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【备战2023高考】物理专题讲与练——考向13《静电场中的能量》全能练（含解析）（全国通用）
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考向13 静电场中的能量
【重点知识点目录】
1. 电场强度的叠加与计算
2. 电势高低及电势能大小的比较
3. 电势差与电场强度的关系
4. 平行板电容器的动态分析
5. 带电粒子在电场中的直线运动
6. 带电粒子在匀强电场中的偏转
1．（2022•浙江）如图所示，带等量异种电荷的两正对平行金属板M、N间存在匀强电场，板长为L（不考虑边界效应）。t＝0时刻，M板中点处的粒子源发射两个速度大小为v0的相同粒子，垂直M板向右的粒子，到达N板时速度大小为v0；平行M板向下的粒子，刚好从N板下端射出。不计重力和粒子间的相互作用，则（ ）
A．M板电势高于N板电势
B．两个粒子的电势能都增加
C．粒子在两板间的加速度为a＝
D．粒子从N板下端射出的时t＝
【答案】C。
【解析】解：A、因为不知道两粒子的电性，故无法确定M板和N板的电势高低，故A错误；
B、根据题意可知垂直M板向右的粒子，到达N板时速度增加，动能增加，则电场力做正功，电势能减小；则平行M板向下的粒子达到N板时电场力也做正功，电势能也减小，故B错误；
CD。设两板间距离为d，对于平行M板向下的粒子刚好从N板下端射出，在两板间做类平抛运动，有
对于垂直M板向右的粒子，在板间做匀加速直线运动，因两粒子相同，在电场中的加速度也相同，有
联立解得：；，故C正确，D错误；
（多选）2．（2022•甲卷）地面上方某区域存在方向水平向右的匀强电场，将一带正电荷的小球自电场中P点水平向左射出。小球所受的重力和电场力的大小相等，重力势能和电势能的零点均取在P点。则射出后，（ ）
A．小球的动能最小时，其电势能最大
B．小球的动能等于初始动能时，其电势能最大
C．小球速度的水平分量和竖直分量大小相等时，其动能最大
D．从射出时刻到小球速度的水平分量为零时，重力做的功等于小球电势能的增加量
【答案】BD。
【解析】解：A、小球只受重力和电场力，其重力势能、电势能与动能之和不变，当小球的动能最小时，其电势能与重力势能之和最大，故A错误；
B、当小球沿水平方向的速度减为零时，小球的电势能最大，由于小球所受的重力和电场力的大小相等，所以此时小球的速度方向向下，大小等于抛出时小球的速度大小，所以此时的动能等于初始动能，故B正确；
C、合外力先对小球做负功，再做正功，合外力做正功的过程中，小球的动能一直增大，所以小球速度动能没有最大值，故C错误；
D、从射出时刻到小球速度的水平分量为零时，小球的动能等于初始动能，此过程中动能变化为零，则合外力做功为零，所以重力做的功等于小球电势能的增加量，故D正确。
3．（2021•浙江）某书中有如图所示的图，用来表示横截面是“＜”形导体右侧的电场线和等势面，其中a、b是同一条实线上的两点，c是另一条实线上的一点，d是导体尖角右侧表面附近的一点。下列说法正确的是（ ）
A．实线表示电场线
B．离d点最近的导体表面电荷密度最大
C．“＜”形导体右侧表面附近电场强度方向均相同
D．电荷从a点到c点再到b点电场力做功一定为零
【答案】D。
【解析】解：A、电场线起于正电荷（或无穷远），终止于负电荷（或无穷远），由图可知，图中的实线不是起于导体，可知实线是等势线，故A错误；
B、等势线越密的地方，电场强度强度越强，d点场强较弱，可知离d点最近的导体表面电荷密度最小，故B错误；
C、电场强度方向与等势线垂直，由图可知，“＜”形导体右侧表面附近电场强度方向不一定相同，故C错误；
D、a、b两点在同一条等势线上，ac两点的电势差和bc两点的电势差相等，电荷从a点到c点再到b点电场力做功一定为零，故D正确。
（多选）4．（2021•天津）两个位于纸面内的点电荷产生电场的等势面如图中实线所示，相邻等势面间的电势差相等。虚线MPN是一个电子在该电场中的运动轨迹，轨迹与某等势面相切于P点。下列说法正确的是（ ）
A．两点电荷可能是异种点电荷
B．A点的电场强度比B点的大
C．A点的电势高于B点的电势
D．电子运动到P点时动能最小
【答案】CD。
【解析】解：A、根据等势面的分布可知，两点电荷带同种电荷，故A错误；
B、等差等势面的疏密程度表示场强的强弱，A点的等差等势面疏，B点的等差等势面密，故A点的电场强度小，故B错误；
C、分析电子运动的轨迹可知，电场力指向轨迹的内侧，则电场力受到排斥力作用，故点电荷为负电荷，离点电荷越远，电势越高，故A点的电势高，故C正确；
D、电子从M点运动到P点的过程中，电场力做负功，动能减小，电子从P点运动到N点的过程中，电场力做正功，动能增大，故P点动能最小，故D正确。
7. 比较电势高低的方法
8. （1）沿电场线方向，电势越来越低．
9. （2）判断出UAB的正负，再由UAB=φA-φB，比较φA、φB的大小，若UAB＞0，则φA＞φB，若UAB＜0，则φA＜φB．
10. （3）取无穷远处为零电势点，正电荷周围电势为正值，且离正电荷近处电势高；负电荷周围电势为负值，且离负电荷近处电势低．
11.
12. 2．等分法计算匀强电场中的电势
13. （1）在匀强电场中，沿不在同一等势面上的任意一个方向上，电势降落都是均匀的，故在同一直线上相同距离的两点间的电势差相等．如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点间的电势差等于原电势差的1/n倍．
14. （2）已知电场中几点的电势，如果要求某点的电势时，一般采用“等分法”在电场中找与待求点电势相同的等势点，等分法也常用在画电场线的问题中．
15. （3）在匀强电场中，相互平行的相等长度的线段两端间的电势差相等，应用这一点可求解电势．
3.U=Ed关系的应用：
公式U=Ed中d是沿场强方向的两点间的距离或两等势面间的距离，而U是这两点间的电势差。这一定量关系只适用于匀强电场，变形后E=U/d，用它可求匀强电场的场强，也可定性分析非匀强电场。
4.带电粒子在电场中的运动
带电粒子在电场中的运动是一个综合电场力、电势能的力学问题，其研究方法与质点动力学相同，同样遵循运动的合成与分解、牛顿运动定律、动能定理等力学规律．处理问题的要点是注意区分不同的物理过程，弄清在不同的物理过程中物体的受力情况及运动性质（平衡、加速或减速，是直线运动还是曲线运动），并选用相应的物理规律．在解决问题时，主要可以从两条线索展开：
其一，力和运动的关系．根据带电粒子受力情况，用牛顿第二定律求出加速度，结合运动学公式确定带电粒子的速度位移等．这条线索通常适用于在恒力作用下做匀变速运动的情况．
其二，功和能的关系．根据电场力对带电粒子做功，引起带电粒子的能量发生变化，利用动能定理研究全过程中能的转化，研究带电粒子的速度变化、位移等．这条线索不但适用于匀强电场，也适用于非匀强电场．
另外，对于带电粒子的偏转问题，用运动的合成与分解及运动规律解决往往比较简捷，但并不是绝对的，同解决力学中的问题一样，都可用不同的方法解决同一问题，应根据具体情况，确定具体的解题方法．
4．运用电容的定义式和决定式分析电容器相关量变化的思路．
（1）确定不变量，分析是电压不变还是所带电荷量不变．
（2）用决定式分析平行板电容器电容的变化．
（3）用定义式C=Q/U
分析电容器所带电荷量或两极板间电压的变化．
（4）用E=U/d分析电容器极板间场强的变化．
一、电势差与电场强度的关系式
1．关系式：U=Ed或者E=U/d
2．适用条件：只有在匀强电场中才有这个关系。
3．注意：式中d是指沿电场方向两点间的距离。
4．方向关系：场强的方向就是电势降低最快的方向。由于电场线跟等势面垂直，只有沿电场线方向，单位长度上的电势差才最大，也就是说电势降落最快的方向为电场强度的方向。但电势降落的方向不一定是电场强度方向。
二、对公式U=Ed的理解
1．从变形公式E=U/d
可以看出，电场强度越大，说明沿电场线方向电势差越大，表明电势降落的越快，因此电场强度除了能描述电场的力的性质外还有另一个物理意义，那就是：电场强度是描述电场中电势降落快慢的物理量，也同时说明，沿电场线方向电势降落最快。
2．公式中的d可理解为匀强电场中两点所在等势面之间的距离。
3．对于非匀强电场，用公式E=U/d
可以定性分析某些问题。例如等差等势面E越大处，d越小。因此可以断定
，等差等势面越密的地方电场强度也越大。
现在举例来说明公式E=U/d
在非匀强电场中的应用。如图所示，A、B、C是同一电场线上的三点，且
，由电场线的疏密程度可以看出EA＜EB＜EC，所以AB间的平均场强比BC间的小，即
三、 电场强度与电势差的比较
四、 带电粒子在电场中的运动
五、 1．带电粒子在电场中的加速
六、 带电粒子沿与电场线平行的方向进入匀强电场，带电粒子将做加（减）速运动．
七、 有两种分析方法：
2．带电粒子在匀强电场中的偏转
（1）研究条件：带电粒子垂直于电场方向进入匀强电场．
（2）处理方法：类似于平抛运动，应用运动分解的方法．
四、电容器与电容
1．电容器
（1）组成：由两个彼此绝缘又相互靠近的导体组成。
（2）带电量：一个极板所带电量的绝对值。
（3）电容器的充、放电
充电：使电容器带电的过程，充电后电容器两板带上等量的异种电荷，电容器中储存电场能。
放电：使充电后的电容器失去电荷的过程，放电过程中电场能转化为其他形式的能。
2．电容
（1）定义：电容器所带的电荷量Q与电容器两极板间的电势差U的比值。
（2）定义式：C=
（3）物理意义：表示电容器储存电荷的本领大小的物理量。
（4）单位：法拉（F）
（5）说明：电容是反映了电容器储存电荷能力的物理量，其数值由电容器的构造决定，而与电容器带不带电或带多少电无关。就像水容器一样，它的容量大小与水的深度无关。电容决定式：．其中，ε是一个常数，S为电容极板的正对面积，d为电容极板的距离，k则是静电力常量。 而常见的平行板电容器，电容为．（ε为极板间介质的介电常数，S为极板面积，d为极板间的距离。）
易错题【01】
电势降低的方向并不是电场方向，应该是电势降低最快的方向才是电场强度的方向。
易错题【02】
可以利用等分法作图求解电场强度，但是利用正交分解的办法使用起来更方便直接。
易错题【03】
在重力场和电场形成的复合场中，注意寻找到等效最低点和等效最高点。
易错题【04】
带电粒子在极板之间的偏转问题，注意利用好类平抛运动的结论。
易错题【05】
容越大并不代表该电容器储存的电荷量越多。
5．（2022•南京模拟）如图所示的平面内，有静止的等量异种点电荷，M、N两点关于两电荷连线的中垂线对称。下列说法正确的是（ ）
A．M点和N点的场强大小相同
B．M点和N点的场强方向相同
C．M点和N点的电势高低相同
D．电子在M点的电势能和在N点的电势能相同
6．（2022春•十堰期末）如图所示，平行金属板A、B水平正对放置，分别带等量异种电荷。一带电粒子沿水平方向射入板间，仅受电场力作用下，其运动轨迹如图中虚线所示，下列说法正确的是（ ）
A．若粒子带正电，则A板带负电荷
B．若粒子带负电，则金属板间的电场方向竖直向下
C．粒子从M点运动到N点，其电势能一定增加
D．粒子从M点运动到N点，其动能一定增加
7．（2022春•如皋市期中）如图所示的电路中，一带电油滴静止在电容器中的P点.现仅将平行板电容器的上极板竖直向上移动一小段距离，则（ ）
A．油滴带正电 B．P点的电势降低
C．静电计指针张角变大 D．电容器的电容值变大
8．（2022春•新市区校级期末）空间中一静电场的某物理量在x轴上分布情况如图所示，图像左右对称（规定x轴正方为电场正方向），其中OA＝OB，则（ ）
A．若为E﹣x图像，则φA＜φB，虚线与图像及x轴所围面积表示AB的电势差
B．若为E﹣x图像，则将一电子由A沿x轴移向B，电场力先做负功再做正功
C．若为φ﹣x图像，则EA、EB相同
D．若为φ﹣x图像，在A自由释放一质子，质子将沿x轴负方向做加速度减小的加速运动
9．（2022春•赣州期末）某电场的电场线如图中实线所示，O、Q为同一条电场线上的两点，M、N为另一条电场线上的两点，某带电粒子从O点以一垂直该处电场线方向的初速度射入该电场区域，仅在电场力作用下的运动轨迹如图中虚线所示，下列说法正确的是（ ）
A．该粒子带正电
B．O和Q处的电场强度大小相等
C．该粒子经过P点时的速率大于在O点的初速率
D．若在M点由静止释放一带正电粒子，仅在电场力作用下，该粒子将沿着MN所在电场线运动
10．（2022•黄冈三模）如图所示，A、B、C、D、E、F、G、H是正方体的八个顶点。则下列说法不正确的是（ ）
A．只在F、D两点放置等量同种点电荷，则A、G两点电势相等
B．只在B、D两点放置等量异种点电荷，则E、C两点电势相等
C．只在A、B两点放置等量异种点电荷，则H、G两点电场强度相同
D．在八个顶点均放置电荷量为+q的点电荷，则立方体每个面中心的电场强度大小相等
11．（2022春•平江县期末）带电的平行板电容器与静电计的连接如图所示，要使静电计的指针偏角变小，不可采用的方法有（ ）
A．减小两极板间的距离 B．在两板间插入电介质
C．将极板B向上适当移动 D．将极板B向右适当移动
12．（2022•山东模拟）x轴上固定着两个点电荷A、B，两点电荷分别位于xA＝0、xB＝4d处，两者所在区域为真空，在两者连线上某点的电场强度E与该点位置的关系如图所示。选取x轴正方向为场强的正方向，无限远处电势为零。以下说法正确的是（ ）
A．点电荷A、B分别带正电和负电
B．A、B所带电荷量的绝对值之比为1：3
C．x＝d处电势最高且为零
D．将电子从x＝5d处无初速度释放，其电势能一直减小
13．（2022•南通四模）如图所示，有一个均匀带正电的绝缘球体，球心为O1，球体内有一个球形空腔，球心为O2，M、N为两球心连线上两点，P、Q连线过球心O1且与M、N连线垂直，且M、N、P、Q四点到O1距离相等。则（ ）
A．P、Q两点电场强度相同 B．P点电场强度比N点的小
C．M点电势比N点的低 D．M点电势比P点的高
14．（2022春•平遥县校级期末）如图所示，真空中有两个固定的带正、负电的点电荷，O点的电势为0，过0点作两点电荷连线的垂线，以O点为圆心的圆与两点电荷的连线交于a、c两点，与连线的垂线分别交于b、d两点。下列说法正确的是（ ）
A．O点的电场强度为0
B．b点的电场强度大于d点的电场强度
C．负电荷在c点的电势能小于在d点的电势能
D．负电荷在a点的电势能小于在b点的电势能
15．（2022春•凯里市校级期中）如图所示，在水平向左的匀强电场中，固定有倾角为θ＝30°的光滑绝缘斜面。一个质量为m＝1.0×10﹣2kg、电荷量为q＝﹣2.0×10﹣8C的带电小球静止在斜面上，重力加速度为g＝10m/s2。则该匀强电场的电场强度的大小为（ ）
A． B．
C．2.5×106V/m D．
16．（2022•洪山区校级模拟）如图所示，虚线MN下方存在着方向水平向左、范围足够大的匀强电场。AB为绝缘光滑且固定的四分之一圆弧轨道，轨道半径为R，O为圆心，B位于O点正下方。一质量为m、电荷量为q的带正电小球，以初速度vA竖直向下从A点沿切线进入半圆轨道内侧，沿轨道运动到B处以速度vB射出。已知重力加速度为g，匀强电场场强大小，空气阻力不计，下列说法正确的是（ ）
A．从A到B过程中，小球的机械能先增大后减小
B．从A到B过程中，小球对轨道的压力先减小后增大
C．在A、B两点的速度大小满足vA＞vB
D．从B点抛出后，小球速度的最小值为
17．（2022•青浦区二模）如图所示，竖直平面内两个带电小油滴a、b在匀强电场E中分别以速度v1、v2做匀速直线运动，不计空气阻力及两油滴之间的库仑力，下列说法正确的是（ ）
A．a、b带异种电荷
B．a比b的电荷量大
C．a的电势能减小，b的电势能增加
D．沿v1方向电势增加，沿v2方向电势减小
18．（2022•凌河区校级模拟）空间存在与水平方向成30°角斜向右上的匀强电场，场强E＝1×109V/m，质量为m＝2kg的带电量为q＝2×10﹣8C的正电小球，套在光滑绝缘且长度未知的轻杆上，轻杆的一端固定在过O点转轴上，重力加速度g＝10m/s2。O点距倾角为60°的挡板L＝0.6m，小球由O点静止释放，则关于小球沿杆到达挡板的最短时间及此情形下的杆长应为（ ）
A．tmin＝0.2s，l＝m B．tmin＝0.3s，l＝m
C．tmin＝0.4s，l＝m D．tmin＝0.5s，l＝m
19．（2022春•邻水县校级期中）如图，在匀强电场中有一虚线圆，ab和cd是圆的两条直径，其中ab与电场方向的夹角为60°，ab＝0.2m，cd与电场方向平行，a、b两点的电势差Uab＝20V。则（ ）
A．电场强度的大小E＝200V/m
B．b点的电势比d点的低5V
C．将电子从c点移到d点，电场力做正功
D．电子在a点的电势能小于在c点的电势能
20．（2022•开平市校级模拟）中国科学家通过冷冻电镜捕捉到新冠病毒表面S蛋白与人体细胞表面ACE2蛋白的结合过程，首次揭开了新冠病毒入侵人体的神秘面纱。电子显微镜是冷冻电镜中的关键部分，在电子显微镜中电子束相当于光束，通过由电场或磁场构成的电子透镜实现会聚或发散作用，其中的一种电子透镜的电场分布如图所示，其中虚线为等势面，相邻等势面间电势差相等。一电子仅在电场力作用下运动，其轨迹如图中实线所示，a、b是轨迹上的两点，则下列说法正确的是（ ）
A．a点的电势高于b点的电势
B．电子从a点到b点电势能减小
C．电子从a点到b点做匀加速运动
D．a点的电场强度大于b点的电场强度
21．（2022•静安区二模）两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面如图中虚线所示，一带电粒子以某一速度从图中a点进入电场，其运动轨迹为图中实线所示，若粒子只受静电力作用，则粒子电势能（ ）
A．先变大后变小，b点和d点的电场强度相同
B．先变大后变小，b点和d点的电场强度不同
C．先变小后变大，b点和d点的电场强度不同
D．先变小后变大，b点和d点的电场强度相同
22．（2022春•深州市校级期末）如图所示，两带电金属板间的电场可视为匀强电场，金属板外无电场，两极板间的距离为d，上极板正中央有一小孔，一质量为m、带电荷量为+q的小球从小孔正上方高h处由静止开始下落，穿过小孔到达下极板处速度恰为零，空气阻力不计，重力加速度为g。求：
（1）小球到达小孔处的速度v的大小。
（2）两极板间的电场强度E的大小。
23．（2022春•南京期末）如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场，其场强E＝2.0×102V/m，有一根长L＝0.64m的绝缘细绳，一端固定在O点，另一端系一质量m＝0.2kg带正电q＝4.0×10﹣2C的小球。拉起小球至绳水平后在A点无初速度释放，当小球运动到O点的正下方B点时绳恰好断裂，小球继续运动并垂直打在同一竖直平面且与水平面成θ＝37°的挡板MN上的C点（已知：g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6）。求：
（1）绳子的最大张力；
（2）B、C两点的电势差；
（3）当小球运动到C点时，突然再施加一恒力F作用在小球上，同时把挡板迅速撤走，若小球以后做直线运动，则所加恒力F的最小值。
24．（2022春•海门市校级期中）如图甲所示，两平行金属板水平放置，间距为d，金属板长为L＝2d，两金属板间加如图乙所示的电压（初始时上金属板带正电），其中U0＝。一粒子源连续发射质量为m、电荷量为+q的带电粒子（初速度v0＝，重力忽略不计），该粒子源射出的带电粒子恰好从上金属板左端的下边缘水平进入两金属板间。
（1）求能从板间飞出的粒子在板间运动的时间；
（2）若t＝时刻进入两极板之间，飞出极板时的偏移量y是多少？
（3）在哪些时刻进入两金属板间的带电粒子不碰到金属板而能够飞出两金属板间？
25．（2022•喀什市校级开学）如图所示，水平绝缘粗糙的轨道AB与处于竖直平面内的半圆形绝缘光滑轨道BC平滑连接，半圆形轨道的半径R＝0.40m，在轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场线与轨道所在的平面平行，电场强度E＝3.0×104N/C。现有一电荷量q＝+1.0×10﹣5C、质量m＝0.04kg的带电体（可视为质点），在水平轨道上的P点由静止释放，带电体恰好能通过半圆形轨道的最高点C，然后落至水平轨道上的D点（图中未画出），取g＝10m/s2。求：
（1）带电体运动到圆形轨道C点时的速度大小；
（2）带电体在圆弧形轨道上运动的最大速度；
（3）D点到B点的距离x。
26．（2022•湖北）密立根油滴实验装置如图所示，两块水平放置的金属板分别与电源的正负极相接，板间产生匀强电场。用一个喷雾器把密度相同的许多油滴从上板中间的小孔喷入电场，油滴从喷口喷出时由于摩擦而带电。金属板间电势差为U时，电荷量为q、半径为r的球状油滴在板间保持静止。若仅将金属板间电势差调整为2U，则在板间能保持静止的球状油滴所带电荷量和半径可以为（ ）
A．q，r B．2q，r C．2q，2r D．4q，2r
（多选）27．（2022•湖北）如图所示，一带电粒子以初速度v0沿x轴正方向从坐标原点O射入，并经过点P（a＞0，b＞0）。若上述过程仅由方向平行于y轴的匀强电场实现，粒子从O到P运动的时间为t1，到达P点的动能为Ek1。若上述过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现，粒子从O到P运动的时间为t2，到达P点的动能为Ek2。下列关系式正确的是（ ）
A．t1＜t2 B．t1＞t2 C．Ek1＜Ek2 D．Ek1＞Ek2
（多选）28．（2022•浙江）如图为某一径向电场示意图，电场强度大小可表示为E＝，a为常量。比荷相同的两粒子在半径r不同的圆轨道运动。不考虑粒子间的相互作用及重力，则（ ）
A．轨道半径r小的粒子角速度一定小
B．电荷量大的粒子的动能一定大
C．粒子的速度大小与轨道半径r一定无关
D．当加垂直纸面磁场时，粒子一定做离心运动
（多选）29．（2022•乙卷）如图，两对等量异号点电荷+q、﹣q（q＞0）固定于正方形的4个顶点上。L、N是该正方形两条对角线与其内切圆的交点，O为内切圆的圆心，M为切点。则（ ）
A．L和N两点处的电场方向相互垂直
B．M点的电场方向平行于该点处的切线，方向向左
C．将一带正电的点电荷从M点移动到O点，电场力做正功
D．将一带正电的点电荷从L点移动到N点，电场力做功为零
30．（2022•广东）密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性，因此获得了1923年的诺贝尔奖。如图是密立根油滴实验的原理示意图，两个水平放置、相距为d的足够大金属极板，上极板中央有一小孔。通过小孔喷入一些小油滴，由于碰撞或摩擦，部分油滴带上了电荷。有两个质量均为m0、位于同一竖直线上的球形小油滴A和B，在时间t内都匀速下落了距离h1。此时给两极板加上电压U（上极板接正极），A继续以原速度下落，B经过一段时间后向上匀速运动。B在匀速运动时间t内上升了距离h2（h2≠h1），随后与A合并，形成一个球形新油滴，继续在两极板间运动直至匀速。已知球形油滴受到的空气阻力大小为f＝kv，其中k为比例系数，m为油滴质量，v为油滴运动速率。不计空气浮力，重力加速度为g。求：
（1）比例系数k；
（2）油滴A、B的带电量和电性；B上升距离h2电势能的变化量；
（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向。
考向13 静电场中的能量
【重点知识点目录】
1. 电场强度的叠加与计算
2. 电势高低及电势能大小的比较
3. 电势差与电场强度的关系
4. 平行板电容器的动态分析
5. 带电粒子在电场中的直线运动
6. 带电粒子在匀强电场中的偏转
1．（2022•浙江）如图所示，带等量异种电荷的两正对平行金属板M、N间存在匀强电场，板长为L（不考虑边界效应）。t＝0时刻，M板中点处的粒子源发射两个速度大小为v0的相同粒子，垂直M板向右的粒子，到达N板时速度大小为v0；平行M板向下的粒子，刚好从N板下端射出。不计重力和粒子间的相互作用，则（ ）
A．M板电势高于N板电势
B．两个粒子的电势能都增加
C．粒子在两板间的加速度为a＝
D．粒子从N板下端射出的时t＝
【答案】C。
【解析】解：A、因为不知道两粒子的电性，故无法确定M板和N板的电势高低，故A错误；
B、根据题意可知垂直M板向右的粒子，到达N板时速度增加，动能增加，则电场力做正功，电势能减小；则平行M板向下的粒子达到N板时电场力也做正功，电势能也减小，故B错误；
CD。设两板间距离为d，对于平行M板向下的粒子刚好从N板下端射出，在两板间做类平抛运动，有
对于垂直M板向右的粒子，在板间做匀加速直线运动，因两粒子相同，在电场中的加速度也相同，有
联立解得：；，故C正确，D错误；
（多选）2．（2022•甲卷）地面上方某区域存在方向水平向右的匀强电场，将一带正电荷的小球自电场中P点水平向左射出。小球所受的重力和电场力的大小相等，重力势能和电势能的零点均取在P点。则射出后，（ ）
A．小球的动能最小时，其电势能最大
B．小球的动能等于初始动能时，其电势能最大
C．小球速度的水平分量和竖直分量大小相等时，其动能最大
D．从射出时刻到小球速度的水平分量为零时，重力做的功等于小球电势能的增加量
【答案】BD。
【解析】解：A、小球只受重力和电场力，其重力势能、电势能与动能之和不变，当小球的动能最小时，其电势能与重力势能之和最大，故A错误；
B、当小球沿水平方向的速度减为零时，小球的电势能最大，由于小球所受的重力和电场力的大小相等，所以此时小球的速度方向向下，大小等于抛出时小球的速度大小，所以此时的动能等于初始动能，故B正确；
C、合外力先对小球做负功，再做正功，合外力做正功的过程中，小球的动能一直增大，所以小球速度动能没有最大值，故C错误；
D、从射出时刻到小球速度的水平分量为零时，小球的动能等于初始动能，此过程中动能变化为零，则合外力做功为零，所以重力做的功等于小球电势能的增加量，故D正确。
3．（2021•浙江）某书中有如图所示的图，用来表示横截面是“＜”形导体右侧的电场线和等势面，其中a、b是同一条实线上的两点，c是另一条实线上的一点，d是导体尖角右侧表面附近的一点。下列说法正确的是（ ）
A．实线表示电场线
B．离d点最近的导体表面电荷密度最大
C．“＜”形导体右侧表面附近电场强度方向均相同
D．电荷从a点到c点再到b点电场力做功一定为零
【答案】D。
【解析】解：A、电场线起于正电荷（或无穷远），终止于负电荷（或无穷远），由图可知，图中的实线不是起于导体，可知实线是等势线，故A错误；
B、等势线越密的地方，电场强度强度越强，d点场强较弱，可知离d点最近的导体表面电荷密度最小，故B错误；
C、电场强度方向与等势线垂直，由图可知，“＜”形导体右侧表面附近电场强度方向不一定相同，故C错误；
D、a、b两点在同一条等势线上，ac两点的电势差和bc两点的电势差相等，电荷从a点到c点再到b点电场力做功一定为零，故D正确。
（多选）4．（2021•天津）两个位于纸面内的点电荷产生电场的等势面如图中实线所示，相邻等势面间的电势差相等。虚线MPN是一个电子在该电场中的运动轨迹，轨迹与某等势面相切于P点。下列说法正确的是（ ）
A．两点电荷可能是异种点电荷
B．A点的电场强度比B点的大
C．A点的电势高于B点的电势
D．电子运动到P点时动能最小
【答案】CD。
【解析】解：A、根据等势面的分布可知，两点电荷带同种电荷，故A错误；
B、等差等势面的疏密程度表示场强的强弱，A点的等差等势面疏，B点的等差等势面密，故A点的电场强度小，故B错误；
C、分析电子运动的轨迹可知，电场力指向轨迹的内侧，则电场力受到排斥力作用，故点电荷为负电荷，离点电荷越远，电势越高，故A点的电势高，故C正确；
D、电子从M点运动到P点的过程中，电场力做负功，动能减小，电子从P点运动到N点的过程中，电场力做正功，动能增大，故P点动能最小，故D正确。
7. 比较电势高低的方法
8. （1）沿电场线方向，电势越来越低．
9. （2）判断出UAB的正负，再由UAB=φA-φB，比较φA、φB的大小，若UAB＞0，则φA＞φB，若UAB＜0，则φA＜φB．
10. （3）取无穷远处为零电势点，正电荷周围电势为正值，且离正电荷近处电势高；负电荷周围电势为负值，且离负电荷近处电势低．
11.
12. 2．等分法计算匀强电场中的电势
13. （1）在匀强电场中，沿不在同一等势面上的任意一个方向上，电势降落都是均匀的，故在同一直线上相同距离的两点间的电势差相等．如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点间的电势差等于原电势差的1/n倍．
14. （2）已知电场中几点的电势，如果要求某点的电势时，一般采用“等分法”在电场中找与待求点电势相同的等势点，等分法也常用在画电场线的问题中．
15. （3）在匀强电场中，相互平行的相等长度的线段两端间的电势差相等，应用这一点可求解电势．
3.U=Ed关系的应用：
公式U=Ed中d是沿场强方向的两点间的距离或两等势面间的距离，而U是这两点间的电势差。这一定量关系只适用于匀强电场，变形后E=U/d，用它可求匀强电场的场强，也可定性分析非匀强电场。
4.带电粒子在电场中的运动
带电粒子在电场中的运动是一个综合电场力、电势能的力学问题，其研究方法与质点动力学相同，同样遵循运动的合成与分解、牛顿运动定律、动能定理等力学规律．处理问题的要点是注意区分不同的物理过程，弄清在不同的物理过程中物体的受力情况及运动性质（平衡、加速或减速，是直线运动还是曲线运动），并选用相应的物理规律．在解决问题时，主要可以从两条线索展开：
其一，力和运动的关系．根据带电粒子受力情况，用牛顿第二定律求出加速度，结合运动学公式确定带电粒子的速度位移等．这条线索通常适用于在恒力作用下做匀变速运动的情况．
其二，功和能的关系．根据电场力对带电粒子做功，引起带电粒子的能量发生变化，利用动能定理研究全过程中能的转化，研究带电粒子的速度变化、位移等．这条线索不但适用于匀强电场，也适用于非匀强电场．
另外，对于带电粒子的偏转问题，用运动的合成与分解及运动规律解决往往比较简捷，但并不是绝对的，同解决力学中的问题一样，都可用不同的方法解决同一问题，应根据具体情况，确定具体的解题方法．
4．运用电容的定义式和决定式分析电容器相关量变化的思路．
（1）确定不变量，分析是电压不变还是所带电荷量不变．
（2）用决定式分析平行板电容器电容的变化．
（3）用定义式C=Q/U
分析电容器所带电荷量或两极板间电压的变化．
（4）用E=U/d分析电容器极板间场强的变化．
一、电势差与电场强度的关系式
1．关系式：U=Ed或者E=U/d
2．适用条件：只有在匀强电场中才有这个关系。
3．注意：式中d是指沿电场方向两点间的距离。
4．方向关系：场强的方向就是电势降低最快的方向。由于电场线跟等势面垂直，只有沿电场线方向，单位长度上的电势差才最大，也就是说电势降落最快的方向为电场强度的方向。但电势降落的方向不一定是电场强度方向。
二、对公式U=Ed的理解
1．从变形公式E=U/d
可以看出，电场强度越大，说明沿电场线方向电势差越大，表明电势降落的越快，因此电场强度除了能描述电场的力的性质外还有另一个物理意义，那就是：电场强度是描述电场中电势降落快慢的物理量，也同时说明，沿电场线方向电势降落最快。
2．公式中的d可理解为匀强电场中两点所在等势面之间的距离。
3．对于非匀强电场，用公式E=U/d
可以定性分析某些问题。例如等差等势面E越大处，d越小。因此可以断定
，等差等势面越密的地方电场强度也越大。
现在举例来说明公式E=U/d
在非匀强电场中的应用。如图所示，A、B、C是同一电场线上的三点，且
，由电场线的疏密程度可以看出EA＜EB＜EC，所以AB间的平均场强比BC间的小，即
三、 电场强度与电势差的比较
四、 带电粒子在电场中的运动
五、 1．带电粒子在电场中的加速
六、 带电粒子沿与电场线平行的方向进入匀强电场，带电粒子将做加（减）速运动．
七、 有两种分析方法：
2．带电粒子在匀强电场中的偏转
（1）研究条件：带电粒子垂直于电场方向进入匀强电场．
（2）处理方法：类似于平抛运动，应用运动分解的方法．
四、电容器与电容
1．电容器
（1）组成：由两个彼此绝缘又相互靠近的导体组成。
（2）带电量：一个极板所带电量的绝对值。
（3）电容器的充、放电
充电：使电容器带电的过程，充电后电容器两板带上等量的异种电荷，电容器中储存电场能。
放电：使充电后的电容器失去电荷的过程，放电过程中电场能转化为其他形式的能。
2．电容
（1）定义：电容器所带的电荷量Q与电容器两极板间的电势差U的比值。
（2）定义式：C=
（3）物理意义：表示电容器储存电荷的本领大小的物理量。
（4）单位：法拉（F）
（5）说明：电容是反映了电容器储存电荷能力的物理量，其数值由电容器的构造决定，而与电容器带不带电或带多少电无关。就像水容器一样，它的容量大小与水的深度无关。电容决定式：．其中，ε是一个常数，S为电容极板的正对面积，d为电容极板的距离，k则是静电力常量。 而常见的平行板电容器，电容为．（ε为极板间介质的介电常数，S为极板面积，d为极板间的距离。）
易错题【01】
电势降低的方向并不是电场方向，应该是电势降低最快的方向才是电场强度的方向。
易错题【02】
可以利用等分法作图求解电场强度，但是利用正交分解的办法使用起来更方便直接。
易错题【03】
在重力场和电场形成的复合场中，注意寻找到等效最低点和等效最高点。
易错题【04】
带电粒子在极板之间的偏转问题，注意利用好类平抛运动的结论。
易错题【05】
容越大并不代表该电容器储存的电荷量越多。
5．（2022•南京模拟）如图所示的平面内，有静止的等量异种点电荷，M、N两点关于两电荷连线的中垂线对称。下列说法正确的是（ ）
A．M点和N点的场强大小相同
B．M点和N点的场强方向相同
C．M点和N点的电势高低相同
D．电子在M点的电势能和在N点的电势能相同
6．（2022春•十堰期末）如图所示，平行金属板A、B水平正对放置，分别带等量异种电荷。一带电粒子沿水平方向射入板间，仅受电场力作用下，其运动轨迹如图中虚线所示，下列说法正确的是（ ）
A．若粒子带正电，则A板带负电荷
B．若粒子带负电，则金属板间的电场方向竖直向下
C．粒子从M点运动到N点，其电势能一定增加
D．粒子从M点运动到N点，其动能一定增加
7．（2022春•如皋市期中）如图所示的电路中，一带电油滴静止在电容器中的P点.现仅将平行板电容器的上极板竖直向上移动一小段距离，则（ ）
A．油滴带正电 B．P点的电势降低
C．静电计指针张角变大 D．电容器的电容值变大
8．（2022春•新市区校级期末）空间中一静电场的某物理量在x轴上分布情况如图所示，图像左右对称（规定x轴正方为电场正方向），其中OA＝OB，则（ ）
A．若为E﹣x图像，则φA＜φB，虚线与图像及x轴所围面积表示AB的电势差
B．若为E﹣x图像，则将一电子由A沿x轴移向B，电场力先做负功再做正功
C．若为φ﹣x图像，则EA、EB相同
D．若为φ﹣x图像，在A自由释放一质子，质子将沿x轴负方向做加速度减小的加速运动
9．（2022春•赣州期末）某电场的电场线如图中实线所示，O、Q为同一条电场线上的两点，M、N为另一条电场线上的两点，某带电粒子从O点以一垂直该处电场线方向的初速度射入该电场区域，仅在电场力作用下的运动轨迹如图中虚线所示，下列说法正确的是（ ）
A．该粒子带正电
B．O和Q处的电场强度大小相等
C．该粒子经过P点时的速率大于在O点的初速率
D．若在M点由静止释放一带正电粒子，仅在电场力作用下，该粒子将沿着MN所在电场线运动
10．（2022•黄冈三模）如图所示，A、B、C、D、E、F、G、H是正方体的八个顶点。则下列说法不正确的是（ ）
A．只在F、D两点放置等量同种点电荷，则A、G两点电势相等
B．只在B、D两点放置等量异种点电荷，则E、C两点电势相等
C．只在A、B两点放置等量异种点电荷，则H、G两点电场强度相同
D．在八个顶点均放置电荷量为+q的点电荷，则立方体每个面中心的电场强度大小相等
11．（2022春•平江县期末）带电的平行板电容器与静电计的连接如图所示，要使静电计的指针偏角变小，不可采用的方法有（ ）
A．减小两极板间的距离 B．在两板间插入电介质
C．将极板B向上适当移动 D．将极板B向右适当移动
12．（2022•山东模拟）x轴上固定着两个点电荷A、B，两点电荷分别位于xA＝0、xB＝4d处，两者所在区域为真空，在两者连线上某点的电场强度E与该点位置的关系如图所示。选取x轴正方向为场强的正方向，无限远处电势为零。以下说法正确的是（ ）
A．点电荷A、B分别带正电和负电
B．A、B所带电荷量的绝对值之比为1：3
C．x＝d处电势最高且为零
D．将电子从x＝5d处无初速度释放，其电势能一直减小
13．（2022•南通四模）如图所示，有一个均匀带正电的绝缘球体，球心为O1，球体内有一个球形空腔，球心为O2，M、N为两球心连线上两点，P、Q连线过球心O1且与M、N连线垂直，且M、N、P、Q四点到O1距离相等。则（ ）
A．P、Q两点电场强度相同 B．P点电场强度比N点的小
C．M点电势比N点的低 D．M点电势比P点的高
14．（2022春•平遥县校级期末）如图所示，真空中有两个固定的带正、负电的点电荷，O点的电势为0，过0点作两点电荷连线的垂线，以O点为圆心的圆与两点电荷的连线交于a、c两点，与连线的垂线分别交于b、d两点。下列说法正确的是（ ）
A．O点的电场强度为0
B．b点的电场强度大于d点的电场强度
C．负电荷在c点的电势能小于在d点的电势能
D．负电荷在a点的电势能小于在b点的电势能
15．（2022春•凯里市校级期中）如图所示，在水平向左的匀强电场中，固定有倾角为θ＝30°的光滑绝缘斜面。一个质量为m＝1.0×10﹣2kg、电荷量为q＝﹣2.0×10﹣8C的带电小球静止在斜面上，重力加速度为g＝10m/s2。则该匀强电场的电场强度的大小为（ ）
A． B．
C．2.5×106V/m D．
16．（2022•洪山区校级模拟）如图所示，虚线MN下方存在着方向水平向左、范围足够大的匀强电场。AB为绝缘光滑且固定的四分之一圆弧轨道，轨道半径为R，O为圆心，B位于O点正下方。一质量为m、电荷量为q的带正电小球，以初速度vA竖直向下从A点沿切线进入半圆轨道内侧，沿轨道运动到B处以速度vB射出。已知重力加速度为g，匀强电场场强大小，空气阻力不计，下列说法正确的是（ ）
A．从A到B过程中，小球的机械能先增大后减小
B．从A到B过程中，小球对轨道的压力先减小后增大
C．在A、B两点的速度大小满足vA＞vB
D．从B点抛出后，小球速度的最小值为
17．（2022•青浦区二模）如图所示，竖直平面内两个带电小油滴a、b在匀强电场E中分别以速度v1、v2做匀速直线运动，不计空气阻力及两油滴之间的库仑力，下列说法正确的是（ ）
A．a、b带异种电荷
B．a比b的电荷量大
C．a的电势能减小，b的电势能增加
D．沿v1方向电势增加，沿v2方向电势减小
18．（2022•凌河区校级模拟）空间存在与水平方向成30°角斜向右上的匀强电场，场强E＝1×109V/m，质量为m＝2kg的带电量为q＝2×10﹣8C的正电小球，套在光滑绝缘且长度未知的轻杆上，轻杆的一端固定在过O点转轴上，重力加速度g＝10m/s2。O点距倾角为60°的挡板L＝0.6m，小球由O点静止释放，则关于小球沿杆到达挡板的最短时间及此情形下的杆长应为（ ）
A．tmin＝0.2s，l＝m B．tmin＝0.3s，l＝m
C．tmin＝0.4s，l＝m D．tmin＝0.5s，l＝m
19．（2022春•邻水县校级期中）如图，在匀强电场中有一虚线圆，ab和cd是圆的两条直径，其中ab与电场方向的夹角为60°，ab＝0.2m，cd与电场方向平行，a、b两点的电势差Uab＝20V。则（ ）
A．电场强度的大小E＝200V/m
B．b点的电势比d点的低5V
C．将电子从c点移到d点，电场力做正功
D．电子在a点的电势能小于在c点的电势能
20．（2022•开平市校级模拟）中国科学家通过冷冻电镜捕捉到新冠病毒表面S蛋白与人体细胞表面ACE2蛋白的结合过程，首次揭开了新冠病毒入侵人体的神秘面纱。电子显微镜是冷冻电镜中的关键部分，在电子显微镜中电子束相当于光束，通过由电场或磁场构成的电子透镜实现会聚或发散作用，其中的一种电子透镜的电场分布如图所示，其中虚线为等势面，相邻等势面间电势差相等。一电子仅在电场力作用下运动，其轨迹如图中实线所示，a、b是轨迹上的两点，则下列说法正确的是（ ）
A．a点的电势高于b点的电势
B．电子从a点到b点电势能减小
C．电子从a点到b点做匀加速运动
D．a点的电场强度大于b点的电场强度
21．（2022•静安区二模）两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面如图中虚线所示，一带电粒子以某一速度从图中a点进入电场，其运动轨迹为图中实线所示，若粒子只受静电力作用，则粒子电势能（ ）
A．先变大后变小，b点和d点的电场强度相同
B．先变大后变小，b点和d点的电场强度不同
C．先变小后变大，b点和d点的电场强度不同
D．先变小后变大，b点和d点的电场强度相同
22．（2022春•深州市校级期末）如图所示，两带电金属板间的电场可视为匀强电场，金属板外无电场，两极板间的距离为d，上极板正中央有一小孔，一质量为m、带电荷量为+q的小球从小孔正上方高h处由静止开始下落，穿过小孔到达下极板处速度恰为零，空气阻力不计，重力加速度为g。求：
（1）小球到达小孔处的速度v的大小。
（2）两极板间的电场强度E的大小。
23．（2022春•南京期末）如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场，其场强E＝2.0×102V/m，有一根长L＝0.64m的绝缘细绳，一端固定在O点，另一端系一质量m＝0.2kg带正电q＝4.0×10﹣2C的小球。拉起小球至绳水平后在A点无初速度释放，当小球运动到O点的正下方B点时绳恰好断裂，小球继续运动并垂直打在同一竖直平面且与水平面成θ＝37°的挡板MN上的C点（已知：g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6）。求：
（1）绳子的最大张力；
（2）B、C两点的电势差；
（3）当小球运动到C点时，突然再施加一恒力F作用在小球上，同时把挡板迅速撤走，若小球以后做直线运动，则所加恒力F的最小值。
24．（2022春•海门市校级期中）如图甲所示，两平行金属板水平放置，间距为d，金属板长为L＝2d，两金属板间加如图乙所示的电压（初始时上金属板带正电），其中U0＝。一粒子源连续发射质量为m、电荷量为+q的带电粒子（初速度v0＝，重力忽略不计），该粒子源射出的带电粒子恰好从上金属板左端的下边缘水平进入两金属板间。
（1）求能从板间飞出的粒子在板间运动的时间；
（2）若t＝时刻进入两极板之间，飞出极板时的偏移量y是多少？
（3）在哪些时刻进入两金属板间的带电粒子不碰到金属板而能够飞出两金属板间？
25．（2022•喀什市校级开学）如图所示，水平绝缘粗糙的轨道AB与处于竖直平面内的半圆形绝缘光滑轨道BC平滑连接，半圆形轨道的半径R＝0.40m，在轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场线与轨道所在的平面平行，电场强度E＝3.0×104N/C。现有一电荷量q＝+1.0×10﹣5C、质量m＝0.04kg的带电体（可视为质点），在水平轨道上的P点由静止释放，带电体恰好能通过半圆形轨道的最高点C，然后落至水平轨道上的D点（图中未画出），取g＝10m/s2。求：
（1）带电体运动到圆形轨道C点时的速度大小；
（2）带电体在圆弧形轨道上运动的最大速度；
（3）D点到B点的距离x。
26．（2022•湖北）密立根油滴实验装置如图所示，两块水平放置的金属板分别与电源的正负极相接，板间产生匀强电场。用一个喷雾器把密度相同的许多油滴从上板中间的小孔喷入电场，油滴从喷口喷出时由于摩擦而带电。金属板间电势差为U时，电荷量为q、半径为r的球状油滴在板间保持静止。若仅将金属板间电势差调整为2U，则在板间能保持静止的球状油滴所带电荷量和半径可以为（ ）
A．q，r B．2q，r C．2q，2r D．4q，2r
（多选）27．（2022•湖北）如图所示，一带电粒子以初速度v0沿x轴正方向从坐标原点O射入，并经过点P（a＞0，b＞0）。若上述过程仅由方向平行于y轴的匀强电场实现，粒子从O到P运动的时间为t1，到达P点的动能为Ek1。若上述过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现，粒子从O到P运动的时间为t2，到达P点的动能为Ek2。下列关系式正确的是（ ）
A．t1＜t2 B．t1＞t2 C．Ek1＜Ek2 D．Ek1＞Ek2
（多选）28．（2022•浙江）如图为某一径向电场示意图，电场强度大小可表示为E＝，a为常量。比荷相同的两粒子在半径r不同的圆轨道运动。不考虑粒子间的相互作用及重力，则（ ）
A．轨道半径r小的粒子角速度一定小
B．电荷量大的粒子的动能一定大
C．粒子的速度大小与轨道半径r一定无关
D．当加垂直纸面磁场时，粒子一定做离心运动
（多选）29．（2022•乙卷）如图，两对等量异号点电荷+q、﹣q（q＞0）固定于正方形的4个顶点上。L、N是该正方形两条对角线与其内切圆的交点，O为内切圆的圆心，M为切点。则（ ）
A．L和N两点处的电场方向相互垂直
B．M点的电场方向平行于该点处的切线，方向向左
C．将一带正电的点电荷从M点移动到O点，电场力做正功
D．将一带正电的点电荷从L点移动到N点，电场力做功为零
30．（2022•广东）密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性，因此获得了1923年的诺贝尔奖。如图是密立根油滴实验的原理示意图，两个水平放置、相距为d的足够大金属极板，上极板中央有一小孔。通过小孔喷入一些小油滴，由于碰撞或摩擦，部分油滴带上了电荷。有两个质量均为m0、位于同一竖直线上的球形小油滴A和B，在时间t内都匀速下落了距离h1。此时给两极板加上电压U（上极板接正极），A继续以原速度下落，B经过一段时间后向上匀速运动。B在匀速运动时间t内上升了距离h2（h2≠h1），随后与A合并，形成一个球形新油滴，继续在两极板间运动直至匀速。已知球形油滴受到的空气阻力大小为f＝kv，其中k为比例系数，m为油滴质量，v为油滴运动速率。不计空气浮力，重力加速度为g。求：
（1）比例系数k；
（2）油滴A、B的带电量和电性；B上升距离h2电势能的变化量；
（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向。
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