2020-2021学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷
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一、选择题（共8道小题，每小题3分，共24分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．（3分）如图，以点为圆心，以下列选项中的线段的长为半径作圆，所得的圆与直线相切的是
A． B． C． D．
2．（3分）如果，那么下列比例式中正确的是
A． B． C． D．
3．（3分）抛物线的顶点坐标是
A． B． C． D．
4．（3分）如图，是的直径，是的弦，如果，那么等于
A． B． C． D．
5．（3分）已知二次函数，若点和在此函数图象上，则与的大小关系是
A． B． C． D．无法确定
6．（3分）小英家在学校的北偏东40度的位置上，那么学校在小英家的方向是
A．南偏东40度 B．南偏西40度 C．北偏东50度 D．北偏西50度
7．（3分）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为
A． B． C． D．
8．（3分）如图，点坐标为，点坐标为，以点为圆心，为半径作，与轴的另一个交点为，点是上的一个动点，连接，，点是的中点，连接，当线段取得最大值时，点的坐标为
A． B． C． D．
二、填空题（共8道小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）请写出一个开口向上且过点的抛物线表达式为 ．
10．（3分）点，是反比例函数图象上的两点，那么，的大小关系是 ．（填“”，“ ”或“”
11．（3分）如图，正六边形内接于，的半径为6，则的长为 ．
12．（3分）如图，平行四边形中，延长至点，使，连接，交于点，若的面积为2，则的面积为 ．
13．（3分）如图，是的直径，弦，垂足为点，，，则 ，的半径为 ．
14．（3分）如图，是的内切圆，切点分别为，，，已知，连接，，，，则 ， ．
15．（3分）二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
0 | 1 | 2 | |||||||
0 | 4 | 6 | 6 | 4 |
则这个二次函数图像的对称轴为直线 ， ．
16．（3分）抛物线交轴于点和（点在点左侧），抛物线的顶点为，下列四个结论：
①抛物线过点；
②当时，是等腰直角三角形；
③；
④抛物线上有两点，和，，若，且，则．
其中结论正确的序号是 ．
三、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）如图，平分，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
19．（5分）已知二次函数．
（1）写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标，再描点画图；
（2）结合函数图象，直接写出时的取值范围．
20．（5分）下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．
已知：及外一点．
求作：直线和直线，使切于点，切于点．
作法：如图，
①作射线，与交于点和点；
②以点为圆心，以为半径作；
③以点为圆心，以的直径为半径作圆，与交于点和点，连接和，分别与交于点和点；
④作直线和直线．
所以直线和就是所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接和，
，，
点是的中点．
，
于点 （填推理的依据）．
同理于点．
，为的半径，
，是的切线． （填推理的依据）．
四、解答题（共2道小题，21题5分，22题6分，共11分）
21．（5分）某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测昌平中心公园的仿古建筑“弘文阁” 的高度．他们先在点处用高1.5米的测角仪测得“弘文阁”顶的仰角为，然后向“弘文阁”的方向前进到达处，在点处测得“弘文阁”顶的仰角为．求“弘文阁” 的高（结果精确到，参考数据：，，．
22．（6分）如图，为的直径，点，是上的点，平分，过点作的垂线，垂足为点．
（1）求证：是的切线；
（2）延长交的延长线于点，若半径的长为3，，求的长．
五、解答题（共3道小题，每小题7分，共21分）
23．（7分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移2个单位长度，得到点，点在抛物线上．
（1）①直接写出抛物线的对称轴是 ；
②用含的代数式表示；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线与轴交于、两点，该抛物线在、之间的部分与线段所围成的区域（不包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求的取值范围．
24．（7分）在中，，，点是线段上的动点，作射线，点关于射线的对称点为，作直线，交射线于点．连接，．
（1）依题意补全图形，直接写出的度数；
（2）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
25．（7分）在平面直角坐标系中，给出如下定义：若点在图形上，点在图形上，如果两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，的“近距离”，记为．特别地，当图形与图形有公共点时，．
已知，，，．
（1）（点，点 ，（点，线段 ；
（2）半径为，
①当时，求与正方形的“近距离” ；
②若，则 ．
（3）为轴上一点，的半径为1，与正方形的“近距离” ，请直接写出圆心的横坐标的取值范围．
2020-2021学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8道小题，每小题3分，共24分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．（3分）如图，以点为圆心，以下列选项中的线段的长为半径作圆，所得的圆与直线相切的是
A． B． C． D．
【解答】解：于，
以点为圆心，为半径的圆与直线相切．
故选：．
2．（3分）如果，那么下列比例式中正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：、由比例的性质，得与不一致，故不符合题意；
、由比例的性质，得与不一致，故不符合题意；
、由比例的性质，得与不一致，故不符合题意；
、由比例的性质，得与一致，故符合题意；
故选：．
3．（3分）抛物线的顶点坐标是
A． B． C． D．
【解答】解：，
此函数的顶点坐标为，
故选：．
4．（3分）如图，是的直径，是的弦，如果，那么等于
A． B． C． D．
【解答】解：是的直径，
，
，
，
，
故选：．
5．（3分）已知二次函数，若点和在此函数图象上，则与的大小关系是
A． B． C． D．无法确定
【解答】解：点、是二次函数图象上的两点，
，．
．
故选：．
6．（3分）小英家在学校的北偏东40度的位置上，那么学校在小英家的方向是
A．南偏东40度 B．南偏西40度 C．北偏东50度 D．北偏西50度
【解答】解：小英家位于学校的东偏北，那么学校位于小英家的西偏南；
故选：．
7．（3分）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接．
在中，，，，
，
故选：．
8．（3分）如图，点坐标为，点坐标为，以点为圆心，为半径作，与轴的另一个交点为，点是上的一个动点，连接，，点是的中点，连接，当线段取得最大值时，点的坐标为
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
，
，，
当取得最大值时，线段取得最大值，如图，
为直径，
，
轴，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
的坐标为，
故选：．
二、填空题（共8道小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）请写出一个开口向上且过点的抛物线表达式为 ．
【解答】解：设抛物线的解析式为，
把代入得，
所以满足条件的抛物线解析式为．
故答案为．
10．（3分）点，是反比例函数图象上的两点，那么，的大小关系是 ．（填“”，“ ”或“”
【解答】解点，是反比例函数图象上的两点，
，，
．
故答案为．
11．（3分）如图，正六边形内接于，的半径为6，则的长为 ．
【解答】解：如图，连接，．
由题意，，
的长．
故答案为：．
12．（3分）如图，平行四边形中，延长至点，使，连接，交于点，若的面积为2，则的面积为 8 ．
【解答】解：设，由，
则：，
四边形是平行四边形，
，，
，
则，
，
的面积为2，则的面积为8，
故答案为8．
13．（3分）如图，是的直径，弦，垂足为点，，，则 8 ，的半径为 ．
【解答】解：连接，
为的直径，弦于，
，
设的半径为，则，
，即
解得，
故答案为8，10．
14．（3分）如图，是的内切圆，切点分别为，，，已知，连接，，，，则 110 ， ．
【解答】解：如图，连接和，
是的内切圆，切点分别为，，，，
，平分，，
，
，，
，
，
．
故答案为：110，70．
15．（3分）二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
0 | 1 | 2 | |||||||
0 | 4 | 6 | 6 | 4 |
则这个二次函数图像的对称轴为直线 ， ．
【解答】解：，；，，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线过点，
，
抛物线过点和，
，
解得：，
二次函数的表达式为：，
把代入得，，
解得或，
，
，
故答案为，4．
16．（3分）抛物线交轴于点和（点在点左侧），抛物线的顶点为，下列四个结论：
①抛物线过点；
②当时，是等腰直角三角形；
③；
④抛物线上有两点，和，，若，且，则．
其中结论正确的序号是 ①②④ ．
【解答】解：①把代入得，，
抛物线过点，
故①正确；
②当时，抛物线与轴的两个交点坐标分别为、，
对称轴为，
是等腰直角三角形，
故②正确；
③抛物线交轴于点和（点在点左侧），
、是方程的两个根，
，
故③错误；
④观察二次函数图象可知：
当，且，则．
故④正确．
故答案为：①②④．
三、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）
17．（5分）计算：．
【解答】解：
．
18．（5分）如图，平分，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【解答】（1）解：分，
．
，
；
（2），
．
，，
．
19．（5分）已知二次函数．
（1）写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标，再描点画图；
（2）结合函数图象，直接写出时的取值范围．
【解答】解：（1），
该函数的对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，，当时，，时，，
函数图象如右图所示；
（2）由图象可得，
当时，的取值范围是．
20．（5分）下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．
已知：及外一点．
求作：直线和直线，使切于点，切于点．
作法：如图，
①作射线，与交于点和点；
②以点为圆心，以为半径作；
③以点为圆心，以的直径为半径作圆，与交于点和点，连接和，分别与交于点和点；
④作直线和直线．
所以直线和就是所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接和，
，，
点是的中点．
，
于点 （三线合一） （填推理的依据）．
同理于点．
，为的半径，
，是的切线． （填推理的依据）．
【解答】解：（1）补全图形如图：
（2）证明：连接和，
，，
点是的中点，
．
于点（三线合一），
同理于点，
，为的半径，
，是的切线．（经过半径的外端，和半径垂直的直线是圆的切线）．
故答案为：（三线合一），经过半径的外端，和半径垂直的直线是圆的切线．
四、解答题（共2道小题，21题5分，22题6分，共11分）
21．（5分）某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测昌平中心公园的仿古建筑“弘文阁” 的高度．他们先在点处用高1.5米的测角仪测得“弘文阁”顶的仰角为，然后向“弘文阁”的方向前进到达处，在点处测得“弘文阁”顶的仰角为．求“弘文阁” 的高（结果精确到，参考数据：，，．
【解答】解：由题可知：，，，．
．
在中，，
，
．
在中，，
，
．
，，
．
．
．
答：“弘文阁” 高约．
22．（6分）如图，为的直径，点，是上的点，平分，过点作的垂线，垂足为点．
（1）求证：是的切线；
（2）延长交的延长线于点，若半径的长为3，，求的长．
【解答】（1）证明：连接．
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线．
（2）解：连接，交于点．
是的直径，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，，，
设，，
，
解得，负值舍去，
．
五、解答题（共3道小题，每小题7分，共21分）
23．（7分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移2个单位长度，得到点，点在抛物线上．
（1）①直接写出抛物线的对称轴是 直线 ；
②用含的代数式表示；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线与轴交于、两点，该抛物线在、之间的部分与线段所围成的区域（不包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求的取值范围．
【解答】解：（1）①与关于对称轴对称，
抛物线对称轴为直线，
故答案为直线；
②抛物线与轴交于点，
，
点向右平移2个单位长度，得到点，
点在抛物线上，
，
．
（2）由题可知：，，，
①若时，如图1，在、之间的部分与线段所围成的区域（不包括边界）内的七个整点为，，，，，，，
时，，
顶点为，
，
；
②若时，如图2，在、之间的部分与线段所围成的区域（不包括边界）内的七个整点为，，，，，，，
当时，，
恰有7个整数点
，
，
综上，的取值范围是或．
24．（7分）在中，，，点是线段上的动点，作射线，点关于射线的对称点为，作直线，交射线于点．连接，．
（1）依题意补全图形，直接写出的度数；
（2）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【解答】解：（1）补图如图，，
如图，延长至点使，
由对称可知：，，，
，
，
；
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
即，
；
（2），
延长至点使，
由对称可知：，，，
，
，
；
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
即，
；
，
即，
．
25．（7分）在平面直角坐标系中，给出如下定义：若点在图形上，点在图形上，如果两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，的“近距离”，记为．特别地，当图形与图形有公共点时，．
已知，，，．
（1）（点，点 8 ，（点，线段 ；
（2）半径为，
①当时，求与正方形的“近距离” ；
②若，则 ．
（3）为轴上一点，的半径为1，与正方形的“近距离” ，请直接写出圆心的横坐标的取值范围．
【解答】解：（1）如图1中，观察图象可知（点，点，（点，线段．
故答案为：8，4．
（2）①如图2中，过点作于，交于．
，
，
，
，
，
，
与正方形的“近距离” ．
②当时，
当在正方形内部时，，
，
当正方形在的内部时，，
综上所述，满足条件的的值为或5．
故答案为：或5．
（3）如图3中，当在的左侧时，过点作于，交于．
当时，，
，
，
当在的右侧时，时，，
观察图象可知，满足条件的点的坐标为：．
根据对称性可知，也满足条件．
综上所述，的取值范围为：或．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/12/8 12:36:55；用户：初中数学1；邮箱：jse032@xyh.com；学号：39024122
2021-2022学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）： 这是一份2021-2022学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析），共22页。试卷主要包含了1m，sin35∘≈0，【答案】B，【答案】A，【答案】D，【答案】C，【答案】y=−x2+1等内容，欢迎下载使用。
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