山西省太原市民贤高级中学2023届高三上学期期中数学试题（含答案）

2022~2023学年第一学期高三年级期中质量监测

数学试卷

（考试时间：上午8：00-10：00）

说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分。

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合，，则

A.   B.   C.   D.

2.已知复数满足，则

A.   B.   C.   D.

3.已知点，在所在平面内，满足，，则点，依次是的

A.重心，外心   B.内心，外心

C.重心，内心   D.垂心，外心

4.从2007年10月24日18时05分，我国首颗绕月人造卫星“嫦娥―号”成功发射以来，中国航天葆有稳步前进的力量，标志着中国人一步一步将“上九天揽月”的神话变为了现实.月球距离地球大约38万千米，有人说，在理想状态下，将一张厚度约为0.1毫米的纸对折次，其厚度就可以超过月球与地球之间的距离，那么至少对折的次数是（参考数据：，）

A.41   B.42   C.43   D.44

5.已知，则

A.   B.   C.   D.

6.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是

A.若，，，则

B.若，，，则

C.若，，，则

D.若，，，，则

7.已知函数，，，，则下列结论正确的是

A.   B.   C.   D.

8.若曲线和有公切线，则实数

A.   B.   C.1   D.-1

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.已知数列的前项和，则下列结论正确的是

A.是等差数列   B.

C.     D.有最大值

10.已知，则下列结论正确的是

A.有最小值    B.有最小值

C.  D.

11.已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，且，则下列结论正确的是

A.       B.

C.  D.

12.已知四棱锥的底面是矩形，，，，，则下列结论正确的是

A.平面平面

B.平面

C.直线SC与平面ABCD所成角的正弦值为

D.四棱锥外接球的表面积为

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知，，若，则实数____________.

14.设等比数列的前项和为，且，则____________.

15.已知函数的最小正周期为，若，且当时，取得最小值1，则____________.

16.已知定义在上的函数满足，且，是的导函数，当时，，则不等式的解集为____________.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题10分）

已知集合，，且.

（1）若命题“，”为真命题，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围.

18.（本小题12分）

已知是偶函数.

（1）求实数的值；

（2）求不等式的解集．

19.（本小题12分）

已知函数.

（1）求的单调递增区间；

（2）记a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且，BC的中线，求面积的最大值.

20.（本小题12分）

已知数列中，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

21.（本小题12分）

如图，PO是三棱锥的高，点D是PB的中点，.

（1）从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，证明另一个条件成立；

（2）若，OB平分，，，在（1）的条件下，求平面PAB与平面PAC夹角的余弦值.

条件①：平面；条件②：.

注：若条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

22.（本小题12分）

已知函数，是非零常数.

（1）若函数在上是减函数，求的取值范围；

（2）设，且满足，证明：当时，函数在上恰有两个极值点.

2022-2023年第一学期高三年级期中质量监测

数学参考答案及评分建议

一、选择题：

1.C  2.D  3.A  4.B  5.A  6.C  7.D  8.A

二、选择题：

9.AB  10.BD  11.BC  12.ACD

三、填空题：

13.-1  14.  15.  16.

四、解答题：

17.解：由题意得，∵，∴，∴

（1）∵“，”为真命题，∴，

∴∴∴实数的取值范围为，

（2）∵，∴，

∵，∴

∴或，

∴实数的取值范围为.

18.解：（1）由题意得对于任意都成立，

∵

，

∴，∴；

（2）由（1）得，原不等式等价于，

即，∴，或，∴，

∴原不等式的解集为.

19.解：，

（1）∵，，

∴，

∴的单调递增区间为；

（2）由（1）得，∵，∴，

∵，

∴，

∵，∴（当且仅当时不等式取等号），

∴，

当且仅当时，面积的取最大值.

20.解（1）设，

则，

∵，∴∴，，

∴是以为首项、公比的等比数列，

∴，∴；

（2）由（1）得，∴，

∴，①

，②

①-②，整理得.

21.（1）选择条件①：平面PAC，证明条件②：成立.

延长BO交AC于点Q，连结PQ，则，

∵是PB的中点，，

连结OA，∵，∴，

∵是三棱锥的高，∴平面ABC，

∴，，∴，

∴，∴；

（2）由（1）得，取得AB的中点E，连结OE，则，

∵，∴，

以点O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意可得，，，，，

设是平面的一个法向量，则

∴令，则，∴，

设是平面的一个法向量，则

∴令，则，∴，

∴，

∴平面与平面夹角的余弦值为.

（1）选择条件②：，证明条件①：平面成立.

取AB的中点E，连结OE、PE、DE，则，

∵PO是三棱锥的高，

∴平面ABC，∴，

∴平面POE，∴，

∵，∴，∴平面PAC，

又∵D是PB的中点，∴平面PAC，

∵，∴平面面PAC，

∴平面PAC；

（2）由（1）得，∵，，∴，

以点O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意可得，，，，，

设是平面PAC的一个法向量，则

∴令，则，∴，

设是平面的一个法向量，则

∴令，则，∴，

∴，

∴平面PAB与平面PAC夹角的余弦值为

22.（1）解：，，

①当时，则，

∴在上是减函数，∴符合题意；

②当时，当时，，

∴在上是增函数，∴不符合合题意；

综上，的取值范围是；

（2）令，则，，

令，，则，

①当时，，∴在上单增；

②当时，则，∴在上单减，

∵，，

∴，，

当时，，∴在上单增；

当时，，

∴在上单减；

③当时，则，∴在上单增，

∵，，

∴，，

当时，，∴在上单减；

当时，，∴在上单增，

∵，，∴在上恒成立，

∴在上单减；

综上，在上单增，在上单减，

且，，

∵，∴，∴，

∴，其中，

当时，直线与的图象在上有两个交点，从而有两个变号零点，即有两个极值点，

取，则，当时，在上有两个极值点.