射击4次,甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.

(3)记“乙恰好射击5次后,被终止射击”为事件A3,“乙第i次射击未击中”为事件Di(i=1,2,3,4,5),

则A3=D5D4D1∪D2),

且P(Di)=.

由于各事件相互独立,故P(A3)=P(D5)P(D4)·P()P(D1∪D2)

=×1-=.

所以乙恰好射击5次后,被终止射击的概率为.

素养培优练

(2020福建高三模拟)一款小游戏的规则如下:每轮游戏要进行三次,每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球、3个白球的袋中随机摸出2个球,若摸出的“两个都是红球”出现3次获得200分,若摸出“两个都是红球”出现1次或2次获得20分,若摸出“两个都是红球”出现0次则扣除10分(即获得-10分).

(1)设每轮游戏中出现“摸出两个都是红球”的次数为X,求X的分布列;

(2)玩过这款游戏的许多人发现,若干轮游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了,请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象.

解(1)每次游戏,出现“两个都是红球”的概率为P=.

X可能的取值为0,1,2,3,

则P(X=0)=,P(X=1)=,

P(X=2)=,P(X=3)=,

所以X的分布列为

(2)设每轮游戏得分为Y.

由(1)知,Y的分布列为

E(Y)=-10×+20×+200×=-1.69.

这表明,获得分数Y的均值为负.因此,多次游戏之后大多数人的分数减少了.