初中数学苏科版九年级下册第6章 图形的相似6.3 相似图形课堂检测

6.3相似图形--课后提升练

一、选择题

1、下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（   ）

A．B． C．D．

2、如图，两个菱形，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（    ）

A．   B．  C． D．

3、下列结论中，错误的有：（　　）

①所有的菱形都相似；②放大镜下的图形与原图形不一定相似；

③等边三角形都相似；④有一个角为110度的两个等腰三角形相似；

⑤所有的矩形不一定相似．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4、如图所示的三个矩形中，其中相似形是（　　）

A．甲与乙 B．乙与丙 C．甲与丙 D．以上都不对

5、下列说法中正确的是（　　）

①在两个边数相同的多边形中，如果各对应边成比例，那么这两个多边形相似；

②两个矩形有一组邻边对应成比例，这两个矩形相似；

③有一个角对应相等的平行四边形都相似；

④有一个角对应相等的菱形都相似．

A．①② B．②③ C．③④ D．②④

6、若某个直角三角形的两直角边之比为2：3，则确定了该三角形的（　　）

A．形状 B．周长 C．面积 D．斜边

7、如图，在矩形中，点分别在上，四边形是正方形，矩形矩形，则的值为（    ）

A． B． C． D．

8、如图，一张矩形纸片的长，宽，把这张纸片沿一组对边和的中点连线对折，对折后所得矩形与原矩形相似，则的值为　　

A．2 B． C． D．

9、如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（    ）

A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b

10、如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，连结BD，延长GH分别交BD、BC于点Ⅰ、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是（　　）

A．矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差   B．矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差

C．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差    D．矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差

二、填空题

11、四边形和四边形是相似图形，点、、、分别与、、、对应，

已知，，，那么的长是 　　．

12、一个多边形的边长分别为2，4，5，6，另一个与它相似的多边形的最长边长为24，

则该多边形的最短边长为　　．

13、如图，一个矩形广场的长为90m，宽为60m，广场内有两横，两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为1.2m，那么每条纵向小路的宽为_________m．

14、复印纸型号多样，而各型号复印纸之间存在这样的关系：将其中一型号纸张（如A3纸）沿较长边中点的连线对折，就能得到下一型号（A4纸）的纸张，且对折得到的两个矩形和原来的矩形相似（即A3纸与A4纸相似），则这些型号的复印纸宽与长之比为________．

15、如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．点E在矩形ABCD的边BC上，连结AE，将矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的点B落在边AD上的点F处，得到矩形CDFE．若矩形CDFE与原矩形ABCD相似，则AD的长为__．

16、如图，四边形四边形，若，，，则　     　．

17、如图所示，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20，x为　   　时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似？

18、已知矩形与以E、F、G、H为顶点的矩形相似，且，则_________．

三、解答题

19、如图，所示的两个矩形是否相似？并简单说明理由.                       

20、如图，图中的两个四边形相似，试求未知边a，b的长度和角α的大小．

21、如图，矩形在矩形的内部，，，且，，设与、与、与、与之间的距离分别为，，，，

（1），矩形矩形吗，为什么？

（2）若矩形矩形，，，，应满足什么等量关系？请说明理由．

22、学生会要举办一个校园书画艺术展览会，为国庆献礼，小华和小刚准备将长AD为400cm，宽AB为130cm的矩形作品四周镶上彩色纸边装饰，如图所示，两人在设计时要求内外两个矩形相似，矩形作品面积是总面积的，他们一致认为上下彩色纸边要等宽，左右彩色纸边要等宽，这样效果最好，请你帮助他们设计彩色纸边宽度．

23、已知四边形与四边形相似，并且点与点、点与点、点 与点、点与点对应．

（1）已知，，，求的度数；

（2）已知，，，，，求四边形的周长．

6.3相似图形--课后提升练

2021-2022学年苏科版九年级数学下册（解析)

一、选择题

1、下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（   ）

A．B． C．D．

【答案】D

【分析】

根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．

【详解】

解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；
故选：D．

2、如图，两个菱形，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（    ）

A．   B．  C． D．

【答案】C

【分析】

根据相似多边形的性质逐一进行判断即可得答案．

【详解】

由题意得，

A.菱形四条边均相等，所以对应边成比例，对应边平行，所以角也相等，所以两个菱形相似，

B.等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以两个等边三角形相似；

C.矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以B中矩形不是相似多边形

D.正方形四条边均相等，所以对应边成比例，四个角也相等，所以两个正方形相似；

故选C．

3、下列结论中，错误的有：（　　）

①所有的菱形都相似；②放大镜下的图形与原图形不一定相似；

③等边三角形都相似；④有一个角为110度的两个等腰三角形相似；

⑤所有的矩形不一定相似．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】利用相似的定义逐一的对五个选项进行判定．

【解析】①：菱形的两组对角不一定分别对应相等，故所有的菱形不一定都相似；即：选项①错误．

②：放大镜下的图形与原图形只是大小不相等，但形状相同，所以它们一定相似；即：选项②错误．

③：等边三角形的三个内角相等，三条边都相等，故所有的等边三角形都相似；即：选项③正确

④：有一个角为110度的两个等腰三角形一定相似．因为它们的顶角均为110°，两锐角均为35°，根据“两内角对应相等的两个三角形相似”即可判定．故：选项④正确．

⑤：只有长与宽对应成比例的两个矩形相似，故选项⑤正确

故选：B．

4、如图所示的三个矩形中，其中相似形是（　　）

A．甲与乙 B．乙与丙 C．甲与丙 D．以上都不对

【分析】根据矩形相似的条件，判断对应边的比是否相等就可以．

【解析】因为，故甲与乙不相似；

因为，故乙与丙相似；

因为，故甲与丙不相似．

故选：B．

5、下列说法中正确的是（　　）

①在两个边数相同的多边形中，如果各对应边成比例，那么这两个多边形相似；

②两个矩形有一组邻边对应成比例，这两个矩形相似；

③有一个角对应相等的平行四边形都相似；

④有一个角对应相等的菱形都相似．

A．①② B．②③ C．③④ D．②④

【解答】D

【解析】①虽然各对应边成比例，但是各对应角不一定相等，所以不相似，比如：所有菱形的对应边都成比例，但是它们不一定相似；

②两个矩形有一组邻边对应成比例，就可以得出四条边对应成比例，并且它们的角都是90°，所以这两个矩形相似；

③有一个角对应相等的平行四边形的对应边不一定成比例，所以不一定相似；

④有一个角对应相等就可以得出菱形的其他角对应相等，并且菱形的对应边是成比例的，所以相似．

故选D．

6、若某个直角三角形的两直角边之比为2：3，则确定了该三角形的（　　）

A．形状 B．周长 C．面积 D．斜边

【解答】A

【解析】∵直角三角形的两直角边之比为2：3，

∴虽不能确定两直角边的值，但能确定其比值，

∴能确定该直角三角形的形状，

故选A．

7、如图，在矩形中，点分别在上，四边形是正方形，矩形矩形，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据相似多边形的性质可得，设正方形ABEF的边长为x，EC=y，那么，求出，代入计算即可．

【详解】

解：∵矩形ABCD∽矩形ECDF，

∴，设正方形ABEF的边长为x，EC=y，则，

∴x2-yx-y2=0，∴，

∵x＞0，y＞0，∴，

∴，

∵AD=2，∴DF=3-，

故选：A．

8、如图，一张矩形纸片的长，宽，把这张纸片沿一组对边和的中点连线对折，对折后所得矩形与原矩形相似，则的值为　　

A．2 B． C． D．

【分析】根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得．

【解析】四边形是矩形，

，

由折叠的性质得：，

矩形与原矩形相似，

，即，

，

，

，

故选：．

9、如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（    ）

A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b

【答案】B

【分析】

根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的判定，对应边成比例列式计算即可．

【详解】

解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为，

要使小长方形与原长方形相似，只要满足即可，

∴．

故选：B．

10、如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，连结BD，延长GH分别交BD、BC于点Ⅰ、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是（　　）

A．矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差   B．矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差

C．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差    D．矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差

【答案】B

【分析】

设矩形的边AH＝x，GH＝y，EG＝a，DC＝b，根据平行线分线段成比例可得JI＝，根据相似多边形的性质可得＝，然后表示出S阴影的面积和S矩形ABJH﹣S矩形HDEG的值即可求解．

【详解】

解：设矩形的边AH＝x，GH＝y，EG＝a，DC＝b，

则BJ＝x，JC＝a，

∵JI//CD，

∴＝即JI＝，

∵矩形ABCD∽矩形FAHG，

∴＝，即＝，∴x+a＝，

∴S阴影＝BJ•JI＝x•＝xy．

∵S矩形ABJH﹣S矩形HDEG＝xb﹣ay＝x•﹣ay＝xy．

∴S阴影△BIJ＝(S矩形ABJH﹣S矩形HDEG)．

所以一定能求出△BIJ面积的条件是矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差．

故选：B．

二、填空题

11、四边形和四边形是相似图形，点、、、分别与、、、对应，

已知，，，那么的长是 　　．

【分析】相似多边形的对应边成比例，根据相似多边形的性质即可解决问题．

【解析】四边形四边形，

，

，，，

，

故答案为：1.6．

12、一个多边形的边长分别为2，4，5，6，另一个与它相似的多边形的最长边长为24，

则该多边形的最短边长为　　．

【分析】该多边形的最短边长为．利用相似多边形的性质构建方程求解即可．

【解析】该多边形的最短边长为．

由相似多边形的性质可知：，

，

故答案为：8．

13、如图，一个矩形广场的长为90m，宽为60m，广场内有两横，两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为1.2m，那么每条纵向小路的宽为_________m．

【答案】1.8

【分析】

根据两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形列出比例式解答即可．

【详解】

解：设每条纵向小路的宽为xm，则小路内缘所围成的矩形的长为（90-2x）m，宽为（60-2.4）m，

∵小路内外边缘所围成的两个矩形相似，

∴，

解得，x＝1.8，

故答案为：1.8

14、复印纸型号多样，而各型号复印纸之间存在这样的关系：将其中一型号纸张（如A3纸）沿较长边中点的连线对折，就能得到下一型号（A4纸）的纸张，且对折得到的两个矩形和原来的矩形相似（即A3纸与A4纸相似），则这些型号的复印纸宽与长之比为________．

【分析】

设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．

【详解】

解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为、，

得到的矩形都和原来的矩形相似，

，则，

，

故答案为：．

15、如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．点E在矩形ABCD的边BC上，连结AE，将矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的点B落在边AD上的点F处，得到矩形CDFE．若矩形CDFE与原矩形ABCD相似，则AD的长为__．

【答案】

【分析】

根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．

【详解】

∵矩形CDFE∽矩形ADCB，

∴＝，即＝，

整理得，AD2﹣2AD﹣4＝0，

解得，AD1＝1﹣（舍去），AD2＝，

故答案为：．

16、如图，四边形四边形，若，，，则　     　．

【分析】根据相似多边形的性质求出，根据四边形内角和等于计算，得到答案．

【解析】四边形四边形，

，

，

故答案为：103．

17、如图所示，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20，x为　   　时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似？

【解析】当时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似，

解得，x＝1.5，

当时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似，

解得，x＝9，

故答案为：1.5或9．

【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，代入计算得到答案．

18、已知矩形与以E、F、G、H为顶点的矩形相似，且，则_________．

【答案】3或12

【分析】

分矩形ABCD∽矩形EFGH，矩形ABCD∽矩形EHGF两种情况，利用相似多边形的性质列式求解即可．

【详解】

解：若矩形ABCD∽矩形EFGH，

∴，

∵AB=4，BC=2，EF=6，

∴，

∴FG=3；

若矩形ABCD∽矩形EHGF，

∴，

∵AD=BC=2，CD=AB=4，EF=6，

∴，

∴FG=12，

故答案为：3或12．

三、解答题

19、如图，所示的两个矩形是否相似？并简单说明理由.                       

【答案】相似，见解析

【分析】要说明两个矩形是否相似，只要说明对应角是否相等，对应边的比是否相等．

解：相似.

理由：这两个的角是直角，因而对应角相等一定是正确的，

小矩形的长是20-5-5=10，宽是12-3-3=6，

因为，即两个矩形的对应边的比相等，

因而这两个矩形相似．

20、如图，图中的两个四边形相似，试求未知边a，b的长度和角α的大小．

解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴＝＝.

∵AD＝4，A′D′＝8，A′B′＝10，BC＝4.5，

∴＝＝，∴a＝AB＝5，b＝B′C′＝9.

∵∠A＝∠A′＝70°，∠C＝∠C′＝80°，∠B＝75°，

∴∠D＝360°－70°－80°－75°＝135°，∴α＝135°.　

21、如图，矩形在矩形的内部，，，且，，设与、与、与、与之间的距离分别为，，，，

（1），矩形矩形吗，为什么？

（2）若矩形矩形，，，，应满足什么等量关系？请说明理由．

【分析】（1）根据相似多边形的判定解答即可；

（2）利用相似多边形的判定和性质解答即可．

【解析】（1）不相似，理由如下：

，

不相似；

（2）要使矩形矩形，

就要，即，

可得：

22、学生会要举办一个校园书画艺术展览会，为国庆献礼，小华和小刚准备将长AD为400cm，宽AB为130cm的矩形作品四周镶上彩色纸边装饰，如图所示，两人在设计时要求内外两个矩形相似，矩形作品面积是总面积的，他们一致认为上下彩色纸边要等宽，左右彩色纸边要等宽，这样效果最好，请你帮助他们设计彩色纸边宽度．

【答案】上下彩色纸边宽为13cm，左右彩色纸边宽为40cm．

【分析】

由内外两个矩形相似可得，设A′B′=13x，根据矩形作品面积是总面积的列方程可求出x的值，进而可得答案．

【详解】

∵AB＝130，AD＝400，

∴，

∵内外两个矩形相似，

∴，

∴设A′B′＝13x，则A′D′＝40x，

∵矩形作品面积是总面积的，

∴，

解得：x＝±12，

∵x＝﹣12＜0不合题意，舍去，

∴x＝12，

∴上下彩色纸边宽为（13x﹣130）÷2＝13，左右彩色纸边宽为（40x﹣400）÷2＝40．

答：上下彩色纸边宽为13cm，左右彩色纸边宽为40cm．

23、已知四边形与四边形相似，并且点与点、点与点、点 与点、点与点对应．

（1）已知，，，求的度数；

（2）已知，，，，，求四边形的周长．

【分析】（1）根据相似多边形的对应角相等解决问题即可．

（2）根据相似多边形的对应边成比例，解决问题即可．

【解析】（1）四边形四边形，

，

．

（2）四边形四边形，

，

，

，，

四边形的周长．