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【备战2023高考】物理专题讲与练——考向10《功和功率》全能练（含解析）（全国通用）
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考向10 功和功率
【重点知识点目录】
1. 功的正负判断和大小计算
2. 变力做功的计算
3. 功率的分析与技术
4. 机车启动问题
（多选）1．（2022•广东）如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平MN段以恒定功率200W、速度5m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570W、速度2m/s匀速行驶。已知小车总质量为50kg，MN＝PQ＝20m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的有（ ）
A．从M到N，小车牵引力大小为40N
B．从M到N，小车克服摩擦力做功800J
C．从P到Q，小车重力势能增加1×104J
D．从P到Q，小车克服摩擦力做功700J
【答案】ABD。
【解析】解：AB、在水平MN段以恒定功率200W、速度5m/s匀速行驶，则小车的牵引力等于小车受到的摩擦力，因此
从M到N过程中，小车摩擦力做功为Wf＝﹣40×20J＝﹣800J，即小车克服摩擦力做功800J，故AB正确；
C、从P到Q的过程中，根据功能关系可知，重力势能的增加量为ΔEp＝mgΔh＝50×10×20×sin30°J＝5000J，故C错误；
D、在斜坡PQ段以恒定功率570W、速度2m/s匀速行驶，则
代入数据解得：f2＝35N
则此过程中，小车摩擦力做功为Wf2＝f2s＝﹣35×20J＝﹣700J，即小车克服摩擦力做功为700J，故D正确；
2．（2021•北京）如图所示，高速公路上汽车定速巡航（即保持汽车的速率不变）通过路面abcd，其中ab段为平直上坡路面，bc段为水平路面，cd段为平直下坡路面。不考虑整个过程中空气阻力和摩擦阻力的大小变化。下列说法正确的是（ ）
A．在ab段汽车的输出功率逐渐减小
B．汽车在ab段的输出功率比bc段的大
C．在cd段汽车的输出功率逐渐减小
D．汽车在cd段的输出功率比bc段的大
【答案】B。
【解析】解：汽车做匀速率运动，受力平衡，
设上下坡的夹角为θ，汽车受到的摩擦力为f，
在ab段，根据受力平衡可得，F1＝f+mgsinθ，此时的功率为P1＝F1v＝（f+mgsinθ）v，
在bc段，根据受力平衡可得，F2＝f，此时的功率为P2＝F2v＝fv，
在cd段，根据受力平衡可得，F3＝f﹣mgsinθ，此时的功率为P3＝F3v＝（f﹣mgsinθ）v，
所以P1＞P2＞P3，故B正确，ACD错误；
3．（2021•浙江）中国制造的某一型号泵车如图所示，表中列出了其部分技术参数。已知混凝土密度为2.4×103kg/m3，假设泵车的泵送系统以150m3/h的输送量给30m高处输送混凝土，则每小时泵送系统对混凝土做的功至少为（ ）
发动机最大输出功率（kW）
332
最大输送高度（m）
63
整车满载质量（kg）
5.5×104
最大输送量（m3/h）
180
A．1.08×107J B．5.04×107J C．1.08×108J D．2.72×108J
【答案】C。
【解析】解：泵车的泵送排量为150m3/h，则1小时输送的混凝土的体积为
V＝150×1m3＝150m3
则在1小时时间内输送的混凝土质量为
m＝ρV＝2.4×103×150kg＝3.6×105kg
将混凝土匀速输送到30m高处，泵送系统对混凝土做的功最少，泵送系统对混凝土做的功至少为
W＝mgh＝3.6×105×10×30J＝1.08×108J
故C正确，ABD错误。
4．（2021•浙江）如图所示，质量m＝2kg的滑块以v0＝16m/s的初速度沿倾角θ＝37°的斜面上滑，经t＝2s滑行到最高点。然后，滑块返回到出发点。已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求滑块
（1）最大位移值x；
（2）与斜面间的动摩擦因数；
（3）从最高点返回到出发点的过程中重力的平均功率。
【答案】（1）最大位移值x为16m；
（2）与斜面间的动摩擦因数为0.25；
（3）从最高点返回到出发点的过程中重力的平均功率为67.9W。
【解析】解：（1）小车向上做匀减速直线运动，根据匀变速直线运动推论有：x＝
代入数据解得：
x＝m＝16m
（2）小车向上做匀减速直线运动，根据加速度定义得加速度大小：a1＝＝m/s2＝8m/s2
上滑过程，由牛顿第二定律得：mgsinθ+μmgcosθ＝ma1
得：a1＝＝gsinθ+μgcosθ
代入数据解得：μ＝＝＝＝0.25
（3）小车下滑过程，由牛顿第二定律得：mgsinθ﹣μmgcosθ＝ma2
代入数据解得：a2＝＝gsinθ﹣μgcosθ＝10×0.6﹣0.25×10×0.8m/s2＝4m/s2
由运动学公式得：vt＝＝m/s＝m/s＝11.3m/s
得重力的平均功率：＝mgcos（90°﹣θ）＝W＝W＝67.9W
1． 判断功的正、负主要有以下三种方法：
2． （1）若物体做直线运动，依据力与位移的夹角来判断，此法常用于恒力做功的判断．
3． （2）若物体做曲线运动，依据F与v的方向的夹角α的大小来判断．当α＜90°时，力对物体做正功；90°＜α≤180°时，力对物体做负功；α=90°时，力对物体不做功．
4． （3）依据能量变化来判断：此法既适用于恒力做功，也适用于变力做功，关键应分析清楚能量的转化情况．根据功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功．比如系统的机械能增加，说明力对系统做正功；如果系统的机械能减少，则说明力对系统做负功．此法常用于两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断．
5． 在计算力所做的功时，首先要对物体进行受力分析，明确是要求哪个力做的功，这个力是恒力还是变力；其次进行运动分析，明确是要求哪一个过程力所做的功．关于恒力的功和变力的功的计算方法如下：
6． （1）恒力做功：对恒力作用下物体的运动，力对物体做的功用W=Flcosα求解．该公式可写成W=F•（l•cosα）=（F•cos α）•l．即功等于力与力方向上的位移的乘积或功等于位移与位移方向上的力的乘积．
7． （2）变力做功：
8． ①用动能定理W=△Ek或功能关系W=△E，即用能量的增量等效代换变力所做的功．（也可计算恒力做功）
9． ②当变力的功率P一定时，可用W=Pt求功，如机车以恒定功率启动时．
10． ③把变力做功转化为恒力做功：当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功等于力和路程（不是位移）的乘积．如滑动摩擦力做功、空气阻力做功等．
11． （3）总功的求法：
12． ①总功等于合外力的功：先求出物体所受各力的合力F合，再根据W总=F合lcosα计算总功，但应注意α应是合力与位移l的夹角．
13． ②总功等于各力做功的代数和．
14． 机车启动问题
对机车启动问题应首先弄清是功率恒定还是加速度恒定．对于机车以恒定加速度启动问题，机车匀加速运动能维持的时间，一定是机车功率达到额定功率的时间．弄清了这一点，利用牛顿第二定律和运动学公式就很容易求出机车匀加速运动能维持的时间．
（1）汽车在平直路面上保持发动机功率不变，即以恒定功率启动，其加速过程如下所示：
其P-t图和v-t图如下：
（2）汽车以恒定加速度起动，汽车的功率逐渐增大，当功率增大到额定功率时，匀加速运动结束，此时汽车的速度为匀加速运动的末速度，但并不是汽车所能达到的最大速度，此后汽车还可以保持功率不变做加速度逐渐减小的加速运动，直到加速度减小到零时速度才达到最大，具体变化过程及运动中v与t关系如图所示．
一、功的概念
1．定义：物体受到力的作用，并在力方向上发生一段位移，就说力对物体做了功．
2．公式：W=Fscosα，其中α为F与s的夹角，F是力的大小，s一般是物体相对地面的位移，而不是相对于和它接触的物体的位移．
3．应用中的注意点
（1）公式只适用于恒力做功；
（2）F和S是对应同一个物体的；
（3）恒力做功多少只与F、s及二者夹角余弦有关，而与物体的加速度大小、速度大小、运动时间长短等都无关，即与物体的运动性质无关，同时与有无其它力做功也无关．
4．物理意义：功是能量转化的量度．
5．单位：焦耳（J），1J=1N•m．
6．功是标量，没有方向、但是有正负，正负表示能量转化的方向．表示物体是输入了能量还是输出了能量．
7．正功和负功：根据W=Flcosα可知：
二、功的计算
1．做功的两个不可缺少的因素：力和物体在力的方向上发生的位移．
2．功的公式：W=Flcosα，其中F为恒力，α为F的方向与位移l的方向之间的夹角；功的单位：焦耳（J）；功是标量．
3．功的计算：
（1）合力的功
①先求出合力，然后求总功，表达式为：∑W=∑F⋅scosθ（θ为合力与位移方向的夹角）
②合力的功等于各分力所做功的代数和，即：∑W=W1+W2+…
（2）变力做功：对于变力做功不能依定义式W=Fscosα直接求解，但可依物理规律通过技巧的转化间接求解．
①可用（微元法）无限分小法来求，过程无限分小后，可认为每小段是恒力做功．
②平均力法：若变力大小随位移是线性变化，且方向不变时，可将变力的平均值求出后用公式：计算．
③利用F-s图象，F-s图线与坐标轴所包围的面积即是力F做功的数值．
④已知变力做功的平均功率P，则功W=Pt．
⑤用动能定理进行求解：由动能定理W=△EK可知，将变力的功转换为物体动能的变化量，可将问题轻易解决．
⑥用功能关系进行求解．
三、各种力做功的特点
1 重力做功特点
（1）重点做功与路径无关，只与物体的始末位置高度差有关．
（2）重力做功的大小：W=mg•h．
（3）重力做功与重力势能的关系：WG=-△Ep=Ep1-Ep2．
此外，做功多少与路径无关的力还有：匀强电场中的电场力做功，液体的浮力做功等．
2．摩擦力做功的特点：
（1）静摩擦力做功的特点：
①静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
②在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用），而没有机械能转化为其他形式的能．
③相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做功的代数和总为零．
（2）滑动摩擦力做功的特点：
①滑动摩擦力可以对物体做正功，也可以对物体做负功，当然也可以不做功．
②一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化有两个方面：一是相互摩擦的物体之间机械能的转移；二是机械能转化为内能．
③一对滑动摩擦力的总功等于-f△s，式中△s指物体间的相对位移．
④转化为内能的量值等于滑动摩擦力与相对位移的乘积，即W=Q（即摩擦生热）．
⑤滑动摩擦力、空气摩擦阻力等，在曲线运动或往返运动时等于力和路程（不是位移）的乘积．
二、 功率
三、 1．定义：功与完成这些功所用时间的比值．
四、 2．物理意义：描述力对物体做功的快慢．
五、 3．公式
六、 （1）P=W/t P为时间t内的平均功率．
七、 （2）P=Fvcosα（α为F与v的夹角）
八、 ①v为平均速度，则P为平均功率．
九、 ②v为瞬时速度，则P为瞬时功率．
十、 4．额定功率：机械正常工作时输出的最大功率．
十一、 5．实际功率：机械实际工作时输出的功率．要求不大于额定功率．
题型一：平均功率和瞬时功率的计算
题型二：机车启动问题
易错题【01】
注意变力做功不能利用公式计算，只能通过微元法，图像法等方法计算
易错题【02】
注意做功的两个要素，力以及在力的方向上发生的位移。
易错题【03】
要注意平均功率，瞬时功率和额定功率的区别。
易错题【04】
机车启动，在加速度变化过程，牵引力做的功利用W=pt计算，不能利用做功公式计算。
5．（2022春•北海期末）如图所示，汽车在平直路面上匀速运动，用跨过光滑定滑轮的轻绳牵引轮船，汽车与滑轮间的轻绳保持水平。当牵引轮船的绳与水平方向成θ角时，轮船的速度为v，绳的拉力对船做功的功率为P，汽车受到路面的恒定阻力为f。下列说法正确的是（ ）
A．绳对船的拉力大小为
B．绳对船的拉力大小为
C．汽车发动机的输出功率为P+fvsinθ
D．汽车发动机的输出功率为P+fvcosθ
6．（2022春•太原期末）在学校春季运动会男子100米决赛中，小明以11秒81的成绩夺得冠军。小明在比赛中，主要有起跑加速、途中匀速和加速冲刺三个阶段，在此过程中，他的脚与地面间不发生相对滑动。以下说法正确的是（ ）
A．加速阶段地面对他的摩擦力做正功
B．加速冲刺阶段地面对他的摩擦力做正功
C．由于他的脚与地面间不发生相对滑动，所以地面对他的摩擦力不做功
D．无论加速还是匀速阶段，地面对他的摩擦力始终做负功
7．（2022春•太原期末）如图所示，在水平面上向左做匀加速直线运动的小车内固定一倾角为θ的粗糙斜面，一物块置于斜面上，运动过程中物块与斜面始终保持相对静止。则下列说法正确的是（ ）
A．斜面对物体的摩擦力一定做负功
B．斜面对物体的作用力一定做正功
C．斜面对物体的支持力一定不做功
D．该物体受到的合力可能不做功
8．（2022春•洛阳期末）质量为的汽车在足够长的平直公路上行驶，阻力F保持不变．当它以速度v，加速度a加速前进时，发动机的实际功率正好等于额定功率，从此时开始，发动机始终在额定功率下工作，则此后汽车的（ ）
A．牵引力不变 B．加速度不变
C．速度不变 D．最大速度为
9．（2022春•番禺区期末）引体向上是《国家学生体质健康标准》中规定的男生测试项目之一。如图所示，引体向上分为两个过程：身体从最低点升到最高点的“上引”过程，身体从最高点回到最低点的“下放”过程。某同学在30s内连续做了10个完整的引体向上，已知该同学质量约为60kg，则（ ）
A．“上引”过程重力对人做正功
B．“下放”过程重力对人做负功
C．在30s内重力对人做的总功约为3000J
D．在30s内克服重力做功的平均功率约为100W
10．（2022春•隆昌市校级月考）如图所示，用一与水平方向成α的力F拉一质量为m的物体，使它沿水平方向移动距离x，若物体和地面间的动摩擦因数为μ，则在此过程中（ ）
A．力F做的功为Fx
B．摩擦力做的功为μmgx
C．重力做的功为mgx
D．合力做的功为[Fcosα﹣μ（mg﹣Fsinα）]x
11．（2022春•雁塔区校级月考）一辆汽车的质量是5.0×103kg，发动机的额定功率为60kW，汽车所受阻力恒为2.0×103N，如果汽车从静止开始以2m/s2的加速度做匀加速直线运动，功率达到最大后汽车又以额定功率运动了一段距离达到了最大速度，在整个过程中汽车运动了100m。则关于汽车在整个运动过程中的下列说法，正确的是（ ）
A．汽车受到的牵引力始终为1.2×104N
B．汽车匀加速运动的时间为15s
C．汽车运动过程中的最大速度为30m/s
D．汽车在匀加速阶段牵引力做的功为7.5×104J
12．（2022春•云南期中）一辆汽车在水平路面上由静止启动，在前5s内做匀加速直线运动，5s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v﹣t图像如图所示．已知汽车的质量m＝2×103kg，汽车受到的阻力为车重的，取重力加速度大小g＝10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．汽车的最大速度为15m/s
B．汽车的额定功率为120kW
C．汽车的速度大小为16m/s时，加速度大小为2.5m/s2
D．在前5s内汽车牵引力做的功为2×105J
13．（2022春•庐阳区校级期末）某汽车以恒定功率匀速行驶，看到前方红灯，司机将汽车功率减半，并保持该功率行驶，看到红灯转为绿灯，立即恢复原来功率，以后保持该功率行驶．设汽车所受阻力大小始终不变，则在该过程中，汽车的速度随时间变化图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2022春•温州期末）如图所示，武装直升机的桨叶旋转形成的圆面面积为S，空气密度为ρ0，直升机质量为m，重力加速度为g。当直升机向上匀速运动时，假设空气阻力恒为f，不计空气浮力及风力影响，下列说法正确的是（ ）
A．直升机悬停时受到的升力大小为mg+f
B．直升机向上匀速运动时，螺旋桨推动的空气流量为
C．直升机向上匀速运动时，螺旋桨推动的空气速度为
D．直升机向上匀速运动时，发动机的功率为
15．（2022春•杭州期末）2022年北京冬季奥运会比赛项目“跳台滑雪”被称为“勇者的游戏”，其滑道由助滑道、起跳区、着陆坡、停止区组成。如图所示为某滑雪爱好者从助滑道上滑下，在起跳区末端（A点正上方高h处），第一次以速度v0水平飞出，经过时间t，落在着陆坡AB的中点处。已知AB长为2L，若第二次该滑雪者在起跳区末端以的速度水平飞出（不计空气阻力），则滑雪者（ ）
A．在空中飞行时间变为
B．着陆点离A点的距离大于
C．着陆时的速度方向与第一次相同
D．着陆时重力做功的瞬时功率是第一次的一半
16．（2022春•建华区校级期中）在我国，汽车已进入寻常百姓家，一种新车从研发到正式上路，要经过各种各样的测试，其中一种是在专用道上进行起步过程测试，通过车上装载的传感器记录了起步过程速度随时间变化规律图像，如图所示，已知OA为直线、AB为曲线、BC为平行于横轴的直线。5s时汽车功率达到额定功率且保持不变，该车总质量为1.0×103kg，所受到的阻力恒为2.0×103N，则下列说法正确的是（ ）
A．该车的最大速度为50m/s
B．该车起步过程的加速度一直改变
C．该车的额定功率为1.2×105W
D．该车前25s内通过的位移大小为400m
17．（2022•西宁二模）2020年4月28日，中国首列商用磁浮2.0版列车在长沙磁浮快线跑出了160千米的时速，完成了最高设计速度的达速测试。相比1.0版，2.0版悬浮能力、牵引功率、速度均得到了较大幅度的提升。如图甲所示，磁浮列车在水平牵引力作用下运动，其加速度﹣时间图像如图乙，已知t＝0时刻，质量为m的列车，速度沿正方向且初速度大小为v0，忽略空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．列车在0﹣3t0内先做匀加速直线运动后做匀速直线运动
B．列车在2t0末运动方向发生改变
C．在0﹣t0内列车的牵引力的功率不变
D．列车在第一个t0内速度增量比0～2t0内速度增量大
18．（2022春•江西月考）一辆汽车由静止开始沿平直公路保持恒定的功率P0启动，假设汽车在启动过程中所受的阻力大小不变，在启动过程中利用计算机描绘出了汽车的加速度关于速度倒数的变化规律图像，如图所示，图线中标出的量均为已知量。则下列说法正确的是（ ）
A．阻力大小为
B．该汽车的最大速度为
C．该汽车的质量大小为
D．汽车从启动到速度达到最大所需的时间为
（多选）19．（2022•丹东模拟）如图所示，一个质量为m的刚性圆环套在粗糙的竖直固定细杆上，圆环内径略大于细杆直径，圆环的两侧与两个劲度系数均为k的轻质弹簧一端相连，弹簧另一端固定在和圆环同一高度的M、N两点。圆环位于与M、N等高的O点时弹簧处于原长状态且原长为L，细杆上A、B两点到O点的距离都为L。将圆环拉至A点由静止释放，若重力加速度为g，圆环运动过程中弹簧一直在弹性限度内。对于圆环从A点运动到B点的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．圆环从A点出发时的加速度为+g
B．圆环通过O点时的加速度为g
C．圆环在B点时的动能小于2mgL
D．圆环在B点时的重力功率为零
20．（2022春•南岗区校级期中）一质量为m＝2×103kg的汽车在水平直公路上由静止开始起动，已知汽车的额定功率P＝120kw，汽车最终能达到的最大行驶速度为vmax＝50m/s，假设汽车在运动过程中所受阻力大小恒定不变，求：
①若此汽车以额定功率起动，速度达到v＝20m/s时，汽车的加速度大小；
②若此汽车以恒定的加速度a＝0.8m/s2起动，它最多能维持多长时间的匀加速运动？
21．（2022春•辽宁期中）一辆质量为2.0×103kg的汽车以额定功率为6.0×104W在水平公路上行驶，汽车受到的阻力为一定值，在某时刻汽车的速度为20m/s，加速度为0.50m/s2，（g取10m/s2）求：
（1）汽车受到的阻力是多大？
（2）汽车所能达到的最大速度是多大？
（3）当汽车的速度为10m/s时的加速度是多大？
22．（2021•浙江）大功率微波对人和其他生物有一定的杀伤作用。实验表明，当人体单位面积接收的微波功率达到250W/m2时会引起神经混乱，达到1000W/m2时会引起心肺功能衰竭。现有一微波武器，其发射功率P＝3×107W。若发射的微波可视为球面波，则引起神经混乱和心肺功能衰竭的有效攻击的最远距离约为（ ）
A．100m 25m B．100m 50m
C．200m 100m D．200m 50m
23．（2021•湖南）“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的。总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶。该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比（F阻＝kv，k为常量），动车组能达到的最大速度为vm。下列说法正确的是（ ）
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C．若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶的速度为vm
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为mvm2﹣Pt
24．（2021•浙江）一辆汽车在水平高速公路上以80km/h的速度匀速行驶，其1s内能量分配情况如图所示。则汽车（ ）
A．发动机的输出功率为70kW
B．每1s消耗的燃料最终转化成的内能是5.7×104J
C．每1s消耗的燃料最终转化成的内能是6.9×104J
D．每1s消耗的燃料最终转化成的内能是7.0×104J
（多选）25．（2021•重庆）额定功率相同的甲、乙两车在同一水平路面上从静止启动，其发动机的牵引力随时间的变化曲线如图所示。两车分别从t1和t3时刻开始以额定功率行驶，从t2和t4时刻开始牵引力均视为不变。若两车行驶时所受的阻力大小与重力成正比，且比例系数相同，则（ ）
A．甲车的总重比乙车大
B．甲车比乙车先开始运动
C．甲车在t1时刻和乙车在t3时刻的速率相同
D．甲车在t2时刻和乙车在t4时刻的速率相同
（多选）26．（2021•广东）长征途中，为了突破敌方关隘，战士爬上陡峭的山头，居高临下向敌方工事内投掷手榴弹。战士在同一位置先后投出甲、乙两颗质量均为m的手榴弹。手榴弹从投出的位置到落地点的高度差为h，在空中的运动可视为平抛运动，轨迹如图所示，重力加速度为g。下列说法正确的有（ ）
A．甲在空中的运动时间比乙的长
B．两手榴弹在落地前瞬间，重力的功率相等
C．从投出到落地，每颗手榴弹的重力势能减少mgh
D．从投出到落地，每颗手榴弹的机械能变化量为mgh
（多选）27．（2018•新课标Ⅲ）地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送到地面。某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程，（ ）
A．矿车上升所用的时间之比为4：5
B．电机的最大牵引力之比为2：1
C．电机输出的最大功率之比为2：1
D．电机所做的功之比为4：5
28．（2017•新课标Ⅲ）如图，一质量为m，长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距l．重力加速度大小为g。在此过程中，外力做的功为（ ）
A．mgl B．mgl C．mgl D．mgl
考向10 功和功率
【重点知识点目录】
1. 功的正负判断和大小计算
2. 变力做功的计算
3. 功率的分析与技术
4. 机车启动问题
（多选）1．（2022•广东）如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平MN段以恒定功率200W、速度5m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570W、速度2m/s匀速行驶。已知小车总质量为50kg，MN＝PQ＝20m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的有（ ）
A．从M到N，小车牵引力大小为40N
B．从M到N，小车克服摩擦力做功800J
C．从P到Q，小车重力势能增加1×104J
D．从P到Q，小车克服摩擦力做功700J
【答案】ABD。
【解析】解：AB、在水平MN段以恒定功率200W、速度5m/s匀速行驶，则小车的牵引力等于小车受到的摩擦力，因此
从M到N过程中，小车摩擦力做功为Wf＝﹣40×20J＝﹣800J，即小车克服摩擦力做功800J，故AB正确；
C、从P到Q的过程中，根据功能关系可知，重力势能的增加量为ΔEp＝mgΔh＝50×10×20×sin30°J＝5000J，故C错误；
D、在斜坡PQ段以恒定功率570W、速度2m/s匀速行驶，则
代入数据解得：f2＝35N
则此过程中，小车摩擦力做功为Wf2＝f2s＝﹣35×20J＝﹣700J，即小车克服摩擦力做功为700J，故D正确；
2．（2021•北京）如图所示，高速公路上汽车定速巡航（即保持汽车的速率不变）通过路面abcd，其中ab段为平直上坡路面，bc段为水平路面，cd段为平直下坡路面。不考虑整个过程中空气阻力和摩擦阻力的大小变化。下列说法正确的是（ ）
A．在ab段汽车的输出功率逐渐减小
B．汽车在ab段的输出功率比bc段的大
C．在cd段汽车的输出功率逐渐减小
D．汽车在cd段的输出功率比bc段的大
【答案】B。
【解析】解：汽车做匀速率运动，受力平衡，
设上下坡的夹角为θ，汽车受到的摩擦力为f，
在ab段，根据受力平衡可得，F1＝f+mgsinθ，此时的功率为P1＝F1v＝（f+mgsinθ）v，
在bc段，根据受力平衡可得，F2＝f，此时的功率为P2＝F2v＝fv，
在cd段，根据受力平衡可得，F3＝f﹣mgsinθ，此时的功率为P3＝F3v＝（f﹣mgsinθ）v，
所以P1＞P2＞P3，故B正确，ACD错误；
3．（2021•浙江）中国制造的某一型号泵车如图所示，表中列出了其部分技术参数。已知混凝土密度为2.4×103kg/m3，假设泵车的泵送系统以150m3/h的输送量给30m高处输送混凝土，则每小时泵送系统对混凝土做的功至少为（ ）
发动机最大输出功率（kW）
332
最大输送高度（m）
63
整车满载质量（kg）
5.5×104
最大输送量（m3/h）
180
A．1.08×107J B．5.04×107J C．1.08×108J D．2.72×108J
【答案】C。
【解析】解：泵车的泵送排量为150m3/h，则1小时输送的混凝土的体积为
V＝150×1m3＝150m3
则在1小时时间内输送的混凝土质量为
m＝ρV＝2.4×103×150kg＝3.6×105kg
将混凝土匀速输送到30m高处，泵送系统对混凝土做的功最少，泵送系统对混凝土做的功至少为
W＝mgh＝3.6×105×10×30J＝1.08×108J
故C正确，ABD错误。
4．（2021•浙江）如图所示，质量m＝2kg的滑块以v0＝16m/s的初速度沿倾角θ＝37°的斜面上滑，经t＝2s滑行到最高点。然后，滑块返回到出发点。已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求滑块
（1）最大位移值x；
（2）与斜面间的动摩擦因数；
（3）从最高点返回到出发点的过程中重力的平均功率。
【答案】（1）最大位移值x为16m；
（2）与斜面间的动摩擦因数为0.25；
（3）从最高点返回到出发点的过程中重力的平均功率为67.9W。
【解析】解：（1）小车向上做匀减速直线运动，根据匀变速直线运动推论有：x＝
代入数据解得：
x＝m＝16m
（2）小车向上做匀减速直线运动，根据加速度定义得加速度大小：a1＝＝m/s2＝8m/s2
上滑过程，由牛顿第二定律得：mgsinθ+μmgcosθ＝ma1
得：a1＝＝gsinθ+μgcosθ
代入数据解得：μ＝＝＝＝0.25
（3）小车下滑过程，由牛顿第二定律得：mgsinθ﹣μmgcosθ＝ma2
代入数据解得：a2＝＝gsinθ﹣μgcosθ＝10×0.6﹣0.25×10×0.8m/s2＝4m/s2
由运动学公式得：vt＝＝m/s＝m/s＝11.3m/s
得重力的平均功率：＝mgcos（90°﹣θ）＝W＝W＝67.9W
1． 判断功的正、负主要有以下三种方法：
2． （1）若物体做直线运动，依据力与位移的夹角来判断，此法常用于恒力做功的判断．
3． （2）若物体做曲线运动，依据F与v的方向的夹角α的大小来判断．当α＜90°时，力对物体做正功；90°＜α≤180°时，力对物体做负功；α=90°时，力对物体不做功．
4． （3）依据能量变化来判断：此法既适用于恒力做功，也适用于变力做功，关键应分析清楚能量的转化情况．根据功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功．比如系统的机械能增加，说明力对系统做正功；如果系统的机械能减少，则说明力对系统做负功．此法常用于两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断．
5． 在计算力所做的功时，首先要对物体进行受力分析，明确是要求哪个力做的功，这个力是恒力还是变力；其次进行运动分析，明确是要求哪一个过程力所做的功．关于恒力的功和变力的功的计算方法如下：
6． （1）恒力做功：对恒力作用下物体的运动，力对物体做的功用W=Flcosα求解．该公式可写成W=F•（l•cosα）=（F•cos α）•l．即功等于力与力方向上的位移的乘积或功等于位移与位移方向上的力的乘积．
7． （2）变力做功：
8． ①用动能定理W=△Ek或功能关系W=△E，即用能量的增量等效代换变力所做的功．（也可计算恒力做功）
9． ②当变力的功率P一定时，可用W=Pt求功，如机车以恒定功率启动时．
10． ③把变力做功转化为恒力做功：当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功等于力和路程（不是位移）的乘积．如滑动摩擦力做功、空气阻力做功等．
11． （3）总功的求法：
12． ①总功等于合外力的功：先求出物体所受各力的合力F合，再根据W总=F合lcosα计算总功，但应注意α应是合力与位移l的夹角．
13． ②总功等于各力做功的代数和．
14． 机车启动问题
对机车启动问题应首先弄清是功率恒定还是加速度恒定．对于机车以恒定加速度启动问题，机车匀加速运动能维持的时间，一定是机车功率达到额定功率的时间．弄清了这一点，利用牛顿第二定律和运动学公式就很容易求出机车匀加速运动能维持的时间．
（1）汽车在平直路面上保持发动机功率不变，即以恒定功率启动，其加速过程如下所示：
其P-t图和v-t图如下：
（2）汽车以恒定加速度起动，汽车的功率逐渐增大，当功率增大到额定功率时，匀加速运动结束，此时汽车的速度为匀加速运动的末速度，但并不是汽车所能达到的最大速度，此后汽车还可以保持功率不变做加速度逐渐减小的加速运动，直到加速度减小到零时速度才达到最大，具体变化过程及运动中v与t关系如图所示．
一、功的概念
1．定义：物体受到力的作用，并在力方向上发生一段位移，就说力对物体做了功．
2．公式：W=Fscosα，其中α为F与s的夹角，F是力的大小，s一般是物体相对地面的位移，而不是相对于和它接触的物体的位移．
3．应用中的注意点
（1）公式只适用于恒力做功；
（2）F和S是对应同一个物体的；
（3）恒力做功多少只与F、s及二者夹角余弦有关，而与物体的加速度大小、速度大小、运动时间长短等都无关，即与物体的运动性质无关，同时与有无其它力做功也无关．
4．物理意义：功是能量转化的量度．
5．单位：焦耳（J），1J=1N•m．
6．功是标量，没有方向、但是有正负，正负表示能量转化的方向．表示物体是输入了能量还是输出了能量．
7．正功和负功：根据W=Flcosα可知：
二、功的计算
1．做功的两个不可缺少的因素：力和物体在力的方向上发生的位移．
2．功的公式：W=Flcosα，其中F为恒力，α为F的方向与位移l的方向之间的夹角；功的单位：焦耳（J）；功是标量．
3．功的计算：
（1）合力的功
①先求出合力，然后求总功，表达式为：∑W=∑F⋅scosθ（θ为合力与位移方向的夹角）
②合力的功等于各分力所做功的代数和，即：∑W=W1+W2+…
（2）变力做功：对于变力做功不能依定义式W=Fscosα直接求解，但可依物理规律通过技巧的转化间接求解．
①可用（微元法）无限分小法来求，过程无限分小后，可认为每小段是恒力做功．
②平均力法：若变力大小随位移是线性变化，且方向不变时，可将变力的平均值求出后用公式：计算．
③利用F-s图象，F-s图线与坐标轴所包围的面积即是力F做功的数值．
④已知变力做功的平均功率P，则功W=Pt．
⑤用动能定理进行求解：由动能定理W=△EK可知，将变力的功转换为物体动能的变化量，可将问题轻易解决．
⑥用功能关系进行求解．
三、各种力做功的特点
1 重力做功特点
（1）重点做功与路径无关，只与物体的始末位置高度差有关．
（2）重力做功的大小：W=mg•h．
（3）重力做功与重力势能的关系：WG=-△Ep=Ep1-Ep2．
此外，做功多少与路径无关的力还有：匀强电场中的电场力做功，液体的浮力做功等．
2．摩擦力做功的特点：
（1）静摩擦力做功的特点：
①静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
②在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用），而没有机械能转化为其他形式的能．
③相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做功的代数和总为零．
（2）滑动摩擦力做功的特点：
①滑动摩擦力可以对物体做正功，也可以对物体做负功，当然也可以不做功．
②一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化有两个方面：一是相互摩擦的物体之间机械能的转移；二是机械能转化为内能．
③一对滑动摩擦力的总功等于-f△s，式中△s指物体间的相对位移．
④转化为内能的量值等于滑动摩擦力与相对位移的乘积，即W=Q（即摩擦生热）．
⑤滑动摩擦力、空气摩擦阻力等，在曲线运动或往返运动时等于力和路程（不是位移）的乘积．
二、 功率
三、 1．定义：功与完成这些功所用时间的比值．
四、 2．物理意义：描述力对物体做功的快慢．
五、 3．公式
六、 （1）P=W/t P为时间t内的平均功率．
七、 （2）P=Fvcosα（α为F与v的夹角）
八、 ①v为平均速度，则P为平均功率．
九、 ②v为瞬时速度，则P为瞬时功率．
十、 4．额定功率：机械正常工作时输出的最大功率．
十一、 5．实际功率：机械实际工作时输出的功率．要求不大于额定功率．
题型一：平均功率和瞬时功率的计算
题型二：机车启动问题
易错题【01】
注意变力做功不能利用公式计算，只能通过微元法，图像法等方法计算
易错题【02】
注意做功的两个要素，力以及在力的方向上发生的位移。
易错题【03】
要注意平均功率，瞬时功率和额定功率的区别。
易错题【04】
机车启动，在加速度变化过程，牵引力做的功利用W=pt计算，不能利用做功公式计算。
5．（2022春•北海期末）如图所示，汽车在平直路面上匀速运动，用跨过光滑定滑轮的轻绳牵引轮船，汽车与滑轮间的轻绳保持水平。当牵引轮船的绳与水平方向成θ角时，轮船的速度为v，绳的拉力对船做功的功率为P，汽车受到路面的恒定阻力为f。下列说法正确的是（ ）
A．绳对船的拉力大小为
B．绳对船的拉力大小为
C．汽车发动机的输出功率为P+fvsinθ
D．汽车发动机的输出功率为P+fvcosθ
6．（2022春•太原期末）在学校春季运动会男子100米决赛中，小明以11秒81的成绩夺得冠军。小明在比赛中，主要有起跑加速、途中匀速和加速冲刺三个阶段，在此过程中，他的脚与地面间不发生相对滑动。以下说法正确的是（ ）
A．加速阶段地面对他的摩擦力做正功
B．加速冲刺阶段地面对他的摩擦力做正功
C．由于他的脚与地面间不发生相对滑动，所以地面对他的摩擦力不做功
D．无论加速还是匀速阶段，地面对他的摩擦力始终做负功
7．（2022春•太原期末）如图所示，在水平面上向左做匀加速直线运动的小车内固定一倾角为θ的粗糙斜面，一物块置于斜面上，运动过程中物块与斜面始终保持相对静止。则下列说法正确的是（ ）
A．斜面对物体的摩擦力一定做负功
B．斜面对物体的作用力一定做正功
C．斜面对物体的支持力一定不做功
D．该物体受到的合力可能不做功
8．（2022春•洛阳期末）质量为的汽车在足够长的平直公路上行驶，阻力F保持不变．当它以速度v，加速度a加速前进时，发动机的实际功率正好等于额定功率，从此时开始，发动机始终在额定功率下工作，则此后汽车的（ ）
A．牵引力不变 B．加速度不变
C．速度不变 D．最大速度为
9．（2022春•番禺区期末）引体向上是《国家学生体质健康标准》中规定的男生测试项目之一。如图所示，引体向上分为两个过程：身体从最低点升到最高点的“上引”过程，身体从最高点回到最低点的“下放”过程。某同学在30s内连续做了10个完整的引体向上，已知该同学质量约为60kg，则（ ）
A．“上引”过程重力对人做正功
B．“下放”过程重力对人做负功
C．在30s内重力对人做的总功约为3000J
D．在30s内克服重力做功的平均功率约为100W
10．（2022春•隆昌市校级月考）如图所示，用一与水平方向成α的力F拉一质量为m的物体，使它沿水平方向移动距离x，若物体和地面间的动摩擦因数为μ，则在此过程中（ ）
A．力F做的功为Fx
B．摩擦力做的功为μmgx
C．重力做的功为mgx
D．合力做的功为[Fcosα﹣μ（mg﹣Fsinα）]x
11．（2022春•雁塔区校级月考）一辆汽车的质量是5.0×103kg，发动机的额定功率为60kW，汽车所受阻力恒为2.0×103N，如果汽车从静止开始以2m/s2的加速度做匀加速直线运动，功率达到最大后汽车又以额定功率运动了一段距离达到了最大速度，在整个过程中汽车运动了100m。则关于汽车在整个运动过程中的下列说法，正确的是（ ）
A．汽车受到的牵引力始终为1.2×104N
B．汽车匀加速运动的时间为15s
C．汽车运动过程中的最大速度为30m/s
D．汽车在匀加速阶段牵引力做的功为7.5×104J
12．（2022春•云南期中）一辆汽车在水平路面上由静止启动，在前5s内做匀加速直线运动，5s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v﹣t图像如图所示．已知汽车的质量m＝2×103kg，汽车受到的阻力为车重的，取重力加速度大小g＝10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．汽车的最大速度为15m/s
B．汽车的额定功率为120kW
C．汽车的速度大小为16m/s时，加速度大小为2.5m/s2
D．在前5s内汽车牵引力做的功为2×105J
13．（2022春•庐阳区校级期末）某汽车以恒定功率匀速行驶，看到前方红灯，司机将汽车功率减半，并保持该功率行驶，看到红灯转为绿灯，立即恢复原来功率，以后保持该功率行驶．设汽车所受阻力大小始终不变，则在该过程中，汽车的速度随时间变化图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2022春•温州期末）如图所示，武装直升机的桨叶旋转形成的圆面面积为S，空气密度为ρ0，直升机质量为m，重力加速度为g。当直升机向上匀速运动时，假设空气阻力恒为f，不计空气浮力及风力影响，下列说法正确的是（ ）
A．直升机悬停时受到的升力大小为mg+f
B．直升机向上匀速运动时，螺旋桨推动的空气流量为
C．直升机向上匀速运动时，螺旋桨推动的空气速度为
D．直升机向上匀速运动时，发动机的功率为
15．（2022春•杭州期末）2022年北京冬季奥运会比赛项目“跳台滑雪”被称为“勇者的游戏”，其滑道由助滑道、起跳区、着陆坡、停止区组成。如图所示为某滑雪爱好者从助滑道上滑下，在起跳区末端（A点正上方高h处），第一次以速度v0水平飞出，经过时间t，落在着陆坡AB的中点处。已知AB长为2L，若第二次该滑雪者在起跳区末端以的速度水平飞出（不计空气阻力），则滑雪者（ ）
A．在空中飞行时间变为
B．着陆点离A点的距离大于
C．着陆时的速度方向与第一次相同
D．着陆时重力做功的瞬时功率是第一次的一半
16．（2022春•建华区校级期中）在我国，汽车已进入寻常百姓家，一种新车从研发到正式上路，要经过各种各样的测试，其中一种是在专用道上进行起步过程测试，通过车上装载的传感器记录了起步过程速度随时间变化规律图像，如图所示，已知OA为直线、AB为曲线、BC为平行于横轴的直线。5s时汽车功率达到额定功率且保持不变，该车总质量为1.0×103kg，所受到的阻力恒为2.0×103N，则下列说法正确的是（ ）
A．该车的最大速度为50m/s
B．该车起步过程的加速度一直改变
C．该车的额定功率为1.2×105W
D．该车前25s内通过的位移大小为400m
17．（2022•西宁二模）2020年4月28日，中国首列商用磁浮2.0版列车在长沙磁浮快线跑出了160千米的时速，完成了最高设计速度的达速测试。相比1.0版，2.0版悬浮能力、牵引功率、速度均得到了较大幅度的提升。如图甲所示，磁浮列车在水平牵引力作用下运动，其加速度﹣时间图像如图乙，已知t＝0时刻，质量为m的列车，速度沿正方向且初速度大小为v0，忽略空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．列车在0﹣3t0内先做匀加速直线运动后做匀速直线运动
B．列车在2t0末运动方向发生改变
C．在0﹣t0内列车的牵引力的功率不变
D．列车在第一个t0内速度增量比0～2t0内速度增量大
18．（2022春•江西月考）一辆汽车由静止开始沿平直公路保持恒定的功率P0启动，假设汽车在启动过程中所受的阻力大小不变，在启动过程中利用计算机描绘出了汽车的加速度关于速度倒数的变化规律图像，如图所示，图线中标出的量均为已知量。则下列说法正确的是（ ）
A．阻力大小为
B．该汽车的最大速度为
C．该汽车的质量大小为
D．汽车从启动到速度达到最大所需的时间为
（多选）19．（2022•丹东模拟）如图所示，一个质量为m的刚性圆环套在粗糙的竖直固定细杆上，圆环内径略大于细杆直径，圆环的两侧与两个劲度系数均为k的轻质弹簧一端相连，弹簧另一端固定在和圆环同一高度的M、N两点。圆环位于与M、N等高的O点时弹簧处于原长状态且原长为L，细杆上A、B两点到O点的距离都为L。将圆环拉至A点由静止释放，若重力加速度为g，圆环运动过程中弹簧一直在弹性限度内。对于圆环从A点运动到B点的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．圆环从A点出发时的加速度为+g
B．圆环通过O点时的加速度为g
C．圆环在B点时的动能小于2mgL
D．圆环在B点时的重力功率为零
20．（2022春•南岗区校级期中）一质量为m＝2×103kg的汽车在水平直公路上由静止开始起动，已知汽车的额定功率P＝120kw，汽车最终能达到的最大行驶速度为vmax＝50m/s，假设汽车在运动过程中所受阻力大小恒定不变，求：
①若此汽车以额定功率起动，速度达到v＝20m/s时，汽车的加速度大小；
②若此汽车以恒定的加速度a＝0.8m/s2起动，它最多能维持多长时间的匀加速运动？
21．（2022春•辽宁期中）一辆质量为2.0×103kg的汽车以额定功率为6.0×104W在水平公路上行驶，汽车受到的阻力为一定值，在某时刻汽车的速度为20m/s，加速度为0.50m/s2，（g取10m/s2）求：
（1）汽车受到的阻力是多大？
（2）汽车所能达到的最大速度是多大？
（3）当汽车的速度为10m/s时的加速度是多大？
22．（2021•浙江）大功率微波对人和其他生物有一定的杀伤作用。实验表明，当人体单位面积接收的微波功率达到250W/m2时会引起神经混乱，达到1000W/m2时会引起心肺功能衰竭。现有一微波武器，其发射功率P＝3×107W。若发射的微波可视为球面波，则引起神经混乱和心肺功能衰竭的有效攻击的最远距离约为（ ）
A．100m 25m B．100m 50m
C．200m 100m D．200m 50m
23．（2021•湖南）“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的。总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶。该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比（F阻＝kv，k为常量），动车组能达到的最大速度为vm。下列说法正确的是（ ）
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C．若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶的速度为vm
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为mvm2﹣Pt
24．（2021•浙江）一辆汽车在水平高速公路上以80km/h的速度匀速行驶，其1s内能量分配情况如图所示。则汽车（ ）
A．发动机的输出功率为70kW
B．每1s消耗的燃料最终转化成的内能是5.7×104J
C．每1s消耗的燃料最终转化成的内能是6.9×104J
D．每1s消耗的燃料最终转化成的内能是7.0×104J
（多选）25．（2021•重庆）额定功率相同的甲、乙两车在同一水平路面上从静止启动，其发动机的牵引力随时间的变化曲线如图所示。两车分别从t1和t3时刻开始以额定功率行驶，从t2和t4时刻开始牵引力均视为不变。若两车行驶时所受的阻力大小与重力成正比，且比例系数相同，则（ ）
A．甲车的总重比乙车大
B．甲车比乙车先开始运动
C．甲车在t1时刻和乙车在t3时刻的速率相同
D．甲车在t2时刻和乙车在t4时刻的速率相同
（多选）26．（2021•广东）长征途中，为了突破敌方关隘，战士爬上陡峭的山头，居高临下向敌方工事内投掷手榴弹。战士在同一位置先后投出甲、乙两颗质量均为m的手榴弹。手榴弹从投出的位置到落地点的高度差为h，在空中的运动可视为平抛运动，轨迹如图所示，重力加速度为g。下列说法正确的有（ ）
A．甲在空中的运动时间比乙的长
B．两手榴弹在落地前瞬间，重力的功率相等
C．从投出到落地，每颗手榴弹的重力势能减少mgh
D．从投出到落地，每颗手榴弹的机械能变化量为mgh
（多选）27．（2018•新课标Ⅲ）地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送到地面。某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程，（ ）
A．矿车上升所用的时间之比为4：5
B．电机的最大牵引力之比为2：1
C．电机输出的最大功率之比为2：1
D．电机所做的功之比为4：5
28．（2017•新课标Ⅲ）如图，一质量为m，长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距l．重力加速度大小为g。在此过程中，外力做的功为（ ）
A．mgl B．mgl C．mgl D．mgl
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